ТЕОРЕМА ТИПА ХАРДИ ЛИТТЛВУДА ДЛЯ СМЕШАННЫХ ДРОБНЫХ ИНТЕГРАЛОВ В ПРОСТРАНСТВАХ ГЕЛЬДЕРА Текст научной статьи по специальности «Математика»

ТЕОРЕМА ТИПА ХАРДИ - ЛИТТЛВУДА ДЛЯ СМЕШАННЫХ ДРОБНЫХ ИНТЕГРАЛОВ В ПРОСТРАНСТВАХ ГЕЛЬДЕРА

Тулкин Юсупович Маматов

Старший преподаватель кафедры «Высшая математика» Бухарского инженерно-

технологического института mamatov. tulkin@mail. ш

Изучаются смешанные операторы дробного интегрирования Римана-Лиувилля и смешанная дробная производная в форме функции Маршо от двух переменных в пространствах Гельдера различных порядков в каждой переменной. Полученные результаты обобщены на случай пространств Гельдера со степенным весом.

Ключевые слова: функции двух переменных, дробная производная формы Маршо, смешанная дробная производная, вес, смешанный дробный интеграл, пространство Гельдера.

THE HARDY - LITTLEWOOD TYPE THEOREM FOR MIXED FRACTIONAL

INTEGRALS IN HELDER SPACES

Tulkin Yusupovich Mamatov

Senior Lecturer of the Department of Higher Mathematics, Bukhara Engineering

Technological Institute mamatov. tulkin@mail. ru

We study mixed Riemann-Liouville fractional integration operators and a mixed fractional derivative in the form of the Marshaud function of two variables in Holder spaces of different orders in each variable. The results obtained are generalized to the case of Holder spaces with a power-law weight.

Keywords: functions of two variables, fractional derivative of the Marshaud form, mixed fractional derivative, weight, mixed fractional integral, Holder space.

ВВЕДЕНИЕ

В 1928 году Х. Г. Харди и Дж. Э. Литтлвуд [1] (см. [15], теоремы 3.1 и 3.2) показали, что дробный интеграл

АННОТАЦИЯ

ABSTRACT

порядка a e (0, l) улучшает поведение Гельдера его плотности точно на порядок а. Точнее, эти операторы устанавливают изоморфизм между пространствами Hq ([0,1]) и Hо+а([0,1]) при условии а + Я. Этот результат был распространен во многих направлениях: на случай пространств Гельдера со степенным весом [14], на случай обобщенных пространств Гельдера с характеристиками из класса Бари-Стечкина [15], [16]; на случай более общих весов [16] и т.д. Различные доказательства были предложены в [2], [3], где случай сложных дробных порядков также считался самым коротким доказательством, приведенным в [2].

В многомерном случае утверждение о свойствах отображения в пространствах Гельдера для смешанного дробного интеграла Римана - Лиувилля изучалось в работах [4]-[13].

Как известно, оператор дробного интегрирования Римана-Лиувилля устанавливает изоморфизм между взвешенными пространствами Гельдера для функций одной переменной. Но для функций две переменные не изучались. Настоящая статья призвана восполнить этот пробел. Мы изучаем смешанные операторы дробного интегрирования Римана-Лиувилля и смешанную дробную производную в форме функции Маршо от двух переменных в пространствах Гельдера разных порядков в каждой переменной. Полученные результаты обобщены на случай пространств Гельдера со степенным весом функций двух переменных.

Смешанные дробные интегралы порядка Римана-Лиувилля (а, ß)

(ja^ mix v)=_1_X У _^'*')dtds__(1)

(/a+,°+m)X'v) r(a)T(ß)J I (x -t la(y - sГ ' (1)

x > 0,у > 0.

Смешанные дробные производные образуют Маршо порядка (a, ß)

^X' vy-fi-Ofh) Xа v ß+

+ ,aß, j i m(x,V)-m(t,s\ dtds, x>0,v>0. T(a)r(ß)J i (x -1 )1+a(у - s )1+ß , , V

Рассмотрим операторы в прямоугольнике Q - {(x, у): 0 < x < b,0 < у < d }. ОБСУЖДЕНИЕ

Для непрерывной функции m(x, у) в r2 введем обозначение

Ao Л

A h p (x, y )=p(x + h, y )—p(x, y ),

J

f 0,1 Л

Anp (x,y) = p(x, y + p(x, y),

V J 1,1

Ah,n p

(x, y ) = p(x + h, y + v)-p(x + h, y ) — p(x, y + rç) + p(x, y ).

Так что

Л,1 Л Л 0,1 Л Г 1,0 л

ф(х + Л, у + Ан,^ ф (х, у) + Ал ф (х, у) + А а ф (х, у)+ф(х, у). (3) V У V У V У

Везде в дальнейшем через С, С1, С2 и т.д. мы обозначаем положительные константы, которые могут иметь разные значения в разных случаях и даже в одной и той же строке.

Определение 1. Пусть О, у е (0,1]. Мы говорим это ф(х, у )е Н о,у О), если

| ф(х1, У1) — ф(х2, У 2 х1 - х2| + У1 _ У 21У для всех (хг-, у) )е Q, I = 1,2.

Условие (4) эквивалентно паре отдельных условий

(4)

f i,o Л A h p

V J

(x, y)< Q | h \

f 0,1 Л Av p

VJ

y)

однородный по отношению к другой переменной.

Через Н°,у(0) этим мы определяем подпространство функций фе Нл,у(0) исчезающих на граница х = 0 и у = 0 из Q .

Пусть 0 = 0 и\или у = 0. Мы ставим Н0 0 (Q) = и

H Q ) =

H 0,^(ß ) =

pe Lœ(Q ) :

pe L-(Q ) :

f i,o Л Ah p (x, y)< Ci | h \

V J

f 0,1 Л A,p (x, y ) < C2|^T

V J

Я e (0,1]

(0,1].

Определение 2. Мы говорим что ф(х, у)е НА,у(Q), где А,уе (0,1], если

фе Нх,у(0) и

Л,1 Л А НгПф (х, у )< Сз|Л| у.

У

Мы говорим что Ф е Н£,у^), если ф е Но,у^) и ф(0,у)= ф(х,0) = 0. Эти пространства становятся Банаховыми пространствами в соответствии со стандартным определением норм:

<

>

>

H

Kr

C(Q )

+ sup

X, x+he[0,è] ye[0,d ]

Л,0 Л A h р (x, y )

I h | '

+ sup

y, y+^e[0,è] xe[0,è]

^0,1 Л

Av р (x,y

IlI r

H

л,г

H

A,r + SUp

Л,1 Л Ah,v р (x, y

x,x+he[0,b] I h |A|^|r y ye[0, d ]

Обратите внимание, что

Л,1

p(x, y )e H À,r(Q

л

Ah,n( (x, y)

У

0À, |(1-0)r

(5)

для любого в е [0,1], где Св = С°С\~в.

Доказательство. Пусть \ к | 1] |г, тогда

^ 1,1 Л

(х,у) = ((х + к,у + ])-((х,у + ])- -((х + к,у) + ((х,у)|<

V у

< | ((х + к, у + ]) - ((х + к, у) |+| ((х, у + ]) - ((х, у) | < С \ ] \ г =

= С\ ]\Ив+(1-в)]< С\к\ в \ ] \(1в.

Похожим считается случай \ к \ \ ] \ г.

Так что

р H^,M)r(Q) j HÄ,r(Q) J HÄ,r(Q)

0 <6><1

(6),

где J означает непрерывное вложение.

Норма для ^ Нлв,(1-в)г(<2) вводится как максимум в 0 норм для

0 <в<1

Нм,(1 в)г(0). Поскольку ве[0,1] это произвольно, нетрудно увидеть, что

неравенство в (5) эквивалентно (с точностью до постоянного фактора С).

Л,1 Л

Aр

V У

(x, y )< C min {|h| r} .

(7)

Мы также будем использовать следующие взвешенные пространства. Пусть р(х, у) это неотрицательная функция от Q (мы будем иметь дело только с вырожденными весами р(х, у) = рх (х)р2 (у)).

Определение 3. Через Нл,г(0,р) и Нл,г(0,р) обозначим пространства

функций (х,у), такие, что р(е Нл,г(0) и р(е Нл,г(0) соответственно, с нормами

Н °,У{<2,р) = 1М Н ) и И Н °,У{<2,Р) = \рфф Н ).

Через Н°,у^, р) и Н°,у(Q, р) обозначим соответствующие подпространства

функций ф такие, что рф\ х=0 = рф у=0 = 0.

Ниже мы следуем некоторым техническим оценкам, предложенным в [2] для случая одномерных дробных интегралов Римана-Лиувилля. Обозначим

где 0 <б,а< 2, а < * < х < Ъ, 0 < * < у < d и

рС-Л-Р(х)-Р1(Л-Р2(У)-Р2(*) /ол

-, В2 (у, -у . (9)

Р1)(х - *) Р2 (* )(у - *)

В случае р(х, у) = р1(х)р2 (у), имеем

в(х, у; г, * )= в (х, г В (у, *) + ВЩ + В^

(у - *) (х - *)

Пусть также

Д(х,Н,*)= В(х + Н,*)-В1 (х,*), х,х + Н е [0,Ъ], Н > 0,

А(у^*)=В2(у + ^*)-В2(у,*X *у,у + ^е[0,л>0.

Лемма 1 ([2]). Пусть р (х) = хл, л е Я1 и £ = 1 - а, а е (0,1). Тогда

/ \rnax С"-1,0 ) / _ W

(-, t )< С (-1 ^ (10)

V t у t

- + h

ч max(^-1,0)

h

D (л-, г, -)< с--- . (11)

V t у t (л + - -1)

Лемма 2 ([2]). Пусть д (л) = хи, ¡и е R1 и J = 1 + a,ae(0,i). Тогда

/ \max(^-l,0) .

Hi (х t )<^ —^ (12)

t (х - t)

- + h

V t у

ч max(^-1,0)

И

Di (х, t,-) < с — -- . (13)

V t у t (х + - - t )(х -1 f

Аналогичные оценки справедливы для (у, s) и D2 (у,ц, .s) с p(y ) = уи.

Замечание. Все взвешенные оценки дробных интегралов в дальнейшем основаны на неравенствах (10)-(13). Обратите внимание, что правые части этих неравенств имеют показатель степени max (и-1,0), что означает , что в доказательстве достаточно рассмотреть только случай ц> 1, оценки для которого такие же, как и < 1 и для и = 1.

Известно следующее утверждение (см. Представление этого доказательства в [15], стр. 190); более короткое доказательство было дано в [2]. Тем не менее мы вспоминаем схему доказательства из [2], чтобы облегчить представление для двумерного случая.

Пусть р(х) весовая функция и положена м(х) = р(х<(х), И^ ([0, Ь];р). Очевидно И ^ ([0, Ь]) и м(0) = 0. Легко видеть, что

(р/0>)(х) = (/0>)*) + М>Х*) (14)

где

(м 0+у,\х)=-Ц | В (х, г М (г Уг,

г(о ) о

так что в (14) мы имеем дробный интеграл если 0 < о < 1 и дробную производную если -1 < о < 0 .

Представление (14) для дробной (интегральной) производной показывает, что оценка модуля непрерывности в весовом случае сводится к двум более простым оценкам:

1) известная не весовая оценка Харди-Литтлвуда для дробного интеграла и дробной производной;

2) оценка второго члена в (14), которая является основной частью работы.

Теорема 1. Пусть 0< о< 1, р(х)= хр и \м(х)| <Сх00+Л с р< 1+ Л. Оператор

М(х)

(мо"+>)(х) е Hх ([0,b]), Ä + а < 1 и ¡(м+У )(x| л < C sup

11 IIH xe[0,b]

а+Х

X

Доказательство. В доказательстве мы используем следующую нотацию МоМ)(х + к)- (МоМ^х) = ^(х,к) + ^(х,к), где

х+к х

^ (х, к )= | В (х + к, г М(г , ^ (х, к ) = | Д (х, к, г М(г Уг.

х 0

Оценка ^ в данном случае 1 <р< 1+ Л. Оценка (12) для В(х,г) подразумевает

к

х+к ,Л+а-р 7. х+к

< С(х + к)р-1 | --— = С(х + к)Л |г°(1 -^)Л+° -р <*£< СкЛ,

х (х + к - г)° 0

где

1 s

Ci = с sup г а (1 -4У+а

0<s<1 S Q

Оценка в данном случае 1 < р < 1 + Л. Применяя оценку (13) для Д (х, к, г), получим

| 648 |

x+h

fcl *С(x + "Г1= * C2h'где

(x + h -1X* -1)a (x + h)1 о x ^

x + h

1-е ?Л+а

e1-"

0<e<1

e " -—Ц--<да.

C2 = C sup e1 " f 2 " ' f (1 - e -

РЕЗУЛЬТАТЫ

Определение в форме Маршо может быть использовано для всех -1 < а, ( < 1 : если а, (> 0 если (2) дает смешанную дробную производную, если это смешанный дробный интеграл.

Пусть р(х, у) = р(х)р(у) будет весовая функция и положим

И*,У) = р(х, уМ*,У) Ме р). Очевидно Ие А,у(б) и И(*, у) х=о,у=о = 0.

Легко видеть, что

РО+М*, у)= (О +И* У)+ с(к0+(+И* у), (15)

где -1 < а, р < 1 , C=const и ( \ * у

(к0+0+^Ax,y)= f fB(x,y;t,sV(t,s)dtds,

(*,

о 0

так что в (15) мы имеем смешанный дробный интеграл если 0 < а, (< 1 и смешанную дробную производную если -1 < а, ( < 0.

Представление (15) для дробной (интегральной) производной показывает, что оценка модуля непрерывности весом случае сводится к двум более простым оценкам:

1) известная не весовая оценка Харди-Литтлвуда для смешанного дробного интеграла (см. [4]) и смешанной дробной производной (см. [7]); в случае весовой оценки Харди-Литтлвуда для смешанного дробного интеграла (см. [4]);

2) оценка второго члена в (15), который является смешанной дробной производной. Это основная часть работы.

Теорема 2. Пусть 0<а,(< 1,0<А,у< 1, р(х,у) = х^уу и пусть а + Л< 1,

а,р 0+,0 +

( + у < 1 и | и(*, у) |< Схл+ауу+( с / < 1 + А, у< 1 + у. Затем оператор К,

ограниченно действует из пространства Я^^р) в ИА+а,у+((р).

Доказательство. Мы не доказываем эту теорему. Доказательство этой теоремы можно увидеть в [4].

x

Теорема 3. Пусть 0<о,/< 1,0<Л,у< 1, р(х,у) = хруу и пусть о + Л< 1, Р + у < 1 и \ м(х, у) \< СхЛуг с р < 1 + Л, V < 1 + у. Тогда оператор к0+о0-/ ограниченно действует из пространства Яо,у(р) в И^- о ,у-Р(р).

Доказательство. Чтобы оценить этот термин (к-о^М^х, у), отметим, что вес, будучи вырожденным, мы имеем

р(х, у) - р(г, я)=[р(х) - р(г )][р(у) - р(?)] + р(я )[р(х) - р(г)] + р(г )[р(у) - р(я)]. Это приводит к следующему представлению

X y

(K+XV^x, y) = G2 (x, y)= } J Bi (x, t)B2 (y, sM(t, s)dtds +

X y

+ 1 IB (X

00 X y

J JB1 (x,tdtds + } }b2(y,sdtds,

(x -1 )

1+а

0 0 (у - я) 0 0 здесь мы использовали обозначение (9).

Для к > 0 и х, х + к е(0, Ь) мы рассмотрим разность

х+к у

G2 (х + к, у) - G2 (х, у) = | |В1 (х + к, г)В2 (у, я)м(г, я)dгds +

X 0

X y

x+h y Л s)

+ J JD (x,h,t)B2 (y,sM(t, s)dtds + J JB (x + h,t) M , / dtds +

J J J j (y - s )1+/

0 0 x y

+ J J D1 (x, h, t)

00 X y

v(t, s )

(y - s Г

x 0 x+h y

dtds + J J B2 (y, s)

M, s )

x 0

(x + h -1)

1+

dtds +

+ } J B2 (y, sMt, s)[ (x + h -1)-1- а - (x -1)-1-а ]d

itds.

0 0

Так как m е Нл+а,y+ß

x )л+а sr+ß

имеем

\м(г, я) \< Сг Л+о ,

\м(г, я )-м(х,0)\< С (г - х )Л Используя (16) и (13) для переменных, мы получили

С х+к

Л В (х + к, г) гЛ+оdг +

|G2 (x + h, y) - G2 (x, y) < c

V x

x+h

j| D (x, h, t) t а dt + j

+ j d (x

0 X

(X

0

(t - X)

Д+а

(x + h -1 )1+а

dt +

+ Ji (x + h - t)-1- а -(x -1)-1- а (t - XY+а |yv-1 J ds +

(16)

X

X

0

+

x+h

J|B(x + h,tY+adt + J|D(x, h,ty+adt J

sr+ßds

(У - s )

i+ß

Следовательно, по оценкам для ^ и ¥2 из теоремы 1 мы имеем

\в2(х + И,у)-в2(х,у)< СХНА.

Оценка \в2(х,у + ])- в2(х,у) < С2^у получается симметрично.

Для смешанной разность

Ai

ЛG2 v у

(x, y) с h,]> 0 и x, x + h e[0, b],

у, у + т] е [0, ^] соответствующее представление , приводящее к отдельной оценке в каждой переменной без потерь в другой переменной, выглядит следующим образом:

Л,1 Л х+И у+т

АИт ^2 V у

(x, y ) = J J Bi (x + h, t )B2 (y + î], s )^(t, s )dtds +

x y

x y

x+h y

+ J JD(x,h,t)D2(y,],s)^(t,s)dtds + J JBj(x + h,t)D2(y,],s)^(t,s)dtds +

0 0 x y+]

x0 x+h y+]

+ J J D (x, h, t )B2 (y + ], s )^(t, s )dtds + J J

+

0 y x y+]

J J

0 y x+h y

x0

B (x + h, t)

(y + ] - s )

i+ß

^(t, s )dtds +

D (x, h, t )

(y + ] - s )

x+h y

i+ß

^(t, s )dtds + J J

x0

D2 (у] s )

(x + h -1 )+a

y/(t, s )dtds +

x + h

+ J J B (x + h, t)[(y + ] - s)-i-ß - (y - s)-i-ß , s)dtds +

x 0

+ J Jdi(x,h, t)[(y + î - s)-i-ß - (y - s)-i-ß^/(t,s)dtds +

0 0

x y+] p -,

+ J J B2 (y + ], s)[(x + h -1)-i "a - (x -1)-i "a _^/(t, s)dtds +

0 y

x y

+ J JD(y,î,s)[(x + h -1) 1 a - (x -1) 1 a^/(t,s)dtds +

2

0 0 x+h y+]

+

Jhy s dds.

x y (x + h -1 )1

Мы опускаем детали оценки каждого члена в приведенном выше представлении, оно является стандартным с помощью леммы 2 и дает

x

>

0

x

Л,1 Л I Ah,n G2 (x, y)< c3hv.

J

Это завершает доказательство.

Теорема 4. Пусть р(х,y) будет форма р(х,y) = xßyv сp< 1+ Я, v< 1 + y и

пусть 0 <а,ß< 1,0 <Я,у< 1, Я + а < 1, y + ß< 1. Тогда оператор J

« ,ß 0+,0+

устанавливает изоморфизм между пространствами Н^,г(р) и Hq+ а,/3+г(р).

Доказательство. Мы должны рассмотреть, как обычно, следующие три части доказательства:

1) Действие смешанного дробного интегрального оператора из пространства Ил'г(р) в пространство H^+a"^+г(р);

2) Действие оператора смешанного дробного дифференцирования из пространства Н^+а,^+г(р) в пространство Н^г{р);

3) Возможность представления любой функции f (x,y)е Hq+ а,Р+Г(р), как J 0+fi+Ç>Xx, y) с плотностью в Hq,Y(p) .

Из-за (16) части 1) -2) покрываются теоремами 2 и 3. Часть 3) обрабатывается стандартным способом в случае 0 < а,р < 1 использования

возможности аналогичного представления с плотностью из L- (r2 ), p = (p, p2 ).

См. [15], Теорема 24.4.

REFERENCES

1. Hardy, H. G. & Littlewood, J.E. (1928). Some properties of fractional integrals. I. Math. Z. 27 (4), 565-606.

2. Karapetiants, N. K. & Shankishvili, L.D. (1999). A shot proof of Hardy- Littlewood -type theorem for fractional integrals in weighted Holder spaces. Fract. Calc. Appl. Anal. vol 2 (2), 117-192.

3. Karapetiants, N. K. & Shankishivili, L.D. (2002). Fractional integro-differentiation of the complex order in generalized Holder spaces HQ ([0,1], р). Integral Transforms Spec. Funct. vol. 13 (3), 199-209.

4. Mamatov, T & Samko, S. (2010). Mixed fractional integration operators in mixed weighted Holder spaces. Fract. Calc. Appl. Anal. vol. 13 (3), 245-259.

5. Mamatov, T (2019). Mapping properties of mixed fractional differentiation operators in Holder spaces defined by usual Holder condition. Journal of Computer Science and Computational Mathematics, vol. 2 (9), 29-34.

6. Mamatov, T. (2019). Composition of mixed Riemann-Liouville fractional integral and mixed fractional derivative. Journal of Global Research in Mathematical Archives, vol. 6 (11), 23-32.

7. Mamatov, T., Rayimov, D and Elmurodov, M. (2019). Mixed Fractional Differentiation Operators in Holder Spaces. Journal of Multidisciplinary Engineering Science and Technology (JMEST), vol. 6 (4), 106-110

8. Mamatov T., & Sabirova R. & Hamraeva Z.(2020). The Isomorphism Realized By Mixed Fractional Integrals In Holder Classes. JCSCM. Vol. 10. Issue 2. June, 35-40.

9. Маматов, Т. Ю. (2013). Смешанные дробные интегральные операторы в пространствах Гельдера. «Наука и Мир», Волгоград, № 1 (1), 30-38

10. Маматов, Т. (2020). Гельдер фазосида аралаш каср тартибли интеграл операторлар. «НамДУ илмий ахборотномаси», 2-сон, Наманган, 32-39

11. Mamatov, T. (2019). Fractional integration operators in mixed weighted generalized Holder spaces of function of two variables defined by mixed modulus of continuity. "Journal of Mathematical Methods in Engineering" Auctores Publishing, vol. 1(1)-004, 1-16

12. Mamatov, T. (2018). Mixed fractional integration operators in mixed weighted Holder spaces. (Monograph Online Sources), LAP LAMBERT Academic Publishing, Beau Bass in, 73.

13. Mamatov, T. (2020). Operator of Volterra convolution type in generalized Holder spaces. Poincare Journal of Analysis & Applications, vol. 7 (2), 275-288.

14. Рубин, Б. С. (1974). Дробные интегралы в пространствах Гельдера с весом и операторами потенциального типа. Изд.Акад.Наук АрманССР. Сер.мате. номер 9(4), 308-324.

15. Samko, S.G. & Kilbas, A. A. & Marichev, O. I. (1993). Fractional Integrals and Derivaties. Theory and Applications, Gordon and Breach.Sci.Publ. N.York-London, 1012.

16. Samko, S.G. & Mussalaeva, Z. (1993). Fractional type operators in weighted generalized Holder spaces. Proc. Georgian Acad.Sci., Mathem. vol. 1(5), 601-626.