CC BY
124
УЕБТЫНС
мвви
ТЕХНОЛОГИЯ СТРОИТЕЛЬНЫХ ПРОЦЕССОВ. МЕХАНИЗМЫ И ОБОРУДОВАНИЕ
УДК 531.4
М.Л. Каган, В.И. Антонов, В.А. Белов
ФГБОУ ВПО «МГСУ»
ОСОБЕННОСТИ СУХОГО ТРЕНИЯ
Рассмотрены некоторые особенности сухого трения, проявляющиеся в известных физических явлениях, но для которых в литературе нет достаточно четких и простых научных обоснований. На основе законов механики рассмотрены причины колебаний струн смычковых инструментов, объяснено различие в звучании струн смычковых и щипковых инструментов; обоснованы причины заноса автомобиля и рекомендации по выводу автомобиля из заноса.
Ключевые слова: сухое трение, точки контакта, сила сцепления, занос автомобиля.
Среди многообразия сил, определяющих взаимодействие материальных тел, особую роль играют силы трения. Поскольку их действие сопровождается переходом части механической энергии в тепло, во внутреннюю энергию, которая теряется и не участвует в механическом движении, то их называют диссипативными силами.
С трением мы сталкиваемся повсеместно. Более того, можно сказать, что если бы трение исчезло, картина мироздания коренным образом изменилась бы, человек даже не мог бы перемещаться по поверхности Земли.
Силы трения принято делить на три отличающихся по своей природе явления:
1) сопротивление, возникающее при движении тела в вязкой жидкости или газе. Изучением этого случая занимается механика жидкости и газа;
2) сопротивление движению, возникающее при скольжении одного тела по поверхности другого, — в этом случае говорят о трении скольжения или сухом трении;
3) сопротивление, возникающее при качении одного тела по поверхности другого, — трение качения.
Как правило, потери механической энергии при трении качения существенно меньше, чем при трении скольжения. Именно поэтому в технике так активно применяют подшипники качения — шариковые, а при больших нагрузках — роликовые. Разницу между трением скольжения и качения уже много тысячелетий до нашей эры понимали в Древнем Египте при строительстве великих пирамид в Гизе: для перемещения огромных блоков песчаника из каменоломен к строительной площадке они использовали примитивный, но хорошо действующий аналог роликового подшипника, подкладывая под перемещаемый блок цилиндрические катки.
В предлагаемой работе рассматриваются некоторые особенности сухого трения. Настоящее исследование возникающих вопросов было начато в эпоху Возрождения. Первые исследования сухого трения были проведены в конце XV в. Леонардо да Винчи. По понятным причинам свои открытия и изобретения он записывал в зашифрованном виде в своих дневниках, и долгие годы они были никому неизвестны. Вновь основные законы трения были независимо открыты французскими учеными Гийомом Амонтоном в конце XVII в. и Шарлем Кулоном во второй половине XVIII в.
Следует отметить, что процессы, происходящие в зоне контакта тел, очень сложны, опыты с трением чувствительны к обработке поверхностей контакта и их чистоте и плохо воспроизводимы. По сути все, что происходит в зоне контакта, представляет
ВЕСТНИК
11/2012
собой «черный ящик», а сформулированные Амонтоном и Кулоном законы носят эмпирический характер [1 —3].
Различают силы трения при относительном скольжении точек контакта поверхностей тел (силы трения скольжения) и силы трения при относительном покое точек контакта поверхностей тел. Последние часто называются силами сцепления.
Модуль силы сцепления и ее направление определяются из уравнений движения тела, в частности, из уравнений равновесия тела при его покое. Однако, как показывает опыт, сила сцепления Есц не может превосходить некоторого своего предельного значения ^тах. При этом предельном значении силы сцепления состояние тела неустойчиво и точки его контакта с другим телом могут начать скользить. В этом случае сила сцепления Есц заменится на силу трения скольжения ¥х. Предельное значение ¥тах силы сцепления Есц (равновесие контактирующих тел уже нарушено, но смещения еще нет) прямо пропорционально величине силы N нормального давления ^тах = /0 N, где /0 — коэффициент статического трения.
Сила трения скольжения ¥х всегда направлена противоположно относительной скорости скольжения точек контакта тела с другим телом. Модуль силы трения скольжения прямо пропорционален величине силы N нормального давления тела на поверхность другого тела в точке их контакта: ^ = , где / — коэффициент динамического трения.
Значение коэффициента трения не зависит от площади контакта тел, но зависит от свойств контактирующих поверхностей.
Величина коэффициента / динамического трения зависит от скорости скольжения точек контакта тела относительно поверхности контакта с другим телом.
Эти эмпирические законы в основном подтверждаются инженерной практикой, хотя в отдельных случаях опыты явно выходили за их рамки. Так при соединении двух лекальных плиток (Иогансона) — хорошо отполированных пластин из специальной стали — предельное значение усилия, необходимого для их смещения друг относительно друга, существенно зависит от площади контакта, но это объясняется тем, что взаимодействие происходит уже на молекулярном уровне.
При нарушении равновесия и скольжении тела сила трения направлена в сторону, противоположную относительной скорости V (рис. 1). Если в этом случае к перемещающемуся телу приложено даже малое усилие перпендикулярно V, тело будет перемещаться в направлении этого малого усилия почти без сопротивления. Этим часто пользуются на практике. Так при бурении скважин в геологии, нефтедобыче, строительстве при подъеме колонки бурильных труб окружающая порода их зажимает, что приводит к непомерному увеличению нагрузки на подъемное оборудование и даже разрыву колонки. В этом случае вращение колонки (рис. 2) резко уменьшает необходимое для подъема усилие.
Рис. 1
Рис. 2
Опыт показывает, что зависимость силы трения от относительной скорости имеет вид графика, приведенного на (рис. 3). При начале движения величина силы трения
Технология строительных процессов. Механизмы и оборудование
VESTNIK
MGSU
F
mm
b
К
У
скольжения ¥т, как правило, становится меньше предельного значения силы сцепления (силы трения покоя) ^тах, с ростом скорости она падает, а после некоторого значения у начинает возрастать.
Эта особенность зависимости ¥
т
от V играет определяющую роль в возникновении автоколебаний в различных механических системах: скрип при торможении железнодорожных вагонов при ^ взаимодействии бандажа колесной пары Рис 3
с тормозными башмаками; возникновение пульсаций в салазочных ременных приводах при их пробуксовке; работа фрикционных муфт и т.д.
Определенный интерес представляет то, что именно этой особенности силы трения обязано возникновение и богатство звука скрипки, альта, виолончели и других инструментов при взаимодействии их струн и движущегося смычка; сами инструменты поэтому и называются смычковыми.
Механизм взаимодействия струн инструмента и волосяной ленты смычка весьма сложен, огромную роль играет материал волос (не у всякой лошади в хвосте можно найти нужные) и канифоли, которой натирают волосяную дорожку. Канифоль в точке контакта нагревается до 70...80 °С и подплавляется. Температура плавления различных сортов канифоли разная, поэтому музыканты используют мягкую канифоль для игры в холодных помещениях и твердую — в концертных залах. В результате при движении смычка энергия продольных колебаний волосяной дорожки непрерывным образом поддерживает поперечные колебания струны, что и определяет красоту звучания скрипичных инструментов. В то же время звучание соизмеримых по размерам щипковых струнных инструментов (гитара, балалайка, мандолина и т.д.) существенно отличается от скрипичных.
Достаточно полную теорию смычка разработал в 30-х гг. XIX в. известный французский механик и математик Жан-Мари Констан Дюамель. За эту задачу и некоторые другие задачи акустики Дюамель был избран во Французскую академию. Дюамель вместе с Ж.Б.Ж. Фурье первым указал на существование обертонов при колебаниях струны. Музыканты об этом явлении знали уже давно, но объяснения дать не могли.
Источником звука во всех струнных инструментах являются колебания струн, ко -торые описываются в простейшем случае волновым уравнением
д2 и 2 д2 и _ 2 Т
— + а2 — = 0; а = , (1)
дг дх2 р0
где Т0 — натяжение струны; р0 — ее линейная плотность; и (х, г) — отклонения точек струны от положения равновесия; при краевых условиях:
и\ = и\ = 0; (2)
\х=0 \х=1 4 7
и начальных условиях: ди
и\ = f (x); — \t=о J \ b dt
= ¥(х), (3)
г=0
где / (х) определяет начальные отклонения, а ¥ (х)— начальные скорости. Решение методом Фурье [3] приводит к выражению
/ \ nna . nna . nn (х,t) = an cos-1 + bn sin-1 • sin—x, (4)
n=1 V l l J l
вестник 11/2012
где
21 п к 2 1 п к
ап =~\I (х Ьп =-1Р (х ^п — хйх. (5)
Вне зависимости от вида / (х) и ¥ (х) коэффициенты ап убывают с ростом п пропорционально 1/п, а Ьп — пропорционально 1/п2. При п = 1 имеем первое слагаемое в (4), которое называется основным тоном или первой гармоникой, а все остальные — обертонами (высшими гармониками).
Для чистоты звука желательно или полное отсутствие обертонов, или хотя бы их значительное ослабление [4]. В случае возбуждения струны начальным отклонением (/(х) ф 0, ¥ (х) = 0) амплитуды обертонов при прочих равных условиях убывают значительно меньше, чем при ударном возбуждении (/(х) = 0, ¥ (х) ф 0). Этим и объясняется более дребезжащий звук щипковых инструментов, где с помощью щипка (плек-тора) и кончиком пальца струна отклоняется от положения равновесия. Аналогичным образом производилось возбуждение струны у предшественника фортепиано — клавесина, где струна оттягивается язычком от пера (теперь пластика). Струна фортепиано возбуждается ударом молоточка, сообщающего начальные скорости точкам струны. При надлежащем выборе формы молоточка и места удара получается почти чистый основной тон.
Рассмотрим еще один пример из совершенно другой области. Всем автомобилистам известно, что при резком торможении и полной потере сцепления колес с полотном дороги (так называемое торможение юзом) даже при прямолинейном движении обязательно возникает занос, т.е. кроме поступательного движения автомобиль начинает вращаться, при этом полностью теряется управление автомобилем и создается аварийная обстановка [5].
Практикой выработаны рекомендации по предупреждению заноса (прерывистое торможение) и выводу из заноса, если он возник. Для заднеприводного автомобиля рекомендуется вывернуть руль в сторону заноса и отпустить тормоза до такой степени, чтобы восстановилось прежде всего качение колес по полотну дороги; для переднеприводного, наоборот, следует вывернуть руль в противоположную сторону и не сбрасывать газ. Встречающиеся в литературе обоснования этих рекомендаций недостаточно четкие. Ниже дается такое обоснование с привлечением элементарных сведений из курса теоретической механики [1, 2].
Приведем соответствующие положения. Изучение динамики движения твердого тела можно свести к задаче статики, если в соответствии с принципом Даламбера ввести силы инерции, которые приводятся к главному вектору Ф сил инерции, приложенному в центре масс, и главному моменту сил инерции МФ, причем ф = -тЖе; Мф = - Jcz8^, где т, Жс, г, Jcz — соответственно масса, ускорение центра масс, угловое ускорение и момент инерции тела относительно вертикальной оси, проходящей через центр масс.
При торможении сила инерции ф направлена в сторону движения автомобиля, а силы трения — в противоположную сторону (рис. 4).
|. л Возникающая при этом пара сил при___II—водит к перераспределению нагрузки: до-
^__^ _^ полнительно нагружается передняя и раз---. >—I гружается задняя оси. Это явление хорошо
(о) Р ( О ) знакомо автомобилистам и проявляется в
//77/////////////////////////////////7Г/////////////////// характерном «клевке» машины при тормо-
Рис. 4 жении.
На устойчивое движение автомобиля и, соответств енно, на управление его движением силы сцепления Рсц и силы трения скольжения р оказывают если не прямо про-
Технология строительных процессов. Механизмы и оборудование
VESTNIK
MGSU
тивоположное, то различное влияние. Движение автомобиля и управление движением будет устойчивым, если колеса автомобиля не потеряют сцепление с полотном дороги. Управлять автомобилем означает, по сути дела, управлять значениями сил сцепления Рсц колес автомобиля с полотном дороги. Основано это на следующем свойстве сил сцепления.
При качении колеса без скольжения модуль его силы сцепления при одном и том же нормальном давлении колеса на полотно дороги может иметь любые значения в интервале < < /о . Частные значения силы сцепления зависят от движения автомобиля, которое и задается водителем автомобиля. Не вдаваясь в подробности динамических уравнений движения, напомним простые их следствия. При равномерном прямолинейном качении колеса на него будет действовать момент сопротивления качения М= кЫ со стороны полотна дороги, где к — коэффициент трения качения. В связи с этим возникнет минимальное значение силы трения ^^ = М0/г , где г — радиус колеса. Такой режим движения автомобиля называется «накатом». Когда водитель нажимает «аккуратно» на педаль тормоза, то тем самым увеличивается тормозными колодками приложенный к колесу момент сопротивления Мс и, следовательно, увеличивается сила сцепления ^сц, оставаясь в области своих возможных значений. В этом случае имеем управляемый режим торможения автомобиля. Если при этом вращать «аккуратно» рулевое колесо, то плоскость вращающегося ведомого колеса автомобиля расположится под небольшим углом к скорости Vc центра масс автомобиля, что создаст боковую составляющую силы сцепления. Эта составляющая силы сцепления переведет движение автомобиля в режим управляемого поворота. И последнее: когда водитель «аккуратно» увеличивает подачу топлива, то тем самым к ведущему колесу через главную передачу прикладывается больший вращательный момент, который увеличивает силу сцепления колеса с полотном дороги. Вращательный момент создает силу сцепления, направленную по направлению движения автомобиля. Это тяговое усилие, оно передается на корпус автомобил . Пока эта сила сцепления имеет значение в области ее возможных значений ^сц < /о |у|, движение автомобиля будет управляемым ускоренным движением.
Действия водителя автомобиля не «аккуратны», а порой опрометчивы, если они привели к скольжению колес автомобиля по полотну дороги. В этом случае говорят о потере сцепления колес с полотном дороги. К этой ситуации могут привести резкое торможение вплоть до «заклинивания» колес автомобиля — торможение «юзом»; резкий поворот рулевого колеса; вхождение в поворот на большой скорости; резкое увеличение подачи топлива. На колеса теперь действует со стороны полотна дороги не сила сцепления _Рсц, а сила трения скольжения Рх. Но величиной силы трения скольжения Р% и ее направлением уже невозможно так просто «управлять», как это можно было делать с силой сцепления ^сц. Поэтому движение автомобиля становится неуправляемым. Для восстановления управления автомобилем требуются время и вполне четкие определенные действия.
Действительно, сила трения скольжения по модулю всегда равна = /|у| , где / — коэффициент динамического трения. Следует отметить, что обычно / < /0, поэтому торможение «юзом», помимо прочих причин, невыгодно. Сила трения скольжения Рт, как уже отмечалось выше, всегда направлена в сторону, противоположную скорости точки колеса, находящейся в контакте с полотном дороги, т.е. абсолютной скорости данной точки колеса.
Поскольку последнее обстоятельство играет особую роль, остановимся на нем более подробно. Пусть точки участвуют в двух движениях со скоростями V1 и V2 (рис. 5), тогда сила трения будет направлена в сторону, противоположную V = + V2. Если модуль вектора V2 много меньше модуля V1, то модуль соответствующей силы
трения Рт2 будет также мал по сравнению с \Рт1 . Поэтому, как уже отмечалось ранее,
ВЕСТНИК
11/2012
¥
1
Рис. 5
значительно легче сдвинуть тело в направлении, перпендикулярном его движению, чем если бы оно находилось в покое.
Перейдем теперь к объяснению причин заноса [5]. При торможении задачу о движении, согласно принципу Даламбера, можно свести к изучению системы сил, введя главный вектор и главный момент сил инерции. На начальном этапе торможения автомобиль совершает поступательное движение, и поэтому силы инерции приводятся к равнодействующей, приложенной в центре масс. Силы трения приложены к колесам в точках контакта последних с полотном дороги и в предельном случае отсутствия скольжения равны , а при скольжении — , где Ык — нормальное давление на дорогу ко -
леса с номером к. При равномерном движении силы Ык равны по модулю соответствующим составляющим силы тяжести Рк , поэтому их центр совпадает с центром масс, точнее с проекцией последнего на полотно дороги. При торможении нагрузка на передние управляемые колеса ув еличивается, а на задние уменьшается, соответственно ведут себя и силы трения Ртр к. В результате центр С' сил трения смещается вперед по ходу движения. Поскольку из-за множества случайных причин (неоднородность полотна дороги, различный износ протектора и т.д.) абсолютная симметрия в распределении сил трения отсутствует, линии действия равнодействующей сил трения Ртр и главного вектора сил инерции не совпадают (рис. 6).
Таким образом, эти равные по модулю и противоположно направленные силы образуют пару сил с моментом М3 = d • |Ф| , стремящуюся развернуть автомобиль. В силу малости плеча d величина М3 не велика. При отсутствии скольжения колес относительно полотна дороги возникающие силы сцепления уравновешивают все имеющиеся силы, в т.ч. уравновешена и пара сил (Ф, Рсци никакого заноса не возникает. Ситуация в корне меняется, если сцепление с дорогой теряется. В этом случае силы трения направлены в стороны, противоположные абсолютным скоростям точек контакта колес с полотном дороги. При этом движению колес автомобиля в направлении, перпендикулярном его поступательному движению, практически ничто не препятствует, так как скорость дополнительного вращательного движения вместе с автомобилем пренебрежимо мала по сравнению со скоростью поступательного движения. В начальный момент заноса эта скорость и вовсе равна нулю. В этой ситуации даже малый по величине момент М3 приводит к повороту автомобиля, т.е. заносу. При этом начавшийся занос приводит к увеличению плеча d, следовательно и момента М3, что усугубляет положение.
Дадим теперь обоснование эмпирических правил предотвращения заноса и борьбы с ним.
Поскольку занос может возникнуть только при потере сцепления колес с полотном дороги, то при торможении, прежде всего, не следует допускать именно этого. Так как предельное тормозное усилие зависит от состояния дорожного полотна и заранее неизвестно, целесообразным является прерывистое торможение, при котором сцепление с дорогой если и теряется, то ненадолго (еще лучше, если у машины есть система АВС).
Если занос все-таки возник (в силу временной задержки реакции водителя, возникнув, он всегда успевает развиться), прежде всего, необходимо восстановить сцепление с дорогой управляемых колес. Оно будет достигнуто, если абсолютные скорости точек колес, контактирующих с дорогой, будут равны нулю. Поскольку при заносе автомобиль участвует в двух движениях: поступательном со скоростью Ус и вращении
с
ф
л*
Рис. 6
Технология строительных процессов. Механизмы и оборудование УЕ5ТЫ1К
_мвви
вокруг вертикальной о си, проходящей через центр масс, то переносная скорость точек колеса равна Уе = Ус + Ую (рис. 7). Относительно автомобиля колесо может вращаться, но для того чтобы абсолютная скорость точки контакта колеса стала равной нулю, этой точке надо сообщить относительную скорость Vг, равную по модулю Уе и противоположно направленную. Для этого плоскость вращения колеса должна быть параллельна Ve, что достигается соответствующим поворотом руля в сторону заноса, тем большим, чем быстрее вращается машина. Кроме того, необходимо отпустить тормоза до такой степени, чтобы управляемые колеса могли вращаться и их точки приобрели требуемую скорость (при этом будет восстановлено их сцепление с полотном дороги). Как только сцепление управляемых колес восстановится, возникающие силы сцепления сразу же ликвидируют развитие неуправляемого заноса. Дальнейшие действия водителя уже вполне естественны: не допуская переход управляемых колес в скольжение, с помощью прерывистого торможения и нерезкого поворота руля выводить автомобиль из заноса.
Именно необходимость поворота руля в сторону заноса, а не наоборот, как следовало бы из ®______ _ е
«здравого смысла», вызывает у водителей (осо- 'у
бенно начинающих) недоумение и даже протест, С
приводящий к тяжелым последствиям. Еще раз у у
подчеркнем, что сказанное относится к задне-приводным машинам (классика). Для передне- Рис 7
приводной модели руль можно поворачивать в сторону, противоположную заносу и не сбрасывать газ, но при этом хорошо бы еще отпустить тормоза передних управляющих колес и осуществлять торможение только задними колесами.
Библиографический список
1. Тимошенко С., Юнг Д. Инженерная механика. М. : Машгиз, 1960. 508 с.
2. Тимошенко С.П. Колебания в инженерном деле. М. : Физматгиз, 1959. 440 с.
3. Журавлев В.Ф. К истории закона сухого трения // Доклады академии наук. 2010. № 1. Т. 433. С. 46—47.
4. Релей Д. Теория звука. В 2 т. М. : ТИТТА, 1956.
5. Розенблат Г.М. Сухое трение и односторонние связи в механике твердого тела. М. : ЛИБРОКОМ, 2011. 208 с.
6. Влахова А.В., Новожилов И.В. О заносе колесного экипажа при блокировке и пробуксовке одного из колес // Фундаментальная и прикладная математика. 2011. Т. II. № 7. С. 56—65.
7. Карапетян А.В., Русинова А.М. Качественный анализ динамики диска на наклонной плоскости с трением // Прикладная математика и механика. 2011. В. 5. С. 45—62.
8. Иванов А.П. Об устойчивости равновесия в системах с трением // Прикладная математика и механика. 2007. Вып. 3. С. 32—37.
9. Климов Д.М. Об одном виде автоколебаний в системе с сухим трением // Известия РАН. Механика твердого тела. 2003. № 3. С. 68—73.
10. Вильке В.Г. Об анизотропном сухом трении и неудерживающих неголономных связях // Прикладная математика и механика. 2008. Т. 72. № 1. С. 54—61.
Поступила в редакцию в сентябре 2012 г.
Об авторах: Каган Михаил Лазаревич — кандидат технических наук, профессор кафедры высшей математики, ФГБОУ ВПО «Московский государственный строительный университет» (ФГБОУ ВПО «МГСУ»), 129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26, (499) 183-28-74;
Антонов Виктор Иванович — кандидат технических наук, профессор кафедры теоретической механики и аэродинамики, ФГБОУ ВПО «Московский государственный строительный университет» (ФГБОУ ВПО «МГСУ»), 129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26, 8(499) 183-24-01, theormech@mgsu.ru;
Белов Виктор Анатольевич — кандидат физико-математических наук, профессор кафедры теоретической механики и аэродинамики, ФГБОУ ВПО «Московский государственный строительный университет» (ФГБОУ ВПО «МГСУ»), 129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26, 8(499) 183-24-01, theormech@mgsu.ru.
вестник 11/2012
Для цитирования: Каган М.Л., Антонов В.И., Белов В.А. Особенности сухого трения // Вестник МГСУ 2012. № 11. С. 183—190.
M.L. Kagan, V.I. Antonov, V.A. Belov
PECULIARITIES OF DRY FRICTION
Some peculiarities of dry friction that represent the outcomes of several well-known physical phenomena but that are insufficiently accurately and simply explained in the scientific literature, are analyzed in this paper. The authors research into the reasons for the oscillation of strings of bowed string instruments in furtherance of the laws of mechanics; they also explain differences in the sound produced by strings of bowed and plucked instruments; they study the reasons for the motor car skid and provide their recommendations how to overcome it.
The recommendation to rotate the steering wheel in the direction of skidding rather than vice versa as the one could expect from the viewpoint of common sense, gives rise to confusion and even protest of drivers (mainly, the new ones) and drastic consequences. Let us once again emphasize that this driving pattern refers to rear-wheel steering cars (so-called "classics"). As for front-wheel drive cars, one can turn the steering wheel in the opposite direction of the skid without retarding the throttle, but it is also advisable to release the brake of the front wheels and fulfill the braking by the rear wheels only.
Key words: dry friction, contact points, traction, skid of the car.
References
1. Timoshenko S., Yung D. Inzhenernaya mekhanika [Engineering Mechanics]. Moscow, Mashgiz Publ., 1960, 508 p.
2. Timoshenko S.P. Kolebaniya vinzhenernom dele [Oscillations in Engineering]. Moscow, Fizmatgiz Publ., 1959, 440 p.
4. Zhuravlev V.F. K istorii zakona sukhogo treniya [About the History of the Law of Dry Friction]. Doklady akademii nauk [Reports of the Academy of Sciences]. 2010, no. 1, vol. 433, pp. 46—47.
3. Reley D. Teoriya zvuka [Theory of Sound]. Moscow, TITTA Publ., 1956.
5. Rozenblat G.M. Sukhoe trenie i odnostoronnie svyazi vmekhanike tverdogo tela [Dry friction and Unilateral Connections in Solid Mechanics]. Moscow, LIBROKOM Publ., 2011, 208 p.
6. Vlakhova A.V., Novozhilov I.V. O zanose kolesnogo ekipazha pri blokirovke i probuksovke odnogo iz koles [On the Skidding of a Wheeled Vehicle when One Wheel Is Locked and Skidding]. Fundamental'naya i prikladnaya matematika [Fundamental and Applied Mathematics]. 2011, no. 7, vol. II, pp. 56—65.
7. Karapetyan A.V., Rusinova A.M. Kachestvennyy analiz dinamiki diska na naklonnoy ploskos-ti s treniem [Qualitative Analysis of Disk Dynamics on the Inclined Surface with Friction]. Prikladnaya matematika i mekhanika [Applied Mathematics and Mechanics]. 2011, vol. 5, pp. 45—62.
8. Ivanov A.P. Ob ustoychivosti ravnovesiya v sistemakh s treniem [Stability of Equilibrium of Systems with Friction]. Prikladnaya matematika i mekhanika [Applied Mathematics and Mechanics]. 2007, no. 3, pp. 32—37.
9. Klimov D.M. Ob odnom vide avtokolebaniy v sisteme s sukhim treniem [Natural Oscillations of a Dry Friction System]. Izvestiya RAN. Mekhanika tverdogo tela [Bulletin of the Russian Academy of Sciences. Solid Mechanics]. 2003, no. 3, pp. 68—73.
10. Vil'ke V.G. Ob anizotropnom sukhom trenii i neuderzhivayushchikh negolonomnykh svyazyakh [Anisotropic Dry Friction and Unilateral Non-holonomic Constraints]. Prikladnaya matematika i mekhanika [Applied Mathematics and Mechanics]. 2008, no. 1, vol. 72, pp. 54—61.
About the authors: Kagan Mikhail Lazarevich — Candidate of Technical Sciences, Professor, Department of Higher Mathematics, Moscow State University of Civil Engineering (MGSU), 26 Yaroslavskoe shosse, Moscow, 129337, Russian Federation; +7 (499)183-28-74;
Antonov Viktor Ivanovich — Candidate of Technical Sciences, Professor, Department of Theoretical Mechanics and Aerodynamics, Moscow State University of Civil Engineering (MGSU), 26 Yaroslavskoe shosse, Moscow, 129337, Russian Federation; +7 (499) 183-24-01, theormech@mgsu.ru;
Belov Viktor Anatol'evich — Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Professor, Department of Theoretical Mechanics and Aerodynamics, (MGSU), 26 Yaroslavskoe shosse, Moscow, 129337, Russian Federation; theormech@mgsu.ru; +7 (499) 183-24-01.
For citation: Kagan M.L., Antonov V.I., Belov V.A. Osobennosti sukhogo treniya [Peculiarities of Dry Friction]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2012, no. 11, pp. 183—190.
