ОЦЕНКИ ТИПА ЗИГМУНДА ДЛЯ СМЕШАННЫХ ДРОБНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ МАРШО Текст научной статьи по специальности «Математика»

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

ОЦЕНКИ ТИПА ЗИГМУНДА ДЛЯ СМЕШАННЫХ ДРОБНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ МАРШО

Mamatov Tulkin1, Rano Sabirova2

Учителя Бухарского инженерно-технологического института, 706030, Узбекистан, Бухарский область, г. Бухара, ул. К.Муртазаев, 15

Аннотация. Мы изучаем смешанную дробную производную в форме Маршо от функции двух переменных.

Abstract. We study mixed fractional derivative in Marchaud form of function of two variables.

Keywords: functions of two variables, fractional derivative of Marchaud form, mixed fractional derivative, mixed continuity modulus.

Ключевые слова: функции двух переменных, дробная производная формы Маршо, смешанная дробная производная, смешанный модуль непрерывности.

В теории интегральных операторов одной из важных задач является задача выяснения связи между гладкостью образа интегрального оператора и его прообраза. Решение подобной задачи играет существенную роль в вопросах разрешимости интегральных уравнений, их устойчивости и др. Понятие гладкости может при этом формулироваться в самых разнообразных терминах. Один из способов, позволяющий достаточно тонко уловить гладкостные свойства функций, использует понятие обобщенной Гельдеровости, формулируемой в терминах поведения модуля непрерывности. Подобные задачи можно считать полностью решенными для различных пространств Гельдера функций одно переменных.

Основная задача настоящей работы состоит в изучении подобных задач в пространствах Гельдера функции нескольких переменных, определяемых смешанным модулем непрерывности. Утверждение для многомерного случая для смешанного дробного интеграла Римана-Лиувилля изучалось [2] - [15].

Когда смешанные дробные производные форме Маршо

te+фкy)—(£faöyzc]_ßфх,y)+ , aß, j f ф^уdd,

не изучался (где x > a, y > С). Данная статья посвящена изучению свойств для функций двух переменных. Рассмотрим оператор (1) в прямоугольнике Q — {(x, y): a <x< b, С < y < d}.

Определение 1. Пусть дана ограниченная на [a, b] функция ф(х). Под модулем непрерывности ф(х) понимается выражение

sup|ф(х + h)_ф(х) — ш(ф; б), 0< 5 <b_a.

he[0,5]

Определение 2. Обозначим классом

Ф1 функций ю(5) е (0, b _ a] удовлетворяющих условиям

1) ш(5) > 0 в (0, b_a], limю(б) — 0;

2) ю(б)Т в (0, b_];

3) + 52)<ю(51)+ю(52).

Ниже в оценках нам нужны неравенства:

1) если ю(ф; Н) модуль непрерывность, то: х2ю(ф; х)< Схю(ф; х2), х2 < х; (2)

2) если X < 1 тогда |хХ - х£| < С(х - х2)хХ-1, х > х2 > 0; (3)

3) если x > 0 , тогда |хХ - х\\< С(х - х2)х1х-1, X > х2 > 0 . (4)

Для ф(х, у) непрерывной функции на R2 введем обозначение Л,0 Л ^ 0,1 Л

Ан ф 1(х, у) = ф(х + Н, у) - ф(х, у), Ал ф 1(х, у) = ф(х, у + л) - ф(х, у),

с 1,1 Л

Ан,л ф 1(х, у) = ф(х + Н, у + л) - ф(х + Н, у) - ф(х, у + л) + ф(х, у),

так что

/1,1 Л л,0 Л /0,1 Л

ф(х + к, у + л)= Дм ф (х, у) + Да ф (х, у) + Ал ф (х, у) + ф(х, у).

ЧУ ЧУ ЧУ

Введем следуюшие характеристики: 2) частный модуль непрерывности

1,0

ш(ф; 8,0) = Бир Бир

у 0<к<8

А к ф!(х, у) и со(ф; 0, а) = БирБир

ЧУ х 0<г|<а

Алф1(х, у)

Ч

2) смешанный модуль непрерывность порядка 1,1

Ш

1,1,

(ф; 8, а) = Бир Бир

х, у 0<к<8 0<г|<а

^Дм ф^(х, у)

Ак,л ф 1(х, у), где 0 < 8 < Ь, 0 < а < й.

Из определения ш(ф; 8, а) следует, что эта функция принадлежит каждой переменной Ф1 . Кроме того, отметим, что существует неравенство

ш(ф; 8, а)< 2ш1п|о(ф; 8,0), сс1 (ф; 0, а)|. (6)

Определение 3. Обозначим через Ф1,1 класс функций двух переменных ш(8, а) удовлетворяющих условиям:

1) ш(8, а) по 8 при фиксированном а ;

2) ш(8, а) по а при фиксированном 8 .

Назовём этот класс классом смешанных модулей непрерывности первого порядка непрерывных функций двух переменных.

Следующие утверждения известны (см. [1, p. 249-253]). Мы используем схемы доказательств, чтобы упростить изложение для двумерного случая.

Следующие теорема даёт оценки, которые можно назвать типами Зигмунда по аналогии с оценкой

Зигмунда, известной в теории сингулярных интегралов и оценивающей модуль непрерывности ш(Нф, к)

сопряженной функции Нф через модуль непрерывности ш(ф, к) функции ф(х). Оператор дробной производной Маршо имеет вид

а х ф(х) - ф(г)

х

\1+а

йг

(7)

т(1 -а) г(1 -а){ (х-г)1

где 0 < а < 1.

Теорема 1. Пусть ф(х) непрерывна на [0, Ь] и ф(0)= 0. Тогда для дробной производной оа+ф, 0 < а < 1 справедлива оценка

к

ш(ба+ф, к)< с |

Ш1

(ф, г)

г

1+а

йг

(8)

в предположении, что сходится интеграл в правой части. Доказательство. Мы представляем (7) виде

к+ф)м=

ф(а) | ф(х)-ф(а)

+

+ -

а

Г(1 -а) хаГ(1 -а) г(1 -а)' (х- г)

х ¡1

ф(х)-ф(г) ^ = ф(0)

Т(1 -а)

+ ^1(х)+ К2 (х) •

„/ \ ф(х)-ф(0)

Начнем с того, что для функции К (х) = ——-,0 < а < 1 справедлива оценка

ха

ш(К а)< с }

йг.

(9)

Докажем (9). Считая, что к > 0 имеем (х + к)-К (х)= [ф(х)-

ф(х + к)-ф(х) _

К1(х + к)-К1(х) = [ф(х)-ф(0)][(х + к)а -ха]+ = А +

1,1

0

х

х

Отсюда \Л2\ < (х + к) аш(ф,к) < к аш(ф,к) < СГ фе, )йг; здесь в последнем неравенстве вос-

t

0 "

ш(ф, г)

пользовались почти убыванием функции -. Для А1 при х < к также с учетом почти убывания

х к / )

функции имеем \А\ < хаш(ф,х) < с|г _1-аю(ф,г)йг < С| (ф, )йг.

Если же х > к то по теореме о среднем А1 < Скх 1 аш(ф, х) < С ш(ф к) < С[ ^^ ,) йг.

ка 0 г а

Собирая оценки для А и А получаем неравенство (9).

Для доказательства теоремы достаточно в силу (9) рассмотреть только второе слагаемое в выражении (7) для дробной производной Маршо. Имеем для нее

К (х + к)-К (х)=| йг+ф(х+^) <* +

^ (х + к - г) • (х + к - г)

-а-(х - гу1~а1

+ } (/(х) - /(г))[(х+к - г)-1-а - (х - г)-1-а ]йг = Л + + Л.

0

Пуст х < к тогда Ш = Гф(х + к)-ф(х)йг < [.шЦ^йг < 0 йг < С.

у 11 Г (к + г)1+а Г (к + г)1+а Г (к + г)1+а ка

Если х > к имеем

1 0 (к + г у Г (к + г)1+а Г (к + г)1+а 1 ка Г (к + г )1+а 2 к

Оценим Л : |Л2| < |(х + к - г) 1 "ш(ф, х + к - г)йг < С Г г 1 аш(ф, г)йг. Если х < к то

х х

2к 2к а

Л < С Гг 1аш(ф, г)йг < С |г ~1_аш(ф, г)йг < С |г 1аш(ф, г)йг.

х 0 0

Если же х > к, то после замены г = ^ + х получаем с учетом почти убывания функции г 1ю(ф, г):

I I \ ш^^х^ ш^^к) \ ^ к)

К 2 <Г(х + ^+а С к !(х + ^)а< С ка

Оценим Л3. При х < к имеемЛ < Г с(ф, г )(г + к/+" ~Г йг < С к < С к йг.

3 р 13 Г ^ ; г (г + к)1+а Г г г + к Г г1+а

Если же х > к :

к х

Л < ||ф(х) - ф(х - г)(к + г)-а-1 - г-1-а+ |ф(х)- ф(х - г)(к + г)-а-1 - г-1-а< 0 к

<С ГшМйг + С2к(Ш^ж <С ГШ&Ож + С2к ГЛ <С ГшМйг + Ш^ф^ 1 г г1+а 2 Г г 1Г г 2 Г г Г г ка

0 1 к 1 0 1 к 1 0 1

Собирая оценки для , У2, У3 приходим к (8). Теорема доказана.

Теорема 2. Пусть ф(х, у) непрерывна на Q и ф(х, у)х=0>;=0 = 0. Тогда для дробной производной о^^ф, 0 < а,р < 1 справедлива оценки типа Зигмунда

к

0

0

0

11 Н л

((оа+^+ф; н, л)< С11 |

со(ф; t, 5)

1J J 1+р 0 0 t 5

<<5

(16)

1,0/ ч Н 1,0 0,1/ ч I 0,1

ю(бо;^+ф;Н,0)<С|Га-1 ш(ф;¿,0<, ю(бо;р0+ф;0,л)< С15ш(ф;0,5)<5 . (17)

л 0,1

-р-

00 Доказательство. Используя тождество (5), представим производную (1)

)

(Ба;р0+ф)(х, у ) =

Г() - а)г() -р)

ф(0,0) , ¥)(х) , ¥2(у) + ¥(т у)

ха уР + ^уР + х а ^^у)

где

^ (х) = ф(х,0)-ф(0,0) + а I ф( х,0) - ф(t,0)

х

(х -1)

а+1

л,,

¥2(у) =

ф(0,у)-ф(0,0^ ку ф(0,у)-ф(0,5)

(у - 5 )

+р

<5,

А х, у ф

х I Ах-/,у ф 1(^0) у I Ах,у-5 ф 1(0, 5)<5 х у I Ах-,,у-5 ф и,

().)

хаур уР! (х - ,))+0 < + хЛ (у - 5))+Р +аР1 0(х - ,))+0 (у - 5)),Р

Согласно теореме ф(х, у)х=0 у=0 — 0. Тогда У^х) = 0 и ¥2 (у) — 0 . Имеем

V0 уР „Р

(х

(°а^Р0+ф)(х, у)—■

У^ у)

Г() - а)г() -р)

Мы оцениваем каждый член отдельно.

Пусть Н > 0, х, х + Н е [0,Ь]. Рассмотрим разность:

Лд Л Ан, у ф)(0,0)

|/ (х + Н, у)- / (х, у )<

< С)

— / (x, у)—А С^ у)+/2(x, у)+/з(x, у)+/4(x, у) •

ур(х + Н)а

+

л,) Л

Ан,у ф](0,0)

у

р

|(х + Н)

0- ха

<

1,1

С 1,1

ш(ф; Н, у) , ш(ф; Н, у)

ур(х + Н)с

ур

|(х + Н)

а- ха

/2 (х + Н, у)-/2 (х, у )<|

|Ан,у-5 Ф^(х,0)<,

(х + Н - 11У у х

1+а П,Р

х+ Н

I1,1 .

I А х + Н-, , у - 5 ф ](,30)

(х + Н -1У у

+а р

< +

х (11 Л С х

+ у-р Ц Ах-{,у-5 ф ](,,0)|(х + Н -1)-1-а - (х -1)-1-а < < С2 \

Г 1,1

ш

(ф; Н, у) (х + н -1 ))+с

<+

+ х|Н ш(Ф; х++ Н -иу) < + }(((ф; х - ^ у)(х + Н -1)-1-а - (х -1)

(х + Н -1)

у

/з (х + Н, у)-/3 (х, у )<|

-1-а / ,\-1-а

-(х

л,

аАн, у - 5 ф 1(0,5 ) <5

< С

(х + Н)а(у - 5)

1+р

■ +

|(х + Н)-а- х-а||

I А х, у - 5 ф 1(0,5) <5

(х + Н)-а|

ш(ф;Н, у - 5)<5 (у - 5)-+р

+

|(х + Н)-а- х-а||

(у - 5)1+р

л

<

1,1

•ш(ф; х, у - 5)<5

^ -а|Ш(ф; х, у - 5)

х || / м+р

(у - 5)

0

0

х

0

0

0

0

X

0

0

0

/4(х + к,у)-/4(х,у)<Г Г

Ах-г, у - * ф ](г, ^)

| дДк, у - * ф |(х, * ) йгй*

0 0

(х + к - г Г(у - * У

+р

+

у х + к

1 1

0х

/ 1,1 л

А х+ к-г, у - * ф |(г, *)

1+р

+

ух

11

0 0

(у - *Г 1

(ф; х + к - г, у - *)

|(х + к - г)-1-а-(х - г)-1-а

йгй* < С.

(х + к - г )+а(у - * У

(ф; к, у - *)йгй*

йгй* +

/ 1,1

ух

Ш

11

00

(х + к - г)+а(у - *)

1+р

+

+ 1 Т,Ш(ф; х + к у "*) йгй* +Г ГШ(ф,; х - г,ув- *) |(х + к - г)-1-а-(х - г)-1

' 1 (х + к - г)+а(у -*)+р ' Г0 (у -*)+р |( ) ( )

(ф; х - г, у - *)

йг

Используя оценки А1, А2, Л, У2, У3 из доказательстве Теореме 1 и неравенства (2), (6), легко получить оценку

1,0 . к 1,0

ш(/ ; к,0) < С1 г -аЛ ш(ф; г,0)йг

0,1 .. 0,1

Оценка ш(/;0, л)< С3 Г *~р-1 ш(ф;0, *)й* симметрично получается.

0,1

*-р-1Ш1

Пусть к, л >; х, х + к е [0,Ь], у, у + л е [0, й]. Рассмотрим разность

/„ N (Дк, лф)^ у) (Дк, у ф|(х,0)

|Дк,л /1 |(х, у )=Л -

(х + к)а(у + л) (х + к)

ур (у +л)р

+

ДДх, л ф 1(0, у)

(у+л)р

(х + к)а

/1,1

+

/1,1

Ч У |_ х

у+л| ДДк, у+л-* ф |(х,*)

ур-(у + л)р_

Дк,л /2 Кх у) = ■

р

1

+р

1

J___

(х + к)

р -л А

(х + к)а 1 (у +л-*У

+р

у ( ^ф^! у)

й* + -—ГЧ-У .. я й* +

аГ0 (у + л - *)1+р

(х + к)а Г0 (у + л-*)+

у+л I Ах, у+л-* ф |(0, *)

+

(х + к)

+ Р

1

х

1+р

i у + л - * )

у/1,1

_ к, у - * ф (х *

0 Ч

~у.( 1,1

(у + л - *)Ь 1(х, * )

1

х

(х + к)а 1

1

у| Дх,лф у)

1

(х + к)а _

1| А х, у-* ф |(0, *)

—й* + р 1

(у-*У+р (у+л-*У+р_ 11

(у - *)1+р (у+л- * У

(у + л - *У+р й* +

й*

й* +

+р

Д^к, л /3 ¡(х у) =

х+ к | Ах+к-г, л ф к у)

+ а

ур-(у+л)р_

а

(у + л)р 1 (х + к - г У

х+к | Ах+к-г, у ф |(г,0)

йг + а

■йг +

а

х ■1

ДДк, лф |(х, у)

(у + л)р Г (х + к - гУ+

-йг +

1,1

1

+

а

(у + л)р

(х + к - г У+

"11 Д^х-г, лф](г, у)

J___1_

ур-(у+л)р_ 1

х 1

(х - г У+а (х + к - г)

1+а

Ак, у ф^х^) (х + к - г йг +

йг +

+

ух

0

0

1

1

1

1

а

х

1

1

Ч

0

1

1

0

х

1

0

+ а

1 1

ах-,, у ф|(,,0)

1

1

л,

х у

^ /4 >•у)—1 1(х+М1+«(у + л-

Ан, у - 5 ф |(х, 5 )

(х -,/+а (х + к -, Ан,лф|(х,у)<<5 х у+л I Ан,у+л-5 ф|(х, 5)«

+

11

+

+

+

и-

0 0

х+н у+л 1 1

(х + к -,)+

(у-5Гр (у+л-5У

+р

0 у (х + к-,)1+а(у + л-5)+р

х+Н у I Ах+Н-, л

Ш5 + 1 \( / Л1+а/-¥+р

х 0 (х + к-,) (у + л-5/ р

+

| Ах+к-,, у+л-5 ф](,, 5)« х+Н у | Ах+Н-,, у - 5 ф|(,, 5 ) (х + Н - , )1+°( у + л- 5 )1+р + 1 1

(х + к -,)

_(у-5)1+р (у + л-5)

1+р

+

1,1

у I А х-,, л ф

+

и-

(у+л-5У

+р

1

1

0 0

х у +л|А х-,, у + л- 5 ф ](,, 5) +1 1

_(х -,)+а (х + к -, )+0 1 1

+

0 у

+ | || А х-,, у - 5 фЪ, 5 ) 0 0 V У

(у +л- 5)1+р 1

(х -, )1+а (х + к -,)+

1

(х -,)+а (х + к -,)

1 +а

1

+ 1

.(у - 5 )+р (у + л- 5)1

1+р

1

1

х 0

х у

х

Действительность этих представлений может быть проверена непосредственно. Получим

1

АН, л /) 1(х у)< С1

¥

+

+ ш (ф;x, у) ~

ш(ф; к, у) 1

(х + к)а ур

ур-(у+л)

+ -

ш(ф; х, л) 1 1

(у + л)р ха (х + Н)а

1

Ам /2 у)

< С

х

1,1. ш

(х + к)с

1

1

ур-(у+л)р

Л

(ф; к, у + л- 5)

1 у + 1

1 1

(х+Н)а ! (у+л-5У

<5 + -

1 У

1

1,1 ш

(ф;Н, л)

(х+Н)а о(у+л-5)1

1+р

<5 +

+

х

(х + к)а

у+л

I

ш(ф; х, у + л- 5) (у + л - 5)+р

\ у 1,1

+?—ло 1ш(ф; Н у - 5) (х + к) 0

<5 +

1

х

(х + к)а

У 1

1,1. ш

(ф; x, л)

(у+л - 5)1+р

<5 +

1

+

х

(х + к)а

у 1,1

1ш(ф;х, у - 5

(у - 5)1+р (у + л - 5)+р

ч! 1 1

Л5 +

|(у - 5Гр (у + л- 5)1

1+р

<5

Л,1 V

1,1 ^ II 1 х+Н <

Ам /3 Л(х' у)< С31 (угли

1,1

1

ш

(ф; х + к -,, л) (х + к -, Г0

< +

х 1

1,1 ш1

(ф; к л)

(у + л)р1 (х + к -,У

< +

+

ур-(у+л)р

х + к

1,1

г

ш

(ф; х + к -,, у - 5) (х + к -, )1+а

< +

ур-(у+л)р

1,1 ш

(ф; к> у)

(х + к -, )1+

< +

V

1

1

1

1

0

1

1

0

х

1

1

1

1

0

х

+

г1,1

[ю(ф; г -t, л)

1

1

+

/1,1 Л

л /4 |(г, У)

<

(У + л)р 0 1

(У +л)

( x У

C1 i i^, и П1+"Л. , ~

У

Jrafa; x -t, У)

(x -1 (x + h -1 11

(x -1 (x + h -1) (ф; h, + j +

dt +

dt

0 0

1,1

+

x У

i i

0 0

1,1 ш(ф; h, y - s) 1

(x + h -1 J+a (y - s r

(x + h -1 У+а (у + л - s) 1

1,1 ш(

(ф; h, y + л- s)dtds

0 y (x + h -t)1+a(y + л -s)

1+p

+

л-s

+

x+h У+л

i i

x У

ш(ф;x + h -1,y + л - s)dtds ^r y ш(ф;x

y+p 1,1

x+ h У

dtds + i i

(ф; x + h -t, л)dtds

x 0 (x + h -1У+а(у + л - s)1

+p

+

(x+h-1y+a(y+л-sJ'r 0 0(у+л-s

+p

ii

(ф; x - ^ л)

(y + л - s)I

1+p

+

+

x+h У

ii

x 0

x У+л i i

ю(ф;x + h -1, y - s) 1

(x + h -1 J+a (у - s Г

(x -1 fa (x + h -1)

dtds +

,1+a

dtds +

Л

1+p

1,1

0 У

x У 1,1

+

ю(ф >; x -1, y + л - s) 1 1 dtds +

(У + л-srp (x - -t г (x + h -1 J+a

- s) 1 1 1 1

(x -1 У+а (x + h - t fa (y-srp (у+л-s)1

1+p

0 0

После чего каждый член оценивается стандартным образом, и мы получаем

1,1.

1,1 К 1

ю(

dtds

,(/; h, л)< C1 i i

0 0

ю(ф; t, s)

t1+a s1+p

dtds

Теорема доказана.

Список литературы:

1. Самко С.Г., Килбас А.А., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. Минск, «Наука и техника», 1987, 688 с.

2. Mamatov T. Weighted Zygmund estimates for mixed fractional integration. Case Studies Journal. Volume 7, Issue 5, 2018. p. 82-88

3. Mamatov T. Mixed Fractional Integration In Mixed Weighted Generalized Holder Spaces. Case Studies Journal. Volume 7, Issue 6. 2018, P. 61-68

4. Mamatov T. Mixed Fractional Integration Operators in Mixed Weighted Holder Spaces. Monograph. LAPLAMBERT Academic Publishing. P. 73

5. Mamatov T. Mixed Fractional Integro-Differentiation Operators in Holder Spaces. The latest research in modren science: experience, traditions and innovations. Proceedings of the VII International Scientific Conference. Section I. North Charleston, SC, USA. 20-21 June, 2018. P. 6-9

6. Mamatov T., Rayimov D., Elmurodov M. Mixed Fractioanl Differentiation Operators in Holder Spaces. Journal of Multidisciplinary Engineering Science and Technology (JMEST), Vol. 6 Issue 4, April - 2019. P. 98559857

7. Mamatov T., Fractional integration operators in mixed weighted generalized Holder spaces of function of two variables defined by mixed modulus of continuity. "Journal of Mathematical Methods in Engineering" Auctores Publishing - vol.1(1)-004 www.auctoresonline.org. ( D0I:10.31579/jmme. 2019/004) 2019, p. 1-16

8. Mamatov T., "Mapping Properties Of Mixed Fractional Integro-Differentiation in Holder Spaces", Journal of Concrete and Applicable Mathematics(JCAAM). Volume 12, Num.3-4. 2014. p. 272-290

9. Mamatov T., Mapping Properties of Mixed Fractional Differentiation Operators in Holder Spaces Defined by Usual Holder Condition, Journal of Computer Science & Computational Mathematics, Volume 9, Issue 2, June 2019. DOI: 10.20967/jcscm.2019.02.003

10. Mamatov T, Homidov F, and Rayimov D, On Isomorphism Implemented by Mixed Fractional Integrals In Holder Spaces, International Journal of Development Research, Vol. 09, Issue, 05 (2019) pp. 27720-27730

1

v

1

1

1

11. Mamatov T, Composition of mixed Riemann-Liouville fractional integral and mixed fractional derivative. Journal of Global Research in Mathematical Archives Volume 6, No.11, November 2019. pp.23-32. [Online]. Available: http://www.jgrma.info.

12. Mamatov T and Rahimov D, Some properties of mixed fractional integro-differentiation operators in Holder spaces. Journal of Global Research in Mathematical Archives Volume 6, No. 11, November 2019. pp. 13 -22. [Online]. Available: http://www.jgrma.info.

13. Mamatov T and Homidov F., Zigmund type estimates for mixed fractional integrals of the Volterra convolution type. Chronos Journal volume 11 (37), p.82-86. www.chronos-journal.ru

14. Mamatov T and Mustafoev N., Non-Weighted Zygmund Type Estimates for The Volterra Convolution Type. Impact Factor 3.582 Case Studies Journal ISSN (2305-509X) - Volume 8, Issue 11-Nov-2019. P. 119-122 http://www.casestudiesjournal.com

15. Mamatov T., Umarov A and Rustamova L, Mixed Fractional Differentiation Operators in Mixed Weighted Holder Spaces. Impact Factor 3.582 Case Studies Journal ISSN (2305-509X) - Volume 8, Issue 11-Nov-2019. P. 113-118 http://www.casestudiesjournal.com

ГРАВИТАЦИЯ КАК РЕЗУЛЬТАТ ВЫХОДА НА УСТОЙЧИВОЕ СОСТОЯНИЕ

СИСТЕМЫ ИЗ ДВУХ ТЕЛ.

Кудин Валерий Николаевич

канд. физ.-мат. наук

(Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова)

Москва, Российская Федерация

GRAVITY AS RESULT OF REACHING A STABIE STATE OF A SYSTEM OF TWO BODIES.

Kudin Valery Nikolaevich

PhD in Phys. -Math. Sciences (Lomonosov Moscow State University) Moscow, Russian Federation

Аннотация. Предлагается структура притяжения гравитирующих тел. Гипотеза объясняет организацию гравитации при взаимодействии тел посредством "нитей" из нейтральных динамичных «физических дискретностей» - ДФД. На роль ДФД лучше всего на данный момент знаний претендует объект-процесс типа частицы спин, совмещающий элементарные качества - линейность и вращение. Допускается появление минимальной гравитации в итоге изменения состояния системы из двух взаимодействующих тел на основе связи с общим источником. Предполагается, что устойчивое состояние - притяжение образуется в случае подобных, «родственных» нитей при взаимодействии всевозможных ДФД.

Abstract. The structure of attraction of gravitational bodies is proposed. The hypothesis explains the organization of gravity in the interaction of bodies by means of" threads "of neutral dynamic" physical discretenesses " - DFD. For the role of DFD, the best thing at the moment of knowledge is an object-process of the spin particle type, which combines the elementary qualities of linearity and rotation. Minimal gravity is allowed to appear as a result of changing the state of a system of two interacting bodies based on a connection with a common source. It is assumed that a stable state -attraction formed in the case of similar," related" threads when all possible DFD interact.

Ключевые слова: дискретность, состояние системы, устойчивость, структура гравитации.

Key words: discreteness, system state, stability, structure of gravity.

Введение.

В теории гравитации существует проблема происхождения притяжения тел в скоплениях их от галактик до двух тел на уровне микромире. Одна из гипотез тяготения основывается на утверждении разницы давлений на линии двух тел, которая проявляется в «теневой гравитации», согласно модернизированной модели Лесажа [1,844], где рассматривается площадь поверхности тел, что, в конечном счете, приводит к эффекту Казимира. Заметим, что этот подход подразумевает конечные размеры исходного тела, видимые с других тел, хотя в законе Всемирного тяготения Ньютона (ЗВТН) участвуют любые, в частности, и точечные тела. Бесконечно малые размеры тел в законе ЗВТН затрудняют использование гравитационных волн. Значит, притяжение не должно быть связано с поверхностью тел. Остаётся вопрос: как независимые тела узнают друг о друге в пространстве? Таким образом, приходится предположить существование гравитации за счет организации структуры среды.

Содержание.

Предлагается считать гравитирующими телами те, которые порождены одним источником и связаны с ним растягивающимися материальными «нитями», по которым взаимодействие распространяется с конечной скоростью света. Если тела не видят друг друга, и их источники разные, то притяжение отсутствует, и тела разделены таким вакуумом, где сигналы распространяются с бесконечной скоростью. Касательно "рождения" каждого из связанных тел можно предположить, что их появление может быть обязано