Теоремы о вычетах и о принципе аргумента как единая теорема для соответствующих сопряженных течений; гидродинамическая и геометрическая интерпретация Текст научной статьи по специальности «Математика»

Механика жидкости и газа Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2011, № 4 (3), с. 1082-1084

УДК 532.511

ТЕОРЕМЫ О ВЫЧЕТАХ И О ПРИНЦИПЕ АРГУМЕНТА КАК ЕДИНАЯ ТЕОРЕМА ДЛЯ СООТВЕТСТВУЮЩИХ СОПРЯЖЕННЫХ ТЕЧЕНИЙ; ГИДРОДИНАМИЧЕСКАЯ И ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ

© 2011 г. А.И. Ртов

Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, Новосибирск

rylov@math.nsc.ru

Поступила в редакцию 16.05.2011

Обсуждается понятие сопряженного течения, вводимое с использованием как известных свойств аналитических функций из теории функций комплексного переменного (ТФКП), так и с помощью переименования одних гидродинамических параметров в другие (и те, и другие удовлетворяют уравнениям Коши -Римана).

Ключевые слова: сопряженные течения, свойства аналитических функций, гидродинамические параметры, линии уровня.

Сопряженные течения

Понятие сопряженных течений несжимаемой жидкости тесно связано с мнением о том, что каждое плоское потенциальное течение может быть описано приравниванием некоторого множества из бесконечного числа расположенных слева аналитических функций, вещественная и мнимая части которых зависят от логарифма L модуля q и угла наклона 0 вектора скорости, потенциала ф, функции тока у и т.д., некоторому множеству из бесконечного числа расположенных справа аналитических функций f (z) = = f (x + iy), где x, y — прямоугольные координаты, i — «мнимая единица». В качестве примеров расположенных слева функций можно указать: ф + iy, L — i0, u — iv, где u и v — горизонтальная и вертикальная компоненты вектора скорости и т. д. В частности, для построения бесконечно-го множества аналитических функций f(L, 0) + ig(L, 0), описывающих плоские течения, можно использовать алгоритм из [1,2], основанный на известных решениях (разделением переменных и построением полиномиальных решений) уравнений типа Коши—Римана на плоскости L, 0. Каждому исходному течению A + iB = f (z) может быть сопоставлено сопряженное течение C + iD = f(z). Это означает, что линии уровня A = const и B = const исходного течения переименовываются (с сохранением всех параметров) в линии уровня C = const и D = const сопряженного течения.

Ранее термин «сопряженное течение» был использован при построении течения, отличаю-

щегося от исходного, переменной местами линий тока и линий равного потенциала [3]. Но, как оказывается, это понятие «сопряженного течения» допускает существенное расширение.

Здесь уместно отметить, что понятие «сопряженного решения» логично было ввести на примере конкретного физического приложения, а именно, на примере течений несжимаемой жидкости, что и отражено в названии доклада. Использование физического смысла позволяет исключить из рассмотрения некоторые решения, формально удовлетворяющие уравнениям Коши — Римана, но не согласующиеся с физическим смыслом.

Дело в том, что в исходном течении при круговом обходе некоторых особых точек и замкнутых линий по крайней мере такие функции, как 0 и у, могут получать приращение, причем для функции 0 такое приращение кратно 2п.

В то же время при переходе к сопряженному течению линии 0 = const или у = const могут перейти, например, в линии q = const, но в физически реализуемых течениях при круговом обходе такой особой точки скачок модуля q скорости а, значит, и давления p, невозможен. Выходом из положения будет введение некоторой твердой границы, совпадающей с линией тока, проходящей через указанную особую точку.

Теоремы о принципе аргумента и о вычетах как единая теорема

Переходим к теоремам о принципе аргумента и о вычетах. Рассмотрим в качестве исход-

ного течение L — i0 = f(z) и теорему о принципе аргумента для этого течения. Опуская выкладки, напомним, что при положительном обходе нуля (точки q = 0) угол 0 убывает, а при положительном обходе полюса (точки q = га) 0 растет. Этот факт указывает на то, что при переходе к сопряженному течению ф + iy = f (z) теорема о принципе аргумента исходного течения переходит в теорему о вычетах для сопряженного течения.

Действительно, при таком переходе нуль степени n исходного течения переходит, с учетом того, что —0 исходного течения переименовывается в у сопряженного течения, в источник интенсивности 2nn сопряженного течения, а полюс степени m — в сток интенсивности 2mn (n и m — целые положительные числа). Видно, что известная в ТФКП теорема о принципе аргумента является ничем иным, как теоремой о вычетах сопряженного течения, и это сопряженное течение в первую очередь характеризуется заменой линий 0 = const исходного течения на линии тока у = const сопряженного течения с учетом корректировки знака. Тем самым хорошо просматривается гидродинамический и геометрический смысл теоремы о принципе аргумента. Он состоит в том, что каждая из линий 0 = const исходного течения либо достигает границы области, либо приходит в один из нулей. Аналогично обстоит дело с изоклинами, вышедшими из каждого из нулей. И, наконец, некоторые отрезки границы могут характеризоваться подковообразными изоклинами, начинающимися и заканчивающимися на указанных отрезках границы.

Гидродинамическая интерпретация сопряженных течений

Слоистое течение. Пусть исходное течение — равномерное течение, u = 1, v = 0, ф = x, у = y. Рассмотрим сопряженное течение, в котором 0 = —y, L = x. Непосредственная проверка показывает, что приведенное решение удовлетворяет уравнениям гидродинамики. Итак, вся область сопряженного течения состоит из бесконечного числа горизонтальных полос —» < x < < ^, kn < y < (k + 1)п, k — целое. Линиями тока являются как прямые y = kn, так и кривые x = = x* — ln|sin y|. Данная кривая симметрична относительно оси полосы, которую она пересекает в точке x = x*. Следовательно, через каждую точку оси полосы проходит своя линия тока, для

которой верхняя и нижняя границы полосы являются асимптотами. И, наконец, вдоль прямых у = Ьл, при четных k течение осуществляется слева направо, а при нечетном k — в обратном порядке. Данное течение может рассматриваться как течение, являющееся результатом суперпозиции бесконечного числа истоков и стоков равной по модулю интенсивности с координатами x = га, у = = Ы, k — целое; четное k отвечает стоку, нечетное — источнику.

Рассмотренное течение наглядно демонстрирует, что даже такое предельно простое исходное течение, как равномерное течение u = 1, v = 1, может привести к новому и достаточно сложному слоистому течению.

Спиральное течение. Исходное течение — течение от источника 2пХ = 2я^, где X > 0 — интенсивность источника. Для данного исходного течения имеем: 0 = ю, L = 1п q = 1п X — 1п г. Здесь г и ю — полярные координаты. Рассмотрим сопряженное течение, отличающееся от исходного заменой местами изобар и изоклин (с корректировкой знака).

Итак, сопряженное течение: 0 = 1п г — 1п X, L = ю. На окружности г = X имеем 0 = 0. Выделим две точки: ю = (3/4)п и ю = — (1/4)п. Проходящие через них линии тока являются логарифмическими спиралями. Первая из них приходит в начало ко -ординат, вторая выходит из начала координат. При приближении к началу координат полярный угол ю стремится к —га. Следовательно, в начале координат скорость q = 0. Обе спирали, являющиеся линиями тока, уместно считать границей течения, осуществляющегося к центру вдоль первой спирали и затем от центра вдоль второй спирали. В этом случае удается избежать скачка давления при круговом обходе центра (начала координат).

Рассмотренное течение является существенно новым, его можно лишь частично признать спиральным, так как в нем логарифмическими спиралями являются лишь отмеченные линии тока. Здесь уместно напомнить о спиральных течениях в гидродинамике, а именно о течениях Тейлора (1930) и Толлминна (1937). В первом из них спиралями являются линии тока, выходящие из начала координат (речь идет о суперпозиции потенциального вихря и течения от источника). Во втором спиралями яв- ляются изобары. Но в отличие от построенно-го выше течения, в течениях Тейлора и Толлминна скорость в начале координат отлична от нуля.

Работа поддержана проектом 103 СО РАН.

Список литературы 2. Рылов А.И. // Докл. РАН. 2007. Т. 417, №4.

3. Кочин Н.Е., Кибель Н.А., Розе Н.В. Теорети-1. Рылов А.И. // Докл. РАН. 2002. Т. 383, №1. ческая гидромеханика. Ч. 1. М.: ОГИЗ, 1941.

THEOREMS ON RESIDUES AND ON THE ARGUMENT PRINCIPLE AS A COMMON THEOREM FOR THE CORRESPONDING CONJUGATE FLOWS; HYDRODYNAMICS AND GEOMETRIC INTERPRETATIONS

A.I. Rylov

The notion of conjugate flow is discussed which is introduced by means of the well-known properties of analytic functions in complex analysis as well as of renaming some hydrodynamic parameters into other ones (both are subject to the Cauchy-Riemann equations).

Keywords: conjugate flow, properties of analytic functions, hydrodynamic parameters, level lines.