CC BY
224. Andreka HBredikhin D.A. The equational theory of union-free algebras of relations// Alg. Univers. 1994. V. 33.
5. Бредихин Д. А. Эквациональная теория алгебр отношений с позитивными операциями// Изв. вузов. Матем. 1993. № 3.
6. Бредихин Д.А. О квазитождествах алгебр отношений с диофантовы-ми операциями // Сибирск. матем. журн. 1997. Т. 38.
7. Бредихин Д.А. Об алгебрах отношений с диофантовыми операциями // Доклады Российской Академии Наук. 1998. Т. 360.
8. Bredikhin D.A. On varieties of semigroups of relations with operations of cylindrofication // Contributions to General Algebra. 2005. V. 16.
9. Boner F, Pôschel F.R. Clones of operations on binary relations // Contributions to general algebras. 1991. V. 7.
УДК 511.3
B.B. КРИВОБОК, O.A. ПОЛЯКОВА Об одном обобщении основной теоремы алгебры
Целью данной работы является доказательство существования бесконечного множества нулей у достаточно широкого класса целых функций. Наиболее общий результат в этом направлении получен относительно целых функций конечного порядка. Известно [1], что целые функции конечного порядка, для которых для любого c > 0 найдется последовательность положительных чисел {rn}, стремящаяся к бесконечности,
такая, что
тах |/(г)| > есг", п = 1, 2,...,
И=г„
где а — порядок целой функции ] (г), имеют бесконечное множество нулей.
В работе рассматривается класс целых функций, для которых для любого натурального k :
|z|k << |f (z)|, при |z| ^ oo.
Нужно отметить, что в основе доказательства основного утверждения лежат не глубокие факты теории функций комплексного переменного, а качественная картина решений системы двух дифференциальных уравнений в окрестности точек покоя. Такой подход, но для других целей, рассматривался в [2].
Следующая теорема является непосредственным обобщением основной теоремы алгебры о комплексных корнях многочлена.
f(z)
гцим условиям:
L lim |f(z)| = О 2. f(0) = 1.
Тогда уравнение f (z) =0 имеет хотя бы одно решение.
Доказательство Рассмотрим дифференциальное уравнение
Z = zf (z). (1)
Пусть z = x + iy, zf (z) = u + iv. Тогда уравнение (1) равносильно системе уравнений вида
dt u ^ dt = v .
Так как u(0,0) = v(0,0) = 0, то точка (0,0) — точка покоя системы (2). Покажем, что система (2) имеет еще хотя бы одну точку покоя.
В окрестности точки (0, 0) линеаризованная система (2) имеет следующий вид:
'§ = I № °)х + ди № 0)у I = I № 0)х + § (0,0)у '
Составим характеристическое уравнение системы (3).
(3)
дх(0,0) - л дту (0,0)
дх(0,0) дуу (0,0) -л
= 0
или
2 / ди, ч ду, Л Л / ди ду, ч ди ду ,
л2 "( ах(0,0) + ду(00)) л Ч (0,0) - дуаХ(0,0)
В силу условий Коши-Римана запишем уравнение (4) в виде:
= 0. (4)
Л2 - 2(0,0)Л +
дх
=)2 <»■ »> - ш2'»-»>
= 0.
Отсюда
Так как
то
ди, ч ду,
Л1,2 = 0) ± ^0).
^ , , .. ди .ду
¿г дх дх'
Лх = [/(г)К=о = Л > 0.
Таким образом, Лх = Л2 = 1.
(0, 0)
вым по Ляпунову в отрицательном направлении.
Проинтегрируем уравнение 4~ = /(г). В результате получим
или
/ (е)
г2 *
е 20 и («) = де*.
= £ — С
2
Пусть точка (x,y) = x(t) + iy(t) движется по интегральной кривой. Тогда в соотношении (5) меняется только модуль числаßet, то есть вдоль решения
гz
arg eJzo «f(5) = const (6)
или, другими словами, вдоль решения
z
, [ dC
ImJm=const-
z 0
Так как
1 Л
= - + ai + а2 С + • • •,
Cf(C) С
то
Г dC
J Cf(С)
Отсюда в окрестности нуля имеем
= Л ln С + aiC + ...
e$zz «ж) = [zЛ + ckzk]c1, k=0
ci
z = 0 имеет вид
то
z + ^ ck zk = ße\ (7)
k=0
Так как вдоль интегральной кривой arg ßef = const, то из соотношения (7) получаем, что в окрестности точки z = 0 arg z ~ arg ßet, а при z ^ 0 вдоль интегральной кривой arg z ^ arg ß. Но arg ß совпадает с углом, под которым интегральная кривая входит в точку z = 0. Обозначим углы, под которыми две интегральные кривые входят в точку (0,0) через a и ß.
f(z) = 0
Ii I>i it цикл для системы (2) заведомо невозможен. Действительно, в противном случае (внутри предельного цикла должна находиться точка покоя) предельный цикл окружает точку (0,0). Но это приводит к противоречию. Действительно, предельный цикл C — интегральная кривая и,
следовательно, в силу того, что fr) = dt, где dt — вещественное, имеем
г [ dT
Im —— = 0.
с
Tf (t )
(8)
С другой стороны, по теореме о вычетах
Г dt
с
tf (t)
= 2ni.
(9)
В силу (8) и (9) получаем противоречивое равенство 0 = 2ni.
Итак, кривые а и ß выходят из точки (0, 0) в бесконечность. Вдоль этих кривых в силу (6)
Гz dt fz dt
arg ezotf(t) = а, arg ezotf(t) = ß.
\j
Рассмотрим точки P и Q ^a этих кривых. Дугу PQ можно считать дугой окружности с центром в точке (0,0) и радиус ом R.
PQ
аргумента А будет равно
Д = а - ß,
а с другой стороны имеем равенство
rz dt
А arg e zotf (t) = Im
dt
tf (t)'
(10)
(H)
PQ
В силу (10) и (11) независимо от радиуса R получаем
а — ß = Im
dt
tf (t)'
(12)
P Q
Но па дуге Р(5 в силу условия теоремы 1 имеет место оценка
1
tf (t)
что дает следующую оценку
=о®. R—
dt
tf (t)
P Q
= O(1), R ^^
которая противоречит равенству (12).
Итак, предположение об отсутствии корней уравнения f (z) = 0 приводит к противоречию, что и доказывает утверждение теоремы 1.
Отметим, что, как видно из доказательства теоремы 1, условие f (0) =
1
Таким образом, как следствие теоремы 1 получаем основной результат работы.
Теорема 2. Пусть целая функция f (z) такова, что для любого натурального k
|zk| << |f(z)|, при |z| ^ oo. Тогда функция f (z) имеет бесконечно много нулей.
Библиографический список
1. Карацуба A.A. Основы аналитической теории чисел. М.: Наука, 1975.
2. Гаврилов Н.И. Проблема Римана о распределении корней дзета-функции. Львов: Изд-во Львовск. ун-та, 1970.
