Нагрев квадратной каверны в кондуктивном режиме теплообмена при граничных условиях второго рода Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 532.(075.8)

НАГРЕВ КВАДРАТНОЙ КАВЕРНЫ В КОНДУКТИВНОМ РЕЖИМЕ ТЕПЛООБМЕНА ПРИ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЯХ ВТОРОГО РОДА

В.И. Ряжских, М.И. Слюсарев, А.А. Богер, В.А. Сумин

С использованием конечного интегрального косинус-преобразования Фурье получено аналитическое решение задачи о нестационарном температурном поле в квадратной области с неоднородными граничными условиями 2-го рода, которые модифицированны функциями Хэвисайда

Ключевые слова: динамическое распределение температурного поля, интегральное косинус-преобразование Фурье, функции Хэвисайда

Введение. Во многих внутренних задачах конвективного теплообмена, когда скорость рабочей среды относительно мала, в качестве модельного представления о распределении температуры принимается кондуктивный режим [1, 2]. Такое представление о механизме переноса теплоты существенно упрощает математическую формулировку указанных задач за счёт несопряжённого рассмотрения тепловых и гидродинамических полей [3].

Этот подход особенно важен в криогенной технике при анализе теплообменных процессов в крупнотоннажных промышленных резервуарах с ожиженными газами в условиях долговременного хранения [4]. В этом случае дополнительным обстоятельством является то, что на смоченной и свободной границах задаются различные тепловые потоки в виде граничных условий 2-го рода, которые в точках их пересечения имеют конечные разрывы. Кроме того, при оценочном анализе тепломассообмена довольно часто применяется геометрическая идеализация - рассмотрение каверны [5]. Для прямоугольной каверны аналогичная задача, но с граничными условиями 1-го рода, решена в [6].

Постановка задачи. Математическая формулировка задачи о динамическом распределении температурного поля в квадратной каверне при неоднородных граничных условиях 2-го рода такова (рис. 1):

dt

Э2/ (x, y, t) + Э2/ (x, y, t)

dx2

Эу2

t(x,y,0) = /0;

dt (0, y, t) dt (h, y, t) dt (x,0, t)

—1--------------= 1---------------= —1---------------= q

dx

dx

dy

(І)

(2)

(3)

Ряжских Виктор Иванович - ВГТУ, д-р техн. наук, профессор, e-mail: [email protected]

Слюсарев Михаил Иванович - ВГУИТ, канд. техн. наук, доцент, e-mail: [email protected]

Богер Андрей Александрович - ВГУИТ, канд. техн. наук, доцент, e-mail: [email protected]

Сумин Виктор Александрович - ВГУИТ, канд. физ.-мат. наук, доцент, e-mail: [email protected]

q=const

Рис. І. Расчетная схема dt (x, h, t)

Эу

=0,

(4)

где х, у, т - декартовы координаты и текущее время; /, /0 - локальная и начальная температуры; р, ср, X -плотность, теплоёмкость и теплопроводность среды; к - характерный размер каверны; q - известная плотность теплового потока.

Введём относительные переменные:

Т = 1(7 -10)/(gк); 8 = та/к2 ; X = х/к ;

Г = у/к ; а = У(рСр), тогда система (1)-(4) примет вид

dT (X,Y,e) d2T (X,Y,e) + d2T (X,Y,e) de = dX2 + ЭТ2 ’

T (X,Y,0) = 0; dT (0,Y,e) = dT (!,Y,e)_ dT (X,0,e)

dX

dX dT (X,l e)

dY

dY

=0.

(5)

(6)

(7)

(8)

Замена

І

T (X,Y,e) = W( X,Y,e) + X2 — X + —(Y — l)2 (9)

переводит граничные условия (7) и (8) в однородные, т. е. задача (5)-(8) запишется

dW(X,Y,e) = d2W(X,Y,e) + d2W(X,Y,e) +з ^

de

dX2

dY2

X2 — X + ^(Y — l)2

W( X,Y,0) = —

dW(0,Y,e) dW(l,Y,e)

dX _ dX

dW( X,0,e) = dW( X,1,e)

=0

=0

dY dY

а дополнительная замена

W( X,Y,e) = Г( X,Y,e) + 3e

(11)

(12)

(13)

(14)

трансформирует уравнение (10) в однородное, поэтому из (10)-(13) следует

ЭГ( X,Y,e) = d2 Г( X,Y,e) + d2 Г( X,Y,e)

de dX2 dY2

Г( X,Y,0) = —

ЭГ(0,Y,e) dr(l,Y,e)

X2 — X + “(Y — l)2

dX dX

ЭГ(X,0,e) ЭГ(X,1,e)

=0;

dY

dY

=0.

(15)

(16)

(17)

(18)

Решение. Для возможности применения аппарата конечных интегральных преобразований Фурье [7] к решению системы (15)-(18) преобразуем её к эквивалентному виду с помощью специальных функций Хэвисайда 1( X) и 1(7) [8]:

ЭГ( X,Y,e) = d2 Г( X,Y,e) + d2 Г( X,Y,e)

dX2

(X2 — X )l(Y) + І (Y —1)21( X)

de

Г( X,Y,0) = —

ЭГ( 0,Y,e) dr(l,Y, e) dX _ dX

ЭГ( X,0,e) ЭГ( X,1,e)

dY2

dY

dY

=0;

=0,

(19)

(20)

(21)

(22)

причём функции 1(X) и 1(7) разложимы в ряд Фурье по синусам соответственно на промежутке X є [0,1] и 7 є [0,1], т. е.

1( X ) = 2£

——(cos у, — 1)

у,

sin(у^); (23)

1(Y ) = 2t

----(cosє,—1)

sin (e,Y), (24)

где у, = p,; є, = pk .

Применим к (19)-(22) конечное интегральное косинус-преобразование Фурье по X:

i

FX[Г(X,7,9)] = FX(7,0) = jГ(X,7,0)cos(1X)dX ,

0

где X - корень характеристического уравнения sin 1 = 0 . С учётом того, что

F

F

F

ЭГ( X ,Y, e)

Эё

Э2Г( X ,Y, e)"

dX2

"Э2Г( X ,Y, e)

dFx (Y, e) de ,

= —i2Fx (y , e). d2Fx (Y, e)

F

F

dY2 dY2

Г ЭГ( X ,0, e)' dFx (0, e)

dY dY ’

г эг( X ,1, e)" dFx (1, e)

dY dY ’

Fx [Г(X,Y,e)] =

1Г і

—1 (X2 — X )1(Y) + 2 (Y — 1)21(x)

cos(1X)dX =

cosek -1 . , 1-2sin1 + 1cos1

= 2Z c k sin (ek7)----------*---------+

k=1 ek 1

,\2-^ cos Y, - 1 -Y, + Y, cos Y, COs 1 + 1 sin Y, sinl +(Y-1) ---------------------------------^----------■

система (19)-(22) преобразуется к виду: dFX (7,9) _Э2Fx (7,9)

de

Fx (Y,0) = 2£

dY2

cos є,—1 . -----------sin

є,.

— 12Fx (Y,e); (25)

(є,Г)

,=i и

1+ cos1

~12

+(Y—1)2 tcos у,—1 —у,+у, cos у, cos 1 ■ (26)

,=i у, 12 —у, ’

dFx (0, e^dFx (1, e)

dY

dY

=0.

(27)

К системе (25)-(27) вновь применим конечное интегральное косинус-преобразование

1

F X [ Fx (7, 9)] = Fxy (9) = j Fx (7, 9) cos (|m7) dY ,

,=1

0

,=i

где ^ - корень характеристического уравнения sin m=о.

Имея в виду, что

F

de

dF

F

de

d2Fx (Y,0)

Fy [—12 Fx ] = —12 Fxy

dY2

Fy [Fx (Y,0)] = B =

^1 + cos 1 —1 + cos є, cosm

= 2t (cos є, — ^^-------------------------------------ч ^ +

,=1 1

22 m2 —є2,

b£(cos у,—1)

—1 + cos у, cos 1 2

12 —у2

m

тогда получим задачу Коши dFx, (e)

= CFxy (e),

(28)

(29)

d 9

Fx7 (0) = B

где C = -(l2 +m2). Из решения задачи (28) и (29) следует выражение для изображения решения

FX7 (9) = B eXP (C9) ,

обращение которого по 7 даёт соотношение вида Fx (X,9) = ВХо exp(Cio9) +,

+2^Bm exp(C^9)cos(m„7), (30)

m=1

а обращение (30) по X приводит к оригиналу Г( X ,7, 9) = B00 exp (C00 9) +

+2Z B0m eXP ( C0m9) cos (mm7 ) +

m=1

+2Z Bn0 eXP ( Cn09) cos (KX ) +

n=1

+4SSBnm eXP(Cnm9) cos (mm7) cos (^nX) , (31 )

n=1 m=1

где

Cnm = -(* +mm) ,

Bnm = 2£(cos£k - ^^ + X(cosY, -1)^m3)^,l4),

ww =

—І б

1+ cos1n

n = 0, n > 0;

W (2) =

,m

—1+cos є,cos mm

22 mm — є*

m = ,, m Ф ,;

W<3) =

m = 0,

-^r, m > 0; mm

W (4) = " ln

0 , n = l

—1 + cos у, cos 1

1: -У2

где = я:; тт = рт ; Y/ = Р ; ек = як .

С учётом (9) и (14) окончательный вид решения запишется

1 9

Т(Х7,8) = X2 -X + -(7-1)2 + 38 + Г(X,7,8). (32)

Анализ решения. Прежде всего, были проведены вычислительные эксперименты, суть которых сводилась к определению минимального количества членов рядов в решении (31), обеспечивающих допустимую точность выполнения начального условия (6) (рис. 2).

Рис. 2. Поле температур при 0=0 с максимальными значениями :=т=20 и к=/=30

l=i

3б

Кроме того, расчёты подтвердили наличие квази-стационарного режима, т.е. режима, при котором структура температурного поля не меняется и со временем происходит его эквидистантное увеличение, что происходит, примерно, начиная с 9^0,06 (рис. 3).

Заключение. Полученное аналитическое решение дополняет спектр инструментария для исследования и оценки тепловых процессов во внутренних задачах теплообмена.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ по гранту № 10-08-00120-а.

Литература

1. Теория тепломассообмена / С.И. Исаев, И. А. Кожинов, В.И. Кофанов и др.: Под ред. А.И.Леонтьева.-М.: Высшая школа, 1979.- 495 с.

2. Цветков Ф.Ф., Григорьев Б. А. Тепломассооб-мен.-М.: Изд-во МЭИ, 2005.- 550 с.

3. Слюсарев М.И., Чертов Е.Д., Ряжских В.И. Аналитическое решение первой тестовой задачи свободной конвекции для кондуктивно-ламинарного режима // Вестник ВГТУ.- 2010.- Т. 6.- № 7.- С. 165-167.

4. Филин Н.В., Буланов А.Б. Жидкостные криогенные системы.-Л.: Машиностроение, 1985.- 247 с.

5. Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа.-М.: Наука, 1987.- 840 с.

6. Лыков А.В. Теория теплопроводности.- М.: Высшая школа, 1967.- 599 с.

Рис. 3. Развитие нестационарного поля в квадратной каверне при неоднородных граничных условиях 2-го рода при различных 9: а - 0,01; б - 0,02; в - 0,03; г - 0,04; д - 0,05; е -0,06

Воронежский государственный технический университет Воронежский государственный университет инженерных технологий

HEATING OF SQUARE CAVITY IN THE CONDUCTIVE MODE OF HEAT TRANSFER AT THE BOUNDARY CONDITIONS OF THE SECOND KIND V.I. Ryazhskih, M.I. Slyusarev, A.A. Boger, V.A. Sumin

Using the finite integral Fourier cosine transform, an analytical solution of the nonstationary temperature field in a square area with inhomogeneous boundary conditions of the 2nd kind, which modified Heaviside functions, is obtained

Key words: dynamic distribution of a temperature field, integrated Fourier's cosine transformation, Hevisayd's functions