Теоремы вложения разных метрик для классов функций с доминирующим смешанным модулем гладкости Текст научной статьи по специальности «Математика»

n— 1

2\S(a)\2 = \S(a)\2 + \S(-a)\2 < £

t=i

e

x=1

p

откуда

Теорема доказана.

ic/ м ^ Рп(п-1) Пу/р

№)| < \1-2- <

= pn(n — 1),

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Weil A. On some exponential sums // Proc. Nat. Acad. Sci. USA. 1948. 34, N 5. 204-207.

2. Виноградов И.М. Избранные труды. М.: Изд-во АН СССР, 1952.

3. Карацуба А.А. Об оценках полных тригонометрических сумм // Матем. заметки. 1967. 1, № 2. 199-208.

4. Акулиничев Н.М. Оценки рациональных тригонометрических сумм специального вида // Докл. АН СССР. 1965. 161, № 4. 743-745.

5. Кострикин А.И. Введение в алгебру. Основы алгебры. М.: Физматлит, 2004.

Поступила в редакцию 22.10.2012

2

УДК 511

ТЕОРЕМЫ ВЛОЖЕНИЯ РАЗНЫХ МЕТРИК ДЛЯ КЛАССОВ ФУНКЦИИ С ДОМИНИРУЮЩИМ СМЕШАННЫМ МОДУЛЕМ ГЛАДКОСТИ

Т. Ф. Исмагилов1

В работе доказываются теоремы вложения в смешанной норме для классов функций с доминирующим смешанным модулем гладкости, являющихся обобщениями хорошо известных классов Никольского.

Ключевые слова: доминирующий смешанный модуль гладкости, теоремы вложения, смешанная норма.

Embedding theorems in a mixed norm are proved in the paper for classes of functions with a dominanting mixed modulus of smoothness being extentions of well-known classes of Nikol'skii.

Key words: dominanting mixed modulus of smoothness, embedding theorems, mixed norm.

Хорошо известны классы функций Никольского Н^^ и SH^^2 и теоремы вложения для них (см., например, [1-8]). В работе [9] введены в рассмотрение классы функций SH(pi,p2,ai,a2,Pi,в), являющиеся обобщениями этих классов, и рассмотрены теоремы вложения разных метрик, доказаны условия, при которых SH(pl,p2, а1, а2,в1 ,в2) С SH(ql, q2, а\, а?, в?, в), 1 ^ Pi < ^ с, i = 1, 2, в случае, когда и > ---—. В настоящей работе рассматриваются для этих же классов функций теоремы

вложения в случае, когда одно из этих условий заменяется условием 0 < [3i ^ — ф .

Будем писать, f £ Lpip2, если f (xi,x2) — измеримая на [0,2п]2 функция двух переменных, 2п-периодическая по каждому из них и такая, что \\f\\piР2 ^ C < с, где 1 ^ рг ^ то; \\f\\ p2 =

Iipi}\\p2; \\F\\pi = (/02n\F\Pidxi)1/Рг, если 1 ^ Pi < с; \\F\\p. = sup vrai \F|, если рг = с.

xe[o ,2n)

Обозначим через

Wfcx (/A )pi ,p2 = sup \hi |

Efcl=o (-1)'1 CH/(xi + vihi,x2)

P1,P2

1 Исмагилов Тимур Фаритович — асп. каф. теории функций и функционального анализа мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: tismagilov@mail.ru.

модуль гладкости порядка к\ функции /(Х\,Х2) по переменной Х\, через

(/,52)рър2 = вир

\Ь.2 |

Е!2=о (-^Ск/(Х1.Х2 + У2Н2)

Р1,Р2

модуль гладкости порядка к2 функции /(Х1,Х2) по переменной Х2, через

^2 (/,^1,62)РЪР2 = вир II £к1 0 (-1р СЦ ^ 0 МГ С^/(Х1 + VI Ы,Х2 + ^2)||РьР2

смешанный модуль гладкости функции /(Х1,Х2) порядка к1 по переменной Х1 и порядка к2 по переменной Х2 •

Будем писать / е БН(р1,р2,а1,а2,в1 ,@2), если 1 ^ р^ ^ ж, а^ > 0, вг > 0, к^ е N г = 1,2, и выполнены условия:

/ е -Ьр1,р2;

2) Шк1 (/А)Р1Р2 < т18Т, V¿1 е (0,1],к1 > а1;

3) Шк2(/, $2)р1,р2 ^ т-2$22, V¿1 е (0,1],к2 > а2;

4)^кзк4(/,¿1 ,¿2)р1 ,Р2 < т^г1¿^, VSi е (0,1],г = 1,2, к3 > &, к4 > в2,

где постоянные т1, Ш2 и т33 не зависят от ¿1 и ¿2-

В работе [9] показано, что класс функций БН(р1 ,Р2,а1,а2,@1 , в) при а1 = @1,а2 = @2 совпадает с классом БНр^ръ , при ^ + = 1 — с классом , а при ^ + ^ > 1 является обобщением классов

На1 >а2 и СНа1 'а2 НР1,Р2 и БНР1,Р2 -

В работе [9] доказаны следующие теоремы вложения.

Теорема 1. Пусть / е БН {рг,р2, скь а2, /?ь /32), 1 ^ Рг < 9г ^ оо7 г = 1,2, ± - ± < (Зх ^ аь

¿-¿<<*2<&,01 = 1-(7*Г " + ^ (й " ¿)) > «I = «^Ь «2 = «2 - - ¿),

Теорема 2. Яустъ / е 5"Я (рьр2, «1, «2, А, /%), 1 < Рг < Яг < оо7 г = 1,2, + & ^ 1,

< «ь < /з2 < «2, * = + > 0,^2 = 1-

й >°7 «I ^ = я = я

тогда / е БН(д1,д2,а*1 ,а2,Р2,в2)-

Теорема 3. Пусть / е БН {рг,р2, скь а2, /?ь /32), 1 ^ Рг < <?г ^ оо7 г = 1,2, - ± < ац ^ /?ь

- " - < р2 < «2, = 1 - (— Г- - + Г- - -"Л > 0, а? = «1 - - а? = а202,

Р2 92 ^2 ^ 27 2 V "2 \Р2 92) а2@1 \Р1 91 У У 1 1 \Р1 д1) 2 22

131 =¡31- (¿-¿)> 02 =02- тогда ! ЕБН{дъд2, аХ,а1, (3\, (3*2).

Теорема 4. Пусть / е БН (р2,р2, скь а2, /?ь /32), 1 ^ Рг < % ^ °о7 г = 1,2, - ± < ац ^ /?ь

= «2- -(¿-£Ь02* =02то-

гда / е БН (41,42,а*,а2,в1*,в2*)•

Далее приведены теоремы вложения для того же класса БН(р1,р2, а1,а2,@1,@2) в случае, когда одно из условий А > + заменено на условие 0 < ^ —

Теорема 5. Яусть / е 5*Я «1, «2, А,/Зг), 1 ^ Рг < % ^ оо7 г = 1, 2, 0 < Д ^ ^ - ^ < аь

/32 > 7 , ч ^ «2 > " -Ч 1?! = 1 - ^ - + ^ (- " -"Л >0,^-^<7<

а-,_(А___к) Р2 927 1 91 У "1/?2 92 У У 7 Р1 91 '

\,Р1 «1 /

«1 - ^«2, «I = «101, «5 = «2 - - ¿), Я = 7 - - £), = - (А - ¿)7 ^

/ е БН (д1,д2,аХ,а*2,в1 ,в2)^

Доказательство. Обозначим 71 = 7 и 72 = тогда, используя свойства модуля гладкости, получим, что справедливы соотношения

0^-7 7 /Э1("1~7)

^к1к2 (/,¿1,¿2)pl,p2 = ^к1к2 (/^1^2)р1,Р2) а1 1 [Мкк (/^1^2)Р1,Р2] а1 а1 а1 1 ^

"1-7 о¡1-/31

икг И, ¿1X

Л___/э1("1~7) "1-7 /3,(^1-7)

где постоянные С1 и С2 не зависят от ¿1 и 52.

Следовательно, имеет место вложение БН (р1,р2,а1 ,а2,@1,(32) С БН (р1,р2,а1,а2,41,72). Так как

1 - (■± (■± ~ + (±-±)) =1-(-(±-±)+ ^ и числа а*, ъ, г = 1,2, удовле-

ql} аг72 \Р2 92 ) ) ург дг у агв2 \Р2 92 ) ) " ' '

творяют условиям теоремы 1, то, применяя теорему 1, получим справедливость утверждения теоремы 5. Теорема 6. Пусть / е БН {р\,р2, скь а2, /?ь /32), 1 ^ Pi < gi ^ оо, I = 1,2, 0 < ^ ^ ф - -ф < а1;

- ф < а2, шах ( ^(«1 - Рг), К 1 < 02 < а2-

" Г Ми"«) 1

X 1

Р2

.1___к V Р1 91

в2 V Р2 92

$1 = 1 -

X [ J___к ) + »!-/?! М___к

«1 91 У \ Р2 92

> о, $2 = 1 -

( 1___|Л («1-/?1)«2-(«1-7)/?2 ( 1___¡Л^

"2 \Р2 92 ) («1-/81)0:27 / /

а? = а* = а20'2, ^ = 7 " " ¿), /?2* = - - тогда / е д2, а?, а*, /3*, /3*).

Доказательство. Обозначим 71 = 7, 72 = а1-1з-1 ' ТОГДа> используя свойства модуля гладкости, получим, что справедливы соотношения

_ 7 ^1(0:1-7)

^^(/Л^РъРз = (^^(/ЛЛ^ьРа)"1^1 (ик1к2(/,б1,62)рър2)а1 «1(<Ч-^1) <

"1-7 I а,

^ икгк2 (f, ¿1, ¿2)

Рг,Р2

"1-7 "1-/91

/31(о!1-7)

__/ а а \ -7 Р1{а1~7)

где постоянные С3 и С4 не зависят от ¿1 и ¿2.

Следовательно, имеет место вложение БН(р1,р2,а1,а2,01,02) С БН(р1,р2,а1,а2,^1,^2). Так как

1

1

а1

1

р1

+

а1 — 41 ( 1

а1Ъ \р2

= 1 -

-с1-1

а1 \р1 д1

+

а1 — в1 { 1 1

аф2 \р2 92

1

, «2-72П

«2 \Р2 <?2 / «271

= 1 -

+ («1 - А) а2 - («1 - 7) 02 (]__!_ а2\р2 д2) (04-/31)0:27 д1

и числа р%,дг,аг,1 = 1,2, удовлетворяют условиям теоремы 2, то, применяя теорему 2, получим, что справедлива теорема 6.

Теорема 7. Пусть / е БН (р\,р2, а\, а2, ¡3\, (32), 1 ^ Рг < дг ^ оо7 г = 1, 2, (3\ > а\—а2~/?2 ^ о>\ >

"2-1 —----

2 V Р2 42

X 1

Р1

--, 0 < (32 < < а2; < 7 < аг-22^«!, 02 = 1- I"— (- - + ^г1 ~ > 0, а? =

дг> гг ^ р2 д2 2 р2 92' 2 вг 1! 2 а2 \Р2 Я2) а2вг \Рг дг) ' 1

~ {к ~ ' «2 = «2^2, = А~ - , /31 = 7-- ¿), тогда / £ 5Я д2) а|, а^, /3?, /3|).

Теорема 8. Пусть / е ¿>Я {р\,р2, а\, а2, [3\, [32), 1 ^ Pí < gí ^ оо, г = 1,2, тах а2 - [32),

V Р2 42 /

= 1 —

X {J___I (»2-/32)«1-(«2-7)/?1 (J___к

«1 I Р1 91 У («2-/32)017 \Р2 92

$2 = 1 —

— ( ----~ ) +

а2 \Р2 92 '

2 \Р2 42 / а:2-132 ( I___к

А

«2-/32 / J___к

<22/81 УР1 91

f е БН (д1,д2,а*1,а*2,01,0$).

Теоремы 7, 8 доказываются аналогично теоремам 5, 6, только вместо ссылки на теорему 1 следует сделать ссылку на теорему 3.

Работа выполнена при поддержке программы "Ведущие научные школы РФ", проект НШ-3682-2014-1, и РФФИ, проект №13-01-00043.

> 0; «I = <4 = «2^2, Я = " " £)> Я = 7 " (£ " ¿), тогда

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Никольский О.М. Функции с доминирующей смешанной производной, удовлетворяющей кратному условию Гёль-дера // Сиб. матем. журн. 1963. 4, № 6. 1342-1364.

2. Бахвалов Н.С. Теоремы вложения для классов функций с несколькими ограниченными производными // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 1963. № 3. 7-16.

3. Лизоркин П.И., Никольский С.М. Классификация дифференцируемых функций на основе пространств с доминирующей смешанной производной // Тр. Матем. ин-та АН СССР. 1965. 77. 143-167.

4. Никольский С.М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. 2-е изд. М.: Наука, 1977.

5. Бесов О.В., Ильин В.А., Никольский С.М. Интегральные представления функций и теоремы вложения. М.: Наука, 1975.

6. Кудрявцев Н.Л. О приближении функции целыми функциями экспоненциального типа и теоремах вложения в смешанной норме // Тр. Матем. ин-та АН СССР. 1984. 170. 191-202.

7. Потапов М.К. Приближение "углом" и теоремы вложения // Math. balk. 1972. 2. 183-198.

8. Потапов М.К. Теоремы вложения в смешанной метрике // Тр. Матем. ин-та АН СССР. 1980. 156. 143-156.

9. Исмагилов Т.Ф. Теоремы вложения классов функций с доминирующим смешанным модулем гладкости // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2013. № 3. 3-10.

Поступила в редакцию 11.02.2013

УДК 519.6

ОПТИМИЗАЦИЯ ЭКСПЕДИЦИИ К ФОБОСУ ПРИ УПРАВЛЕНИИ

ИМПУЛЬСАМИ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ЛАМБЕРТА И УЧЕТОМ ПРИТЯЖЕНИЯ ЗЕМЛИ И МАРСА

А. С. Самохин1

Оптимизируется траектория экспедиции к Марсу и его спутнику Фобосу с возвращением на Землю. На каждом участке траектории учитывается притяжение одного из тел — Солнца, Земли или Марса. Положения Земли и Марса соответствуют эфемеридам DE424, а положение Фобоса — эфемеридам MAR097. Предполагается наличие не более шести импульсов на траектории. Космический аппарат, стартующий от Земли в интервале 2020-2030 гг., должен пробыть на Фобосе не менее 30 дней, при этом общее время экспедиции ограничено 1500 днями. Минимизируется характеристическая скорость.

Ключевые слова: оптимизация межпланетных перелетов, экспедиция к Фобосу, задача Ламберта.

The trajectory of expedition to Mars and its satellite Phobos with returning to the Earth is optimized. The attraction of the Sun or the Earth or Mars is considered at each part of the trajectory. The Earth and Mars positions correspond to ephemerides DE424, and the position of Phobos — to ephemerides MAR097. Not more than 6 impulses are assumed at the trajectory. Spacecraft must start from the Earth in the period of 2020-2030 and stay at Phobos at least for 30 days. The total time of the expedition is limited to 1500 days. The characteristic velocity is minimized.

Key words: interplanetary transfer optimization, expedition to Phobos, Lambert's problem.

Рассматривается актуальная задача [1] оптимизации экспедиции космического аппарата (КА) к естественному спутнику Марса Фобосу с возвращением на Землю. Гравитационное поле Солнца считается центральным ньютоновским. Положения Земли и Марса соответствуют эфемеридам DE424. Последовательно решаются 3 задачи: A) притяжение этих планет не учитывается, B) притяжение учитывается согласно методике точечных сфер действия, С) гравитационные поля Земли и Марса считаются центральными ньютоновскими, когда КА находится в сфере действия одной из этих планет, а вне сфер действия не учитываются. Управление КА осуществляется импульсными воздействиями. Момент старта КА от Земли выбирается из интервала 2020-2030 гг., но при анализе получившихся результатов рассматривается более широкий временной диапазон. Общее время экспедиции ограничено 1500 днями. Между моментами прилета к Марсу и отлета от Марса КА осуществляет научные исследования, продолжительность которых составляет не менее 30 дней.

1 Самохин Александр Сергеевич — асп. каф. вычислительной математики мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: kipt35@gmail.com.