CC BY
13
УДК 515.1 Вестник СПбГУ. Математика. Механика. Астрономия. 2021. Т. 8 (66). Вып. 2
МБС 47Н10, 54Н25
Теоремы о неподвижной точке
для новых сжимающих отображений
с приложением в динамическом программировании
Ю. Туаль, Д. Аль-Мутавакиль
Университет Султана Мулая Слимана, Бени-Меллал, 23000, Марокко
Для цитирования: Туаль Ю., Аль-Мутавакиль Д. Теоремы о неподвижной точке для новых сжимающих отображений с приложением в динамическом программировании // Вестник Санкт-Петербургского университета. Математика. Механика. Астрономия. 2021. Т. 8(66). Вып. 2. С. 338-348. https://doi.org/10.21638/spbu01.2021.213
В этом исследовании мы приводим обобщение известной неподвижной точки Рай-ха при определении общих топологических пространств с т-расстояниями. В качестве приложений полученного результата мы доказываем несколько теорем о неподвижных точках для новых типов сжимающих отображений в метрических пространствах. Кроме того, устанавливаем существование и единственность решений для класса функциональных уравнений, возникающих в динамическом программировании. Ключевые слова: неподвижная точка, строгое сжатие, обобщенные Е-слабосжимающие отображения, метрическое пространство, хаусдорфово топологическое пространство, динамическое программирование.
1. Введение. В 1971 г. Райх [1] обобщил теоремы Банаха и Каннана о неподвижной точке на метрическом пространстве (X, ¿) для тождественных отображений Т : X ^ X. Эти теоремы используют следующее условие сжатия: при любых х,у € X
¿(Тх, Ту) < ай(х, у) + Ьс1(х, Тх) + сЛ(у, Ту), (1.1)
где а,Ь,с — неотрицательные вещественные числа и а + Ь + с < 1.
В 2003 г. Аамри и Аль-Мутавакиль [2] ввели понятие т-расстояния в общих топологических пространствах, которые расширяют многие известные в литературе пространства. Более того, для этой общей постановки они доказали версию теоремы Банаха о неподвижной точке.
Первая цель нашей работы состоит в том, чтобы доказать новую теорему о неподвижной точке для тождественных отображений, удовлетворяющих вышепри-веденому сжатию (1.1), которое дает неподвижную точку, подтвержденную в [1] в новой постановке.
С другой стороны, хорошо известно, что при введении метрического пространства строгое сжимающее условие для отображения в себя не обеспечивает существование неподвижной точки, если только пространство не предполагается компактным или строгие условия не заменяются более сильными условиями, как в [3-5].
Благодаря этому факту возникает вторая цель данной работы — установить неподвижную точку для нового класса сжимающих отображений на основе нашего первого результата и без использования компактности пространства. В ка-
(¡5 Санкт-Петербургский государственный университет, 2021
честве приложения нашего второго результата, вдохновленные Альбером, Герре — Делабриером [3] (1997) и Роудс [5] (2001), мы представляем новый класс слабосжи-мающих отображений, названный нами обобщенное E-слабо сжимающее отображение. При этом отображении вспомогательная функция ф удовлетворяет условиям ф(1) =0 и inf ф(Ь) > 0.
В конце работы представлено приложение к исследованию существования и единственности решений класса функциональных уравнений, возникающих в динамическом программировании.
2. Подготовительный этап. Цель этого раздела — представить некоторые понятия и результаты, используемые в работе.
Пусть (X, т) — топологическое пространство, а p : X х X ^ [0, то) — функция. Для любого е > 0 и любого x G X пусть Bp(x, е) = {y G X : p(x, y) < е}.
Определение 2.1 [2]. Функция p называется т-расстоянием, если для каждого x G X и любой окресности V элемента x существует е > 0 такое, что Bp(x,e) С V.
Определение 2.2. Последовательность {xn} в хаусдорфовом топологическом пространстве X называется p- Коши последовательностью, если она удовлетворяет обычному метрическому условию относительно p, другими словами, если
limn,m^w p(xn, xm)
Определение 2.3 [2, определение 3.1]. Пусть (X, т) — топологическое пространство с т-расстоянием p.
1. X является S- полным, если для каждой p-Коши последовательности (xn), существует x из X такой, что limp(x, xn) = 0.
2. X считается p-Коши полным, если для каждой p-Коши последовательности (xn) существует x из X такой, что lim xn = x по т.
3. X называется p-ограниченным, если sup{p(x, y)/x, y G X} < то.
Лемма 2.4 [2, лемма 3.1]. Пусть (X, т) — топологическое пространство Хау-сдорфа с т-расстоянием p, тогда
1) если p(x, y) = 0, то x = y.
2) пусть (x„) — последовательность в X такая, что limn^w p(x, xn ) = 0 и lim„^TO p(y,x„) = 0, тогда x = y.
Определение 2.5 [2]. Ф — класс всех функций ф : [0, +то) —> [0, +то), удовлетворяющих условиям:
i) ф неубывающая;
ii) limф"(£) = 0 для всех t G [0, то).
Определение 2.6. Ф — класс всех функций ф : [1, +то) —> [0, +то), удовлетворяющих условиям:
i) ф^) = 0 тогда и только тогда, когда t =1,
ii) inf ф^) > 0.
t> f
Теорема 2.7 [2, теорема 4.1]. Пусть (X,т) — хаусдорфово топологическое пространство с т-расстоянием р. Предположим, что X р-ограничено и Б-полно. Пусть Т — отображение X такое, что
р(Тх,Ту) < ф(р(х,у))
для всех х,у € X. Тогда Т имеет единственную неподвижную точку.
3. Топологическое пространство с т-расстоянием. В этом разделе мы начнем со следующего определения.
Определение 3.1. Пусть ) — топологическое пространство с т-
расстоянием р. Тогда Т : X ^ X является р-непрерывным при х € X, если для любой последовательности {хп} С X такой, что р(х,хп) = 0, получаем
р(Тх, Тхп) = 0.
Докажем наш первый результат.
Теорема 3.2. Пусть (X, т) — топологическое пространство Хаусдорфа с т-расстоянием р. Предположим, что X р-ограничено и Б-полно. Пусть Т является р-непрерывным тождественным отображением X таким, что
р(Тх,Ту) < ф(шах{р(х,у),р(х,Тх),р(у,Ту)}) (3.2)
для всех х,у € X. Тогда Т имеет единственную неподвижную точку.
Доказательство. Пусть х0 — произвольная точка X, определим последовательность {хп} С X как хп+1 = Тхп, п = 0,1,.... Используя (3.1), для любого п € N выполняется следующее:
р(хп+1 ,хп+2) < ф(ш&х{р(хп,хп+1 ),р(хп ,хп+1), р(хп+1, хп+2 ) } ) <
< ф(шах{р(хп, хп+1), р(хп+1, хп+2 )}) .
Если существует по € N1, для которого р(хГ10,хГ10+1) < р(хГ10+1 ,хп0+2), то р(хп0+1,хп0+2) < р(хп0+1,хп0+2), что приводит к противоречию. Тогда р(хп+1,хп+2) < р(хп,хп+1) для всех п € Ы, из чего следует, что
р(хп+1,хп+2) < ф(р(хп,хп+1)) (3.3)
для любого п € N.
Теперь пусть п,т € N. Используя (3.1), получим
р(хп ,хп+т ) р(Тхп-1,Тхп+т-1) <
< ф(шах{р(хп-1,хп+т-1),р(хп-1 ,хп ),р(хп+т- 1,хп+т)}) < < ф(шах{р(хп-1,хп+т-1)),р(хп-1, хп)}) <
< ф ^шах |ф(шах{р(хп-2,хп+т-2),р(хп-2,хп-1),
р(хп+т-2 , хп+т-1 ) }) , р(хп-1, хп )
< ф^ шах | ф( шах{р(хп-2 ,хп+т-2),р(хп-2,хп-1)}) ,ф(р(хп-2,хп-1 <
< шах{р(х„_2,х„+т_2),р(х„_2,х„_1)}) <
< шах{р(хо,хт),р(хо,х^}) < ^"(М), (3.4)
где М = вир{р(х, у)/х, у € X}. Полагая п ^ то в (3.3), получаем, что {хп} является р-Коши последовательностью. Поскольку X — Б-полное пространство, существует и € X такое, что р(и,хп) = 0. С другой стороны, р-непрерывность Т пред-
полагает справедливость равенства р(Ти,Тхп) = р(и,хп) = 0.
Следовательно, по лемме 2.4 получаем Ти = и.
Теперь положим р(и, и) > 0, тогда из (3.2) получаем р(и, и) < ^(р(и, и)) < р(и, и), что является противоречием и, следовательно, р(и, и) = 0.
Для доказательства единственности предположим, что существуют и, V € X такие, что Ти = и и ^ = V. Если р(и, V) > 0, то
р(и, V) < ^(шах{р(и, v),p(u, и),р^, V)}) = ^(р(и, V)) < р(и, V),
что приводит к противоречию. □
Заметим, что из неравенства р(Тх, Ту) < ^(р(х,у)) вытекает р-непрерывность Т. Тогда мы имеем следующее следствие.
Следствие 3.3 [2, теорема 4.1]. Пусть (X, т) — хаусдорфово топологическое пространство с т-расстоянием р. Положим, что X — р-ограниченное и Б-полное. Пусть Т — тождественное отображение X такое, что
р(Тх,Ту) < ^(р(х, у))
при любых х, у € X. Тогда Т имеет единственную неподвижную точку.
Следствие 3.4. Пусть (X, т) является топологическим пространством Хау-сдорфа с т-расстоянием р. Положим, что X — р-ограниченное и Б-полное. Пусть Т — р-непрерывное отображение X в себя такое, что
р(Тх, Ту) < ^(шах{р(х, Тх),р(у, Ту)}) (3.5)
при любых х, у € X. Тогда Т имеет единственную неподвижную точку.
Пример 3.5. Пусть X = [0,1] — пространство с метрикой, определенной следующим образом:
шах{х, у}, если х = у,
¿(х, у) , _
0, если х = у,
при любых ж, у £ X. Отображение Т на X задано как Тж = |х2.
С другой стороны, в лемме 4.1 мы покажем, что р(х, у) = ва(х'у) — 1 — это т-расстояние на X. Заметим, что р(Тх, Ту) = 0, если х = у € X. Но, если х = у € X, получаем
р(Тх, Ту) = - 1 = _ 1 = е! таХ{Ж2,У2} _ 1 <
< е* - 1 < ф(шах{р(х,у),р(х,Тх),р(у,Ту)}),
при любых х ф у £ X, где ф(Ь) = для любого t (Е Следовательно, все условия теоремы 3.2 выполнены, и поэтому 0 — единственная неподвижная точка Т.
Пример 3.6. Пусть X = {1,2,3,4} — пространство с обычной метрикой ¿(х,у) = |х — у| для всех х,у € X. Как упоминалось в приведенном выше примере, функция, определенная как р(х,у) = еа(х'у) — 1 для всех х,у € X, является
т-расстоянием. Определим отображение Т : X ^ X следующим образом:
Т(х) = 3, если х = 4,
Т(х) = 1, если х = 4.
Заметим, что
р(Т 1, Т2) = р(Т 1, Т3) = р(Т2, Т3) = 0. Во всех остальных случаях получаем
р(Тх, Ту) = е2 — 1
и
шах{р(х,Тх),р(у,Ту)} > е3 — 1.
Тогда для ф(Ь) = т^Ь все условия теоремы 3.2 для получения фиксированной точки Т выполняются, и получается точка, которая равна 3.
С другой стороны, тот факт, что р(Т3, Т4) = е2 — 1 > е1 — 1 = р(3,4), показывает, что теорема 3.2 улучшает теорему 2.7.
4. Метрические пространства. В этом разделе мы сначала рассмотрим следующую лемму, которая понадобится нам в дальнейшем.
Лемма 4.1. Пусть (X, ¿) — метрическое пространство, а р : X х X ^ К+ — функция, определенная формулой
р(х, у) = еа(х'у) — 1. (4.6)
Тогда р — это та-расстояние на X, где та — метрическая топология.
Доказательство. Пусть (X, та) — топологическое пространство с метрической топологией та, пусть х € X и V — произвольная окрестность х, тогда существует е > 0 такое, что Ва(х, е) С V, где Ва(х, е) = {у € X, ¿(х, у) < е} — открытый шар.
Очевидно, что Вр(х,е£ — 1) С Ва(х,е). Действительно, пусть у € Вр(х,е£ — 1), тогда р(х,у) < еЕ — 1, откуда следует, что еа(х'у) < еЕ, а значит, ¿(х,у) <е. □
Теорема 4.2. Пусть Т : X —>• X — отображение ограниченного полного метрического пространства (X, ¿) такое, что
М \ шах{а(х, у), ¿(х, Тх), ¿(у, Ту)} — ¿(Тх, Ту) \ > 0. (4.7)
х=уех у )
Тогда Т имеет единственную неподвижную точку. Доказательство. Пусть
а = М < шах{^х,у)^(х,Тх)^(у,Ту)} — ¿(Тх,Ту) >,
х=уех у )
откуда следует, что при любых х = у € X
¿(Тх, Ту) < шах{й(х, у), ¿(х, Тх), ¿(у, Ту)} — а.
Затем получаем
е^(Тх,Ту) < кетах{^(х,у),^(х,Тх),^(у,Ту)},
где к = е_а < 1. Также можем записать
р(Тх, Ту) < к шах{р(х, у),р(х, Тх),р(у, Ту)} (4.8)
при любых х, у € X, где р(х, у) = е^(х'у) — 1 — функция, определенная в лемме 4.1. Теперь, используя доказательство теоремы 3.2, взяв = для всех £ € [0, то), мы заключаем, что существует последовательность {хп} С X такая, что {р(и, хп)} сходится к 0 для некоторого и € X и, следовательно, {¿(и,хп)} сходится к 0. Наконец, из (4.8) мы получаем, что Т имеет единственную неподвижную точку. □
Пример 4.3. Пусть X = {0,1, 2} — пространство с метрикой, определенной следующим образом:
шах х, у , если х = у, ¿(х, у) = I „ 1 г (4.9)
0, если х = у.
Определим отображение Т на X как Т0 = 1,Т 1 = 1 и Т2 = 0. Итак, мы имеем следующие случаи:
случай 1: шах{<0,1),^(0,Т0),Й(1,Т 1)} — ¿(Т0,Т 1) = 1; случай 2: шах{<0, 2), ¿(0, Т0), ¿(2, Т2)} — ¿(т0, Т2) = 1; случай 3: шах{<1, 2),^(1,Т 1)^(1, Т2)} — ¿(т 1,Т2) = 1.
Тогда Т удовлетворяет всем условиям теоремы 4.2 и Т имеет единственную неподвижную точку, равную 1 .
Замечание 4.4. Из приведенного выше примера мы видим, что пространство X компактно и выполняется условие
М 1 шах{й(х, у), ¿(х, Тх), ¿(у, Ту)} — ¿(Тх, Ту) 1 > 0
х=у [ )
для всех х,у € X. Чтобы показать, что это условие и компактность пространства не связаны, приведем следующие примеры.
Пример 4.5. Пусть X = В(0,1) х [0,1], где В(0,1) — единичный замкнутый шар банахова пространства над полем действительных чисел. Определим метрику на X как
1 + |у — у '|, если х = х ' если х = х .
у) (х ',у ')) = { 1у+—|у ' ^
Определим тождественное отображение Т на X как Т(х, у) = (0,1 — у) для всех (х, у) € X. Получаем
шах{4(х, у), (х', у')) ,4(х, у), Т(х,у)), ((х',у'),Т(х',у'))} — ¿(Т(х,у),Т(х', у')) = 1 при любых (х,у) = (х ',у ') € X.
Тогда Т удовлетворяет всем условиям теоремы 4.2 и Т имеет единственную неподвижную точку, равную (0, Кроме того, заметим, что X не компактно и
М \ шах{4(х,у), (х',у')),4(х,у),Т(х,у)), ((х',у'),Т(х',у'))} —
(х,у) = (х',у')€Х у
— ¿(Т(х, у), Т(х',у'))| > 0.
Пример 4.6. Пусть X = [0,1] — пространство с метрикой, определенной
х=у
в (4.9) и Тх = пространство X компактно и М {тах{с1(х, у), ¿(х, Тх), ¿(у, Ту)} —
¿(Тх, Ту)]} = 0.
В качестве приложений теоремы 4.2 мы получаем результат для нового класса слабосжимающих отображений, определяемых следующим образом.
Определение 4.7. Пусть Т : X —> X — отображение метрического пространства (X, ¿). Т будем называть обобщенным Е-слабосжимающим отображением, если
¿(Тх, Ту) < шах{с!(х, у), ¿(х, Тх), ¿(у, Ту)} — ф(1 + шах{с!(х, у), ¿(х, Тх), ¿(у, Ту)})
для всех х,у € X, где ф : [1, —> [0, — функция, удовлетворяющая ф(1) = 0
и М ф(Ь) > 0.
Теорема 4.8. Пусть Т : X —>• X — обобщенное Е-слабосжимающее отображение ограниченного полного метрического пространства ^^). Тогда Т имеет единственную неподвижную точку.
Доказательство. Пусть х = у € X, тогда из определения 4.7 имеем
0 < М ф(г) < ф(1 + шах{с!(х, у), ¿(х, Тх), ¿(у, Ту)}) <
< шах{с!(х, у), ¿(х, Тх), ¿(у, Ту)} — ¿(Тх, Ту),
и поэтому
М шахЩх, у), ¿(х, Тх), ¿(у, Ту)} — ¿(Тх, Ту)} > 0.
х=уех у )
Согласно теореме 4.2, Т имеет единственную неподвижную точку в X. □
Определение 4.9. Пусть Т : X —> X — отображение метрического пространства (X, ¿).
(1) Т назовем Е-слабосжимающим отображением, если
¿(Тх, Ту) < ¿(х, у) — ф(1 + ¿(х, у)), (п) Т назовем Е'-слабосжимающим отображением, если
шах{х, у}, если х = у,
¿(х, у)
0, если х = у,
для всех х,у € X, где ф : [1, —> [0, — функция, удовлетворяющая условиям ф(1) =0 и т^ ф(Ь) > 0.
Следствие 4.10. Пусть Т : X —>• X — Е-слабосжимающее отображение ограниченного полного метрического пространства (X, ¿), тогда Т имеет единственную неподвижную точку.
Следствие 4.11. Пусть Т : X —>• X — Е'-слабосжимающее отображение ограниченного полного метрического пространства (X, ¿), тогда Т имеет единственную неподвижную точку.
Пример 4.12. Пусть X = {0,1, 2, 3} — пространство со следующей метрикой:
шах{х, у}, если х = у,
¿(х, у) = , „
0, если х = у.
Определим Т : X ^ X как
Тх =
для всех х € X и
ф(*) =
0, если х = 3,
1, если х = 3,
0, если £ =1,
1, если £ > 1.
Тогда Т удовлетворяет всем условиям теоремы 4.8 и 0 — единственная неподвижная точка отображения Т. Заметим, что ф не является непрерывным в точке 1.
Теперь, чтобы показать важность условия М ф(£) > 0, приведем следующий пример.
Пример 4.13. Пусть X = {0,1,2} — пространство с обычной метрикой ¿(х,у) = |х — у|. Зададим отображение Т на X как Т0 = 1,Т 1 = 2,Т2 = 0 и ф(£) = 0 для всех £ € [1, то). Заметим, что Т не имеет неподвижных точек, даже если (X, — ограниченное полное метрическое пространство и ¿(Тх, Ту) < шах{й(х, у), ¿(х, Тх), ¿(у, Ту)} — ф(1 +шах{й(х, у), ¿(х, Тх), ¿(у, Ту)}) для всех х, у € X, но Т не является обобщенным Е-слабосжимающим отображением, поскольку шЦ ф(£) = 0, и, следовательно, условие т^ ф(£) > 0 существенно.
5. Применение. Происхождение теории динамического программирования лежит в области многоступенчатых процессов принятия решений, в которых возникают функциональные уравнения (см. [6, 7]).
В этом разделе мы предполагаем, что X и У являются банаховыми пространствами, Б С X — пространством состояний, а Б С У — пространством решений. Пусть р : Б х Б ^ Б, д : Б х Б ^ К и С : Б х Б х К ^ К, где К — поле действительных чисел. В(Б) — множество всех ограниченных вещественнозначных функций на Б. Для Л, к € В(Б) пусть
¿(Л, к) = вир{|Л(х) — к(х)| : х € Б}.
Очевидно, что ^ — метрика на В(Б), а (В(Б), — полное метрическое пространство.
В этом разделе мы исследуем существование и единственность решения следующего класса функциональных уравнений, возникающих в динамическом программировании.
/(х) = вир{д(х, у) + С(х, у, f (р(х, у)))}, (5 10)
уев у ' '
где g и G ограничены. Определим T : B(S) ^ B(S) следующим образом:
Tf (x) = sup{g(x, y) + G(x, y, f (p(x, y)))}. (5 U)
yeD v ' '
Понятно, что T корректно определено, поскольку g и G ограничены. Пусть
A(h, k) = max{d(h, k), d(h, Th), d(k, Tk)}.
Теперь докажем существование и единственность решения функционального уравнения (5.10).
Теорема 5.1. Пусть T : B(S) ^ B(S) — оператор, определенный в (5.11). Предположим, что выполняется следующее условие: существует M £ R+ такое, что
\G(x,y,h(x)) - G(x,y,k(x))\ < A(h,k) - M (5.12)
для всех (h, k, x, y) £ B(S)2 xSxD, где h(x) = k(x). Тогда функциональное уравнение (5.10) имеет единственное ограниченное 'решение.
Доказательство. Пусть А — произвольное положительное число, x £ S и h,k £ B(S), существуют y,z £ D такие, что
T(h(x)) < g(x, y) + G(x, y, h(p(x, y))) + А, (5.13)
T(k(x)) < g(x, z) + G(x, z, k(p(x, z))) + А. (5.14)
С другой стороны, по определению T получаем
T(h(x)) > g(x, z) + G(x, z, h(p(x, z))), (5.15)
T(k(x)) > g(x, y) + G(x, y, k(p(x, y))). (5.16)
Из (5.13) и (5.16) следует, что
T(h(x)) - T(k(x)) < G(x, y, h(p(x, y))) - G(x, y, k(p(x, y))) + А < < \G(x,y, h(p(x,y))) - G(x,y, k(p(x,y)))\ + А,
следовательно
T(h(x)) - T(k(x)) < A(h, k) - M + А. (5.17)
Аналогично из (5.14) и (5.15) следует
T(k(x)) - T(h(x)) < A(h, k) - M + А. (5.18)
Учитывая (5.17) и (5.18), получаем
\T(h(x)) - T(k(x))\ < A(h, k) - M + А, что эквивалентно неравенству
d(T(h),T(k)) < A(h,k) - M + А. (5.19)
Поскольку Л выбрано произвольно, получаем
d(T(h),T(k)) < A(h,k) - M (5.20)
для всех h = k G B(S). Наконец, мы заключаем, что
inf I A(h, k) - d(Th,Tk)l > 0, (5.21)
h=fces(s) { )
откуда по теореме 4.2 следует, что функциональное уравнение (5.10) имеет единственное ограниченное решение. □
Редколлегия журнала благодарит Н.А.Широкова и М. Шагай за помощь в оформлении статьи.
Литература/References
1. Reich S. Kannans fixed point theorem. Boll. Unione Mat. Ital. 4 (4), 111 (1971).
2. Aamri M., El Moutawakil D. т-distance in general topological spaces with application to fixed point theory. Southwest Journal of Pure and Applied Mathematics, iss. 2 (2003).
3. Alber Y. I., Guerre-Delabriere S. Principle of Weakly Contractive Maps in Hilbert Spaces. In: Gohberg I., Lyubich Y. (eds.) Operator Theory: Advances and Applications. New Results in Operator Theory and Its Applications. Vol. 98. Basel, Birkhauser (1997). https://doi.org/10.1007/978-3-0348-8910-0_2
4. Edelstein M. On fixed and periodic points under contractive mappings. J. London Math. Soc. 37, 771-779 (1986).
5. Rhoades B. E. Some theorems on weakly contractive maps. Nonlinear Analysis 47, 2683-2693 (2001).
6. Bellman R. Dynamic Programming. Princeton, Princeton University Press (1957).
7. Bellman R., Lee E. S. Functional equations arising in dynamic programming. Aequ. Math. 17, 118 (1978).
Статья поступила в редакцию 6 декабря 2019 г.;
после доработки 4 августа 2020 г.; рекомендована в печать 17 декабря 2020 г.
Контактная информация:
Туаль Юсеф — аспирант; [email protected] Аль-Мутавакиль Дрисс — проф.; [email protected]
Fixed point theorems for new contractions with application in dynamic programming
Y. Touail, D. El Moutawakil
Sultan Moulay Slimane University, Morocco, 23000, Beni-Mellal
For citation: Touail Y., El Moutawakil D. Fixed point theorems for new contractions with application in dynamic programming. Vestnik of Saint Petersburg University. Mathematics. Mechanics. Astronomy, 2021, vol. 8(66), issue 2, pp. 338-348. https://doi.org/10.21638/spbu01.2021.213 (In Russian)
In this study, we give a generalization of the well-known Reich fixed point in the setting of general topological spaces with t-distances. As applications of the obtained result, we
prove some fixed point theorems for new contraction types in metric spaces. Moreover, we establish the existence and the uniqueness of solutions for a class of functional equations arising in dynamic programming.
Keywords: fixed point, strict contraction, generalized E-weakly contractive maps, metric spaces, Hausdorff topological spaces, dynamic programming.
Received: December 6, 2019 Revised: August 4, 2020 Accepted: December 17, 2020
Authors' information:
Youssef Touail — [email protected] Driss El Moutawakil — [email protected]
