CC BY
45
ВЛИЯНИЕ ПОПЕРЕЧНЫХ ВЫНУЖДЕННЫХ КОЛЕБАНИИ КУЗОВА С УЧЕТОМ ВЯЗКОГО ДЕМПФИРОВАНИЯ НА ПОТЕРЮ УСТОЙЧИВОСТИ АВТОМОБИЛЯ ПРИ ОБЪЕЗДЕ ВНЕЗАПНО ВОЗНИКШЕГО ПРЕПЯТСТВИЯ
Божкова Л.В., д.т.н., профессор Норицина Г.И., к.т.н., доцент Николаева М.С., аспирант, Университет машиностроения
Проводимые многочисленные эксперименты показывают, что при объезде внезапно возникшего препятствия велика вероятность потери поперечной устойчивости автомобиля (опрокидывание) или занос.
В данной работе исследованы вопросы влияния поперечных вынужденных колебаний кузова с учетом демпфирования на занос автомобиля и его опрокидывание при объезде внезапно возникшего препятствия.
Ключевые слова: колебания кузова, препятствие, автомобиль.
THE INFLUENCE OF THE CONSTRAINED VIBRATIONS OF THE BODY WITH THE VISCOUS DAMPING ON INSTABILITY WHEN PASSING A SUDDEN OBSTACLE
Bozhkova L., Doctor of Technical Sciences, Professor Noritsina G., Ph.D., senior lecturer Nikolaeva M., the post-graduate student, University of engineering
Conducted numerous experiments show that the detour of sudden obstacles likely loss of transverse stability of the vehicle (rollover) or oversteer. In this paper we found the impact of the constrained vibrations of the body with the damping on skidding and rollover when passing of sudden obstacles.
Keywords: body movements, obstruction, vehicle.
При объезде внезапно возникшего препятствия (маневре «короткая двойная переставка») возможна потеря поперечной устойчивости автомобиля, представляющей собой боковое скольжение шин (занос), либо опрокидывание автомобиля. [1]
Влияние поперечных вынужденных колебаний кузова на опрокидывание и занос автомобиля при маневре «короткая двойная переставка» исследовано в работах [2], [3]. При этом поперечные вынужденные колебания кузова рассматривались только с учетом влияния упругих сил рессор. Для того, чтобы получить данные исследования при лучшем соответствии действительным условиям, необходимо учесть влияние демпфирующих сил на поперечные вынужденные колебания кузова.
Таким образом, рассмотрим влияние поперечных вынужденных колебаний кузова на потерю поперечной устойчивости автомобиля при учете вязкого демпфирования благодаря наличию демпферов (рис. 1).
Предполагается, что вязкая жидкость в демпфере оказывает пропорциональное скорости сопротивление движению.
RC = -av
(і)
где б - постоянный коэффициент пропорциональности.
На рисунке 1 аналогично, как и в работах [2] - [3], рассмотрена плоская колебательная система, соответствующая случаю, когда центр масс автомобиля (т. С) и кузова (т. Ск) находятся на середине между осями передних и задних колес. Кроме того, предполагается, что
центр крена плоского сечения (т. Су) находится на оси колес. Коэффициенты жесткости всех пружин (С^ ) и коэффициенты пропорциональности сил сопротивления демпферов (б) считаем
Рис. 1. Расчетная схема поперечных вынужденных колебаний кузова с учетом вязкого демпфирования.
77 оин
одинаковыми. На рисунке 1 введены следующие обозначения: Я - радиус колес, р - сила тяжести кузова, Аи - центробежная
сила инерции автомобиля; ДАк , ДА - перемещение точек крепления пружин к кузову в результате его поворота на угол ц вокруг центра крена (т. Су).
Основой исследования поперечных вынужденных колебаний кузова является вид траектории автомобиля [5] при маневре «короткая двойная переставка» (рис. 2).
Рис. 2 . Траектория движения автомобиля при маневре «короткая двойная переставка»
Предполагаем, что отрезки траектории А1А2, А2А3, А4А5, А5А6 (рис. 2) представляет собой дуги окружностей одного и того же радиуса г и одной и той же длины, а скорость движения автомобиля V постоянна.
При этом характер изменения центробежной силы инерции автомобиля описывается ступенчатой функцией [2], а ее величина определяется формулой
2
D«n _ Р v
ц ,
g r
(2)
где р - вес автомобиля.
Рассматриваемая механическая система имеет одну степень свободы. За обобщенную координату системы примем угол ц отклонения кузова от вертикали (рис. 1).
Система находится под действием потенциальных сил - силы тяжести кузова и силы упругости двух эквивалентных пружин, сил сопротивления, испытываемых поршнями двух эквивалентных демпферов при их движении в жидкости, а так же под действием возмущающей силы, равной центробежной силе инерции автомобиля.
Уравнение Лагранжа второго рода в данном случае имеет вид [6].
d. дт _ дт=_дп _ дф Q dt д(& д( д( д& ’
где Т - кинетическая энергия системы,
П - потенциальная энергия,
Ф - диссипативная функция Релея,
Q - обобщенная возмущающая сила, обусловленная действием центробежной силы инерции автомобиля. Кинетическую энергию системы (подрессоренных масс автомобиля) приближенно можно представить в виде:
Т = 21 ( ,
где I —момент инерции кузова относительно продольной оси, проходящей через центр крена (т. С). Потенциальная энергия системы имеет вид [4]:
П = _|рк •h(( + Cl^2(2,
где жесткость эквивалентной пружины равна
с =2с .
э р
Диссипативная функция Релея определяется по формуле [7]
а
ф = у (Vk2 + vМ ) ,
где V и V - скорости поршней демпферов вдоль их осей, обусловленные поворотом кузова на угол ц. При этом эквивалентные коэффициенты пропорциональности сил сопротивления демпферов равны
аэ = 2а.
Скорости точек К и М (поршней демпферов) при повороте кузова на угол ц определяются по формулам
Как следует из рис. l
,(я)
КС
КС
ь.
(я)
MC
МС
Ь.
2 • sin в ’ v 2 • sin в .
В свою очередь приближенные выражения скоростей поршней демпферов вдоль их осей будут иметь вид:
v
v
(я)
-sinв, vм = vМя) -sinв■
Таким образом, на основании (7) с учетом (8) - (11), диссипативная функция Релея примет вид:
(З)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8) (9)
(10)
(11)
(l2)
к
м
Обобщенная возмущающая сила, обусловленная действием центробежной силы инерции (2), определяется по формуле [4]:
.2
Q =—(h - R).
gr
(1З)
В результате подстановки (4), (5), (6), (12), (8) и (13) в уравнение (3) получим дифференциальное уравнение поперечных вынужденных колебаний кузова с учетом вязкого демпфирования
2,
(+ 2n(&+ k ( = Q1 , 2а • Aj
где
2n =
Cv
k2 =
c p •^X - РкК
(14)
(15)
(16)
Cv
Q' =
pv2 (h - R)
grl
(1?)
Cv
а к - частота собственных колебаний системы.
Обобщенная возмущающая сила в соответствии с характером изменения центробежной силы инерции автомобиля при выполнении маневра «короткая двойная переставка» описывается ступенчатой функцией [2] (рис. 3).
Q"
q;
t7 —T /2 =-2t =^Г td=4r
1 1 1 1 1 - 1
U =5т
Рис. 3. Характер изменения обобщенной возмущающей силы при маневре «короткая двойная переставка».
На рисунке 3 время движения автомобиля на каждом участке траектории (рис. 2) обозначено буквой ф.
При п<к и нулевых начальных условиях общее решение дифференциального уравнения (14) можно представить в виде [7]:
1 ‘
( = —7 J Q' • е-n(t-t) • sin k* (t -1')dt'
к
где частота затухающих колебаний к* определяется по формуле
к * =у[к
2 2 n
(1S)
(19)
На основании (18) с учетом характера изменения обобщенной возмущающей силы X (рис. 3) общее решение дифференциального уравнения движения системы (14) примет вид:
( = 2
k2
1 - е nt • (-—- sin k *t + cos k *t) к'
, о < t < t1 ;
(20)
(= о
Q*
k
■* --nt / ф f * f * ч
1 + e • (—- sin kt + cos kt)
Q*
k2
Q*
k2
к
n . *
— sin k t + cos k t
+
+
2Qi*
k2
2Q_
k2
-n(t-12 )
n
e
-n(t-tj )
^ . 7 * / \ 7*/ \
— sin k (t -11) + cos k (t -11)
к* l l
, ti < t < 12 ;(21)
-n(t - tj )
—sin к (t -12) + cos k (t -12)
k* 2 2
-nr sin k * (t -11) + cos k * (t -11)
k
nt
е
е
( = - F -
k *
. j * j * -sink t + cosk t
+ 2Q1 • е-n(t-t1) к2
k *
sin k (t -11) + cos k (t -11)
Q1 • е-n(t-t2)
k2 е
—sin к (t -12) + cos k (t -12)
k* 2 2
(2З)
Ql
k2
n
k*
1 - е n(t tj) (-!_ sin k'(t -13) + cos k'(t -13)
t3 < t < 14;
( Q* -nt
(=-F -
k*
* j * -sin к t + cosk t
, 2Q1 „-n(t-ti)
+ e1 k2
k*
sink (t -11) + cosk (t -11)
+
Q1 e-n(t-t2 ) k2 e Q*
— sin k * (t -12) + cosk* (t -12)
k* 2 2
+ % e k2
-n(t-t3)
— sin k * (t -13) + cosk * (t -13)
k* з з
k2
1 - 2e n(t t4} •(— sin k* (t -14) + cosk * (t -14)) k
14 <t <t,;
+
(24)
( = -—• е
Q1
k
n** sink*t + cosk*t
k*
+
2Q_
k2
е
-n(t-t1)
-—_ sin k * (t -11) + cosk * (t -11) k
Q1 • е-n(t-12) k2 е
-—r sin k * (t -12) + cosk * (t -12)
k* 2 2
+
Q1 „-n(t-t3)
+^2 е
k2
(-^L sin k * (t -13) + cosk * (t -13)
k* 3 3
2Q1 „-n(t-t4)
е4
k2
n**
—sink (t -14) + cosk (t -14)
k* 4 4
+
(25)
+ °L • е-n(t-15' k2
-—r sin k * (t -15) + cosk * (t -15) k
Нетрудно убедиться, что при п=0 (отсутствие демпферов) (20) - (25) совпадают с соответствующими уравнениями поперечных колебаний, полученных в работе [2].
Угол статического отклонения кузова от вертикали определяется по формуле [2]:
(ст г 2 .
k2
(26)
На основании (20) - (25) показано, что в случае, когда время движения автомобиля на каждом из участков его траектории равно
= п
половине периода затухающих колебаний кузова, то есть Т — ~~Г , функции (20) - (25) будут иметь максимальные или минимальные
к
значения соответственно в точках А!, А2, А3, А4, А5 и А6 траектории (то есть в моменты времени ^=ф; 12=2ф; 13=3ф; 14=4ф; 15=5ф).
Таким образом,
к2
nn
в;
2 пп
2в;
; nn
((11)=тт(1+e k); ((t2) = -fr(1 + e k ) —гг •e k ;
1 2 k2 k2
о;
; 3nn
2 nn nn
- о
4 nn
3 nn 2 nn nn
((t3) = —^(e k + 2e k + e k ); ((t4) =-2.(1 + e k + 2e k + e k + e k ); (2?)
n
n
n
n
Є* 5пп 4 пп 3пп 2 пп пп
1 7* 7* 7* 7* 7*
ір(і5) ——2т(£ + 2е к + е к + е к + 2е к +1).
Из (27) следует, что наибольший угол наклона кузова будет при возвращении автомобиля на прежнюю полосу.
На рисунке 4 показаны графики изменения отношения угла наклона кузова к углу статического отклонения в случае, когда время
= п
движения автомобиля на каждом участке его траектории равно половине периода затухающих колебаний кузова (т * ) .
к
Рис. 4. Графики изменения со временем отношение угла наклона кузова к углу статического отклонения при различных значениях
k
отношения
п
Для исследования влияния поперечных вынужденных колебаний кузова с учетом вязкого демпфирования на потерю поперечной устойчивости автомобиля (занос или опрокидывание) необходимо определить нормальные реакции дорожного полотна (^ и ^), а так же
силы трения скольжения (и )), действующие соответственно на левые и правые колеса автомобиля. С этой целью применим
принцип Даламбера к автомобилю [6]. Присоединим к силам, действующим на автомобиль, центробежную силу инерции автомобиля, а также главный вектор и главный момент сил инерции кузова при его поперечных колебаниях. При этом модули касательной и нормальной составляющих главного вектора и главного момента сил инерции кузова определяются соответственно по формулам [6]:
R UH ___ Р к I
RKT Т Г'к
g
(2S)
R'T = — ф • h, g
(29)
М
I
C;
(З0)
где - момент инерции кузова относительно продольной оси, проходящей через центр масс кузова, ц - угол крена, определяемый по (20) - (25).
При этом КиТ и МиН направлены противоположно угловому ускорению, направление которого определяется знаком <& (рис. 5).
В первом приближении пренебрежем изменением положения центра масс автомобиля при крене кузова.
Составим три уравнения кинетостатики на основании силовой схемы, представленной на рис. 5 (приравняем нулю суммы проекций всех сил на горизонтальную ось ОХ и суммы моментов всех сил относительно точек А и В).
■ + R- + RunH sin ф + R™ cos ф — 0;
тр тр ц ;n т кт т "
(З1)
2
N2X- Р- - R' • h - RKT cos <p(h; cos ф + R) - R% sin ф(- + h, sin ф) - M' +
2
.X
+k: cos ф(2+h,sin ф) - k: sin Ф(hкcos ф+R)=°;
(З2)
Рис. 5 Расчетная схема сил, действующих на автомобиль при учете поперечных колебаний кузова.
X X
- NiX+ p 2 + Кh - R™ cos Ф(К cos Ф + R) + R™ sin Ф(- - К sin Ф) -
X (33)
- mukh - r™cos ф(2 - sin Ф) - Rr sin Ф(Ккcos Ф+R) = o,
где FJ? и - силы трения покоя (силы сцепления), действующие на колеса.
В состоянии предельного равновесия, то есть на грани бокового скольжения шин (заноса), силы трения покоя имеют максимальное значение и определяются по формулам:
FJ? = f • N1, FT2 = f ■ W2, (34)
где f- коэффициент трения покоя (коэффициент сцепления).
Принято считать, что опрокидывание автомобиля может начаться в тот момент, когда реакции дорожного полотна, действующие на менее нагруженные колеса, равны нулю, то есть
N = 0 . (35)
Далее будем рассматривать случай наиболее опасный с точки зрения потери поперечной устойчивости автомобиля, когда время движения автомобиля на каждом из участков его траектории при выполнении маневра «короткая двойная переставка» (рис. 2) равно половине
= п
периода затухающих колебаний кузова (т * ). При этом угол крена кузова, как следует из (27), растет и имеет наибольшее значение
к
в момент возврата автомобиля на прежнюю полосу. Кроме того, в этот момент времени, как следует из (20)-(25), угловая скорость ( Ф) равна нулю, а угловое ускорение (&) будет наибольшим и определяться по формуле:
Ф^) = -DQ*, (36)
к
5пп 4 пп 3пп 2 пп пп
где D = e~ir + 2e~lr + e~ir + e + 2eY +1. (37)
На основании (31) - (33) с учетом (34), (35) и (28) - (30) получены два трансцендентные уравнения, позволяющие определить соответ-
ственно скорости заноса (v3) и опрокидывания (v ) автомобиля:
f + ^ + Р* v2 [c°s(a* v2) - f sin(a* v2)] = (38)
2 0, V Л Л
grX grX
где
-2sin(a*v2) - k cos(a*v2„)
О,
(З9)
а
Dp(h - R)
gr (C p К - Рк hK )
(40)
в =
DPK (h - R) • h
I
Cv
gr
(41)
Полученные трансцендентные уравнения (38) и (39) могут быть решены только численными методами.
Для качественной оценки влияния поперечных вынужденных колебаний кузова на величины критических скоростей, при которых может произойти занос или опрокидывание автомобиля, рассмотрим случай малых углов отклонения кузова от вертикали. При этом уравнения (38) и (39) решаются аналитически. В результате скорость заноса автомобиля (у ) и скорость опрокидывания (у ) определяются соответственно по формулам:
fgr
1+
D(h - R)hK P2
(42)
v3 =
__________grK____________
h R
h + D(h - R)(1 +
P
(4З)
где р - радиус инерции кузова относительно продольной оси, проходящей через центр крена.
Следует заметить, что полученные результаты при п=0 (отсутствие демпферов) полностью совпадают с соответствующими результатами работ [2] и [3].
Литература:
1. Подоржанский М., Проверка на дорогах. Осенние перевертыши, газета «Авторевю», № 18, 1998, с. 53-56.
2. Божкова Л.В., Норицина Г.И., Николаева М.С. Влияние явления резонанса на опрокидывание автомобиля при объезде внезапно возникшего препятствия, Транспортное дело Россиии, № 7, 2010г., с. 103 -109.
3. Божкова Л.В., Норицина Г.И., Николаева М.С. Влияние поперечных вынужденных колебаний кузова на занос автомобиля при объезде внезапно возникшего препятствия, Транспортное дело Россиии, № 1, 2011г., с. 51-55.
4. Божкова Л.В., Рябов В.Г., Норицина Г.И. Влияние поперечных вынужденных колебаний кузова на опрокидывание автомобиля при объезде препятствий, Транспортное дело России, № 3, 2009, с. 141 - 151.
5. Ретенберг Р.В., Подвеска автомобиля, М.: Машиностроение, 1972, с. 392.
6. Добронравов В.В., Никитин Н.Н., Курс теоретической механики, М.: Высшая школа, 1983, с. 575.
7. Яблонский А.Д., Норейко С.С., Курс теории колебаний, М.: Высшая школа, 1975, 248 с.
v
on
2
ПРОГНОЗИРОВАНИЕ ЦЕН АКЦИЙ НА РОССИЙСКОМ ФОНДОВОМ РЫНКЕ ПРИМЕНИТЕЛЬНО К АКЦИЯМ ТРАНСПОРТНЫХ КОМПАНИЙ
Акименко А.В.
Статья актуальна в наши дни, потому что существует множество методов для прогнозирования стоимости акции, но нет единого подхода. В данной статье применяется статистический метод, с помощью которого определяется будущая цена акции.
Автор в своей работе подробно рассмотрел поведение акций транспортных компаний и описал их зависимость от финансовых индикаторов.
Ключевые слова: фондовый рынок, акции, уравнение тренда, корреляция, финансовый индикатор, прогнозирование, диверсификация, нефть, валюта, золото, цена, спекуляция, зависимость.
FORECASTING OF SHARE PRICES ON RUSSIAN STOCK MARKET
Akimenko A.
The article is actually in our days, because there are many methods for forecasting share prices, but there is no common approach. In this article, we use statistic method by which determine future price of share.
In the work author carefully considered the behavior of shares of transport companies and described their dependence from financial indicators.
Keywords: Stock market, shares, trend equation, correlation, financial indicator, forecasting, diversification, oil, currency, gold, price, speculation, dependence.
В процессе своего существования компания проходит через различные этапы развития. Неизбежно наступает такой момент, когда собственный капитал не может обеспечить оптимальную динамику развития бизнеса и перед компанией встает задача выбора эффективных инструментов финансирования.
Принято считать, что классическая линейка инструментов корпоративного финансирования выглядит следующим образом: банковский кредит - выпуск векселей и/или облигаций - проведение публичного размещения акций. Однако следует понимать, что публичное размещение акций - это наивысшая ступень, требующая не
