Научная статья на тему 'Теоремы о вычетах и о принципе аргумента как единая теорема для соответствующих сопряженных течений; гидродинамическая и геометрическая интерпретация'

Теоремы о вычетах и о принципе аргумента как единая теорема для соответствующих сопряженных течений; гидродинамическая и геометрическая интерпретация Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
89
34
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
CОПРЯЖЕННЫЕ ТЕЧЕНИЯ / СВОЙСТВА АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ / ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ ПАРАМЕТРЫ / ЛИНИИ УРОВНЯ / CONJUGATE FLOW / PROPERTIES OF ANALYTIC FUNCTIONS / HYDRODYNAMIC PARAMETERS / LEVEL LINES

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Рылов А. И.

Обсуждается понятие сопряженного течения, вводимое с использованием как известных свойств аналитических функций из теории функций комплексного переменного (ТФКП), так и с помощью переименования одних гидродинамических параметров в другие (и те, и другие удовлетворяют уравнениям Коши-Римана).

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

THEOREMS ON RESIDUES AND ON THE ARGUMENT PRINCIPLE AS A COMMON THEOREM FOR THE CORRESPONDING CONJUGATE FLOWS; HYDRODYNAMICS AND GEOMETRIC INTERPRETATIONS

The notion of conjugate flow is discussed which is introduced by means of the well-known properties of analytic functions in complex analysis as well as of renaming some hydrodynamic parameters into other ones (both are subject to the CauchyRiemann equations).

Текст научной работы на тему «Теоремы о вычетах и о принципе аргумента как единая теорема для соответствующих сопряженных течений; гидродинамическая и геометрическая интерпретация»

Механика жидкости и газа Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2011, № 4 (3), с. 1082-1084

УДК 532.511

ТЕОРЕМЫ О ВЫЧЕТАХ И О ПРИНЦИПЕ АРГУМЕНТА КАК ЕДИНАЯ ТЕОРЕМА ДЛЯ СООТВЕТСТВУЮЩИХ СОПРЯЖЕННЫХ ТЕЧЕНИЙ; ГИДРОДИНАМИЧЕСКАЯ И ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ

© 2011 г. А.И. Ртов

Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, Новосибирск

[email protected]

Поступила в редакцию 16.05.2011

Обсуждается понятие сопряженного течения, вводимое с использованием как известных свойств аналитических функций из теории функций комплексного переменного (ТФКП), так и с помощью переименования одних гидродинамических параметров в другие (и те, и другие удовлетворяют уравнениям Коши -Римана).

Ключевые слова: сопряженные течения, свойства аналитических функций, гидродинамические параметры, линии уровня.

Сопряженные течения

Понятие сопряженных течений несжимаемой жидкости тесно связано с мнением о том, что каждое плоское потенциальное течение может быть описано приравниванием некоторого множества из бесконечного числа расположенных слева аналитических функций, вещественная и мнимая части которых зависят от логарифма L модуля q и угла наклона 0 вектора скорости, потенциала ф, функции тока у и т.д., некоторому множеству из бесконечного числа расположенных справа аналитических функций f (z) = = f (x + iy), где x, y — прямоугольные координаты, i — «мнимая единица». В качестве примеров расположенных слева функций можно указать: ф + iy, L — i0, u — iv, где u и v — горизонтальная и вертикальная компоненты вектора скорости и т. д. В частности, для построения бесконечно-го множества аналитических функций f(L, 0) + ig(L, 0), описывающих плоские течения, можно использовать алгоритм из [1,2], основанный на известных решениях (разделением переменных и построением полиномиальных решений) уравнений типа Коши—Римана на плоскости L, 0. Каждому исходному течению A + iB = f (z) может быть сопоставлено сопряженное течение C + iD = f(z). Это означает, что линии уровня A = const и B = const исходного течения переименовываются (с сохранением всех параметров) в линии уровня C = const и D = const сопряженного течения.

Ранее термин «сопряженное течение» был использован при построении течения, отличаю-

щегося от исходного, переменной местами линий тока и линий равного потенциала [3]. Но, как оказывается, это понятие «сопряженного течения» допускает существенное расширение.

Здесь уместно отметить, что понятие «сопряженного решения» логично было ввести на примере конкретного физического приложения, а именно, на примере течений несжимаемой жидкости, что и отражено в названии доклада. Использование физического смысла позволяет исключить из рассмотрения некоторые решения, формально удовлетворяющие уравнениям Коши — Римана, но не согласующиеся с физическим смыслом.

Дело в том, что в исходном течении при круговом обходе некоторых особых точек и замкнутых линий по крайней мере такие функции, как 0 и у, могут получать приращение, причем для функции 0 такое приращение кратно 2п.

В то же время при переходе к сопряженному течению линии 0 = const или у = const могут перейти, например, в линии q = const, но в физически реализуемых течениях при круговом обходе такой особой точки скачок модуля q скорости а, значит, и давления p, невозможен. Выходом из положения будет введение некоторой твердой границы, совпадающей с линией тока, проходящей через указанную особую точку.

Теоремы о принципе аргумента и о вычетах как единая теорема

Переходим к теоремам о принципе аргумента и о вычетах. Рассмотрим в качестве исход-

ного течение L — i0 = f(z) и теорему о принципе аргумента для этого течения. Опуская выкладки, напомним, что при положительном обходе нуля (точки q = 0) угол 0 убывает, а при положительном обходе полюса (точки q = га) 0 растет. Этот факт указывает на то, что при переходе к сопряженному течению ф + iy = f (z) теорема о принципе аргумента исходного течения переходит в теорему о вычетах для сопряженного течения.

Действительно, при таком переходе нуль степени n исходного течения переходит, с учетом того, что —0 исходного течения переименовывается в у сопряженного течения, в источник интенсивности 2nn сопряженного течения, а полюс степени m — в сток интенсивности 2mn (n и m — целые положительные числа). Видно, что известная в ТФКП теорема о принципе аргумента является ничем иным, как теоремой о вычетах сопряженного течения, и это сопряженное течение в первую очередь характеризуется заменой линий 0 = const исходного течения на линии тока у = const сопряженного течения с учетом корректировки знака. Тем самым хорошо просматривается гидродинамический и геометрический смысл теоремы о принципе аргумента. Он состоит в том, что каждая из линий 0 = const исходного течения либо достигает границы области, либо приходит в один из нулей. Аналогично обстоит дело с изоклинами, вышедшими из каждого из нулей. И, наконец, некоторые отрезки границы могут характеризоваться подковообразными изоклинами, начинающимися и заканчивающимися на указанных отрезках границы.

Гидродинамическая интерпретация сопряженных течений

Слоистое течение. Пусть исходное течение — равномерное течение, u = 1, v = 0, ф = x, у = y. Рассмотрим сопряженное течение, в котором 0 = —y, L = x. Непосредственная проверка показывает, что приведенное решение удовлетворяет уравнениям гидродинамики. Итак, вся область сопряженного течения состоит из бесконечного числа горизонтальных полос —» < x < < ^, kn < y < (k + 1)п, k — целое. Линиями тока являются как прямые y = kn, так и кривые x = = x* — ln|sin y|. Данная кривая симметрична относительно оси полосы, которую она пересекает в точке x = x*. Следовательно, через каждую точку оси полосы проходит своя линия тока, для

которой верхняя и нижняя границы полосы являются асимптотами. И, наконец, вдоль прямых у = Ьл, при четных k течение осуществляется слева направо, а при нечетном k — в обратном порядке. Данное течение может рассматриваться как течение, являющееся результатом суперпозиции бесконечного числа истоков и стоков равной по модулю интенсивности с координатами x = га, у = = Ы, k — целое; четное k отвечает стоку, нечетное — источнику.

Рассмотренное течение наглядно демонстрирует, что даже такое предельно простое исходное течение, как равномерное течение u = 1, v = 1, может привести к новому и достаточно сложному слоистому течению.

Спиральное течение. Исходное течение — течение от источника 2пХ = 2я^, где X > 0 — интенсивность источника. Для данного исходного течения имеем: 0 = ю, L = 1п q = 1п X — 1п г. Здесь г и ю — полярные координаты. Рассмотрим сопряженное течение, отличающееся от исходного заменой местами изобар и изоклин (с корректировкой знака).

Итак, сопряженное течение: 0 = 1п г — 1п X, L = ю. На окружности г = X имеем 0 = 0. Выделим две точки: ю = (3/4)п и ю = — (1/4)п. Проходящие через них линии тока являются логарифмическими спиралями. Первая из них приходит в начало ко -ординат, вторая выходит из начала координат. При приближении к началу координат полярный угол ю стремится к —га. Следовательно, в начале координат скорость q = 0. Обе спирали, являющиеся линиями тока, уместно считать границей течения, осуществляющегося к центру вдоль первой спирали и затем от центра вдоль второй спирали. В этом случае удается избежать скачка давления при круговом обходе центра (начала координат).

Рассмотренное течение является существенно новым, его можно лишь частично признать спиральным, так как в нем логарифмическими спиралями являются лишь отмеченные линии тока. Здесь уместно напомнить о спиральных течениях в гидродинамике, а именно о течениях Тейлора (1930) и Толлминна (1937). В первом из них спиралями являются линии тока, выходящие из начала координат (речь идет о суперпозиции потенциального вихря и течения от источника). Во втором спиралями яв- ляются изобары. Но в отличие от построенно-го выше течения, в течениях Тейлора и Толлминна скорость в начале координат отлична от нуля.

Работа поддержана проектом 103 СО РАН.

Список литературы 2. Рылов А.И. // Докл. РАН. 2007. Т. 417, №4.

3. Кочин Н.Е., Кибель Н.А., Розе Н.В. Теорети-1. Рылов А.И. // Докл. РАН. 2002. Т. 383, №1. ческая гидромеханика. Ч. 1. М.: ОГИЗ, 1941.

THEOREMS ON RESIDUES AND ON THE ARGUMENT PRINCIPLE AS A COMMON THEOREM FOR THE CORRESPONDING CONJUGATE FLOWS; HYDRODYNAMICS AND GEOMETRIC INTERPRETATIONS

A.I. Rylov

The notion of conjugate flow is discussed which is introduced by means of the well-known properties of analytic functions in complex analysis as well as of renaming some hydrodynamic parameters into other ones (both are subject to the Cauchy-Riemann equations).

Keywords: conjugate flow, properties of analytic functions, hydrodynamic parameters, level lines.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.