CC BY
212. Бахвалов Н.С. Теоремы вложения для классов функций с несколькими ограниченными производными // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 1963. № 3. 7-16.
3. Лизоркин П.И., Никольский С.М. Классификация дифференцируемых функций на основе пространств с доминирующей смешанной производной // Тр. Матем. ин-та АН СССР. 1965. 77. 143-167.
4. Никольский С.М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. 2-е изд. М.: Наука, 1977.
5. Бесов О.В., Ильин В.А., Никольский С.М. Интегральные представления функций и теоремы вложения. М.: Наука, 1975.
6. Кудрявцев Н.Л. О приближении функции целыми функциями экспоненциального типа и теоремах вложения в смешанной норме // Тр. Матем. ин-та АН СССР. 1984. 170. 191-202.
7. Потапов М.К. Приближение "углом" и теоремы вложения // Math. balk. 1972. 2. 183-198.
8. Потапов М.К. Теоремы вложения в смешанной метрике // Тр. Матем. ин-та АН СССР. 1980. 156. 143-156.
9. Исмагилов Т.Ф. Теоремы вложения классов функций с доминирующим смешанным модулем гладкости // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2013. № 3. 3-10.
Поступила в редакцию 11.02.2013
УДК 519.6
ОПТИМИЗАЦИЯ ЭКСПЕДИЦИИ К ФОБОСУ ПРИ УПРАВЛЕНИИ
ИМПУЛЬСАМИ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ЛАМБЕРТА И УЧЕТОМ ПРИТЯЖЕНИЯ ЗЕМЛИ И МАРСА
А. С. Самохин1
Оптимизируется траектория экспедиции к Марсу и его спутнику Фобосу с возвращением на Землю. На каждом участке траектории учитывается притяжение одного из тел — Солнца, Земли или Марса. Положения Земли и Марса соответствуют эфемеридам DE424, а положение Фобоса — эфемеридам MAR097. Предполагается наличие не более шести импульсов на траектории. Космический аппарат, стартующий от Земли в интервале 2020-2030 гг., должен пробыть на Фобосе не менее 30 дней, при этом общее время экспедиции ограничено 1500 днями. Минимизируется характеристическая скорость.
Ключевые слова: оптимизация межпланетных перелетов, экспедиция к Фобосу, задача Ламберта.
The trajectory of expedition to Mars and its satellite Phobos with returning to the Earth is optimized. The attraction of the Sun or the Earth or Mars is considered at each part of the trajectory. The Earth and Mars positions correspond to ephemerides DE424, and the position of Phobos — to ephemerides MAR097. Not more than 6 impulses are assumed at the trajectory. Spacecraft must start from the Earth in the period of 2020-2030 and stay at Phobos at least for 30 days. The total time of the expedition is limited to 1500 days. The characteristic velocity is minimized.
Key words: interplanetary transfer optimization, expedition to Phobos, Lambert's problem.
Рассматривается актуальная задача [1] оптимизации экспедиции космического аппарата (КА) к естественному спутнику Марса Фобосу с возвращением на Землю. Гравитационное поле Солнца считается центральным ньютоновским. Положения Земли и Марса соответствуют эфемеридам DE424. Последовательно решаются 3 задачи: A) притяжение этих планет не учитывается, B) притяжение учитывается согласно методике точечных сфер действия, С) гравитационные поля Земли и Марса считаются центральными ньютоновскими, когда КА находится в сфере действия одной из этих планет, а вне сфер действия не учитываются. Управление КА осуществляется импульсными воздействиями. Момент старта КА от Земли выбирается из интервала 2020-2030 гг., но при анализе получившихся результатов рассматривается более широкий временной диапазон. Общее время экспедиции ограничено 1500 днями. Между моментами прилета к Марсу и отлета от Марса КА осуществляет научные исследования, продолжительность которых составляет не менее 30 дней.
1 Самохин Александр Сергеевич — асп. каф. вычислительной математики мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: kipt35@gmail.com.
В задачах А и В в моменты прилета КА к Земле и к Марсу и в моменты отлета от них положение КА совпадает с положением центров данных планет. Модулями векторов разности скоростей КА и указанных планет определяются величины требуемых импульсных воздействий ДА в задаче А. Минимизируемым функционалом ^ в задачах является сумма всех импульсов, кроме последнего. Считается, что в момент окончания экспедиции К А осуществляет торможение за счет атмосферы Земли. Поэтому на траектории возврата к Земле ее притяжение не учитывается, и на последнем участке решается задача попадания в центр Земли. В задачах А и В импульсные воздействия осуществляются только у Земли или у Марса, поэтому траектория КА и значение функционала однозначно определяются четырьмя моментами времени, отсчитываемыми в днях от начала 2020 г: старт КА от Земли Те, прилет к Марсу Т]^, отлет от Марса Тмь и прилет назад к Земле Теь. Так как перелеты КА от Земли к Марсу и от Марса к Земле происходят в центральном ньютоновском гравитационном поле (ЦНГП) Солнца, то предположение об отсутствии промежуточных импульсных воздействий на этих двух перелетах приводит к решению задач Ламберта, т.е. поиску скорости vo, необходимой для пассивного перелета из го в момент времени ¿о в гх в момент времени Ь\. В случае неединственности решения задачи Ламберта выбирается решение, соответствующее меньшему значению функционала. Обозначим т = — ¿о, Тац = Теь — TEf, Tf = Tмf — TEf,
ГТ1 _ ГТ1 ГТ1 ГТ1 _ ГТ1 ГТ1
т АРЬ = ТМЬ — TMf, Ть = ТЕЬ — ТМЬ-
В работе задачи Ламберта решаются методом, описанным в [2]; предполагается, что угловая дальность искомых траекторий не превышает 4п. А именно вводится универсальная переменная в — фиктивное время: ё = -р, «(¿о) = 0. Тогда в > 0 при £ > ¿о- Далее под в имеется в виду «(¿1). Следуя [3], запишем интеграл энергии в рассматриваемой задаче: Ь = V2 — ^г, где /х = = 1, 32712440018 • 1011 км3/с2 — гравитационный параметр Солнца, Ь — постоянная энергии. Тогда можно показать, что = г1-,у1-го-,уо-Ьт ^
Пусть (р — угловая дальность перелета. Определим р = ^о+п1 с°8 2' ввеДем следующие переменные: х = — Ь^2, где для эллиптических траекторий х > 0, для гиперболических х < 0] г = Щ- — ттк, где к е — число полных оборотов; = °°8*; Я^) = л/2р - 2соз,г + л/2; и для п = 0,1, 2, ...
определим функции Штумифа Сп(х) = ¿2 (2т+п)\ • При суммировании этих рядов получаются аналити-
т=О
1 /— вт у/х 1-сое л/ж у/х—ът у/х . п 1 /--вЬ \/—х
чес кие формулы: с0 = сое д/ж, Сх = с2 = -с3 = у , х > 0; с0 = сЬ^-ж, С\ =
_ сЬ у/—х — 1 _ вЬ у/х—у/—х _ сЬ у/—х — 1+ж/2 _ вЬ у/—х—у/—х-\-(ху/—х)/6 _ сЬ у/—х — 1+ж/2—ж2/24
С2 - — , Сз - , С4 - ^ , С5 - ^К/Т^ ' С6 - Г^з При
х < 0. Из универсального уравнения Кеплера т = Говс1 + го • voв2C2 + р.в2С2 следует, что
-о =-^ - Л - ^а) го) . (1)
т — р.в3с3 V V Го ) )
Обозначим
(го + ri)3/2
Тогда s можно выразить в виде
а = --^ . • т, и = л/ 1 — \/2pcosz. (2)
Го + ri
и. (3)
/ЛС2
По формуле x = 4 • (z + nk)2 можно найти u из (2), далее из (3) найти s и получить решение vo из (1).
- fin2
В эллиптическом случае имеем нелинейное уравнение Ф(-г) = + pj и = а, в гиперболическом случае —
уравнение F(a;) = -щ^и3, + ри = а, которые решаются методом Ньютона [4, 5]. Для реализации метода c2
Ньютона необходимо знать производные этих функций:
u2(4u2 + 3^r]) + 2p2 sin2z 4-с5+ 4с6 з / с3 2 \
=-—:-' =-з?2-и + 3_зТ2'и + Р —•
2a/2m sin z 4с2' \ 4' J 8и
Особенность такого метода решения задачи Ламберта заключается в том, что при к = 0 функции Фи F монотонны, а при фиксированном к > 0 численные эксперименты показывают, что Ф выпукла в области поиска решения. Поэтому модифицированный метод Ньютона быстро сходится для всех к с любого начального приближения, после чего остается лишь применить указанные выше аналитические
s
формулы. Пусть ит = — л/2\р\- При фиксированном к может существовать 0, 1 или 2 решения уравнения Ф(г) = и. Если к = 0, то решение существует и единственно. При к ^ 0 в качестве начального приближения для г в эллиптическом случае можно взять г^1, при к > 0 приближением для второго корня
(2)
может служить Z0 :
J1)
Zn = n -
r(k +1)
— уЗ 3 т
+ а - pUm
1/3
v(2)
nk
а/2 (а - рит)
1/3
В гиперболическом случае в качестве начального приближения можно брать числа, близкие к нулю.
Данные задачи имеют значительное число экстремумов, которые ищутся методом градиентного спуска [6], стартующим из узлов сетки в области изменения параметров задачи. При решении задач А и В рассматривалась сетка с шагом 20 дней по каждому из параметров. Лучшие (в смысле наименьших значений) 5 локальных минимумов, полученных в результате решения задачи А, представлены в табл. 1.
При варьировании Те в месячном промежутке для локальных минимумов табл. 1 значение функционала ^ ухудшается не более чем на 5%.
Таблица1
F, км/с Д1, км/с Д2, км/с Дз, км/с TEt, дни Тац, дни Tf, дни Тдрь, дни Ть, дни
8,09 3,0 2,6 2,5 2496 1014 310 335 339
8,15 3,0 2,6 2,5 2496 946 310 341 265
8,32 3,0 3,0 2,3 3250 1034 301 385 318
8,48 3,4 2,5 2,7 1736 990 334 306 320
8,50 3,4 2,5 2,7 1736 953 333 315 274
Зависимость F(Tgf) похожа на логарифмическую. Численный эксперимент показал, что для этих локальных минимумов выполнены условия второго порядка: матрицы вторых производных функционала в зависимости от четырех параметров задачи A положительно определены. При измельчении сетки и ее разрежении в 2 раза получаются те же локальные минимумы, что косвенно подтверждает устойчивость алгоритма поиска локальных минимумов.
Траектория перелета от Земли к Марсу на оптимальной экспедиции (соответствующей первой строке табл. 1) совпадает с лучшей тракторией перелета к Марсу со стартом в 2020-2030 гг. Если ее дополнить лучшей траекторией возврата к Земле 2020-2030 гг., на которой старт к Земле происходит при Тмь = 3935 дней, то общее время такой экспедиции составит 1787 дней, что превышает допустимые 1500 суток, а значение функционала на такой траектории лучше на 150 м/с. Оптимальное значение функционала для экспедиции без ограничения на дату старта, но с условиями: КА должен пробыть на Фобосе не менее 30 дней, а общая продолжительность миссии не должна превысить 1500 дней — равно 8, 06974 км/с. Значения функционала для найденных минимальных по Te ^ 0 и лучших по функционалу экспедиций, стартующих в 2263 и 2026 гг., равны 8, 08638 и 8, 09233 км/с соответственно. Значение функционала на лучшей траектории 2026 г. отличается от функционала на абсолютно оптимальной траектории на 23 м/с.
Значение функционала оптимального перехода от Земли к Марсу — 5, 59911 км/с — лучше суммы первых двух импульсов оптимальной траектории 2026 г. — 5, 61278 км/с — на 13, 6 м/с (и на 0, 2%). Значение функционала оптимального перехода от Марса к Земле — 2, 32411 км/с — лучше соответствующего импульса оптимальной траектории экспедиции, стартующей в 2026 г., — 2, 47954 км/с — на 155 м/с (и на 6, 2%).
Отличие значения функционала лучшей экспедиции 2026 г. от функционала лучшей экспедиции 2020 г. составляет 16,4%; 2020 г. интересен тем, что в этом году предварительно запланирован повтор российской экспедиции к Фобосу — проект "Фобос-грунт 2".
В задаче B считается, что полученные в задаче A скорости КА относительно планет — импульсы ДА в моменты времени Te , TMf, Тмь — на самом деле достигаются не в центре планеты P, а в какой-то точке сферы ее действия радиуса piP [3, с. 538]. Для каждой траектории справедлив интеграл энергии, на сфере действия и на круговой орбите искусственного спутника (ОИС) высотой hp он имеет вид соответственно
(ДА )2
pip
h
vyx p
^p
RP + hP
(4)
U
U
m
m
2
2
2
где И — постоянная энергии, уух Р — скорость КА на круговой орбите высотой ЬР после импульса в планетоцентрической системе координат (СК). Для Земли /лЕ = 3, 986013 • 105 км3/с2; р\Е = 943963 км; средний радиус планеты ЯЕ = 6378,16 км; ЬЕ = 200 км; круговая скорость КА на орбите высотой ЬЕ составляет 1)кре(Л.е) = 7, 78 км/с. Для Марса /лм = 4, 297780 • 104 км3/с2; р1М = 631303 км; Ям = 3402 км; Ьм = 9300 км; г>крм(Л.М) = 1, 84 км/с. Из (4) выражается модуль скорости ухода КА с круговой ОИС планеты Р, и, вычтя из него г>крр (НР), получаем формулы пересчета импульсов ДА в импульсы ДВ задачи В, г е 1, 2, 3:
ДВ
1
ЯР + ЬР
1 Р1р
^ - ^крр (Ьр).
График зависимости значения функционала от даты старта для задачи В очень похож на соответствующий график задачи А (рис. 1). Значения функционала и оптимизируемых параметров на лучшей траектории задачи В приведены в табл. 2.
Далее в задачу поочередно добавлялся учет притяжений Земли и Марса. Расчеты таких вспо- Рис. 1. Зависимость функционала задачи А от могательных задач показали, что на лучших тра- времени старта
екториях промежуточные импульсы в сферах действия Земли и Марса отсутствуют. Решение задачи С ищется в окрестности лучшей экспедиции задачи В. Схематично траектория экспедиции представлена на рис. 2.
Таблица2
Задача Т, км/с Д1, км/с Дз, км/с Дз, км/с Теь дни ТМь дни Тмь, дни Теь, дни
А 8,09 3,0 2,6 2,5 2495, 9 2805, 7 3141,0 3480,1
В 7,18 3,6 1,8 1,7 2496, 6 2806, 8 3140, 8 3480, 0
С 7,29 3,6 1,95 1,75 2491,3 2803, 5 3168,8 3508, 5
Сначала КА переходит с ОИС Земли (ОИСЗ) на орбиту Фобоса. Перелет к Марсу начинается в ЦНГП Земли, в момент ¿1 пересечения КА сферы действия Земли рассмотрение перелета продолжается в ЦНГП Солнца, в момент ¿2 пересечения КА сферы действия Марса — в ЦНГП Марса. Затем КА должен с орбиты Фобоса попасть в Землю. Перелет обратно к Земле начинается в ЦНГП Марса и в момент ¿4 пересечения КА сферы действия Марса продолжается в ЦНГП Солнца. Системы координат, связанные с Землей и Марсом, считаются инерциальными.
Оптимизируется сумма 6 импульсов в моменты времени Те, Tмf, Тмь, ¿1, ¿2, ¿3, где ¿з е (Тмъ,^4]. Эти шесть времен, а также Теъ, ¿4, долгота восходящего узла исходной ОИСЗ Оо, положение ^о КА на ней, 6 углов ^>2, ^з, ■01, 02, 03, задающих точки на сферах действия Земли и Марса, через которые пролетает КА, составляют 16 определяемых параметров оптимизации. Наклонение исходной орбиты соответствует 51, 6° — минимальному наклону орбиты при выведении КА с Байконура.
Была выбрана следующая вычислительная схема. Сначала решаются три задачи Ламберта: из точки на ОИСЗ в точку на сфере действия Земли, из последней точки в точку на сфере действия Марса, из нее в Фобос. Затем решается задача Ламберта перелета из точки на сфере действия Марса в Землю без выравнивания скоростей в конце. Со скоростью, полученной на сфере действия Марса, траектория продолжается назад во времени до момента ¿3 промежуточного импульса (траектории, на которых в этот момент времени КА находится под поверхностью Марса или вне сферы действия Марса, отбрасываются). Далее решается задача Ламберта перелета с Фобоса в промежуточ-
Рис. 2. Схема экспедиции в задаче С: пунктир — орбиты Земли Е и Марса М, штрих-пунктир — сферы действия Земли и Марса, 8 — Солнце
ную точку. В результате получается, что в некоторой окрестности оптимального решения задачи С все промежуточные импульсы равны нулю.
Если считать импульсы в моменты времени Tмf и Тмъ ненулевыми, то на каждом обороте Фобоса вокруг Марса будет локальный минимум задачи, соответствующий примерно одному и тому же угловому положению. Огибающая этих минимумов имеет выраженный и-образный вид. В табл. 2 представлено сравнение результатов решения задач А, В и С. Параметры лучшей экспедиции задачи С следующие: ¿1 = 2494, 61; ¿2 = 2800, 74; ¿4 = 3170, 93; Оо = -0, 04; ^о = 5, 83; = 2, 32; щ = -0, 24, ^3 = 0, 28; 01 =
0. 43; 02 = -0, 35; 03 = -0, 35; значения углов приведены в радианах в сферических СК, соответствующих декартовым невращающимся планетоцентрическим СК с осями, параллельными J2000.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Энеев Т.М. Актуальные задачи исследования дальнего космоса // Космич. исследования. 2005. 43, № 6. 403-407.
2. Суханов А.А. Астродинамика. Серия "Механика, управление, информатика". М.: Ротапринт ИКИ РАН, 2000.
3. Дубошин Г.Н. Справочное руководство по небесной механике и астродинамике. М.: Наука, 1976.
4. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2008.
5. Федоренко Р.П. Введение в вычислительную физику. М.: Изд-во Моск. физ.-техн. ин-та, 1994.
6. Васильев Ф.П. Методы оптимизации. М.: Факториал Пресс, 2002.
Поступила в редакцию 15.04.2013
УДК 533.6.011.5+539.3
О ФЛАТТЕРЕ УПРУГОЙ ПОЛОСЫ ПРИ ПРОДОЛЬНОМ СВЕРХЗВУКОВОМ ОБТЕКАНИИ
Д. С. Строгальщиков1
Рассматривается задача о продольном обтекании упругой полосы сверхзвуковым потоком газа. Приводится формула избыточного давления, полученная на основе линеаризованной теории сверхзвукового потенциального течения; показывается, что при больших сверхзвуковых скоростях критическая скорость флаттера равна фазовой скорости волн возмущения, распространяемых по полосе. В рамках классической поршневой теории решается задача о флаттере жестко защемленной полосы при продольном обтекании.
Ключевые слова: обтекание полосы, линеаризованная теория сверхзвукового потенциального течения, флаттер.
The problem devoted to an elastic strip in a supersonic potential longitudinal flow is considered. An excess pressure formula is obtained on the basis of the linearized theory of supersonic potential flow. It is shown that, in the case of high-speed supersonic flow, the critical flutter velocity is equal to the phase velocity of perturbation waves propagated along the strip. In the framework of the classical piston theory, the flutter problem is solved for the case of a rigidly fixed strip in a longitudinal flow.
Key words: strip in a flow, linearized theory of potential supersonic flow, flutter.
Рассмотрим полосу, которая в пространстве xyz занимает область z = 0, 0 < y < l, \х\ < с. Со стороны z > 0 полоса обдувается потоком газа с невозмущенным вектором скорости V0 = (Vx; Vy;0). Потенциал возмущенного потока записывается в виде фо + Ф, где фо — потенциал невозмущенного потока, а возмущение ф вызвано малыми колебаниями полосы и определяется из следующего уравнения:
л, l2 д2ф w l д2ф д 2ф о д2ф о д 2ф д2 ф
a2 dt2 a0 dtdx a0 dtdy дх2 y ду2 дудх
Строгальщиков Дмитрий Сергеевич — асп. каф. теории упругости мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: d_strog@mail.ru.
1
