Об одном подходе к аппроксимации аналоговых вычислительных машин дискретными машинами Тьюринга Текст научной статьи по специальности «Математика»

Пальченков Ю. ДДжазовский Н. БКолдов А. С. ОБ ОДНОМ ПОДХОДЕ К АППРОКСИМАЦИИ АНАЛОГОВЫХ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ МАШИН ДИСКРЕТНЫМИ МАШИНАМИ ТЬЮРИНГА

Будем считать, что в настоящее время существует три уровня изучения аналоговых вычислений или вычислений над действительными числами. К первому уровню относится физико-инженерный, который занимается аналоговыми машинами. Второй называется абстрактным уровнем, который обсуждает математические модели аналоговых машин и третий уровень под названием теоретический уровень, исследует вычислимые функции действительных переменных, где используются модели не обязательно имеющие связь с аналоговыми машинами [1,2].

Деление на три уровня не является строгим, поэтому некоторые модели авторами могут быть отнесены к разным уровням.

Вопрос аппроксимации аналоговых машин впервые был рассмотрен Б. Кониковской в ее работе [3]. Однако в ней изучалась аппроксимация аналоговых машин цифровыми интегрирующими машинами.

Из предыдущих работ авторами были выделены две аналоговые машины, одна из которых называется универсальная аналоговая машина Шеннона (УАВМШ), ко второй относится простая и управляемая машина Б. Кониковской. Обе модели машины основаны на полиномиальных дифференциальных уравнениях и вычисляют дифференциально-алгебраические функции (ДАФ), однако машина Б. Кониковской в качестве модели использует вычислимые функции действительных переменных, которые названы т - вычислимыми, (□) - вычислимыми функциями.

В связи со сказанным, для аппроксимации выбираем аналоговую машину Б. Кониковской, которая вычисляет функции от действительных переменных (ВФДП).

В качестве машины Тьюринга (МТ) можно взять описание в виде функциональной схемы, предложенной в работах [4,5,6].

Рассмотрим следующее отображение обобщенного сдвига (ОБ):

Ф: а ^7Р^а'а(а © G (а)) ,

здесь Г - это отображение из а в целые числа (-1; +1); О - отображение из а в конечные последовательности.

Обозначение читается так: сначала заменяем конечное число ячеек в а на последовательность О(а). Затем сдвигаем последовательность налево или направо на количество Г(а) и 7: а- ^ а.+1 .

Далее требуем, чтобы Г и О зависели от конечного числа клеток в а.

Будем называть эту область доменом зависимости (DoD). Для простоты примеры выбираем с маленькими DoD, например три ячейки, расположенные вокруг точки нуля. Если DoD не слишком малое, насколько возможно, то процесс выходит из под контроля.

Рассмотрим следующий обобщенный сдвиг, который назвали Ф:

Таблица 1

а-i а0 а1. Буквенное обозначение F G

0. 0 0 G -1 0. 1 1

0. 0 1 E + 1 1. 0 1

0. 1 0 A + 1 1. 1 1

0. 1 1 C -1 0. 0 0

1. 0 0 H + 1 0. 0 1

1. 0 1 F -1 0. 1 0

1. 1 0 B + 1 0. 1 1

1. 1 1 D -1 0. 0 1

Для того, чтобы проиллюстрировать динамику, покажем, что последовательность (0) 1. 1 0 (0) = ... 0 0 0

1. 1 0 0 0 ... является фиксированной. Значение БоБ равно 1. 1 0. Поэтому по таблице видно, что БоБ изменяется на О(а) = 0. 1 1 и затем сдвинут влево, так как Г = +1. В результате приходим в исходную после-

довательность а = 1. 1 0.

Каждую точку (х, у) в единичном квадрате свяжем с бинарными цифрами его координат х и у с правой и левой половинками ленты машины Тьюринга. Если лента это ... а_2, а_2, ао, ах, а2, ..., то х = 0, а_1, а-2, ... и у = 0, ао, ах, а2,.. Тогда сдвигание головки налево эквивалентно делению наполовину х, удвоенному у и перемещения самой значимой цифры ао из у в х.

Это обыкновенное преобразование Бейкера в единичном квадрате, хорошо известное в эргодической теории и показано на рис. 1.

В

А

А

В

Рис. 1 .Отображение Бейкера (Backers) эквивалентно сдвигу ленты МТ влево: у = 0. ао ai а2 ... получаем

0. ai а2 ..., и х = 0. a-i а-2 ... получаем 0. ао a-i а-2 ...

Можно записать на ленте путем добавления констант к x и у и представить внутреннее состояние МТ либо

при помощи конечного числа отдельных квадратов в плоскости, либо путем поглощения состояния МТ в ленту

и прочитывания нескольких участков одновременно. По другому способу любая МТ может быть превращена в кусочно-линейное преобразование на плоскости с конечным числом прямоугольных компонент, каждая из которых - родственная трансформация [4,5,6].

Трансформацию Бейкера запишем:

F(x,y) = (2xmodl//^ + (y2)e(x-y2fj ,

удваивается координата x и уменьшается наполовину координата у и перемещается самая значимая цифра x к у.

Если i - ый прямоугольник равен ^ , x^ у 5 У2 J , то можно записать:

п

F{x,y) = ^ ■] (*)^. j О,) • Ft (х,у) ,

рде e[a,b](x) = e(x~a)e(b-x) и Fi(x,y) = (aix + bi,ciy+di) .

Пользуясь таблицей в тексте и приведенными формулами можно показать, что обобщенный сдвиг эквивалентен кусочно-линейному отображению плоскости, в которой сдвиг влево и вправо относится к растяжению в направлениях x и у, соответственно. Этот пример изображен на рис. 2.

(0) 1. 1 (0)

0. 1 0 1. 1 0

А В

0. 1 1 1. 1 1

С Б

0. 0 1 1. 0 1

Е Г

0. 0 0 1. 0 0

С Н

Н 'я А в'

• г

С | •

.а

С'

(1) 0. 1 (0)

Рис. 2. Отображение на плоскости эквивалентно обобщенному сдвигу, пример которого дан в таблице 1

На рис. 2 показаны две фиксированные точки. Отображение построено следующим образом: рассматриваем

блок А, где DoD - это 0. 1 0. Функция О(а) говорит нам о замене его на 1. 1 1. Каждая замененная ячейка соответствует отражению и мы заканчиваем вверх ногами в Б. Затем, так как Г = +1, используем подковообразное отображение один раз, для сдвига влево ( если Г = -1 используем инверсию) и оказываемся в показанном образе А’.

Вместо сдвига всей последовательности мы сдвигаем точку в десятичной дроби, оставляя большую часть последовательности неизменной. Таким образом, область вне пределов DoD является стационарной. Фиксированная точка, обсужденная выше, двигается вправо каждый шаг, так как последовательность вокруг нее сдвинута влево.

Спектр периодических точек является очень нерегулярным и показан в таблице 2.

Таблице 2

X Т Бт

(0) 1. 1 (0) 1 (фикс.) + 1

(1). 01 (0) 1 (фикс.) -1

(0) 10. 101 (0) 7 -1

(0) 1 0. 100 (1) 7 -1

(10) 0. 1000 (0) 16 2

(10п) 0. 10п+2(10п) 15 + п п+1 (для п>1)

(1)

Здесь Т - период, Sт - общее количество сдвигов влево или вправо за время курса (направления) орбиты.

Когда мы моделируем эквивалентное отображение плоскости, показанные на рис. 2, орбиты появляются для заполнения всей площади. Тогда этот определенный пример имеет свойство быть эргодическим. Однако дивергенция (расхождение) близких начальных значений идет медленнее, чем экспоненциальная. Это соответствует нерегулярному движению БоБ влево или вправо, как показано в моделировании (рисунок моделирования) не изображен в статье. Перемещения соответствуют удвоению одного направления или другого.

Расстояние между ближайшими точками растет как:

а, * 2х,

г

где Б' = 2 * (Ф (-)) - общее число сдвигов после t числа шагов.

I=0

Так как St растет медленнее, чем линейно с t, отображение не является преувеличенным и дивергенция (расхождение) является почти экспоненциальной. Возможны примеры, где St растет логарифмически с t, а d растет как степенной закон. Чтобы понять подобные отображения необходимо соединить их с машинами Тьюринга.

Попытаемся использовать сдвиг для определения непрерывной машины Б. Кониковской. Будем использовать для машины Б. Кониковской понятие динамической системы и вычислимые функции действительных переменных [3].

Под простой непрерывной машиной памяти длиной т будем понимать каждый оператор М е А , такой что:

(г > 0) л (у/й е БМ) (М (/о )| [0 ^) V (г = 0) л (Ух е БМ)((М (х))(0) = х)

(У/еКМ)(Уа>0)(/ еЯМ) (2)

где Df - область определения функции f; Rf - область значений функции f; /\л - ограничение f на

А е Бу ; ВА - множество всех общих функций: /: А ^ В ; 0 - пустое множество; N - множество натуральных

целых; R - множество всех действительных (реальных) чисел; ЕЙ - множество вычислений машины М ; каждый элемент этого множества называется вычислением М.

Пусть X будет произвольное множество и Х=Е. Тогда:

3 = х[0-"),

А - множество всех частичных функций:

А: 3г^3

и для каждого г> 0 3= Х[0,г) .

А - множество всех частичных функций:

А: 3г^3

Элементы А , где г> 0 , называются операторами.

Операция сдвиг (*) определяется следующим образом:

если / : [а, а + г)^ X и а > 0 , г> 0 , тогда / е3г и / (/) = / (а + /) для 0 < / <г;

если f : [а, ^ X , где а > 0 , тогда f єЗ и f (t) = f (а + t ) для t > 0 .

Ч * / \ *

ВвеДем обозначения f |[а,а+,) или Да+г вместо (f| [a,a+,)j И f| [а,») ИЛИ fa вместо (f| [а,»)) •

Основным характерным свойством аналоговых вычислений есть однозначное продолжение функций.

Первое условие определения простой машины означает начальную задачу или задачу Коши (Initial Value

Problem (IVP), то есть M назначает каждой функции fo є DM , определенной на [0,г)одно ее продолжение на [0,») (рис. 3).

Рис. 3. Условие 1 определения простой машины

Второе условие определения простой машины указывает на то, что если f есть вычисление М, то для каждого а > 0 функция fa, полученная из f сдвиганием ее влево на а, есть также вычисление М (рис. 4).

Рис. 4. Условие 2 определения простой машины

Если М является простой непрерывной машиной Б. Кониковской, тогда для каждой / еКМ и каждого а > 0 , /а,а+г е БМ и М (/аа+г) = /а (рис. 5).

Рис. 5.Свойство простой непрерывной машины «looks to the future»

На последнем рисунке показано, что простая непрерывная машина может стартовать из произвольного сег-

мента fa а+т вычисления f, а не только из начального сегмента fт •

Можно также доказать, что значения каждого вычисления f машины М на произвольном интервале формы [х,, где x > Т , есть однозначно определены через значения f на интервале [х — Т, х) (рис. 6). Отметим,

что отношение между fx и fx-tx не зависит от X, и f =(M (fx—т,т))|*т,») •

Грубо говоря, это означает, что метод вычисления f на основе fx-TX независим от х.

Рис. 6. Метод вычисления f(x) на базе fx-т,x

Если М простая непрерывная машина, /,£ е КМ , а, Ь > 0 и /аа+г= §ЬЬ+г , то / = .

Это означает, что два вычисления /,£ машины М на интервале [а,а + г) и [Ь,Ь + г) соответственно равны, тогда так же значения этих вычислений на интервале [а, го) и [Ь, го) соответственно равны (рис. 7).

Рис. 7. Свойство равенства значений двух вычислений f,g машины М на интервалах [а,а + т) и [Ь,Ь+г) Определение 1. Функция /е3 будет называться т - вычислимой, если существует простая непрерывная машина М, такая, что f есть вычисление М, то есть / е КМ .

Функция / е3 есть т - вычислимая, если и только если удовлетворяет следующему условию:

(Уа,Ь > 0)((/„= ЛМг,/ = /ь)) (3)

Это условие эквивалентно:

(У0 < а < Ь)((/а а+г = /ьМг) ^ (Ух > а)(/ (х) = /(Ь - а + х) ) ) (4 )

Рис. 8. Представление т - вычислимой функции f(x) на интервале [0;~) в виде периодической с периодом (b-a)

Базируясь на условиях (3), (4) можно доказать, что следующие функции есть т - вычислимые на [0, “) ;

xn, ex, ln (x + с), tfx, sin x, cos x, sinh x, cosh x, arctg x , где n e N и с > 0 .

Множество FС 5 называется т - вычислимым если и только если существует простая непрерывная машина

М, такая что есть множество М, то есть F = RM .

Можно доказать, что в случае X=R следующие множества есть т - вычислимые для каждого Т> 0 множество всех алгебраических полиномов в форме

a0 + axx +... + anxn ,

где n e N и a0,a,...,an e R ;

множество всех тригонометрических полиномов в форме

n

a +^(a cosix+ь sin/x),

/=1

где n e N , и a0,...,a,b,...,b e R ;

множество всех рациональных функций в форме — , где u, w есть алгебраические полиномы и w(x) Ф 0 для

х > 0 ;

множество всех целых функций в форме

го

^п

апх ,

п=0

где а е Я для п = 0, 1, 2, ...

Рассмотрим произвольное нормированное пространство Т с3 и обозначим через || • || норму на Т [3].

Пусть *,3 с Т . Запишем:

Г есть г - содержимое О, в символах * с 3 ,если и только если для каждого / е * существует g е 3 та-

5

кое, что ||/-gУ<5 ;

Г есть г - равное О, в символах *=3 , если и только если * с 3 и 3=* ;

5 5 5

Г - есть приближенно содержащееся в О в символах *с3 , если только если * с 3 для каждого положи-

5

тельного г;

F если приближенно равное G в символах F = G , если и только если FсG и G СF .

S

Пусть F с T назовем приближенное т - вычислимое в нормированном пространстве Т, если и только если существует простая непрерывная машина М, такая, что F = RM .

Функция f gT будет называться приближенно т - вычислимой в нормированном пространстве Т, если и только если существует простая непрерывная машина М, такая что f g RM .

т - аппроксимируемые реальные функции для T=R будут такие, если T будет нормированным простран-

ством с нормой || • || .

Функция f gT будет называться т - аппроксимируемой в Т если и только если существует последовательность f,f,... т - вычислений в Т, которые сходятся к f.

Для любого а> 0 , пусть C(а) будет векторное пространство содержащее все функции в 3, которые есть непрерывные на [0,а] и равны 0 на [а,го) . Введем на C(а) норму:

|| f ||= sup f (x) .

0< x<a

Пусть а > 0 и любое т> 0 , каждая функция в C(а) есть т - аппроксимируемая в C(а) .

Так как f есть непрерывная на [0,а] . то для каждого n G N , существует полином 3 , такой что

f (x) -3, (x) |< ^ для всех 0 < x < а .

Пусть

13п( x), если 3п есть не константа,

Q 1 Q

3п н-x, если 3 есть константа.

2па

для x g R и n g N . Тогда w есть многочлен, w есть не константа и

l»n (.<)-з (x> |< 2па1 < 2n •

Отсюда |f (x) - wn (x)| < — для 0 < x < а и n G N . Так как f|(o,i) есть Лебег - интегрируемое на (а а) , что существуют полиномы 3 , такие что

ilf-3<S •

0 4

Пусть ж определим как следующее:

|3( х), если 3 есть не константа,

Е

3 +-т- х, если 3 есть константа.

2 А2

для хеЯ. Тогда ж многочлен, ж есть не константа и А А

[|3- w\ <[—- Ых = — .

Л 1 J 2 А2 4

0 0 2А 4

А

Отсюда имеем ^<— .

0 2

Пусть gLoл] = ^|[ол] и g^ +да) = 0 . д - есть т - вычисление. Более того,

!,+»

+»

и—d = Jif—и=Jif—w+|и <-+-=е •

0 0 А

В качестве примера рассмотрим последовательность, образованную при случайном искажении циклического кода. Пусть задан циклический код БЧХ длины 15 с кодовым расстоянием, равным 8, то есть код может обнаруживать ошибки кратности 7 и исправлять ошибки кратности 6.

Порождающий многочлен такого кода определяется как наименьшее общее кратное неприводимых многочленов, построенных над полем Галуа 0¥(2т), где т - число информационных символов в кодовом слове.

Из соотношения

п = 2т-1,

находим число информационных элементов т=4.

По теореме кодов БЧХ, находим неприводимые многочлены над полем с числом членов равным 2 и порождающий, он же проверочный многочлен степени 10 :

д(х) = х10 + х9 + х8 + х6 + х4 + х3 +х0

Информационные члены кодового слова имеют степени 11—14.

Кодовые слова, отвечающие условию делимости на проверочный многочлен, образуют алфавит кодовых комбинаций, представляющих собой, за исключением нулевого слова, циклический сдвиг одной последовательности. Они представлены в таблице 3.

№ пп. Инф. симв. Проверочные симв. Примечания

0 000000000000000 Нулевое слово.

1 000111101011001 1 поз. цикл. сдвига

2 001000111101011 13 поз.

3 001111010110010 2 поз.

4 010001111010110 14 поз.

5 010110010001111 8 поз.

6 011001000111101 10 поз.

7 011110101100100 3 поз.

8 100011110101100 15 поз.

9 100100011110101 12 поз.

10 101011001000111 7 поз.

11 101100100011110 9 поз.

12 110010001111010 11 поз.

13 110101100100011 6 поз.

14 111010110010001 5 поз.

15 111101011001000 4 поз.

При обычном алгоритме декодирования каждая принятая кодовая комбинация делится на проверочный многочлен. Деление без остатка указывает на прием без ошибок, при этом информационные символы отделяются и поступают на обычный декодер. Появление остатка образует многочлен ошибок, который вычитается из принятого и тем исправляет ошибки, после чего информационные символы декодируются. Таким образом, процесс декодирования требует значительного числа тактов ЦВМ.

Подход к обработке последовательностей, изложенный выше, позволяет выполнить параллельное поэлементное сравнение принятой кодовой комбинации с таблицей разрешенных в данной системе кодов, идентифицировать принятую комбинацию по минимальному кодовому расстоянию и вычислить многочлен ошибок с меньшими затратами машинного времени. В этом плане работа представляет практический интерес.

Непредсказуемость последовательности кодовых слов определяется, с одной стороны, действием ошибок в дискретном канале связи, которые исправляются при декодировании, с другой стороны - статистическими свойствами источника, которые определяются либо матрицей переходов в случае дискретного источника, либо законом распределения аналогового сигнала. Связь между этими разновидностями сигналов определяется алгоритмом кодера источника информации.

Таким образом, общая структура дискретного канала связи может быть представлена как частный случай аппроксимации аналоговой машины машиной Тьюринга.

ЛИТЕРАТУРА

1. O. Burnez, M. L. Campagnolo, D. S. Graca, E. Hainry. The General Purpose Analog Computer and Computable Analysis two equivalent paradigms of analog computation. In J. - Y. Cai, S. B. Cooper and A. Li, editors, theory and Applications of Models of Computation TAMC'06, LNCS 3959, pages 631-643. Springer-Vorlag, 2006.

2 . O. Burnez, M. L. Campagnolo, D. S. Graca, E. Hainry. Polynomial differential equations compute

all real computable functions. J. Complexity, 25p., 2007.

3 . B. Konikowska. Approximation Properties of Continuous Machines, Bull. Acad. Polon. Sci., Ser.

Sci. Math . Astronom. Phys., vol. 20, №. 26, 1972, p. 879-886.

4 . C. Moore. Unpredictability and indecidability in dynamical systems. Phys. Rev. Lett. 1990. - V.

64. - No. 20. - p. 2354 - 2357.

5 . C. Moore. Recursion Theory on the Reals and Continuous-time computation. Theoret. Comput. Sci.

162: 23-44, 1996.

6 . C. Moore, Finite-Dimensional Analog Computers: Flows, Maps, and Recurrent Neural Networks, inv.

C. Calude , J. Casti, M. Dinneen (Eds.), First International Conference in Unconventional Models of Com-

putation - UMC'98, Springer, 1998, pp. 59-71.

7. Р. Галлагер. Теория информации и надёжная связь. - М.: Мир. - 1976, 690с.