Теоретическая оценка влияния растворяющихся примесей в сжиженных газах на интенсивность перемешивания при их хранении в криогенных резервуарах Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 536.25 ГРНТИ 29.03.310

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ОЦЕНКА ВЛИЯНИЯ РАСТВОРЯЮЩИХСЯ ПРИМЕСЕЙ В СЖИЖЕННЫХ ГАЗАХ НА ИНТЕНСИВНОСТЬ ПЕРЕМЕШИВАНИЯ ПРИ ИХ ХРАНЕНИИ В КРИОГЕННЫХ РЕЗЕРВУАРАХ

В.И. РЯЖСКИХ, доктор технических наук, профессор

ВУНЦВВС «ВВА имени профессора Н.Е. Жуковского и Ю.А. Гагарина» (г. Воронеж) В.А. СУМИН, кандидат физико-математических наук, доцент ВУНЦ ВВС «ВВА имени профессора Н.Е. Жуковского и Ю.А. Гагарина» (г. Воронеж)

Представлен теоретический анализ гидротермической обстановки в криогенном резервуаре при хранении сжиженных газов в условиях растворяющегося осадка высококипящих примесей на смоченной поверхности с учетом теплового потока через стенки из-за неидеальности тепловой изоляции. На основе физической линеаризации уравнений Обербека-Буссинеска сформулирована несопряженная математическая модель относительно полей скоростей, температур и концентраций.

Получено аналитическое решение для имитационной геометрии (квадратная коверна). Результаты вычислительных эксперементов подтвердили явление взаимного подавления тепловой и концентрационной естественной конвекции.

Ключевые слова: криогенные жидкости; граничные условия второго рода; функция тока; уравнения Стокса.

THE DISSOLVING IMPURITIES INFLUENCE THEORETICAL ESTIMATION IN LIQUID GASES ON THE INTENSITY OF MIXING AT THEIR STORAGE IN CRYOGENIC TANKS.

V.I. RYAZHSKIKH, Doctor of technical sciences, Professor

MESC AF "N.E. Zhukovsky and Y.A. Gagarin Air Force Academy" (Voronezh)

У.А. SUMIN, Candidate of physico-mathematical sciences, Assistant Professor

MESC AF "N.E. Zhukovsky and Y.A. Gagarin Air Force Academy" (Voronezh)

Theoretical analysis of the hydrothermal situation in a cryogenic tank during the storage of liquefied gases under the conditions of a soluble sediment of high-boiling impurities on a wetted surface is considered taking into account the heat flow through the walls due to the imperfection of thermal insulation. On the basis of the physical linearization of the Oberbeck-Boussinesq equations, a non-conjugated mathematical model is formulated with respect to the fields of velocities, temperatures and concentrations.

An analytical solution for imitation geometry (square rug) is obtained. The results of computational experiments confirmed the phenomenon of mutual suppression of thermal and concentration natural convection.

Keywords: cryogenic fluid, second kind boundary conditions, stream function, Stokes equations.

В настоящее время в авиации, в основном, используются углеводородные топлива [1]. Развитие авиационной техники идет по пути повышения лётно-технических

данных, что связано с переходом на альтернативные виды топлива, среди которых наиболее перспективным является жидкий водород и жидкий кислород [2]. Применение криогенного топлива сопряжено с решением ряда проблем, главная из которых обусловлена необходимостью его хранения при криогенных температурах [3].

В связи с этим рассматривается задача хранения криогенных жидкостей в специальных резервуарах, имитируемых квадратной каверной.

Будем считать криогенную жидкость ньютоновской несжимаемой с растворённым в ней примесью (азот, кислород в жидком водороде, углеводородные примеси в жидком кислороде). Для выяснения закономерностей явлений переноса примесей в криогенных резервуарах примем геометрию в виде квадратной каверны. Пусть на "смоченной" поверхности действует постоянный источник тепла q,

обусловленный неидеальностью теплоизоляции. В начальный момент времени т = 0 температура и концентрация примеси в объёме жидкости однородны и составляют t о и Со соответственно. При т > 0 температура и концентрация на стенке мгновенно

изменяются до значений

Г,., С„

и поддерживаются постоянными в ходе всего процесса.

Из-за температурного и концентрационного градиентов вблизи стенки возникает течение раствора, которое исчезает с наступлением теплового и концентрационного равновесия. За начало координат выбирается левая угловая точка донной стенки и ось ОХ направлена по донной стенке, а ось OY перпендикулярно ей. Режим течения считается ламинарным. Оценка начальной стадии конвективного перемешивания жидкой среды производится с помощью уравнений Стокса и переноса теплоты [4] в

предположении, что

Ы «1, М «1 [5]:

р= -Ур + ^Аv - рр - Го)§-; от

div V = 0 ;

Ог

— = аАГ; От

Ос

от

= Б Ас;

(1) (2)

(3)

(4)

где V - оператор Гамильтона, А - оператор Лапласа, V, р , Г - вектор скорости, давление, температура; р, V, а, р - плотность, кинематическая вязкость, температурапроводности и коэффициенты объемного расширения среды; Т - текущее

время; g - вектор ускорения силы тяжести.

В компонентной форме записи система (1 ) - (4) представляется в следующем безразмерном виде для функции тока, температуры и концентрации:

О Г О2Ф ОФ - +

Ов

ОХ2 ОУг

ОС

Ов

О 4Ф

ОХ4

■ + 2

О4Ф

ОХ2 ОУ2

+ ■

О4Ф

ОУ 4 ОХ

ОТ

Ов 1

Рг

О 2Т

О 2ТЛ

■ + ■

ОХг ОУ2

ОТ „ ОС

+ я?

ОХ

-I °-С + д-C-|-Л* ехр (Лв); & ОХ2 ОУ2 4 у

Ф(Х, У,0) = 0 ;

(5)

(6)

(7)

(8)

1

Ф(X, Y ,0)=Ф(1, Y, в)=Ф(X ,0, в)=Ф(X ,1, в)=0;

дф(р, Y,в)_ дФ(1, Y,в)_ дФ(X,0,0) _ дФ(X,1,0) _ 0.

дУ

дУ дY

Т (X, 7,0)= 0;

дY

дТ (0,Г, в) дТ (1,Г, в) дТ (X,0, в)

-=-=--= 1.

дX дЖ дГ

дТ(X,1,0) = 0 .

дГ '

С(X, Г,0) = 0 ; С(0,Г ,в) = С(1,Г ,в) = Ф ,0,в) = 0;

дС (X ,1,в)

дГ

= 0;

где в=■

X =

х

И

Г = У; V =У

к

к

т = - • V =дФ

V ' х дГ

V = -Ф

у X

(9) (10)

(11) (12)

(13)

(14)

(15)

(16)

V

Рг = — - число а

Прандтля; Sc = — - число Шмидта; V, а, О - коэффициенты кинематической

вязкости, температуропроводности и диффузии; Огт = "Ь ^с—— -

V

тепловое

модифицированное число Грасгофа; ОгС

Жк и

V

- концентрационное число Грасгофа;

Я =

вгс

Огт

Р,у,Я - коэффициенты температурного и обемного расширения и

теплопроводности жидкого водорода; Ь - определяющий характерный линейный размер поверхности теплообмена; Ц - плотность теплового потока через смоченную поверхность; § - ускорение свободного падения; к - характерный размер каверны;

Т = Я—• 1,10 - локальная и начальная температура криогенной жидкости, Л*, Л -цк

константы, характеризующие кинетику растворения осадка.

Несопряженный характер системы позволяет отдельно использовать решение тепловой и концентрационной задач при отыскании безразмерной функции тока Ф из

уравнения (5) с граничными условиями (8) - (10) при известных дТ и ^^ путем

дX дX

двукратного применения конечного интегрального синус преобразования по геометрическим координатам для фиксированного в.

Таким образом, задачу можно разбить на три части: 1) тепловая, 2) концетрационная, 3) гидродинамическая.

Рассмотрим первую часть - тепловую, то есть уравнения (6), (11) - (13). С помощью замены

3в 1

Т(X, Г, в) = Г(X, Г,в) + — + X 2 - X + - (Г -1)2

Рг 2

система (6), (11) - (13) запишется следующим образом:

дГ

1

(

дв Рг

д2 Г д2 Г

2тЛ

■ +-

дX 2 дГ2

(17)

(18)

т

Г (Х ,У ,0) =

(х2 - Х).1(У)+ - (У-1)2-1(Х)

2

дГ(0, У,в) _ дГ(1, У,в) _ 0.

(19)

(20)

= 0,

(21)

дХ дХ

дГ (X ,0,в) _ дГ(X,1, в) _ дУ ~ дУ

где функции Хэвисайда 1(Х), 1(У) могут быть представлены разложением в ряды Фурье по синусам в следующем виде

1(Х ) = 2^

I=1

да

1(У ) =

—1 ^ /I -1) / _

—- (со8 ек -1)

sin (/1Х); ^(екУ) ;

/1 = т ,ек =лк.

Применяя последовательно косинус преобразование Фурье по X [6], получим решение задачи

1 30

Т(Х,У,в) = X2 - X + -(У -1)2 + — + ^(Х, У, в).

-> Pг

2

где

00 00 ^(X, У, в) = В00 exp (С000) + 2^ Вт exp (С0тв)^(уУ) +2^ Вм exp (^в)^(ЛпХ) +

т=1 п=1

да да

+ 4ЁЁВПт exp(^в)^(ЛпХ)cos(умУ) (22)

да да , Спт = -ЕЕ(К + уМ )

п=1 т=1

п=1 т=1

да

Впт = Е(Е( 2^ - 1УХ + /I - 1№3)Ш

да да да

(4)

п

п=1 \т=1 \ к=1

Ш (1)= COS Кп + 1 Ш (2) = 1 - COS ^ COS Ут Ш (3) = Ш(4^ _ COS / COS К - 1

п -.2 , ''кт 2 2 , '' т 2 , ''1п -2 2

Кп ^ -Ут Ут К

при этом

Ш(1) И

cos К +1

К

п > 0

1

Ш (2) = ГГ кт

—, п = 0 6

1 - ^ £к COS ут

2 2 е2 -Ут

, т ф к

0, т = к

ШР =

, т > 0

т = 0

Ш (4) =

cos / cos К -1

¡¡2

0, п = 1

,п ф I

Рассмотрим вторую часть - концентрационную. Это уравнения (7), (14) - (16). Применения синус-преобразования Фурье по Х , получим решение в следующем

виде:

к=1

1=1

2

2

С(X, Г ,0) = 2 АБс 2

с^ X -1

1

п=1 | Л ■ Бс + А2

сьУлТ8С7л[(1-Г)[

ехр (Л0)- ехр

(л ■ Бс +Л2п )&у/А^с+аП

г ехр (А0)+

1

2

0

V Бс ,

Г V \

А ■ Бс + А

ехр

п

0

Бс

у

- 21

( Р1 +а^

Бс

(XX).

(23)

у)

(1 - Г)] ехр

Рассмотрим третью часть - гидродинамическую. Это уравнения (7), (14) - (16). Вновь применяя конечное интегральное синус-преобразование по X и по Г получим решение задачи:

где

да да 1

Ф(X, Г ,0) = -2 {£ ^ £ • Рк - <2: ]■ М £ щ ,0)-щ ■ ^ ■ N (£ щ ,0)-

п=1 т=1 Ъг + Л к

- ехр [-(£ +л2к Ф0) ехр [(£ + л2 з1п (^т ЩГ). (24)

0 )

МТ 0)= 1 - ехр [~(ЪЪ + л2 00 - ехр (-Лк0)-ехр [-(£/ + л200

^ ^ Ъг2 + лЛ ЪЪ

^ Щ 0)= 1 -е*р[-(ЪЪ +Л200- ехр(-Ъг20)-ехр[-(Ъ/ + Лк200

^ ^ Ъг2 + ЛЩ л1

1Ф0 ехр [£ +щ2 010 = ОгТ1 ■ ^^^ ■{ехр [£ +Щ 0]-1}

+ 22 вп0 ■тт+Щг-с-

п=1 Ьг +Чк +сп0

. £г Лк

А • {ехр [(^/ + ^ )?] - 1} Т S1П Ап с0^1 -Ап Ап S1П Т . с0Лк - 1

Ап - Т Лк

c0s Л к -1

- 4!Х в

А

Щк п=1 т=1 Ъг + Щк +с

s1п хп C0s £г - хп C0s хп s1п т Л к (1 - C0s Л к Ит )

■{ехр [Т + лЛ + Ст )0]-1}

X -Ъг2 1 - с0Л

2 2 Л к -Ит

> +

2Л* ■ Яс ■ ОгТ ^ (cos Ап -1)■

Л^Л^С-Х) +(Л ■ Яс + X + л2 Ил ■ Яс + А2Я)' с^ Л ■ Яс + А]

Л к с^Лк - C0s р

Лк

cos л к - сЬ V А ■ Яс + А

^ \ А {ехр(0ехр[-& +Л2ДО-2!

т=1 РП ■ S1П Рт РП +АА + А ■ Яс

Яс

Яс(Т +лЛ2 )-рт-А\

■1ехр

рт+ап

Яс

0

ехр [-Т +л2 .

Коэффициенты Рк, 2к и Р1 в выражении (43) находятся из системы уравнений, которая получается после удовлетворения (43) граничным условиям (9) - (10):

п=1

ю е

& cos^ • Рк -0К]• ,в)-щ • р • М(6,Щ,в)-

1=1 6+%2

0

- exp [-(6 +п10].} Фв)exp +ч10И =

£

6COS 6

I=1 6

6 ^• Рк -оК]• м(б,т,в)-т • Р • ,в)-

0

- exp [-(б )0].} Ф0У exp [(# 0Ы =

(25)

да ^

Ет^Ч"6 cos^ • Рк -ак]• М(§„Щ,в)-ъ • Р • ,0)-

- exp [-(б2 00 в Ф0 exp [(б2 вМ = 0 0 ] В результате получим графические зависимости функции тока Ф от координат X и У .

а) б)

ф

0.000 [0-1 о.ооооя-

|в(Ю0б-0.000040.000020-

у А

ф

Н г I 1 Г-1-1-1-1

1 0.8 0.6 0.4 02 О

0.000100.000080.000060.000040.00002-<ь1

-0.0(Ю02-

| ' 1 I—'—I—'—I—'—|

I 0.8 0.6 0.4 02 0

Рисунок 1 - Динамика развития свободноконвективного течения в каверне: при Рг = 3.5, Бс = 3.1, Огт = 1, вт = 4,84 10 5 для различных в : а) - 0,02; б) - 0,05

Рисунок 2 - Функция тока в каверне при в = 0,01, Огт = 1, Огс = 4,84 • 10 5 и различных Бс и Рг: а) - Рг = 1.01, Бс = 21; б) - Рг = 3.01, Бс = 21; в) - Рг = 3.5, Бс = 31

0

0

На рисунке 1 показана динамика развития, соответствующая известным физическим представлениям о свободноконвективном течении [7]. На рисунке 2 получены режимные характеристики процесса, при которых наблюдается взаимное подавление тепловой и концентрационной конвекции, что подтверждает гипотезу существования ситуации отсутствия течения жидкости в случае растворения осадка примесей на «смоченных» поверхностях резервуара в условиях прогрева жидкости через стенки.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Рыбин Н.П. Авиационные смазочные материалы и спецжидкости. - M.: ЫИИГА, 1985.

2. Яновский Л.С., Дубовкин Н.Ф., Галимов ФМ. и др. Горюче- смазочные материалы для авиационных двигателей. - Казань: Казанский государственный технический университет им. А.Н.Туполева, 2002.

3. Архаров A.M., Кунис И.Д. Криогенные заправочные системы стартовых ракетно-косми- ческих комплексов. - M.: Изд-во MOy им. Н.Э. Баумана, 2006. - 252 с.

4. Хаппель Дж., Бреннер Г. Гидродинамика при малых числах Рейнольдса. - M.: Ыир, 1976, 630с.

5. Богер А.А., Рябов C.B., Ряжских В.И., Слюсарев M.H Расчет кондуктивно -ламинарного режима термо - конвекции ньютоновской среды в прямоугольной каверне с вертикальными изотермическими стенками // Изв. РАН. Mеханика жидкости и газа, 2010. №3. С.17 - 21.

6. Снеддон И. Преобразования Фурье. - M.: Изд-во Ин. лит-ры, 1955, 655с.

7. Гебхарт Б., Джалурия Й., Mахаджан Р., Саммакия Б. Свободноконвективные течения, тепло- и массообмен. Кн.1. - M.: Изд-во M^, 1991, 678с.

REFERENCES

1. Rybin N.P. Aviatsionnye smazochnye materialy i spetszhidkosti. - M.: MIIGA,

1985.

2. YAnovskij L.S., Dubovkin N.F., Galimov F.M. i dr. Goryuche-smazochnye materialy dlya aviatsionnykh dvigatelej. Kazan': Kazanskij gosudarstvennyj tekhnicheskij universitet im. A.N.Tupoleva, 2002.

3. Arkharov А.М., Kunis I.D. Kriogennye zapravochnye sistemy startovykh raketno-kosmicheskikh kompleksov. M.: Izd-vo MGTU im. N.EH. Baumana, 2006. 252 p.

4. KHappel' Dzh., Brenner G. Gidrodinamika pri malykh chislakh Rejnol'dsa. M.: Mir, 1976, 630 p.

5. Boger А.А., Ryabov S.V., Ryazhskikh V.I., Slyusarev M.I. Raschet konduktivno-laminarnogo rezhima termo-konvektsii n'yutonovskoj sredy v pryamougol'noj kaverne s vertikal'nymi izotermicheskimi stenkami // Izv. RAN. Mekhanika zhidkosti i gaza. 2010. №3. P.17-21.

6. Sneddon I. Preobrazovaniya Fur'e. M.: Izd-vo In. lit-ry, 1955, 655 p.

7. Gebkhart B., Dzhaluriya J., Makhadzhan R., Sammakiya B. Svobodnokonvektivnye techeniya, teplo-i massoobmen. Kn.l. M.: Izd-vo Mir. 1991. 678 p.

© Ряжских В.И., Сумин В. А., 2017

g' и

Ряжских Виктор Иванович, доктор технических наук, главный научный сотрудник научно-исследовательского центра (проблем применения, обеспечения и управления авиацией Военно-воздушных сил), Военный учебно-научный центр Военно-воздушных сил «Военно-воздушная академия имени профессора Н.Е. Жуковского и Ю.А. Гагарина» (г. Воронеж), Россия, 394064, г. Воронеж, ул. Старых Большевиков, 54А, vaiu@mil.ru

Сумин Виктор Александрович, старший научный сотрудник научно-исследовательского центра (проблем применения, обеспечения и управления авиацией Военно-воздушных сил), Военный учебно-научный центр Военно-воздушных сил «Военно-воздушная академия имени профессора Н.Е. Жуковского и Ю.А. Гагарина» (г. Воронеж), Россия, 394064, г. Воронеж, ул. Старых Большевиков, 54А, vaiu@mil.ru