Научная статья на тему 'Динамика кондуктивно-ламинарного свободно конвективного движения жидкости в квадратной области'

Динамика кондуктивно-ламинарного свободно конвективного движения жидкости в квадратной области Текст научной статьи по специальности «Физика»

CC BY
127
38
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
НЕСТАЦИОНАЯ СВОБОДНАЯ КОНВЕКЦИЯ / АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ / КВАДРАТНАЯ ОБЛАСТЬ / NON-STAIONARY FREE CONVECTION / ANALYTICAL SOLUTION / CQUARE REDION

Аннотация научной статьи по физике, автор научной работы — Слюсарев М. И., Чертов Е. Д., Ряжских В. И., Стогней В. Г., Богер А. А.

Использованием конечного интегрального преобразования Фурье и одностороннего интегрального преобразования Лапласа получено аналитическое решение линеаризованной системы уравнений Обербека-Буссинеска в переменных Гельмгольца для квадратной области с разными значениями постоянных температур на вертикальных стенках и отсутствием теплового потока через верхнее и нижнее основания

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Похожие темы научных работ по физике , автор научной работы — Слюсарев М. И., Чертов Е. Д., Ряжских В. И., Стогней В. Г., Богер А. А.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

ConductivE laminar Free convection LIQUID FLOW DYNAMICS in square REGION

Using the finite integral Fourier transform and one-sided integral Laplace transform, an analytical solution of the linearized Oberbeck-Boussinesq equations in Helmholtz's variables for square region with different values of constant temperatures vertical walls and no heat flow through the upper and lower base is received

Текст научной работы на тему «Динамика кондуктивно-ламинарного свободно конвективного движения жидкости в квадратной области»

УДК 536.25

ДИНАМИКА КОНДУКТИВНО-ЛАМИНАРНОГО СВОБОДНО КОНВЕКТИВНОГО ДВИЖЕНИЯ ЖИДКОСТИ В КВАДРАТНОЙ ОБЛАСТИ

М.И. Слюсарев, Е.Д. Чертов, В.И. Ряжских, В.Г. Стогней, А.А. Богер

Использованием конечного интегрального преобразования Фурье и одностороннего интегрального преобразования Лапласа получено аналитическое решение линеаризованной системы уравнений Обербека-Буссинеска в переменных Гельмгольца для квадратной области с разными значениями постоянных температур на вертикальных стенках и отсутствием теплового потока через верхнее и нижнее основания

Ключевые слова: нестационая свободная конвекция, аналитическое решение, квадратная область

Введение. Свободная конвекция является одним из основных механизмов передачи теплоты, широко встречается в практических приложениях (ядерная энергетика, теплофизика, химическая и пищевая технологии и др.) [1]. Тем не менее, явления переноса во внутренних задачах свободной конвекции остаются не достаточно изученными и не в полной мере формализованными [2]. Это касается, прежде всего, идентификации режимов течения при свободной конвекции. Обычно проводится аналогия с вынужденной конвекцией, и выделяются ламинарное и турбулентное течения, а вместо критерия Рейнольдса идентификатором выступает критерий Грасгофа [3]. Известно [4], что математической основой описания конвекции служит уравнение На-вье-Стокса, которое справедливо лишь для описания ламинарных течений, а путём введения понятия турбулентной вязкости оно было приспособлено в форме уравнений Рейнольдса и для анализа турбулентных течений. В случае очень медленного, так называемого "ползущего" течения, используется линеаризация исходных уравнений, заключающаяся в не учёте конвективных слагаемых ввиду их малости по сравнению с другими компонентами [5]. Распространение такой классификации на свободноконвективные течения, описываемые уравнением Обербека-Буссинеска, базирующегося на уравнении Навье-Стокса, приводит естественным образом к выделению кондуктивно-ламинарного режима, подчёркивая в названии способ трансформации уравнения конвективного теплопереноса в уравнение теплопроводности.

Такие модельные представления позволили уже получить ряд точных решений задач о свободной конвекции у бесконечной вертикальной стенки [6], в плоском вертикальном канале [7], в прямо -угольной каверне с отношением высоты к ширине намного больше единицы [8]. В связи с этим нет

Слюсарев Михаил Иванович - ВГТА, канд. техн. наук, доцент, тел. (4732) 55-35-54

Чертов Евгений Дмитриевич - ВГТА, д-р техн. наук, профессор, тел. (4732) 55-35-54

Ряжских Виктор Иванович - ВГТА, д-р техн. наук, профессор, тел. (4732) 55-35-54

Стогней Владимир Григорьевич - ВГТУ, канд. техн. наук, профессор, тел. (4732) 55-53-54

Богер Андрей Александрович - ВГТА, канд. техн. наук, доцент, тел. (4732) 55-35-54

никаких принципиальных трудностей решения задач кондуктивно-ламинарной свободной конвекции для других геометрий, например, квадратной каверны.

Постановка задачи. Пусть имеется квадратная плоская область (рис. 1), полностью заполненная вязкой несжимаемой жидкостью, находящейся в начальный момент в состоянии покоя с температурой tc. Далее, например, температура левой стороны области скачком изменяется до температуры 4, при этом верхнее и нижнее основания теплоизолированы, т.е. тепловой поток отсутствует д=0, а темпера-

Рис. 1. Расчетная схема

тура правой стенки остаётся равной первоначельной температуре жидкости (4>4)-

В соответствии с выбранной системой координат уравнения Обербека-Буссинеска в переменных Гельмгольца примут следующий вид:

да дТ да дТ дП _ д2П + д2П + 5Т ;

50 + дУ дХ дХ дУ ~ дХ2 + дУ2 + Г дХ ’

дТ дТ дТ дТ дТ _ _1_( д2Г д2Т ^ ;

50+ дУ дХ ~дХ~дУ ~ Рг[дХ2 + дУГ) ’

п(Х,У,0) _Т(Х,У,0) _ Т(Х,У,0) _ 0 ; (4)

Т(0,У,0) _ Т(1, У,0) _ Т(Х,0,0) _ Т(Х, 1, 0) _ 0; (5)

5T(G,Y,0) _дТ(1, Y,0)

CX CX

d¥(X,G,0) d¥(X,1,0)

CY CY

CT (X,G,0) CT (X,1,0)

_ G;

_ G;

(6)

(7)

д7 д7

Т (0,7,0) = 1, Т (1,7,0) = 0, (8)

где по определению функции вихря и тока есть

_ ЗУ ди т 5Т у

0 =----------, и =-------, V =--------; и = фф;

дХ д7 д7 дХ ^

X = х/Н , 7 = у/к ; и = и/*, V = и/ * ;

Т = (t-tc)/(-tc); *=ЧН; т=N*;

вг = PgН3 (tН - tc )у2 - критерий Грасгофа; Рг = V а

- число Прандтля; т, х, у - текущее время и декартовы координаты; и , и, t - локальные компоненты скорости и температура; к - длина стороны каверны; а, V, в - коэффициенты температуропроводности, кинематической вязкости и температурного расширения жидкости; g - ускорение свободного падения.

В случае кондуктивно-ламинарного режима система (1) - (8) декомпозируется на две последовательно решаемые задачи: тепловую

дТ 1 д Т

(9)

д0 Pr CX 2 ’

Т(X,G)_ G, Т(G,0)_ 1, Т(1,0) _ G; (1G)

и гидродинамическую

д Г д2Ф д2Ф^ д4Ф

30І3Х2 CY2 J dX4 dX2dY2

I д4Ф дТ (X,0)

+~37T дХ ’

Ф(X,Y,G )_ G, Ф^^^) _ Ф(1^,0) _ _Ф(Х, ,0)_Ф( X,1,0) _G ; дФ(G,Y,0) _ дФ(1Х0) _

(11)

(12)

(13)

CX CX

дФ(ХД0) _ дФ(Х,1,0)

CY

CY

_ G.

(14)

где Ф _ Т/ Gr .

Решение. Решение тепловой задачи (9), (1G) известно [9]

2 v(-l)P sln

T (X, 0)_ 1 - X

-sin

[(1 - X )np ]>

x exp

2 2 П p , Pr

(15)

и поэтому сосредоточим основное внимание на системе (11) - (14), принимая во внимание (15).

Применив одностороннее интегральное преобразование Лапласа [10] по переменной 0 с символьным обозначением оператора 2 к (11) - (14), получим

3Ф, 3Ф,

S I S --

3X2 CY2

3 4Ф

3Y4

IZ

CX4 3X23Y2

дТ (X, 0)"

дХ

Ф- (G, Y, s )_Ф- (1, Y, s )_ _Ф- (X,G,s) _ Ф- (X,1,s)_ G ; дФL (G,Y,s) _ дФL (l,Y,s) _

дХ _ дХ _

дФL (X,G,s) _ дФL ^JX,1, s)

(16)

(17)

CY

CY

_ G.

(1В)

где 8, Фь - изображения 0 и Ф.

Конечное интегральное синус-преобразование [11] (16) - (18) по переменной Х с символьным оператором РХ имеет вид:

—sX Ф -X I S

d 2Ф— dY2

32ФL (G,Y,s)

X

d 4Ф

-_-X

32ФL (1,Y, s)

CX2

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

cos X-

IX4Ф„ -2X

dY2

dY

f-1F X Z

3T (X, 0)

CX

Фlx (М_Ф-х (1,s) _ G;

dФLX (G,s) _ dФLX (1,s)

dY

dY

_G,

(19)

(2G)

(21)

где ФLX - изображение ФL, к - характеристическое число, определяемое из уравнения sin X _ G.

Конечное интегральное синус-преобразование (19) - (21) по переменной Y с символьным оператором FY таково

-sX2Ф,^ -sp2Ф,^ _ -XE(s)(cosX - 1)i

IX4ФLXY 12X2ц2ФLXY -рiF(s)(cosц- 1)i

3T (X, 0)"

+l4фLXY I FYFXZ

CX

(22)

где ФLXY - изображение Ф1Х, ц - характеристическое число, определяемое из уравнения sin ц = 0 ;

Е (5 ) = Fy

[32 Ф L (1, Y, s ) _ F ~3 2Ф(G, Y, s )

CX2 Y CX2

F (s )_

32ФLX (1,s) _ 32ФLX (G,s)

CY CY

Из (22) следует решение в изображениях

ФLXY _{XE(s)(cosX-l) + pF(s)(cosц-l)-

+Fr F X Z

~ дТ (X, 0) 1/

CX і

(2 +i2 )2 + s (X2 + ц2)

. (23)

Для того, что бы получаемое решение удовлетворяло начальному условию (12), положим

Z

Z

1 [E[1 -exp(-a0)]; (24) F(s)]_xFі0^[1 -exp(-a0)] , (25)

X + ц

где Z 1 - обратный оператор Лапласа; Е(9), F (9)

- ограниченные функции в области решения; a -величина, подлежащая определению.

Оригинал выражения (23), имея в виду (24) и (25), есть

(2os Х2)) Е №- exp (-a9)]+

(Х2+ц2)

Ц 2 ) F (9)[! - exP (-a9)] +

(Х2 + ц2)

~dT (X, Л)]

ФXY _-

дХ

Т.к.

xexp[-(X2 +ц2)0-Л)]dЛ . ^ = -! - 2Z (-!)' cos [(1 — X )„p]!

(26)

p_I

П2p2 Л

<exp| -^тЛ

fX {cos [(! - X )V )] ,

FX [-1] = Х(C0sХ -1) , Fy [-1] = -1- (C0s Ц - 1)

x ц

то решение в изображениях будет

Ф XY =X(^C20S Х2)2) ) (9)[1 - eXP (-a9)] +

(Х2 +ц2)

+ц(ц^ F (9)[1 - eXP (-a9)]+

(Х2 +ц2)

+2Х(-1)

p _i

(cos X - і) (cos ц- і)

(X2 + ц2) Xi x

<{і - exp [-(X2 +ц2) 0]} +

X [cos X - cos (np)] (cos ц-1)

n2p2 -X2 (X2 +ц2)

-n2 p2/Pr + X2 +ц2 exp(-^Pp-) - exp[-(X2 +ц2 ЦЛ . (27)

Применяя формулу обращения синус-

преобразования [11], имеем

да да

Ф(Х,Y,0)_ 4 £ £ (x. (cosXn - і) (0)

n_I,3,5... m_I,3,5... x [1 - exp ( anm0)] + И"m (C0S И"m - Fm (0) x

x[i—exp (—*„ 0Д—(cos Xn "X^005 ц-—1) x

x{I -exp[-(x. +ц. )0]} +

Xn [C0S Xn - C0S (p)] (cos цm - 1)

+2£(-1)

p _I

П2 p2 -X n2

(x n +ц. )

-n2 pVPr +x. +ц.

exp

2 2 П p

Pr

-ехР[-{Х2+*)0]^!!п<^(Ж), (28)

(Xп + ут )

где Хп =пп ; цт =пт , а в силу одинаковой скорости убывания слагаемых в (28) из физических соображений

апт = Х П + Ут ■

Нетрудно проверить, что решение (28) удовлетворяет условиям (12) и (13). В силу несимметричности решения (28) относительно характеристических чисел лп и мп коэффициенты Ёп и Рт не равны между собой и могут быть найдены из систем уравнений, полученных подстановкой (28) в граничные условия (14):

X ([лп (сов л п - 1)Ёп (и) + мт (0в мт - 1)^т (и) -

(cos X„ - 1)(cos ц. - 1)

Xn ц.

+2£(-1)

p _i

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Iі - exp [-( +ц. )0]} +

Xn [C0S Xn - C0S (np)] (cos цm - 1) .

П2 p2 -Xn2 ц.

(x n +ц. )

-П2 p2/Pr+Xn +ц

-exp [-(X n +ц. )0]})

exp

2 2 П p

Pr

(x n+ц m)

_ G.

(29)

m

и

где m = 1,3,5,...;

Е \[л» (C0S л» - 1)E%n (и)+ Mm (C0S Mm - 0) (и) -

(C0s Х„ - - !)

Х (Цш

+2Е(-1)

Р=1

I1 - exp [-(х (+ц m )9]}+

Хя [C0s Хя - C0s (ПР)] (c0S цm - 1)

П Р2 -Х(2 Цm

(х(+цm)

-л2 р2/Рг+Х( +ц

- exp [-(х(+цm )9])^

exp

2 2 П Р

Pr

Ц»

• = 0.

(30)

(х (+ц m)

где ( = 1,3,5,__

Для того, что бы решение (28) удовлетворяло исходному уравнению (11) необходимо после его подстановки выполнение (11) тождественно, что предполагает наличие Е( (9) и Fm (9) с принадлежностью к С1 [0, да). Такому свойству отвечают, например, полиномиальные представления.

Анализ решения. Заметим, что в (28) чётные слагаемые рядов равны нулю, что очевидным образом распространяется и на систему (29)-(30), решение которой осуществлено итерационным методом неполной релаксации [12]. Кроме того, при проведении вычислений с использованием (28)-(30) необходимо учитывать, что

C0S (nn )-C0S (пр) lim----^= 0 .

р^( п2 (р2 - (2 )

В качестве примера результаты расчётов приведены в табл. для Рг=7 при 0 = 0,15.

Изменение температурных полей во времени в зависимости от числа Прандтля показано на рис. 2 и 3, из которых следует, что при меньших значениях числа Прандтля, т.е. для более температуропроводных жидкостей, время установления стационарного режима наступает быстрее.

Эволюция функции тока для срединного сече-

Рис. 2 Поле температур для Рг=0,7 в различные моменты времени и: 1 - 0,001; 2 - 0,01; 3 - 0,1; 4 - 0,5

ния каверны при Рг=0,7 и Рг=7 представлена на рис. 4 и 5. Анализ полученных результатов показывает, что в связи с очень большой величиной начального

теплового импульса вблизи стенки (рис. 6, 7) возникает волновое движение жидкости с инверсией (обращением на противоположное направление) первоначально возникшего течения с нисходящим движением у горячей стенки. При этом величина функции тока неинверсированного течения тем больше, чем больше число Рг.

n Е( (0,15) m Fm 20,15)

1 5,8399-10-3 1 -0,045335

3 -3,8923-10-4 3 -6,1799-10-3

5 2,0071-10-3 5 -2,7301-10-3

7 1,713310-3 7 -1,7924-10-3

9 1,3718-10-3 9 -1,3635-10-3

11 1,1286-10-3 11 -1,1099-10-3

13 9,5524-Ю-4 13 -9,3882-10-4

15 8,2698-Ю-4 15 -8Д440-10-4

17 7,2878-Ю-4 17 -7,1942-10-4

19 6,5134-Ю-4 19 -6,4437-10-4

21 5,8876-Ю-4 21 -5,8352-10-4

23 5,3717-Ю-4 23 -5,3316-10-4

25 4,9390-Ю-4 25 -4,9079-10-4

27 4,5711-Ю-4 27 -4,5464-10-4

29 4,2542-Ю-4 29 -4,2344-10-4

31 3,9786-Ю-4 31 -3,9623-10-4

33 3,7366-Ю-4 33 -3,7230-10--4

35 3,5225-Ю-4 35 -3,5109-10-4

37 3,3316-Ю-4 37 -3,3216-10-4

39 3Д604-10-4 39 -3,1516-10-4

41 3,0059-Ю-4 41 -2,9981-10-4

43 2,8659-Ю-4 43 -2,8589-10-4

45 2,7384-Ю-4 45 -2,7320-10-4

47 2,6218-Ю-4 47 -2,6158-10-4

49 2,5147-Ю-4 49 -2,5091-10-4

51 2,4160-Ю-4 51 -2,4108-10-4

53 2,3248-Ю-4 53 -2,3198-10-4

55 2,2403-Ю-4 55 -2,2355-10-4

57 2Д616-10-4 57 -2,1570-10-4

59 2,0884-Ю-4 59 -2,0839-10-4

Рис. 3 Поле температур для Рг=7 в различные моменты времени и: 1 - 0,01; 2 - 0,1; 3 - 1; 4 - 2

С течением времени по мере прогревания жидкости вблизи вертикальных стенок формируются циркуляционные контуры с восходящим движением жидкости у горячей стенки и нисходящим - у хо-

4

Рис. 4 Эволюция функции тока при Рг=0,7: 1- и=1 • 10-4; 2- и=0,001;3- и=0,005; 4- и=0,01; 5- и=0,02;6- и=0,05; 7- и=0,1; 8- и=0,5

Рис. 5 Эволюция функции тока при Рг=7: 1- и=0,001; 2- и=0,01; 3- и=0,1;4- и=0,15; 5- и=0,2; 6- и=0,5; 7- и=2

Рис. 6 Поле градиента температур для Рг=0,7 в различные моменты времени и: 1 - 0,001; 2 - 0,01;

3 - 0,1; 4 - 0,5

лодной. При этом первоначально возникшая область течения постепенно сужается, а функция тока в этой области уменьшается, после чего остается только два пристеночных вихря, вращающихся в одну сторону, которые затем сливаются в один. Переход те-

0.5 Х 1

Рис. 7 Поле градиента температур для Рг=7 в различные моменты времени и:1 - 0,01; 2 - 0,1; 3 - 1; 4 - 2

чения с одного направления на другое примерно соответствует времени, когда градиент температуры начинает существенно изменяться вблизи холодной стенки. Конечное стабилизированное свободноконвективное движение жидкости имеет одинаковые качественные и количественные характеристики, что и для стационарной задачи.

Время стабилизации функции тока при Рг=1 примерно такое же, как и у профиля температуры. Для более вязких (менее температуропроводных) жидкостей время релаксации до стационарного состояния температурного поля существенно больше поля функции тока, а для менее вязких - наоборот (рис. 8). Видно, что в кондуктивно-ламинарном режиме свободной конвекции профили функции тока

Рис. 8 Динамика изменения нормированных среднеинтегральных значений функциитока (------) и

температур (..) при Рг=0,7 (1);Рг=1 (2); Рг=7 (3)

и температуры не эквивалентны при Рг=1, в отличие от уже известных решений аналогичных задач. Более детальный анализ динамики изменения нормированных среднеинтегральных значений функций тока и температуры при Рг=7 в области малых значений безразмерного времени 0 показывает (рис. 8), как и ожидалось, преимущественный рост температуры по сравнению с функцией тока, при 0» 0,73 их значения совпадают, а затем уже преимущественный рост над температурой имеет функция тока. Это означает, что первопричиной конвективного

движения жидкости является тепловая неравновес-ность системы. Такой результат находится в согласии с общепринятыми физическими представлениями о естественной конвекции [3].

Важным заключительным моментом анализа является вопрос удовлетворения найденного решения (28) исходному уравнению (11), что было проверено прямой подстановкой. Так для центральной точки с координатами X=Y=0,5 для различных 0 уравнение (11) выполнялось при (=m=150 с относительной погрешностью менее чем 0,04, что вполне приемлемо при выполнении практических оценок эффективности и точности различных вычислительных процедур.

Литература

1. O0sthuizen P.H. An Intr0duCti0n to C0nveCtive Heat Transfer Analysis - Singap0re: WCB/MCGrow-Hill,

1999. - 620 pp.

2. Latif M. Jiji. Heat C0nveCti0n. - Springer, 2006. - 443 pp.

3. Гебхарт Б., Джалурия Й., Махаджан Р., Самакия Б. Свободноконвективные течения, тепло- и массооб-мен. В 2-х кн., кн. 1. - М.: Мир, 1991. - 678 с.

4. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика: В 10 т. T.VI. Гидродинамика. - М.: Наука 1988.-736 с.

Воронежская государственная технологическая академия Воронежский государственный технический университет

5. Коган В.Б. Теоретические основы типовых процессов химических технологий. - Л.: Химия, 1977. - 589 с.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

6. SChetz J. A., Eighh0rn R. Unsteady natural C0nveCti0n in the viCinity 0f a d0ubly infinite vertiCal plate // TransaC-ti0ns 0f the ASME J. 0f Heat Transfer. - 1962. - № П.-p. 334-338.

7. Ryazhskikh V.I., Slyusarev M.I., B0ger A.A., Ryab0v

S.V. DynamiCs 0f laminar free-C0nveCtive fl0w 0f a new-t0nian fluid between vertiCal plane is0thermal walls // J0urnal 0f Engineering PhysiCs and Therm0physiCs.-2009.-V. 82.-№ 6.-Pp. 1163-1170.

8. Богер А.А., Рябов С.В., Ряжских В.И., Слюсарев М.И. Расчёт кондуктивно-ламинарного движения термоконвекции ньютоновской среды в прямоугольной каверне с вертикальными изотермическими стенками // Изв. РАН Механика жидкости и газа.- 2010.- № 3. С. 17-21.

9. Лыков А.В. Тепломассообмен: (Справочник). - М.: Энергия, 1978. - 480 с.

10. Дёч Г. Руководство к практическому применению преобразования Лапласа и Z - преобразования. - М.: Физматгиз, 1971. - 288 с.

11. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. - М.: Наука, 1973. -832 с.

12. Фаддеев Д. К., Фаддеева В. Н. Вычислительные методы линейной алгебры. - М. - Л.: Гл. изд-во физ.-мат. лит-ры, 1963. -734 с.

CONDUCTIVE LAMINAR FREE CONVECTION LIQUID FLOW DYNAMICS IN SQUARE REGION M.I. Slyusarev, E.D. Chertov, V.I. Ryazhskih, V.G. Stogney, A.A. Boger

Using the finite integral Fourier transform and one-sided integral Laplace transform, an analytical solution of the linearized Oberbeck-Boussinesq equations in Helmholtz’s variables for square region with different values of constant temperatures vertical walls and no heat flow through the upper and lower base is received

Key words: non-staionary free convection, analytical solution, cquare redion

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.