Приближенное аналитическое решение внутренней задачи кондуктивно-ламинарной свободной конвекции Текст научной статьи по специальности «Математика»

Qernwx&TyMT/Proatedmgs of VSUET, № 4, 2016

Оригинальнаястатья/Original article_

УДК 536.24

DOI: http://doi.org/10.20914/2310-1202-2016-4-78-84

Приближенное аналитическое решение внутренней задачи кондуктивно-ламинарной свободной конвекции

Михаил И. Попов 1 [email protected] Елена А. Соболева 1 [email protected]

1 кафедра высшей математики, Воронежский государственный университет инженерных технологий, пр-т Революции, 19,

г. Воронеж, Россия_

Реферат. Представлено приближенное аналитическое решение задачи о нестационарной свободной конвекции в кондук-тивно-ламинарном режиме ньютоновской жидкости в квадратной области при мгновенном изменении температуры боковой стенки и отсутствии тепловых потоков на верхнем и нижнем основаниях. Уравнения естественной конвекции в приближении Обербека-Буссинеска линеаризованы за счет пренебрежения конвективными слагаемыми. Для сокращения числа гидротермических параметров система приводится к безразмерному виду введением масштабов для зависимых и независимых переменных. Переход от классических переменных к переменным «вихрь-функция тока» позволил свести систему к нестационарному уравнению теплопроводности и нестационарному неоднородному бигармоническому уравнению, причем первое не зависимо от второго. Решение в виде функции тока получено применением интегрального синус -преобразования Фурье с конечными пределами к бигармоническому уравнению сначала по переменной x, а затем по переменной у. Функция тока имеет вид двойного ряда Фурье по синусам с коэффициентами в интегральной форме. Коэффициенты ряда представляют собой интегралы от неизвестных функций. На основании гипотезы о специальном виде интегралов коэффициенты вычисляются из системы линейных уравнений, полученной из граничных условий на частные производные функции. Исследована зависимость структуры течения от числа Прандтля. Получены карты линий тока и изолиний компонентов скорости, описывающие развитие течения с момента возникновения до перехода в стационарное состояние. Приведены графики векторного поля скоростей в различное время, иллюстрирующие динамику течения. Достоверность гипотезы о специальном виде интегральных коэффициентов подтверждается адекватностью физическому смыслу и согласованностью полученных результатов с численным решением задачи.

Ключевые слова: уравнение Обербека-Буссинеска, бигармоническое уравнение, кондуктивно-ламинарная свободная конвекция, конечное интегральное синус-преобразование Фурье

The approximate analytical solution of the internal problem of conductive and laminar free convection

Mikhail I. Popov 1 [email protected] _Elena A. Soboleva 1 [email protected]_

1 higher mathematics department, Voronezh state university of engineering technologies, Revolution Av., 19 Voronezh, Russia Summary.The approximate analytical solution of a problem about nonstationary free convection in the conductive and laminar mode of the Newtonian liquid in square area at the instantaneous change of temperature of a sidewall and lack of heat fluxes is submitted on top and bottom the bases. The equations of free convection in an approximation of Oberbeka-Bussinesk are linearized due to neglect by convective items. For reduction of number of hydrothermal parameters the system is given to the dimensionless look by introduction of scales for effect and explanatory variables. Transition from classical variables to the variables "whirlwind-a flow function" allowed to reduce system to a nonstationary heat conduction equation and a nonstationary nonuniform biharmonic equation, and the first is not dependent on the second. The decision in the form of a flow function is received by application integral a sine - Fourier transforms with terminating limits to a biharmonic equation at first on a variable x, and then on a variable y. The flow function has an appearance of a double series of Fourier on sine with coefficients in an integral form. Coefficients of a row represent integrals from unknown functions. On the basis of a hypothesis of an express type of integrals coefficients are calculated from the linear equation system received from boundary conditions on partial derivatives of function. Dependence of structure of a current on Prandtl's number is investigated. The cards of streamlines and isolines of components of speed describing development of a current from the moment of emergence before transition to a stationary state are received. The schedules of a field of vectors of speeds in various time illustrating dynamics of a current are provided. Reliability of a hypothesis of an express type of integral coefficients is confirmed by adequacy to

physical sense and coherence of the received results with the numerical solution of a problem._

Keywords :Oberbeck-Boussinesq equation, biharmonic equation, conductive and laminar free convection, sine integral Fourier transform with finite limits

Для цитирования Попов М. И., Соболева Е.А. Приближенное аналитическое решение внутренней задачи кондуктивно-ламинарной свободной конвекции // Вестник ВГУИТ.2016. № 4. С 78-84. (М:10.20914/2310-1202-2016-4-78-84

For citation

Popov M. I., Soboleva E. A.The approximate analytical solution of the internal problem of conductive and laminar free convection. Vestnik VSUET [Proceedings of VSUET]. 2016. no 4 pp. 78-84 (in Russ.). doi : 10.20914/2310-1202-2016-4-78-84

Ветшк&ТУИТ/Ргоахб^ о/ № 4, 206

Введение

Математическое моделирование свободной конвекции в большинстве случаев базируется на уравнениях Навье-Стокса в приближении Обербека-Буссинеска. Изучению внутренних задач свободной конвекции посвящено много работ, поскольку они имеют важные практические приложения, такие как хранение криогенных жидкостей, охлаждение электроники, моделирование двигателей внутреннего сгорания и др. Исследованию течения и теплообмена при ламинарнойсвободной конвекции между вертикальными параллельными изотермическими пластинами с различными температурами методом конечных объемов посвящена работа [1]. В работе [2] модификацией метода конечных разностей решается краевая сопряженная задача нестационарного конвективного теплопереноса в замкнутой квадратной полости. Ламинарная свободная конвекция внутри параллелепипеда с нагревом боковых стенок численно исследована в работе [3]. Изучению свободной конвекции в квадратной области с внутренней перегородкой методом конечного объема посвящена работа [4]. В работе [5] конечно-разностным методом исследуется течение наножидкости в пористой квадратной каверне. В подавляющем большинстве работ применяется численное моделирование. В связи с этим возникает необходимость получения аналитических и приближенно аналитических решений подобного класса задач.

Постановка задачи и вывод основных уравнений

Рассматривается плоская квадратная область (рисунок 1), заполненная полностью вязкой несжимаемой жидкостью. В начальный момент времени жидкость находится в состоянии покоя с температурой ¿о. Затем температура левой стенки мгновенно принимает значение , причем тепловой поток через верхнюю и нижнюю стенку отсутствует ^=0. Температура правой стенки поддерживается постоянной, равной температуре жидкости в начальной момент времени (^ > ).

В выбранной системе координат уравнения Обербека-Буссинеска принимают следующий вид:

ду ду ду 1 др (д2у д2у ^

—— + V —— ■

дт х дх

■ =---— + v

ду р дх I дх ду

<7=0

_ > е to

V

1 1-► V*

0

7=0

Рисунок 1. Расчетная схема Figure 2. Design diagram

dv _y

дт

+v

Cv Cv

_у +^ —,

х дх " Су

(д2 v д2 v )

у -+ у

( дх2 д,2 ,

dt dt dt --h vx--h v — = a

дт x дх y

1 др P ду

f c2t д —+ —

ду ^дх ду2

/

\

дУ— дуу п —— + —- = 0. дх ду

Здесь ух , V - компоненты скорости по осям х и у ; р, т, t - давление, время и температура; р,у, а, Р - плотность, коэффициенты кинематической вязкости, температуропроводности и объемного расширения среды. Поскольку рассматриваются очень медленные течения, то без потери физического смысла предположим, что V « 0, V « 0 . При такой линеаризации получим

1 др

=---— + v

дт р дх

C2v CV

\

дх2

Cv дт

У 1 Cp

у =---— + v

(д 2v

P ду дt

дт

■ = a

cv

—Г + — дх ду

(дт cN Л

дх2 +ду2

ду2

Л

+ figt,

(1) (2)

(3)

(4)

дУ— дуу п —— + —- = 0. дх ду

Для сокращения числа гидротермических параметров система (1)--(4) приводится к безразмерному виду введением масштабов для зависи-

/1 т V х мых и независимых переменных: в = —, X = —,

т Ъ

Y = у V = ^

h ' х

v,=*

у v

P = р T = t - t0

th t0

V V р

.Здесь Ъ - длина стороны квадратной области, т, V, р - характерные время, скорость

и давление, - - характерная разность температур.

BemnuxJBFyWT/Proceedings of VSUET, № 4, 2016L

Характерное время вязкого затухания давление, время и скорость вычислим из урав-

„ т 1 p т vT

нении V— = 1,--з = 1, — = 1 • Имеем

h p h v

h

т = —, v = —, p = p —г • Перепишем уравне-v h h

ние (1) в безразмерных переменных:

dVx __ôp дв ~ ôX ôX2 Уравнение (2) примет вид

.ôVl

ôY2

(5)

ôV

ÔP ô2 V ô2 V

V V

ôe ôY + ôX2

ôY2

+ Gr T,

(6)

где Gr = — ßg (th —t0 ) - число Грасгофа. Исключим давление из уравнении (5) и (6):

ôiôVv ôV )_ ô2 fôVy ôVx

ôe v ôX ôY J ôX2 v ôX ôY

ô2 f ôV ôV ) ôT —VL— ^ + Gr—

ôY2 \ ôX ôY J ôX

Безразмерный вихрь обозначим

о ôVv V Q = —----, тогда

ôX ôY

ôQ Ô 2 Q ô2Q

Gr

ôT

(7)

дв дХ2 дУ2 дХ' Уравнение неразрывности (4) примет вид

дУх д¥у —х + —- = 0 . дХ дУ

Чтобы оно удовлетворялось автоматически, введем функцию тока Т следующим об-

разом:

V =

ôY ôY

ôY

V = ——

V ôX'

n_ôVy ôV ô 2 Y Ô 2 Y

ôX ôY

ôX2 ÔY2

Получим

Перепишем

уравнение (7) через функцию тока:

ô f ô2Y ô2Y^ ô4Y ô4Y

ôe\ôX2 ôY2 J ôX4 ôX2ôY2 ôT

+

ô4 Y

Gr—.

ôY4 ôX

Введем переменную Ф = — и получим

Ог

уравнение уже без числа Грасгофа

д (д2Ф д2ф| д4Ф

вК^2 ôY2

ôX4

+-

ô4o ô4O ôT

(8)

- + -

ôX'ôY2 ÔY4 ÔX

Обезразмеренное уравнение (3) примет вид

(9)

дв~ Рг 1дХ2 + дУ2 '' где Рг - число Прандтля.

В начальный момент времени жидкость находилась в состоянии покоя и имела всюду одинаковую температуру ¿0, поэтому начальные условия для функции токаи температуры имеют вид:

Ф(Х ,У ,0) = 0, (10)

t( x, v, 0) = t0, следовательно

T ( X ,Y ,0) = tt0—± = 0.

th — t0

(11)

Поскольку температура левой стенки скачком изменяется до температуры а температура правой ¿0 не изменяется, граничные условия на температуру имеют вид ¿(0, у, т) = ¿к , ?(1, у, т) = ¿0 , или

Т (0,У ,в) = = 1, Т (1, У, в) = = 0 (12)

th ¿0

th ¿0

(13)

Условия непротекания и прилипания жидкости выражаются уравнениями

Ф (0,7 ,в) = Ф (1,7 ,в) = = Ф( X ,0,в) = Ф( X ,1,в) = 0, -Ф(0,7,в) _ -Ф(1,7,в) _

(14)

= 0.

ôX ôX

-Ф( X ,0,в) -Ф( X ,1,в)

ô Y

ô Y

В переменных «вихрь-функция тока» исходная система (1)-(4) сводится к нестационарному уравнению теплопроводности (9) и нестационарному неоднородному бигармониче-скому уравнению (8) с начальными (10)—(11) и краевыми условиями (12)—(14).

Решение задачи

Несопряженный характер системы (8)— (14) позволяет последовательно решать тепловую — (9), (11), (12), и гидродинамическую — (8), (10), (13), (14) задачи.

Решение тепловой задачи известно

2 м (—1)p T ( X ,Y ,в) = 1 — X + - £ х

Я Р=1 Р

х sin [(1 — X }жр ] exp

( л2р2 >

--—в

Pr

v J

3

Ветник^ГУИТ/РгосшС^ № 4, 2016и

К системе (10), (12), (15), (16) применим интегральное синус-преобразование Фурье с конечными пределами [8] по переменной X:

Фх=Тх[Ф{Х,7,в)\ =

: j Ф( X, Y, в) sin( ЛХ )dX _ Фх (Л, Y, в)

(16)

Обозначим через

A ( ) д2ф(w)

A _ дХ2 -B (Y в)_ дХ2 (18) неизвестные функции, тогда

д 2Ф,

~дв

-Л фx + ■

dY2

где Л находится из характеристического уравнения sin(l) _ 0.

дТ (X , в)

Вычислим вначале дТ (X , в)

дХ

дХ

_ -1 - 2 j(-1)р cos[(l - X)яр\х

р_1

х ехр(-в ^р-). Pr

Запишем уравнение (8) в виде:

дв 1 х

д2Ф

дХ2.

д4Ф

-Ту

dX2dY2

-Fx

д2Ф dY2.

д4Ф

dY4

= Т

J Y

•'х

а4о ж4.

~дТ~ дХ

(17)

Идентифицируем преобразования в (17):

Г

•'х

д2Ф

дХ2 _-Л2Ф^

•82 ф( Хфв) sin( лх )dX _

т

х

Т

х

д2Ф dY2 _ ~д4Ф

дХ2

дХ4

dY

1 Д4.

дY2

д4Ф(X,Y,в) .

дХ4

sin( ЛХ)dX _

_ -Л cos Л

д2Ф(1, Y,в) . д2Ф(0, Y,в)

J X

дХ2

д4Ф

I_

' 8X2dY2

Л

д2

дХ2

Л4Ф,

_ -2Л'

= 2—Т^х

8Y х д 2Ф^

д2Ф дХ2

дY2

•'х

д4Ф 8Y4

4 X 1

8Y

Т

±Х J X

SY4

дТ_ ~дХ

í |-1 - 2 (-1)Р cos[(1 - X )яр\ехр(-в

о I р_1

2 2 Я Р ,

Pr ;

• sin( ЛХ )dX _ — ( cos Л-1) -Л

-2jj(-1)р Л[cosЛ-cos(^p>\ехр(-вЯ2Р1).

р_1

я р2 -Л2

Pr

_ ЛcosЛ + A + ЛВ + Л4ФГ -

-2Л

д2Ф, д4Ф, 1

дY2

дY4 Л

--(cos Л-1)-

(19)

™ ЛГcosЛ-cos (яр\\ Я р2

+2j(-1)р Г 22.(2 Р)J ехр[-вЯ^\,

р_1

я р2 -Л2 " Pr

Фх (Л, Y,0)_ 0, Фх (Л, 0, в) _ Фх (Л,1,в) _ 0, дФх (Л,0,в) дФх (Л,1,в)_0

дY дY '

Вычислим синус трансформанту по переменной Y

f (2°) _ (Л, Y,в)sin(¡uY)dY _ Ф^ (Л,и,в),

0

где u находится из характеристического уравнения sin (u) _ 0 . Тогда (19) примет вид

8Y2

= -Яeos ЛТт [А] + ЛТт [5] + Л4ТГ [Фх ] - (21)

-2 Л2Я

8Y2

dY4

-Тт[Тх].

т

J Y

Идентифицируем преобразования в (21):

dY

1 д 2Ф,

дY2

sin(¡Y)dY _-¡ Ф^;

FT[Á\ = AT(fi,e); rT[B] = BT(fí,0);

Я

д4ф, 8Y4

1 М

дY4

sin( ¡Y )dY =

_ -¡cos ud 2 Ф X (Л;1-в)+/ 'Ф х <Л-0,в> +

дХ2 дХ2

Т = т < т

±XY J Y I J X

+u Ф XY;

дТ~"

дХ.

í {Л(со8Л-1)

-2jj (-1)р ^Л-cos(яp)l exp(-вЯ-Р-)} х р_1 я р -Л Pr J

х sin(¡Y)dY _

_ -2jj (-1)р Л1cos 2 - cos(Яp)] ехр(-вЯр1)}.

р_1 Я р -Л Pr J

0

BemHW&FyMT/Proceedings of VSVE% № 4,

Обозначим через

2016±

c d^X (Л,1,в) ^ 52Qx (¿,0,0) 8Y2 ' 8Y2

неизвестные функции, тогда:

(22)

8Ф,

дв

■ +

(Л2 + и2 )Ф

XY - —г1—7\ЛcosЛAr -XY Л2 + ц2i Y (23)

-ЛБГ + и cos jC - juD] - ,

ФXY (Л,и,0)- 0.

(24)

Решив уравнение (23) с начальным условием (24), получим для изображения:

в ,

ФХ1 — exp[-в(Л2 + и2)]J—-7 ЛcosЛAr

0 Л + и -ЛБГ + jcos jC - jD -

-Тш expz(Л2 + и2)]dz.

(25)

Выражение для функции тока получим последовательным применением обратных преобразований Фурье:

Ф(X,Y,в)- 4^ФXY (Л„,Um,в):

п—1 m—1

Xsin (ЛпХ ) sin (UmY ) ,

(26)

где Лп = лп и ¡лш =пш.

В решение (26) входят интегралы от неизвестных функций (18) и (22), для вычисления которых предположим, что справедливо:

в

| A (u, z)exp[ z(X2 + ju2)]dz —

0

в

= Л(//,0)|ех p[z(A2 + ju2)]dz,

(27)

При данном допущении, выражение для изображения примет вид

, s cos и-1 (р(Л, и,в) —-;-— х

и(Л2 + и2)

(cosl-l){l-exp[-0(l2+//2)]}

Л(Л2 + и2)

+

+2Pr Л^ (-1)p \cos Л - cos(*p)] х

р=1

{ехр(-0^)-ехр[-0(12 +//2)]} Рг

(28)

(ж2p2 - Л2)[ж2p2 - Pr^2 + и )]

Интегралы типа (27) в каждый момент времени в представляют собой постоянные и находятся путем решения системы линейных уравнений, полученной из граничного условия на частные производные функции (14):

Анализ результатов

На рисунках 2-5 изображены карты функции тока, компоненты скорости и V ,

и поля скоростей для числа Прандтля Рг=1 в разное время: а) в = 0.001, б) в = 0.01, в) в = 0.1, г) в = 1.

Рисунок 2. Карты функции тока Figure 2. Flow function map

0 о [f] лг

Рисунок 3. Карты компоненты скорости vx

Figure 3.Velocity component Vx maps

0

х

BernH^BFyMT/Proceedings of VSVE% № 4, 2016L

Рисунок 4. Карты компоненты скорости v Figure 4. Velocity component v maps

Течение начинается возле нагретой стенки (рисунок 5 а) и распространяется к холодной(рисунок 5 б и в).

При переходе в стационарное состояние (рисунок 5 г) образуется единственный вихрь, закрученный по часовой стрелке с неподвижной точкой в центре области.

ЛИТЕРАТУРА

1 Терехов В.И., Экаид А.Л. Ламинарная свободная конвекция между вертикальными параллельными с различными температурами // Теплофизика и аэромеханика. 2012. Т. 19. № 4. С. 415-429.

2 Шеремет М.А. Ламинарные и турбулентные режимы сопряженной естественной конвекции в квадратной области //Вычислительная механика сплошных сред. 2012. Т. 5. № 3. С. 327-338

3 Терехов В.И., Экаид А.Л. Трехмерная ламинарная конвекция внутри параллелепипеда с нагревом боковых стенок // Теплофизика высоких температур. 2011. Т.49. № 6. С. 905-911.

4 Jani S.. Mahmoodi М. Amini М. Jam J. Numerical investigation of natural convection heattransfer in a symmetrically cooled square cavity with a thin fin on its bottom wall // Themial science. 2014. V. 18. №. 4. P. 1119-1132.

5 Gros Т., Revnic C., Pop I., InghamD.B. Free convection heat transfer in a square cavity filled with a porous medium saturated by ananofluid // International Journal of Heat and Mass Transfer. 2015. V. 87. P. 36-41.

6 Ряжских В.И., Попов М.И. О численном интегрировании нестационарного неоднородного бигармони-ческого уравнения в задачах кондуктивной свободной конвекции // Вестник Воронежского государственного технического университета. 2014. Т.10. N° 1. С. 56-62.

7 Устинов А.С., Савин И.К. Конвективный теплообмен при совместном действии вынужденной и свободной конвекции и изменяющихся во времени граничных условиях на стенке // Вестник Международной академии холода. 2009. № 3. С. 8-10.

Рисунок 5. Поле скоростей Figure 5. Field of velocities

Достоверность гипотезы о специальном виде интегральных коэффициентов подтверждается адекватностью физическому смыслу и согласованностью полученных результатов с представленным решением задачи [9].

REFERENCES

1 Terehov V.I., Ekaid A.L. Laminar free convection between vertical parallel plates with various temperatures. Teplofizika I aeromehanika [Thermal physics and air mechanics] 2012, vol. 19, no. 4, pp. 415-429. (in Russian).

2 Sheremet M.A. The laminar and turbulent modes of the conjugate free convection in square axe&VyshisUtelnaya mehanika sploshnyh sred [Computing mechanics of continua] 2012, vol. 5, no. 3, pp. 327-338. (in Russian).

3 Terehov V.I., Ekaid A.L. Three-dimensional laminar convection in a parallelepiped with heating of sidewalls. Teplofizika vysokih temperature [Thermal physics of high temperatures] 2011, vol. 49, no. 6, pp. 905-911. (in Russian).

4 Jani S., Mahmoodi M., Amini M., Jam J. Numerical investigation of natural convection heattransfer in a symmetrically cooled square cavity witha thin fin on its bottom wall.Thermal science, 2014, vol. 18, no. 4, pp. 1119-1132.

5 Gros T., Revnic C., Pop I., Ingham D.B. Free convection heat transfer in a square cavity filled with a porous medium saturated by ananofluid. International Journal of Heat and Mass Transfer, 2015, vol. 87, pp. 36-41.

6 Ryzhskih V.I., Popov M.I. About a numerical integration of a nonstationaiy nonihomogeneous biharmonic equation in problems of conductive free convection. Vestnik Voro-nezhsko gogosudarstvennogo tehnichesko gosuniversiteta [Bulletin of the Voronezh state technical university] 2014, vol. 10, no. 1, pp. 56-62. (in Russian).

7 Ustinov A. S., Savin I. K. Convective Heat Transfer in a joint dei tion forced and free convection and measurable sculpt in time the boundary conditions on the wall. Vestnik Mezhdunarodnoj akademii holoda. [Journal of the International Academy of Refrigeration]. 2009, no. 3, pp. 8-10. (in Russian).

BemmxBryWT/Proceedmgs of VSUET, № 4-, 2016L

СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРАХ

Михаил И. Попов к.ф.-м.н., старший преподаватель, кафедра высшей математики, Воронежский государственный университет инженерных технологий, пр-т Революции, 19, г. Воронеж; 394036, Россия, [email protected] Елена А. Соболева к.ф.-м.н., доцент, кафедра высшей математики, Воронежский государственный университет инженерных технологий, пр-т Революции, 19, г. Воронеж, 394036, Россия, [email protected]

КРИТЕРИЙ АВТОРСТВА

Михаил И. Попов постановка задачи, вывод уравнений, решение уравнений, анализ полученных результатов Елена А. Соболева разработка алгоритма и проведение вычислительного эксперимента

КОНФЛИКТ ИНТЕРЕСОВ

Авторы заявляют об отсутствии конфликта интересов. ПОСТУПИЛА 13.10.2016

ПРИНЯТА В ПЕЧАТЬ 18.11.2016

INFORMATION ABOUT AUTHORS

Mikhail I. Popov candidate of physics and mathematics science, senior lecturer, higher mathematics department, Voronezh state university of engineering technologies, Revolution Av., 19 Voronezh, Russia, [email protected] Elena A. Soboleva candidate of physics and mathematics science, associate professor, higher mathematics department, Voronezh state university of engineering technologies, Revolution Av., 19 Voronezh, Russia, [email protected]

CONTRIBUTION

Mikhail J. Popov problem definition, derivation of the equations, solution of the equations, analysis of the received results Elena A. Soboleva algorithm design and carrying out computing experiment

CONFLICT OF INTEREST

The authors declare no conflict of interest.

RECEIVED 10.13.2016

ACCEPTED 11.18.2016