Теоретическая оценка влияния деформации тела на силу трения качения Текст научной статьи по специальности «Физика»

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА

УДК 531.2: 531.4

А. А. Ордин, Ю. А. Антонов

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ОЦЕНКА ВЛИЯНИЯ ДЕФОРМАЦИИ ТЕЛА НА СИЛУ ТРЕНИЯ КАЧЕНИЯ

Одной из аксиом теоретической механики является допущение, что все тела представляются абсолютно твердыми, то есть не испытывающими деформаций [1-3]. С этой точки зрения теоретическая механика не в силах объяснить природу силы трения качения. Более того, представление катящегося диска весом Р, радиусом Я, к которому приложены активная сила Б и сила трения Б^. так, как показано на рис.1 во всех учебниках, приводит к парадоксу: при равномерном движении диска сила трения и активная сила создают пару сил, которая способствует вращению диска и нет никакой другой силы, которая может его тормозить. То есть с точки зрения классической теоретической механики такой диск будет катиться вечно, если конечно пренебречь сопротивлением воздуха. Однако, практика дает другой ответ,

нии качения

мы знаем, что этот диск достаточно быстро остановится даже в безвоздушной среде.

Рассмотрим кинематику движения абсолютно твердого, недеформируемого диска по горизонтальной поверхности, обладающей такими же свойствами (рис.1). Такой диск совершает плоскопараллельное движение, которое, как известно, характеризуется наличием мгновенного центра скоростей в точке С. Как известно, в мгновенном центре скоростей скорость диска равна нулю [1,2]. В этом заключается одно из принципиальных отличий трения качения от трения скольжения, которое всегда характеризуется различием скоростей между перемещаемыми поверхностями. Следовательно, в точке С диска существует особый вид трения, который автор предла-

гает назвать (по аналогии с мгновенным центром скоростей) трением мгновенного покоя. Действительно, так как скорость диска в точке С равна нулю, то здесь не может возникнуть трение скольжения. Нет в этой точке и трения качения по той же причине. Остается сделать вывод о наличии в этой точке трения мгновенного покоя. Мгновенного - так как в следующий момент времени точка С перемещается в новое положение, где снова возникает трения покоя и т. д.

Известно, что силы трения покоя являются наибольшими по сравнению с силами трения скольжения и качения [1,2]. Поэтому, при качении диска в точке его соприкосновения с поверхностью постоянно возникает, исчезает и снова возникает значительное трение мгновенного покоя, которое и является причиной торможения диска. Природа этого трения объясняется силами молекулярного сцепления или адгезией в точке или линии контакта между диском и поверхностью.

Исходя из присутствия в точке контакта трения мгновенного покоя, становится понятно, что силу трения качения нельзя показывать в этой точке как вектор. Действительно, если тело находится в состоянии покоя, то мы не можем показать силу трения покоя до тех пор, пока тело не сдвинется с места.

При изучении трения качения нужно еще учесть соприкосновение в узкой области шероховатых поверхностей. Действительно, абсолютно твердые тела тем не менее не являются абсолютно гладкими, то есть они имеют различную шероховатость. Отсюда становится понятно, что в очень небольшой области контакта (вблизи точки С) возникает разность скоростей соприкасающихся точек неровностей катящегося диска и неподвижной поверхности. В этих соприкасающихся точках скорость диска близка к нулю, но не равна нулю, и в этой области возникает трение скольжения.

Таким образом, для абсолютно твердых тел трение качения, по нашему мнению, состоит из трения мгновенного покоя, находящегося в мгновенном центре скоростей, и трения скольжения соприкасающихся шероховатых поверхностей двух тел.

Реальная картина качения тела, безусловно, всегда сопровождается деформацией поверхностей со-прикасаемых тел. Рассмотрим, как влияет деформа-

Теоретическая механика

3 7

ция тел на силу трения качения.

Исторически, трение качения объяснялось только с точки зрения деформации соприкасаемых тел (рис.3). Это было необходимо, так как деформация поверхностей тел позволяет сместить реакцию связи от точки С в точку В и тем самым обеспечить появление момента сил сопротивления качению. Далее, исходя из равномерного перемещения диска следует равенство вращающего момента пары сил Р и Ртр (с плечом К) и момента сил сопротивления, вызванного действием другой пары сил Р и N (с плечом к):

Ж = Рк = РК = Ртр К (1)

Отсюда вытекает известная формула Амон-тона-Кулона для расчета силы трения качения [1,2]:

(2)

Р = Р — ■.

тр К

где длину плеча к момента силы сопротивления, имеющей размерность длины, называют коэффициентом трения качения [1,2].

Авторы учебников по теоретической механике [1,2] здесь обычно делают вывод о том, что сила трения качения обратно пропорциональна радиусу диска.

На наш взгляд, последний вывод, принципиально, неверен. Действительно, если учесть, что реакция связи горизонтальной поверхности равна весу диска ^=Р), а вес диска в свою очередь зависит от его радиуса К и ширины Ь:

Р( К) = уУ = уяЬК2 то подстановка последней формулы в зависимость

(3)

Ртр = Р(К) — — = Г—^ЬК

КК

где ^-удельный вес диска, К-объем диска.

Таким образом, сила трения качения с учетом зависимости веса диска от его радиуса прямо пропорциональна радиусу диска.

Рассмотрим вместо диска качение шара радиусом (К). Как известно, зависимость его веса от радиуса является кубической:

4

Р(К) = )¥ = 3 улК3

В этом случае зависимость силы трения качения шара от его радиуса становится квадратичной:

Ртр = Р(К) — = 4 ужК3 К = 4 ^сжК2 -.(4)

Кроме того, так как основной закон трения Амонтона-Кулона заключается в том, что при любом виде трения сила трения равна произведению коэффициента трения на силу давления (Ртр = /Р), то коэффициент трения качения должен быть равен отношению:

Р

г _ тр

7 = ~Р~

Ш к .

, = = 81п(0.5а) =

РК К

так как в нашей задаче реакция опоры равна весу диска ^=Р). Отсюда также следует, что, так как величина к представляет собой длину плеча момента реакции опоры, то коэффициент трения качения является безразмерной величиной, также как и коэф-

фициент трения скольжения. Угол а является центральным углом, стягивающим дугу АВ окружности, по которой происходит деформация диска, а ф - угол трения.

Приближенно угол деформации тел можно определить по формуле:

8т(0,5а) « 0,5а = / или а = 2/ (5)

Однако, на самом деле зависимости (3, 4) силы трения и коэффициента трения качения от радиуса диска с учетом деформации тел более сложные. Рассмотрим эту постановку задачи.

Известно, что в области контакта двух тел действуют повышенные напряжения, максимальные

деформации тел

значения которых определяются по формуле Г.Герца [4], которая применительно к нашей задаче (рис.2) выглядит следующим образом:

(6)

ЬлК\

Р

1 -V,2 1 -у2

где V], V2, Е], Е2 -соответственно коэффициенты Пуассона и модули Юнга для диска и поверхности тела. Примем для простоты, что диск и поверхность тела выполнены из стали. В этом случае с учетом коэффициента Пуассона для стали (у= 0,28) и веса диска (6) формула Г. Герца упрощается:

[РЁ I~.~1.d2i

о„ = 0,418—: н \ьк V ьк

где Е - модуля Юнга или модуль упругости первого рода для стали.

Определим продольную максимальную деформацию (0,5ф из закона Гука [5] с учетом одновременной одинаковой деформации диска и поверхности тела (рис.2):

у 11 р 1 V /1 .

= 0,41^= 0,4!8/УПЕ (7)

а„ = Ее = Е

0.5с1

К

(8)

Отсюда величина продольной деформации диска с учетом формулы (7) равна:

5 = 0,5с = ^нК = 0.418^^ (9)

Е V Е

Определим длину плеча к (рис.2) как длину по-

н

+

ловины хорды АВ из соотношения:

k = 0,5LAB =ylR2 - (R -£)2

(10)

k = 0.91R4

откуда, учитывая малость величины продольной деформации по сравнению с диаметром диска, получаем:

к = V 2К5-51 (11)

Подставляя в эту формулу значение продольной деформации (9)), получаем зависимость для расчета длины плеча момента сопротивления:

п (12)

Е

Реакция опоры N может находиться в любой точке правой половины дуги АВ (рис.2). В предельном случае она находится в точке В, расположенной на расстоянии к от середины отрезка АВ. Отсюда можно найти предельное значение силы трения качения, используя равенство моментов двух пар сил (1), вес диска и формулу (12): (13)

Р, =^-0,91Р(К)^2К -°9'ГМ

К V Е V Е

Отсюда можно получить предельный коэффициент трения качения (1) учитывая основной закон Амонтона-Кулона(2):

f = FmL = 0,914= 1,214

(14)

Р ' V Е ' V Е Из проделанного анализа можно сделать следующие выводы:

• предельная сила трения качения представляет собой нелинейную возрастающую зависимость от радиуса диска и его удельного веса,

• коэффициент трения качения представляет собой безразмерную величину и может определяться теоретически для стальных поверхностей по формуле (14), из которой следует, что коэффициент трения качения нелиней-

но возрастает с увеличением радиуса диска и его удельного веса, и убывает с возрастанием модуля упругости тела.

Определим практически коэффициент трения качения для стальных поверхностей двух тел при заданных параметрах: радиус диска равен К= 1000 мм, модуль упругости для стали Е = 2^105 МПа =2^105Н/мм2, удельный вес стали Г =7,8 т/м3=7,8^10-5 Н/мм3 по формуле (14):

f = 1,2# = 1,214 7,8 ^10-5;103 = 0,0005б J \E V 2 •Ю5

(15)

По справочным данным коэффициент трения качения «сталь по стали» составляет 0,0005ч0,001 [7]. Таким образом, полученная нами теоретическая формула для расчета предельного коэффициента трения качения показывают хорошую сходимость с практическими данными.

В более общем случае, когда диск и поверхность выполнены из других материалов с одинаковыми коэффициентами Пуассона и модулями упругости длина плеча момента реакции опоры, предельная сила трения и коэффициент трения качения определяются по формулам:

k = Rjj = R4

2E(1 - к )

Fmp = YnR 4

2E(1 -Vі)

f = k = 4

R \2E (1 -к2)

(1б)

Таким образом, на наш взгляд, полученные зависимости коэффициента и силы трения качения от радиуса диска и его механических характеристик позволяют с достаточной степенью точности рассчитать эти значения теоретически и изменяют существующие представления о трении качения, основанные на законах Амонтона-Кулона.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Таpг, С. М. Краткий курс теоретической механики. - М.: Высшая школа, 2009.- 41бс.

2. Никифоpова, В. М., Курс теоретической механики / В. М. Никифорова, А. А. Яблонский. - М.: Высшая школа, 200б. - б08 с.

3. Явоpский, Б. М. Справочник по физике для инженеров и студентов вузов / Б. М. Яворский, А. А. Детлаф, А. К. Лебедев. Изд.8-е.- М.: Оникс. Мир и образование, 2008. - 105б с.

4. Иванов, М. Н. Детали машин. - М.: Высшая школа, 2000. - 383 с.

5. Александpов, А. В. Сопротивление материалов / А. В. Александров, Б. П. Державин, В. Д. Потапов. - М.: Высшая школа, 2008.- 5б0 с.

6. Оpдин, А. А. Некоторые дополнения к законам трения Амонтона-Кулона / Сб. докладов III Международной научной конференции «Актуальные проблемы механики и машиностроения». - Алматы, 2009.

7. Кухлинг, Х. Справочник по физике. Пер. с немецкого. - М.: Мир, 1985. - 520 с.

□ Авторы статьи:

Ордин Антонов

Александр Александрович, Юрий Анатольевич

докт. техн. наук, зав. лаб.подземной канд.техн.наук, доц. каф. горных

разработки угольных месторождений машин и комплексов КузГТУ

Института горного дела сО РАН им. Тел. 8-З842-З9-бЗ-0З

Н.А.Чинакала, профессор НГУ. e-mail: ordin@misd.nsc.ru