О сходимости итерационной схемы типа Нура с погрешностями в выпуклом коническом метрическом пространстве Текст научной статьи по специальности «Математика»

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Клини С.К. Введение в метаматематику. М.: ИЛ, 1957.

2. Плиско В.Е. Абсолютная реализуемость предикатных формул // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1983. 47, №2. 315-334.

3. Ruitenburg W. Basic predicate calculus // Notre Dame J. Formal Logic. 1998. 39, N 1. 18-46.

4. Salehi S. Primitive recursive realizability and basic arithmetic // Bull. Symbol. Logic. 2001. 7, N 1. 147^148.

Поступила в редакцию 08.12.2014

УДК 515.124.2, 515.126.4

О СХОДИМОСТИ ИТЕРАЦИОННОЙ СХЕМЫ ТИПА НУРА

С ПОГРЕШНОСТЯМИ В ВЫПУКЛОМ КОНИЧЕСКОМ МЕТРИЧЕСКОМ ПРОСТРАНСТВЕ

Т.Н. Фоменко1, К. С. Ястребов2

Доказывается критерий сходимости итерационной схемы типа Нура (Noor-type) с погрешностями для аппроксимации общих неподвижных точек трех последовательностей равномерно квазилипшицевых отображений в себя замкнутого выпуклого подмножества полного выпуклого конического метрического пространства.

Ключевые слова: итерационная схема типа Нура, коническая метрика, квазилипши-цево отображение, выпуклость в метрическом пространстве, общие неподвижные точки.

A convergence criterion of the Noor-type iteration scheme with errors is proved for the approximation of common fixed points of three sequences of uniformly quasi-Lipschitzian self-mappings of a closed convex subset in a complete convex cone metric space.

Key words: Noor-type iteration scheme, cone metric, quasi-Lipschitzian mapping, convexity in a metric space, common fixed points.

В работе fl] получен критерий сходимости итерационной схемы типа Нура (Noor-type) с погрешностями для аппроксимации общих неподвижных точек трех последовательностей равномерно квазилипшицевых отображений в себя замкнутого выпуклого подмножества полного выпуклого метрического пространства. В настоящей работе рассматривается аналогичная задача для случая полного выпуклого конического метрического пространства. В силу особенностей конической метрики найденное нами необходимое и достаточное условие сходимости отличается от необходимого и достаточного условия, полученного в [1]. Из основного результата (теорема ниже) следует аналогичный критерий сходимости итерационной схемы типа Ишикавы (Ishikawa) с погрешностями для двух последовательностей равномерно квазилипшицевых отображений в полном выпуклом коническом метрическом пространстве, который исправляет ошибочный результат работы [2].

Введем необходимые обозначения и определения. Пусть Е - нормированное векторное пространство.

Определение 1 [3]. Непустое подмножество Р С Е называется конусом, если Р непусто, замкнуто, Р ф {в}, Р П {—Р} = {в}, а также для любых а, Ъ € М+ = [0, оо) и любых х,у € Р верно ах + Ьу € Р.

В пространстве Е с конусом Р определен частичный порядок А именно будем считать, что х у, если у — х € Р\ х -< у означает, что х < у, но х ф у.

Конус Р называется телесным,, если его внутренность intP ф 0. В случае телесного конуса будем говорить, что х >С у, если у — х € intP.

Теория пространств с конусом и их применений восходит к работам М. Г. Крейна, а также М. А. Красносельского, П. П. Забрейко и других математиков воронежской школы (см. в связи с этим, например, [3, 4]).

1 Фоменко Татьяна Николаевна — доктор физ.-мат. наук, проф. каф. общей математики ф-та ВМК МГУ, e-mail: tn-fomenkoQyandex .ru.

2Ястребов Кирилл Сергеевич — студ. каф. общей математики ф-та ВМК МГУ, e-mail: yastrebovksQgmail.com.

Конус Р называется нормальным, если существует число к > 0, такое, что для любых ж, у € Р, 0 ^ х ■< у верно неравенство ||ж|| ^ к\\у\\. Число к, наименьшее из таких к, называется нормальной константой конуса.

Несложно показать [5], что нормальная константа к не может быть меньше 1. Кроме того, в [5] доказано, что существуют нормальные конусы с нормальной константой к = 1, а также, что для любого д > 1 существуют нормальные конусы с нормальной константой к > д. Таким образом, всегда к ^ 1. Известно [6], что в случае нормального конуса (Р,к) в банаховом пространстве Е в последнем существует эквивалентная норма, относительно которой конус Р имеет нормальную константу, равную 1.

Определение 2 [7]. Пусть X ф 0 и Е — нормированное пространство с конусом Р С Е. Отображение (I : X х X —>■ Р называется конической метрикой, если для любых х,у,г € X выполнены условия:

1) 0 ^ с1(х, у), (<1{х, у) = 9) (х = у); 2) с1(х, у) = с1(у, х); 3) с1(х, у) ^ с1(х, г) + с1(г, у).

Множество X ф 0 с конической метрикой с! называется коническим, метрическим пространством,.

Определение 3 [1]. Пусть (Х,с1) — коническое метрическое пространство. Отображение Т : X —> X называется равномерно квазилипшицевым, если существует такая константа Ь > 0, что с1(Тпх,р) ^ Ь ■ с1(х,р) для всех х € Х,р € Е(Т), где -Р(Т) = {х € Х\Т{х) =х} множество неподвижных точек отображения Т.

Определение 4 [8]. Пусть (Х,с1) — коническое метрическое пространство. Отображение \¥ : X3, х I3 —у X называется выпуклой структурой (выпуклостью) на X, если для любых х, у, г € X, любых а,Ь,с € [0,1 ],а + Ь + с = 1, и любого и € X верно соотношение с1(}¥(х,у, г;а,Ь,с),и) ^ а ■ с1(х, и) + Ь ■ с1(у, и) + с • с1(г, и).

Коническое метрическое пространство (X, с!) с выпуклой структурой \¥ называется выпуклым, коническим метрическим пространством и обозначается (X, (1, Ш).

Определение 5. Непустое подмножество С С X выпуклого конического метрического пространства (X, (1, Ш) называется выпуклым,, если \У(х, у, г; а, Ъ,с) € С для любых х, у, г € С и а, Ь, с € [0; 1], а + Ь + с = 1.

Определение 6 [1]. Пусть (X, с!) — коническое метрическое пространство относительно телесного конуса Р. Последовательность {жга}гаем С X называется сходящейся (по конической метрике) к х, если для любого с € Е, 9 <С с, существует N = Х(с) € М, такое, что для любых п ^ N верно неравенство (1(хп,х) <С с. Последовательность {жга}гаем называется фундаментальной (по конической метрике (I), если для любого с € Е, 9 <С с, существует N = Х(с) € М, такое, что для любых 11,171^ N верно соотношение (1{хп,хт) <С с. Пространство {Х,(1) называется полным, если каждая фундаментальная последовательность в нем сходится.

Предложение 1 [7]. Пусть {Х,(1) — коническое метрическое пространство относительно нормального конуса (Р, к) и, {хп} с! - некоторая последоват,ельн,ост,ь. Тогда:

1) хп сходится, к х € X тогда и только тогда, когда (1(хп,х) —9 € Е\

п—>оо

2) {хп} фундаментальна тогда и только тогда, когда (1{хп,хт) —> 9 € Е. □

п,т—>оо

Пусть (X, (I, \¥) — полное выпуклое коническое метрическое пространство относительно нормального конуса (Р, к) в нормированном векторном пространстве Е. Пусть С С X — непустое замкнутое выпуклое подмножество; Т^, Щ, Si : С —>■ С — равномерно квазилипшицевы отображения с константами Ь^ > > > 0, г £ N. Пусть ап, Рп,7п, о>п,Ьп, сп, (1п, еп,1п — последовательности в [0,1], такие, что ап + ¡Зп + 7„ = ап + Ьп + сп = (1п + еп + 1п = 1, п € N. Далее, как и выше, для любого отображения Т : С —> С будем обозначать через Е(Т) = {х € С\Т(х) = х} множество его неподвижных точек. Пусть {ип}, {ип}, {ь]п} — произвольные фиксированные последовательности в С и х\ £ С. Рассмотрим следующую схему, называемую итералщонной схем,ой, типа Нура (]Моог^уре) с погрешностями [1] (п ёМ):

Угы ип] 01п,

Уп = п 1 >5гг, 1 Vп) 0"п 1 Ьп 1 Сп), (1) - Т{,пХп, и)п, (1п, 6п, 1п).

Теорема. Пусть С — непустое замкнутое выпуклое подмножество в полном, выпуклом коническом метрическом простра нет ее (X, (1, Ш), где метрика определяется телесным нормальным конусом с нормальной константой к = 1. Пусть Тг,Щ,Бг : С —> С — три последовательности равномерно квазилипшицевых отображений с константам,и,

соответственно,

г € N. Пусть числовые множества, {Li}, {L^}, {L'-} ограничены, последовательности, {ип}, {vn},

оо

{wn} в схеме (1) также ограничены (относительно конической метрики d) и ряд (ßn + 7га)

п= 1

оо оо оо

сходится. Предположим, кроме того, что множество F = ( П F(Ti)) П ( П F(Ri)) П ( П F(Si))

г=1 г=1 г=1

общих неподвижных точек отображений Ti,Ri,Si (г € N) непусто и, ограничено (относительно метрики d).

Тогда, для, сходим,ост,и, итерационной последовательности {хп}, определяемой схем,ой, (1), к общей неподвижной точке указанных последовательностей отображений необходимо и достаточно, чтобы существовала такая последовательность {уп} С F, что lim II d(xn,yn)\\ = 0.

га—>оо

Доказательство. Необходим,ость. Пусть хп —> у € F. Тогда из определения сходимости следует, что d(xn,y) —>■ в, а значит, и ||с?(жга,у)|| —> 0. Следовательно, условие теоремы выполнено для постоянной последовательности {уп}, где уп = у для любого п € N.

Достаточность. Пусть р € F. Из определения последовательности {жга} имеем

d{xn+i,p) = d(W(xn,T™yn,un-,an,ßn,yn),p) ^

^ and(xn,p) + ßnd(T™yn,p) +тnd{un,p) ^ and(xn,p) + ßnLd(yn,p) + 7nd(un,p);

Xn i Sn zn, vn, an, bn,Cn),P) ^ anLd(xn,p) + bnLd(zn,p) + cnd{vn,p); d(zn,p) = d(W(S£xn, Rnxn, wn, dn, cn, ln ),p) =< dnLd{xn,p) + enLd(xn,p) + lnd(wn,p), где L = max{supieW Li, supieW L^, supieW L'■}. Отсюда следует, что

d{xn+i,p) < and(xn,p) + ßnL(anLd(xn,p) +bnL(dnLd(xn,p) +enLd(xn,p) + lnd{wn,p))+

+cnd(vn,p)) +7nd(un,p) ^ d{xn,p){ 1 + ßnL2{ 1 + 2L)) + ßnL2d(wn,p) + ßnLd{vn,p) + 7nd{un,p) ^ .

^ ф:„,р)(1 + /?„L2(1 + 2L)) + (/?„ + 7n)(L2d(wn,p) + Ld(vn,p) + d(un,p)).

В силу ограниченности последовательностей {ura}, {wra} существует элемент и € Р\{0}, такой, что L2d(wn,p) + Ld(vn,p) + d(un,p) ^ и для любого п € N и любого р € F. Тогда (учитывая, что при ж ^ 0 справедливо неравенство 1 + ж ^ еж ) имеем оценку

№n+i,p)|| < (1 + /?raL2(l + 2L))||d(a;ra,p)|| + (ßn + 7га) INI < e^i2<1+2i>||d(a:ra,p)|| + (/?„ + 7ra)|M|. Применяя ее конечное число раз, получим

\\d(xn+m,p)\\ < е^2(1+2Ь)/Зт+п-1 ||й(жга+т_1,р)|| + ||u||(/?ra+m_i +7n+m-l) < ^ eb2(l+2b)/3m+n-l[eL2(l+2L)/3„+m-2||d(;Cra+m_2)p)|| + ||U||(/3ra+m-2 +7п+т-2)] + llulKA^+^i +7ra+m_i) < L2(1+2L) Е 2

< е ]=1 п т 3\\d(xn+m-2,p)\\ + eL2(1+2L)/3"+™-1 IHI J2(ßn+m-3 + 7n+m-j) < • • •

3=1

m n — 1

L2(1+2L) E L2(1+2L) E ™

• ••^e j=1 \\d(xn,p)\\+e j=1 \\u\\2_^{ßn+m-j + Jn+m-j) ^

< e

L2(l+2L)/3

3 = 1

ra+m—1 -1 ra+m—1

||d(a;ra,p)|| + |M| J] (Ä + 7fc) =M||d(a;ra,p)||+M|H| J] (Ä + 7fc),

fc=ri fc=ri

где M = eL ß = ßk- Пусть выполнены условия теоремы. Равенство lim \\d(xn, уп)\\ = 0

k=1 п.—5- оо

эквивалентно тому, что для некоторой подпоследовательности {жга?с} верно следующее соотноше-

оо

ние: d(xnk,ynk) —> в. Отсюда и из того, что ряд ^ (/?„ + 7„) сходится, получаем, что для любого

оо га=1

е > 0 существует такое число Жо € М, что при любом к ^ N0 будем иметь \^1(хПк,уПк)\\ < и

оо

Е (Рз+ъ) <1МШ-

3=пк

Покажем теперь, что последовательность {жга} фундаментальна. Пусть q > пм0,т € N. Тогда

q-\-m— 1

\\d(xq+m,xq)\\ < \\d(xq+m,ynNo)\\ + \\d(ynNo,xq)\\ < M\\d(xnNo,ynNo)\\ + M\\u\\ ^ (& + 7¿)+

j='llN0

q— 1 oo

+M||d(a;rajVo, yrajVo II + M||-u|| £ (ft + 7,0 < 2M\\d(xnNo, ynNo)\\ + 2M\\u\\ (ß3 + 7,) < \ + f =

3=пщ 3=пщ

Итак, последовательность {жга} фундаментальна (по конической метрике d), значит, она сходится в полном пространстве X. Пусть хп —>■ Xq. Ясно, что Xq € С, так как С — замкнутое выпуклое

га—>оо

множество.

Теперь покажем, что уПк —> xq. В самом деле, d(ynk,xо) ^ d(ynk,xnk) +с?(жга?,,жо) —Это

к—>оо fc—>оо

означает в силу предложения 1, что последовательность {yrafc} сходится к жо-

Чтобы удостовериться, что Жо € -F, осталось показать, что F — замкнутое множество. Пусть {'Рк} С F — произвольная сходящаяся последовательность и р^ —> ро. Покажем, что ро € F.

к—>оо

Действительно, d(po,Ti(po)) ^ d(po,Pk) + d(pk, Tí(po)) -< (1 + L)d(po,Pk) ► д- Отсюда ясно, что

к—>оо

Po = Ti(po), т.е. ро € F(Ti). Аналогично получаем, что ро € F(Ri) и ро G F(Si), г € N. Следовательно, ро € F. Далее, так как {уПк} С F и уПк —> хо, то Хо € F. Это завершает доказательство теоремы.

Если в определении схемы (1) положить еп = 1, dn = ln = 0 для любых п ^ 1 и если Щ = Id — тождественный оператор для всех г ^ 1, то схема (1) принимает вид следующей схемы типа, Ишика-вы, (Ishikawa-type) с погрешностями (рассмотренной в [9] в случае обычного выпуклого метрического пространства):

Í xn+i = W(xn, Т™уп, ип; ап, ßn, jn); I Уп = W(xn, Snxn, vn] an, bn, Cn). Поэтому из доказанной теоремы вытекает соответствующий критерий сходимости последовательно-

оо оо

сти, определяемой схемой (2), к точке из F = ( П F(Ti))П( П F(Si)) в полном выпуклом коническом

г=1 г=1

метрическом пространстве (относительно нормального телесного конуса Р с константой нормальности к = 1).

Для полного выпуклого метрического пространства с обычной числовой метрикой в [1] указан критерий сходимости последовательности, определяемой схемой (1) (в частности, схемой (2)), к некоторой точке из F (F), который имеет вид lim \\d(xn, F)|| = 0 ( lim \\d(xn, F)|| = 0). В [2, теорема 2.2]

ra—>oo ra—>oo

утверждается, что такое же условие является критерием сходимости последовательности, определяемой схемой (2), к точке из F и в случае полного выпуклого конического метрического пространства

(с нормальным телесным конусом). Однако коническое расстояние d(xn,F) = inf {d(xn,p)} опреде-

peF

лено в общем случае лишь при сильной миниэдральности конуса, что не обеспечивается, вообще говоря, его нормальностью (см., например, лемму 1.9 и пример 1.10 в [10]). Кроме того, даже при сильной миниэдральности конуса Р из условия lim \\d(xn, _F)|| = 0, вообще говоря, не следует су-

га—>оо

ществование последовательности {уп} С F, для которой d(xn,yn) —> в. Поэтому теорема 2.2 в [2]

га—>оо

неверна в заявленной общности.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Elmas S., Özdemir М. Convergence of a general iterative scheme for three ifinite families of uniformly quasi-Lipshitzian mappings in convex metric spaces // Adv. Fixed Point Theory. 2013. 3, N 2. 406-417.

2. Lee B.-S. Approximating common fixed points of two sequences of uniformly quasi-Lipschitzian mappings in convex cone metric spaces // Universal J. Appl. Math. 2013. 1, N 3. 166-171.

3. Вулих Б.З. Введение в теорию конусов в нормированных пространствах: учебное пособие. Калинин: КГУ, 1977.

4. Красносельский М.А. Положительные решения операторных уравнений. М.: Физматлит, 1962.

5. Rezapour Sh., Hamlbarani R. Some notes on the paper "Cone metric spaces and fixed point theorems of contractive mappings" //J. Math. Anal, and Appl. 2008. 345. 719-724.

6. Kadelburg Z., Radenovic S. A note on various types of cones and fixed point results in cone metric spaces // Asian J. Math, and Appl. 2013. 7.

7. Huang L.-G., Zhang X. Cone metric spaces and fixed point theorems of contractive mappings //J. Math. Anal. Appl. 2007. 332. 1468-1476.

8. Takahashi W. A convexity in metric space and nonexpansive mappings // Kodai. Math. Semin. Rept. 1970. 22. 142-149.

9. Liu Q.I., Liu Z.B., Huang J. Approximating the common fixed points of two sequences of uniformly quasi-Lipschitzian mappings in convex metric spaces // Appl. Math. Сотр. 2010. 216. 883-889.

10. Karapinar E. Fixed point theorems in cone Banach spaces // Fixed Point Theory Appl. 2009. 9.

Поступила в редакцию 30.01.2015

УДК 511

ПОЛНЫЕ РАЦИОНАЛЬНЫЕ АРИФМЕТИЧЕСКИЕ СУММЫ

В. Н. Чубариков1

В работе получен следующий результат: если д > 1 — целое число, /(ж) = апхп + ... + а\х + ао — многочлен с целыми коэффициентами и (а„,..., q) = 1, то справедлива оценка

V я J

Е

р

l-1/n

где p{t) =0,5-{t}.

Ключевые слова: "зубчатая" функция, многочлены Бернулли, полные рациональные арифметические суммы.

Let q > 1 be an integer, f(x) = anxn + ... + a\x + ao be a polynomial with the integer coefficients, and (an,..., ai, q) = 1. Then is valid the estimation

V я J

E

p

№

<9

l-l/n

where p(t) = 0,5 — {t}.

Key words: "the saw-tooth" function, the Bernuolli's polynomials, the complete rational arithmetical sums.

В настоящей работе оцениваются полные рациональные суммы от "зубчатой" функции р(х) = 0, 5 — {х}, где {х} — дробная часть числа х. Эти суммы имеют вид

где q > 1 — целое число, f(x) = апхп + ... + а\Х + ао — многочлен с целыми коэффициентами, (ап, ...,ai,q) = 1.

Теорема. Справедлива следующая оценка:

Отметим, что результат теоремы является аналогом оценок полных рациональных тригонометрических сумм, полученных в работах [1-6].

В основу ее доказательства положены следующие вспомогательные утверждения.

1 Чубариков Владимир Николаевич — доктор физ.-мат. наук, проф., зав. каф. математических и компьютерных методов анализа мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: chubariklQmech.math.msu.su.