О ДРОБНОМ ИНТЕГРОДИФФЕРЕНЦИРОВАНИИ АДАМАРА И ТИПА АДАМАРА ПО НАПРАВЛЕНИЮ В ВЕСОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ ЛЕБЕГА СО СМЕШАННОЙ НОРМОЙ Текст научной статьи по специальности «Математика»

Владикавказский математический журнал 2020, Том 22, Выпуск 4, С. 119-134

УДК 517.983

DOI 10.46698/ t4957-0399-9092-y

О ДРОБНОМ ИНТЕГРОДИФФЕРЕНЦИРОВАНИИ АДАМАРА И ТИПА АДАМАРА ПО НАПРАВЛЕНИЮ В ВЕСОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ ЛЕБЕГА СО СМЕШАННОЙ НОРМОЙ

М. У. Яхшибоев1

1 Национальный университет Узбекистана им. М. Улугбека, Узбекистан, 100174, Ташкент, Вузгородок, ул. Университетская, 4 E-mail: m.yakhshiboev@gmail. com

Посвящается 75-летию со дня рождения профессора С. С. Кутателадзе

Аннотация. В работе приводятся определения и различные вспомогательные свойства дробных интегралов Адамара и типа Адамара по направлению, дробных производных Маршо — Адамара и типа Маршо — Адамара по направлению. Введена модификация дробных интегралов Адамара и типа Адамара по направлению с ядром, улучшенным на бесконечности. В статье рассматриваются операторы «типа свертки», инвариантные относительно растяжения в весовых пространствах Лебега со смешанной нормой. Доказана ограниченность и полугрупповые свойства дробного интегрирования по Адамару и типа Адамара по направлению в весовых пространствах Лебега со смешанной нормой. В работе рассмотрены композиции дробного интеграла по Адамару и типа Адамара и дробной производной Маршо — Адамара и типа Маршо — Адамара по направлению, также получено интегральное представление усеченных дробных производных Маршо — Адамара и типа Маршо — Адамара по направлению. Доказаны теоремы обращения дробных интегралов Адамара и типа Ада-мара по направлению на функциях из весовых пространств Лебега со смешанной нормой. Доказана теорема о связи между обыкновенными и усеченными дробными производными Маршо — Адамара и типа Маршо — Адамара по направлению.

Ключевые слова: дробный интеграл Адамара, дробная производная Адамара, пространство Лебега со смешанной нормой, оператор растяжения, дробная производная Маршо — Адамара по направлению, дробная производная типа Маршо — Адамара по направлению. Mathematical Subject Classification (2010): 26A33, 41A35, 46E30.

Образец цитирования: Яхшибоев М. У. О дробном интегродифференцировании Адамара и типа Адамара по направлению в весовых пространствах Лебега со смешанной нормой // Владикавк. мат. журн.—2020.—Т. 22, вып. 4.—С. 119-134. DOI: 10.46698/t4957-0399-9092-y.

1. Введение

Ж. Адамаром (J. Hadamard [1]) была введена конструкция дробного интегродиффе-ренцирования, являющаяся дробной степенью (ж^) , приспособленная к полуоси и инвариантная относительно растяжения.

В данной работе изучены качественные свойства дробных интегралов и производных Адамара, типа Адамара и типа Маршо — Адамара по направлению в весовых пространствах Лебега со смешанной нормой.

© 2020 Яхшибоев М. У.

Пространства Лебега со смешанной нормой были введены и изучены в работе [2]. Изучению ограниченности операторов в пространствах Лебега со смешанной нормой посвящены работы [3, 4]. Ряд свойств смешанных пространств Лебега можно найти в [5].

Частные и смешанные дробные производные Маршо в случае двух переменных содержатся уже в работе A. Marchaud [6]. Дробные интегралы и производные по направлению функций многих переменных впервые введены И. А. Киприяновым [7]. В работах [7, 8] изучены различные свойства дробных производных по направлению. В работе [9] изучены качественные свойства оператора дробного дифференцирования в смысле Кипри-янова.

В статьях [10-16] были рассмотрены операторы одномерного дробного интегродиффе-ренцирования Адамара и типа Адамара. Ряд свойств дробного интегрирования по Ада-мару можно найти в книге [17].

В данной работе изучены свойства операторов «типа свертки»: инвариантность относительно растяжения в весовых смешанных пространствах Лебега. Исследованы свойства операторов дробного интегрирования и дифференцирования Адамара и типа Ада-мара по направлению на R+. Даны условия ограниченности оператора дробного интегрирования Адамара и типа Адамара по направлению в весовом пространстве суммируемых функций на R+, рассмотрены композиции дробного интеграла типа Адамара и дробной производной типа Маршо — Адамара по направлению и получено интегральное представление усеченных дробных производных Маршо — Адамара и типа Маршо — Адамара по направлению. На оснавании интегральных представлений, доказаны теоремы обращения дробных интегралов Адамара и типа Адамара по направлению в весовых пространствах Лебега со смешанной нормой. Кроме того, доказаны связи между обыкновенными и усеченными дробными производными типа Маршо — Адамара по направлению.

Теория дробного дифференцирования в смысле Адамара и Маршо — Адамара развивается также в приложениях к решению интегро-дифференциалных уравнений в обыкновенных и частных производных, интегро-дифферецальные операторы которых принимают нецелые вещественные и комплексные значения, зависят от времени или других аргументов (см., например, [18, 19]).

Рассмотрение ведется в рамках пространств Lp^ = Lp^ (К™, определяемых смешанной нормой

II/; l

P,Y1

оо ч 22.

с]гЛ P1 |/(ж)Г х^1 —

0 '

x Yn ,tjn

1

dxn I

x,

n

Работа имеет следующую структуру. В разделах 2 и 3 приводятся определения и различные вспомогательные свойства Адамара, типа Адамара и типа Маршо — Адамара по направлению, а в разделе 4 — вспомогательные леммы для пространств Ьрг~. В разделах 5, 6 и 7 содержатся доказательства основных результатов: в разделе 5 доказывается ограниченность дробного интегрирования Адамара и типа Адамара по направлению в пространствах со смешанными нормами; в разделе 6 получены интегральные представления усеченных дробных производных Маршо — Адамара и типа Маршо — Адамара по направлению в весовых смешанных пространствах Лебега, а в разделе 7 доказываются теоремы обращения дробных интегралов Адамара и типа Адамара по направлению от функций из Ьрг~.

Обозначения. N — множество натуральных чисел, М — множество вещественных чисел, С — множество комплексных чисел; Мп — п-мерное евклидово пространство точек х = (х1,...,хп), Мп — компактификация Мп с одной бесконечно удаленной точ-

Pn-1

кой, R+ = {x € Rn; x1 > 0, ..., xn > 0}; E — единичный оператор; (Пр/) (ж) = / (ж о р), x, р € R+, — оператор растяжения. Введем конечную разность с использованием оператора растяжения

i

(Д/ (x) = £(-1)fc('fc) f(xr^ = (E - Пт )l /, l € N, t € R+, (1)

k=0

(L) — биномиальные коэффициенты. Условимся, что запись 1^р<ооир = сю, где р = (pi,... ,'рп), öö = (оо,..., оо), означает, что 1 ^ Pi < оо, Pi = оо, i = 1,..., п. Основные результаты данной работы не будут касаться смешанных пространств Lpt- (М™ , , когда одна часть pi, i = 1,... ,п, конечна, а другая часть бесконечна, — = — ...

X Xl Xn

CW (R*i) = {/ : ||/;Cy|| = max |ж~^/(ж)| < oo, lim f (x) = lim f (x)\,

[ xeR+ 1 1 |x | —>0 |x|—-ro J

Yi ^ 0, i = l,..., n.

C (]R+) = {/ : / € C (R+ ) (з /(o) = |xl—n^ /(x), / (0) = / (o)) } .

Пусть w = (w1,..., wn), тогда рш = (р^1,..., ), x о рш = (x1p^1,... ,xnpnn), x о = (x1iWl ,...,xniWn), pi > 0, i = 1,...,n.

(u)+ = (^ u> 0,

+ 0, u < 0.

7,

7i, pi = oo, i = 1,... ,n.

Будем использовать ^ (а, l) = J^ t-1-a (l — e-i) dt — нормировочные постоянные, известные в теории дробного дифференцирования; Cqq (R+) — класс бесконечно-дифференцируемых финитных функций с носителем вне начала координат; Г (а, ж) = e-tia-1di, а, ж € R, — неполная гамма-функция,

lim Г (а, ж) = Г (а), lim Г (а, ж) =0. (2)

x^-tx

2. Дробные интегралы Адамара и типа Адамара по направлению

Дробными интегралами Адамара и типа Адамара порядка а, а € М+, по направлению ш, ш € М+, называем конструкции

1

{х) = тщ / 11пег^(жое1п-)|, (з)

0 1

и = щ / 1ЫГ1 ^ (ж о (4)

0

где ж о £1п ш = (ж^1п ,..., жга£1п Шп) и вектор ш = (ш1,... ,шп) подчинен условию (1п ш1)2 + ••• + (1п ш„)2 = 1.

Операторы (3), (4) коммутируют с оператором растяжения n^J^ = Janp, n^J^ = J^n и связаны с оператором Римана — Лиувилля равенствами

(J» (x) = (Q-1/?Q¥>) (x), (J^) (x) = (M-^vQ-1/;QM,„p) (x),

где v = lnw = (lnlnwn), (Q^>) (x) = ^(ex) = ^(eXl,...,eXn), (Q-V) (x) =

(ln x) = ^ (ln x1,..., ln xn), (MMv (x)

x

-MVl 1

• xnvn^(x1,...,xn), (M-Mv(x) =

(x1,...,xn) (см. [17, с. 251] и [10, с. 11]).

Операторы и За обладают полугрупповым свойством:

З^^Р = Р (а > 0, в > 0), Р = Р (а > 0, в > 0).

Введем модификацию дробного интеграла типа Адамара по направлению с ядром, «улучшенным» на бесконечности. Модификация дробного интеграла типа Адамара по направлению ш, ш € М+ имеет вид

(5)

(6)

JT (x) = (AT-1 k+) (t) ^ x О t

iln Ш

dt T'

(7)

(®) = / (Â^-ife+a) W У О f,

где t € r+, ^ ^ 0,

k \ a-1

Очевидно, что

/ai^ = at/>, /ai;т^ = At/a,^

(8)

"г ш,^'

на достаточно хороших функциях р(х), т. е. операторы (7)—(8) получаются применением определения в (1) разностных операторов ДГ с «мультипликативным» шагом к операторам ЗаР и Они имеют то преимущество по сравнению с ЗаР, что при I > а > 0 и они ограничены в пространстве Ьр^ (М™, при всех 1 ^ рг < оо, ^ > 0, г = 1,..., п (т. е. включая случай = 0, г = 1,..., п).

3. Дробное дифференцирование Маршо — Адамара и типа Маршо — Адамара по направлению

Дробной производной Маршо — Адамара порядка а (а € М+) по направлению ш = (ш1,..., шп), ш € М++, назовем следующее выражение:

(Da/) (x) =

« (a,1)

ln-

1a

dt

Aline/) (ж) y, l > a > 0,

построенное с помощью конечной разности, взятой вдоль направления.

1

î

1

1

t

Дробные производные Маршо — Адамара D/ связаны с дробным призводным Мар-шо D/ равенствам D2/ = Q-1DaQ/, где v = ln w.

Дробные производные типа Маршо — Адамара Da/ связаны с оператором Рима-на — Лиувилля Щ равенствам

(DS>M/) (x) = (M-^vQ-1/-aQMMv/) (x),

где v = ln w = (ln wi,..., ln wra), (Q/) (x) = / (ex) = / (exi,..., eXn ), (Q-1/) (x) = / (ln x) = / (ln xi,..., ln xra), (M^v/)(x) = xf1 ...xnvn / (xi,...,xra) (M-^v/)(x) = x-MV1 ... / (xi,..., x«), 0 < a < 1 (см. [17, с. 251] и [10, с. 11]).

«Усеченной» дробной производной Маршо — Адамара и типа Маршо — Адамара функцией / (x), x € R+, по направлению w, w € R+, назовем выражение

№i-„/) И = / 1 * И f, I > a > 0,

о

р -1-a

(Д£,м;1-р/) = Г (1 - а)/*" (lDi) " (^Uf)(x)j+Haf(x), 0<«<1, (9)

о

где 0 < р < 1. «Усеченной» дробной производной Маршо — Адамара и типа Маршо — Адамара по направлению будем понимать предел по норме пространства Ьр,-:

DS/ = рИт о Da-1-р/, D2,/ = Pim D^-p/. (10)

4. Вспомогательные леммы Лемма 1. Пространства плотно в Ьр1 ^ р < то, и в

СЦо (м!^) {/: /(.г) {х), д(х) ее (м^) , Ит <7 {х) = Ш^д {х) = о| ,

для любых —то < 7г < то, г = 1,..., п.

< Доказательство леммы осуществляется стандартными средствами. >

Лемма 2. Пусть ср € 1 ^ Р ^ то, 7г € я = 1) • • •) п> т0 справедливо неравенство:

ЦПР<р; Ьря|| < Ф{рг) ||<р; , (11)

где

п ( ж

ф(рг) = ПМР!!), Ш) = \р1> (12)

г=1 [р/, Рг = то, г = 1, . . . ,п.

Кроме того, оператор растяжения аппроксимирует единичный оператор в простран-

СТВ6 •

< Равенство (11) устанавливается очевидными заменами переменных. Докажем утверждение (13). Имеем

||пр(р - ¡р-, ЬрЛ\\ = 1 ~{ф{рГ))~1 11р<р+ (ф(р1*))~1Пр1р

где ф (р7*) — функция (12). Используя обобщенное неравенство Минковского (см. [5, с. 22]), получим

ЦП Р<р-<р-,ь

р, 11

<

1 - ('ф(рг)) 1 Пр(р;Ьря

+

Р,7

В силу (11) имеем

ШРч> - <р;1ф,уII < \1~Ф{р1*) \ Ы1фМ\ + Шр9 -9',ь

(14)

где д {х) := х т'рср (х), д (х) € Ьр (М™, при 1^р<ооид(ж)€ С(Ё™) при р = оо. Утверждение (13) следует из неравенства (14). >

Следующие леммы относятся к операторам «типа свертки», инвариантным относительно растяжения в пространствах Ьр^. Именно, рассмотрим операторы вида

с

(ВрР) (х) = J к (£) р (х о рь) <Ц,

С»

(Вшр) (х) = J а (£) р (х о )

(15)

Лемма 3. Пусть <р € ¿р,7, 1 ^ р% ^ оо, 7^ € М, г = 1,..., п. Если

/ю

|к(*)1П (р?)~

~ ¿=1

то оператор Вр ограничен в пространстве Ьр^, и

\\ВрЧ>-,Ьря\\ ^к(р) \\<р-,ЬрЛ\

(16)

— оо

< Так как (Врр) (х) = /С к (£) (Пр р) (х) применив обобщенное неравенство Минковского, получим

С

\\Вр<£]Ьру-\\ = ! \к(Щ\\(11рЬ<р)(х);ЬрЛ\\(И.

— С

В силу равенства (11) получаем (16). >

Следствие 1. Пусть Ьр^, 1 ^ р ^ оо, 7^ € М, г = 1 ,...,п. Если й{из) := /0°° |а (¿)| Р*ошсИ < оо, где 7* о а; = 7}*т0 оператор Вш ограничен в простран-

стве Ьр^, и

||Вш(р; Ьр^\\ ^ (1 {из) ||(р; Ьр^\\ .

Следствие 2. Пусть в (15) а (£) = 0 при £ ^ 1. Тогда оператор (15) ограничен в пространстве Ьр~{ при всех 1 ^ рг ^ оо, 7г ^ 0, 03г ^ 0, г = 1,..., п, если /ц1 |а (¿)| сИ < +оо.

Лемма 4. Пусть к (£) € (М), кг (уг) = 0 при £ < 0. Тогда

\\Вр<р-,ЬрЛ\\ < Цй^^М)!!!^;^,-!!

при 0 < рг ^ 1, г = 1,..., п.

Доказательство леммы 4 вытекает из леммы 3.

Лемма 5. Пусть к (£) € ¿1 (М), к (£) = 0 при £ < 0 и к (£) ^ = 1. Тогда

1™ =о (17)

для всех 1 ^ ^ то, 7г ^ 0, 0 < рг ^ 1, г = 1,..., п.

< Прежде всего отметим, что Вр(р € Ьрдля ц) € Ьр^- при 0 < р^ < 1, г = 1,... согласно лемме 4. Заметим, что, так как к (£) ^ = 1, то

(ЗД (ж) — р (ж) = / к (£) [(Пр р) (ж) — р (ж) ] о

Используя обобщенное неравенство Минковского, получим оценку

\\Bpip - <~р-,Ьр^\\ ^ У (((Пр^)^)(18) о

Поскольку 0 < рг ^ 1, г = 1,... ,п, то в (18) возможен предельный переход под знаком интеграла на основании мажорантной теоремы Лебега. Применение последней обосновано утверждениями (11), (13) леммы 2. >

5. Об ограниченности дробного интегрирования по Адамару и типа Адамара в пространстве Ьр^

Теорема 1. Пусть 7, € М, 1 ^ ^ то, аг > 0 и ц € С. Если Ие ц + ^™=1 7г* 1п шг > 0, то оператор ограничен в Ьр^ и

ц>,-\\ ^ Я» Ы ^р.-Ц > (19)

где ^ = (^е ц + £П=1 7* 1п ш,

< Сначала рассмотрим случай 1 ^ р < оо. С помощью обобщенного неравенства Минковского, получаем

/ К,а (у)\\\<р(хоу^у,Ьр,-

О

1п ш,

Оу

у .

После подстановки тг = жгуш, г = 1,..., п, имеем

1

1 С и+у; ^Мпш; , и-,,

< ^ у у |1пу| "-1

о

1 7 -(м+Е—, / ^ \ "

0 \ г=1 /

В случае р = оо в (20) заменим р^, г = 1,..., п на 1. Тогда получим (19). >

— а

Теорема 2. 1) Пусть 7, € М, 1 ^ р ^ то, а, > 0, г = 1,..., п. Если £П=1 7г* 1пш, > 0,

¿=1

а ш

то оператор ограничен в Ьру- и

¿ш^'т^Р,"у11 ^ Яо \\<Р,ЬрЛ\

где фо = (£П=1 7* 1п шг)—а .

2) Пусть 1 ^ р ^ то, 1 ^ дг ^ оо, 0 < а, < 1, г = 1,... ,п. Оператор Зар дробного интегрирования ограничен из Ьр (М™, в Ьд (М™, тогда и только тогда, когда

< Первое утверждение вытекает из теоремы 1. Далее, оператор Зар связан с оператором Римана — Лиувилля Ц^р равенством

Зар = (21)

где (фр) (х) = р (ех) = р (еХ1,..., еХп), V = 1пш. В силу (21) второе утверждение теоремы следует из известной теоремы Харди — Литтлвуда для обычного дробного интегрирования по Мп (см. [17, с. 345]). >

Теорема 3. Операторы </",'¿,1- и 3"^ ограничены в пространстве Ьр-( при всех 1 ^ р ^ то, г = 1,..., п,

Р^тМЬрлЦ ^ с(т^) Ц^РгуЦ >

где 0 < с (т, /) < 1 при Ие / + ^П=1 1п ш, ^ 0, 0 < т < 1, I > а > 0,

IIьрМ\ ^ С1 (т) Ы ьРМ\ > где 0 < С1 (т) < 1 при £П=1 7* 1п ш, ^ 0, 0 < т < 1, I > а > 0.

< Доказательство этой теоремы вытекает из следствия 2 леммы 3. >

Теорема 4. Пусть а > 0, в > 0, 1 ^ р ^ то, 7, € М, г = 1,..., п, и / € С.

1) Если Ие / > — £П=17* 1п ш,, то оператор З^ обладает полугрупповым свойством (5) в пространстве Ьр^.

2) Если £П=1 7* 1п ш, > 0, то оператор За обладает полугрупповым свойством (6) в пространстве Ьр^.

< Сначала равенство (5) докажем для «достаточно хороших» функций р. Поменяв порядок интегрирования по формуле Дирихле, придем к равенству

1 1

= еншег1! ^ / ^м^Нет)1™) ^

00

1 I ЦпеГ"1

Г (а) Г (в) У V ) и

0 и

и 1п?

(

Внутренний интеграл легко вычисляется после замены 1п £ = 1п и 1п у:

1 е

01 1

= та) /"""" 1"°+,3~'" (*0""'") т = <•#'*><*>•

0

Отсюда получаем равенство (5) для «достаточно хороших» функций р.

Если И,е ц > — ^П=1 7г* ^г, то в силу теоремы 1 операторы и огра-

ничены в и равенство (5) верно для ср € Ьр,--

Когда ц = 0, из теоремы 4 и теоремы 2 получаем полугрупповое свойство операторов дробного интегрирования Адамара (3). >

6. Интегральное представление усеченных дробных производных Маршо — Адамара и типа Маршо — Адамара по направлению

Всюду ниже вектор р = (р... ,рп) либо имеет все конечные компоненты р^ (р < оо), либо все бесконечные р = оо = (оо,..., оо).

Лемма 6. Пусть /(х) = (х), <р € Ьр^, где 0 < а < 1, /л ^ 0, 1 ^ Рг < оо,

7г, 1п Шг € М, % = 1,..., п, /л + ^1=1 1П шг > 0 и 0 < р < 1. Тогда усеченная дробная производная типа Маршо — Адамара по направлению ш, имеет следующее

интегральное представление:

оо

^;1-р/ = / (*, р) ^ (х о р*) (22)

0

где

а

аГ( ) + Г(1-а) ) (pin- ) (í)° - (t - 1)"

т , , . sin ап pMÍ

í,P =-V

^ п t

При этом ядро (t, р)е Li (R+) является усредняющим

1\ „ Л / , 1

р

. (23)

те

Jk^ (t,p) dt = 1, (t,p) > 0, (24)

0

при t > 0.

< Из (8) при 0 < t < 1, l = 1 имеем

оо

/(я)-/(я oí1™) = (ln^^lJ I

0

7 1

- t^y-1)(y - 1)а-1 O tylnw)dyl.

Поэтому

оо

f(x) - f(xt) = (ln±y J k+Jy,t)^xoty^)dy, (25)

где ж o ty lnw = (x1ty ln ,...,xnty ln

k+,«(y,t) =

1 jtMyya-i, 0 <y< 1,

Г(а) t^ya-1 - t^(y-1)(y - 1)а-1, y > 1.

Известно, что к+^(у,£) € Ь1(М+) и /С к+Ду,£)^у = 0 (см. [12]). Из (25) получаем

р СО

о * о

Замены 1п у = £ и у{ = т дают

Д^;!-,/= щз^у / / + (26)

е2 У е

1п

Перестановка порядка интегрирования в правой части в (26) приводит к равенству

г/ 1п-

С ' р

о

" 1

Г(а)Г(1 — а) 7 ^ о

р|х о р*1пш

а:Г ( -а,/Лп- ) +Г(1 - а)

СС ч

1

(27)

что совпадает с (22).

Утверждения (23)-(24) для функции (£,р) известны (см. [12]). Остается обосновать действия в (27). Для р € ССо(М+) они очевидны и, следовательно, для таких функций тождество (22) доказано. В силу леммы 4 и теоремы 1 оператор ^2;1_рЗа,м, стоящий в левой части тождества (22), ограничен в Ьр^ при ц, + 1пса > 0. Огра-

ничен и оператор в правой части в силу той же леммы 4. Поэтому на основании леммы 1 тождество (22) распространяется с (К™) на все функции (р € Ьр,^, 1 ^ Рг < оо,

Лемма 7. Пусть /(х) = (3%<р)(х), <р € Ьр^, где а > 0, 1 ^ Рг ^ оо, ^г,\пи)г € М, % = 1, . . . ,П, 7* > 0 ИЛИ 0 < а < 1, 1 < Рг < 7г = 0, % = 1,... ,п, и 0 < р < 1.

Тогда усеченная дробная производная Маршо — Адамара по направлению ш

имеет следующее интегральное представление:

СО

(яа,1-р/) (х) = / (у)р(х о ру 1пш) ^у, (28)

0

где

£ (—1)4 П (У — к)+

'+ Л, Л - к=0 \ '_ ^ г.

К (а, I) Г(1 + а)у

= п^/^л.. е Ь, (М^) (29)

и

оо

I К+а(у)^у = 1, I > а > 0. (30)

Ч аЛ-У '"У = 1, 1 > а

0

< Доказательство леммы 7 аналогично доказательству леммы 6. >

х

Замечание. Можно показать, что утверждение леммы справедливо и при = 0, рг = 1, г = 1,..., п, 0 < а < 1, однако это потребует иного обоснования (см. доказательство леммы 8).

Лемма 8. Пусть / € Ь-д, 1 ^ ^ то, А^ ^ 0, г = 1,..., п, такова, что ее разность (ДТ/) (ж) порядка I, I > а, представима модифицированным адамаравским дробным интегралом (7) по направлению от функции из Ьр^:

те

(ДТ /) (ж) = за:Т щ = | (ДТ-1 л+) (*) щ(ж о ¿1пш) 0

4 '

(31)

где I > а > 0, 0 < т < 1, <р € 1 ^ Рг ^ то, 7* ^ 0, г = 1,..., п и 0 < р < 1. Тогда усеченная дробная производная ^2,1-р/ по направлению ш, допускает интегральное представление (28) при всех 1 ^ рг < то, 7г ^ 0, г = 1,..., п, и интегральное представление

(Я£,1_р/) (ж) = /к+ (£) щ (ж о р*1пш) л — Щ (0)

(32)

при всех рг = то, 7г = 0, г = 1,..., п.

< Так как при 7^ > 0, г = 1,..., п, утверждения леммы 8 обоснованы при доказательстве леммы 6, то рассматриваем случай 7^ = 0, г = 1,..., п, но при любых а > 0, 1 ^ рг ^ то, г = 1,..., п. Нужно обосновать следующее равенство:

те те

1п-

1п —

Оно несложно обосновывается теоремой Фубини при 1 ^ р < то, 7г = 0, г = 1,...,п. Действительно, покажем, что при 1 ^ р < то, 7г = 0, г = 1,... ,п сходится (почти для всех ж) повторный интеграл

щ ж о е

— Т 1п ш

^Т

е2

1п -

для всех (р € 1 ^ р < то. Отсюда замены ^ = ,§ит = £1п^ приводят к необходимости доказать сходимость интеграла

3 :=

Щ ж о р

—* 1п ш

К*(£)

(33)

где = | /о |Лг+а(в)| йв. Так как Лг+а(в) € ¿1 (М^), то К* (¿) < § при 4 ->■ +то. Далее,

очевидно, что К * (£) ^ с£а-1при £ ^ 0 и что К * (£) непрерывна при 0 < £ < то. Тогда из (33) имеем

3 < с

Щ ж о р

—* 1п ш

£а-1 ^ + с

Щ ж о р

—* 1п ш

ей

т

и остается сослаться на теорему Юнга для пространств со смешанной нормой (см. [5, с. 25]).

Остается обосновать случай р = то, г = 1,..., п, когда р € С . В этом случае, чтобы преодолеть трудности, связанные со вторым слагаемым, т. е. £ > 1, рассмотрим «двустороннее» усечение дробной производной Маршо — Адамара по направлению ш, т. е.

р 1 1 Г / 1\_1_а

(х) = у (ь - ^ (Л^/) (Х)т, 1>а> 0, (34)

£

где 0 < е < р < 1, и затем устремим е — 0. Согласно (31) и (34) имеем

у _ 1 С

№..-«/) <*> = щЬ) / Г т) ~ 7 / <»> * (*0 '*") ■

Замены 1п | = £ и = г дают

оо 1п-

№.-„/) <*> = «¿ту/К—/ •

1п I

(35)

Здесь перестановка порядка интегрирования легко обосновывается за счет е > 0 (с учетом того, что |<£>(ж)| < с и |§ |&г+а(|)|с£т < сю)- Из (35) имеем

р

СС

№..-„/) <*> = / ° [-¿^ + (-щ)]

0

Таким образом,

СО СО

(Я£,1_р>е/) (х) = /К+ (£) р(х о р*) ^ — | К+ (£) р(х о е*) й. (36) 00

Так как р € С (М++) и (£) € (М+_), то во втором слагаемом возможен предельный переход при е — 0 под знаком интеграла. В силу (30) и (36) получаем интегральное представление (32). > Рассмотрим функцию

А{р) := I р-^К+р (¿, р) М = + "

/ — с/ Г(1 — а)

а / 1 \ "

(37)

где ^«(^Р) - Функция (23), 0 < а < 1, 0<р<1, /х^О, с :=

п

7г, 1п ш, € М, / > с.

Лемма 9. Пусть 0 <а< 1, / ^ 0, с € Д, / > с и 0 <р< 1. Тогда А(р)-функция обладает следующими свойствами:

1) А(р)-функция монотонно убывает при с < 0 и монотонно возрастает при с > 0.

х

2) Справедливо равенство Ит/Э^1_о А (р) = 1, Нт^о+о А (р) = •

3) Справедливо неравенство < А(р) ^ 1> ПРИ с < 0, 1 ^ А (р) < ПРИ 0 < с < р.

< Найдем производную

А' (р) =

ар^

(р - с)"

Г(1-а) (1п1)а+1

(Р-С - 1)-

Отсюда вытекает утверждение 1), т. е. А' (р) < 0 при с < 0, А' (р) > 0 при с > 0. В силу свойства (2) неполной гамма-функции получим утверждение 2):

Ит А (р) = ( рд1-о уг/ \р - с

+

аГ (-а) Г(1 - о)

р

р — с

- 1

= 1, Ит А(р) = (

рдо+о \р - с

Утверждение 3) вытекает из утверждения 2) и в силу свойства (2) неполной гамма-функции. >

а

а

а

7. Обращение дробных интегралов по направлению от функций из Ьр~

Теорема 5. Пусть / = <р € Ьр-/} где 0 < о; < 1, р ^ 0, 1 ^ < оо, 1пш» € М,

% = 1,..., п, р + ^ 1П шг > 0 и 0 < р < 1. Тогда

) (х) = рДт о(^.1-р/) (х) = р (х), (38)

где предел понимается как в Ьр^.

< Сходимость по норме следует из леммы 6 и леммы 5. >

Теорема 6. Пусть / = 3"(р, <р € Ьр^, где а > 0, 1 ^ Рг ^ оо, 7», 1пщ € М, г = 1,..., п, ЕГ=1 7г* 1п Шг > 0 или 0 < а < 1, 1 < ^ < 7» = 0, г = 1,..., п, и 0 < р < 1. Тогда

Р2/) (х) = Итр2;1-р/) (х) = р(х),

где предел понимается как в Ьр^, так и почти всюду.

< Сходимость по норме следует из леммы 7 и леммы 5. Доказательство сходимости почти всюду получим из [20, теорема 2, с. 77-78]. При этом учитываем равенство (29) и свойство ядра I(¿) I ^ -—при £ > 1 (см. [17, с. 379]), так что ядро (¿) имеет монотонную суммируемую мажоранту. >

Теорема 7. Пусть (Д^/)(х) = € ¿р,-, где / > а: > 0, 0 < т < 1, 1 ^ ^ оо,

а

>ш,тну с

7г, 1п ш € М, г = 1,..., п, ^П=1 7г* 1п Ш ^ 0 и 0 < р < 1. Тогда

(£>2/) (х) = 11т(^2;1-р/) (х) = р (х),

рд 1 ' ^

где предел понимается как в Ьр^, так и почти всюду.

< Доказательство теоремы сходимости по норме следует из леммы 8 и леммы 5. Доказательство сходимости почти всюду — как в теореме 6. >

Из леммы 6 теоремы 5 вытекает связь между нормами дробных производных по направлению ш (9) и (10) в пространств Ьр^.

Теорема 8. Пусть/(х) = {J%itJ,<f){x), <Р G Lp,ï> гДе 0 < а < 1, 1 ^ р < оо, /л ^ О,

с := - Yh=i ^¡InuJi, с eR, /л> с иО < р < 1. Тогда

i-pf'iLP,-\\ < М \\KJ-,Lp,-\\ . М = \ с > 0 (39)

1, с < 0,

< Используя (22), применяя обобщенное неравенство Минковского и учитывая (38), имеем

СС 0

где А(р) — функция (37). В силу леммы 9 вытекает (39). >

Следствие 3. Пусть /(ж£) = (ж), р € ¿р/у; гДе 0 < а < 1, 1 ^ р < оо,

с := - ¿?=1 ^ 1по;», с € М, с < 0 и 0 < р < 1. Тогда

Благодарность. Автор выражает благодарность С. М. Умархаджиеву за полезное обсуждение результатов работы.

Литература

1. Hadamard J. Essai sur l'etude des functions données par leur développment de Taylor // J. Math. Pures et Appl.-1892.-Vol. 8, № 4.-P. 101-186.

2. Benedek A., Panzone R. The space Lp, with mixed norm // Duke Math. J.-1961.-Vol. 28, № 3.— P. 301-324. DOI: 10.1215/s0012-7094-61-02828-9.

3. Antonic N., Ivec I. On the Hormander-Mihlin theorem for mixed-norm Lebesgue spaces // J. Math. Anal. Appl.-2016.-Vol. 433, № 1.-P. 176-199. DOI: 10.1016/j.jmaa.2015.07.002.

4. Stefanov A., Torres R. H. Calderon-Zygmund operators on mixed Lebesgue spaces and applications to null forms // J. London Math. Soc.-2004.-Vol. 70, № 2.-P. 447-462. DOI: 10.1112/S0024610704005502.

5. Бесов О. В., Ильин В. П., Никольский С. М. Интегральные представления функций и теоремы вложения.—М.: Наука, 1975.—480 c.

6. Marchaud A. P. Sur les derivees et sur les differences des functions de variables reelles // J. Math. Pure et Appl.-1927.-Vol. 6.-P. 337-426.

7. Киприянов И. А. Оператор дробного дифференцирования и степени эллиптических операторов // Докл. АН СССР.-1960.-Т. 131, № 2.-С. 238-241.

8. Киприянов И. А. О пространствах дробно-дифференцируемых функций // Изв. АН СССР. Сер. мат.—1960.—Т. 24, № 6.-С. 865-882.

9. Кукушкин М. В. О некоторых качественных свойствах оператора дробного дифференцирования Киприянова // Вестн. СамУ. Естественнонаучн. сер.—2017.—№ 2.—C. 32-43.

10. Butzer P. L., Kilbas A. A., Trujillo J. J. Fractional calculus in the Mellin setting and Hadamard-type fractional integrals // J. Math. Anal. Appl.-2002.-Vol. 269, issue 1.-P. 1-27. DOI: 10.1016/S0022-247X(02)00049-5.

11. Kilbas A. A. Hadamard-type fractional calculus // J. Korean Math. Soc.—2001.—Vol. 38, issue 6.— P. 1191-1204.

12. Килбас А. А., Титюра А. А. Дробная производная типа Маршо — Адамара и обращение дробных интегралов типа Адамара // Докл. АН Беларуси.—2006.—T. 50, № 4.—C. 10-15.

13. Ma L., Li C. On Hadamard fractional calculus // World Scientific, Fractals.—2017.—Vol. 25, № 3.— P. 1-13. DOI: 10.1142/S0218348X17500335.

14. Samko S. G., Yakhshiboyev M. U. A Chen-type modification Of Hadamard fractional integro-differentiation // Operator Theory: Advances and Applications.-2014.-Vol. 242.-P. 325-339.

15. Wu Y., Yao K., Zhang X. The Hadamard fractional calculus of a fractal function // World Scientific. Fractals.-2018.-Vol. 26, № 3.-P. 25-36. DOI: 10.1142/s0218348x18500251.

16. Yakhshiboev M. U. Hadamard-type fractional integrals and Marchaud-Hadamard-type fractional derivatives in the spaces with power weight // Uzbek Math. J.—2019.—№ 3.—P. 155-174. DOI: 10.29229/uzmj.2019-3-17.

17. Самко С. Г., Килбас А. А., Марчиев О. И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения.—Минск: Наука и техника, 1987.—688 c.

18. Бердышев А. С., Турметов Б. Х., Кадиркулов Б. Ж. Некоторые свойства и применения интегро-дифференциальных операторов типа Адамара — Маршо в классе гармонических функций // Сиб. мат. журн.—2012.—Т. 53, № 4.—С. 752-764.

19. Kilbas A. A., Titioura A. A. Nonlinear differential equation with Marchaud-Hadamard-type fractional derivative in the weighted space of summable functions // Mathematical Modelling and Analysis.— 2007.—Vol. 12, № 3.—P. 343-356. DOI: 10.3846/1392-6292.2007.12.343-356.

20. Стейн И. М. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций.—М.: Мир, 1973.— 342 с.

Статья поступила 18 мая 2020 г.

ЯхШИБОЕВ МАХМАДИЁР УмИРОВИЧ

Национальный университет Узбекистана им. М. Улугбека, доцент

Узбекистан, 100174, Ташкент, Вузгородок, ул. Университетская, 4

E-mail: m. yakhshiboev@gmail. com

Vladikavkaz Mathematical Journal 2020, Volume 22, Issue 4, P. 119-134

ON HADAMARD AND HADAMARD-TYPE DIRECTIONAL FRACTIONAL INTEGRO-DIFFERENTIATION IN WEIGHTED LEBESGUE SPACES WITH MIXED NORM

Yakhshiboev, M. U.1

1 National University of Uzbekistan named after Mirzo Ulugbek, 4 University St., Student's campus, Tashkent 100174, Uzbekistan E-mail: m.yakhshiboev@gmail. com

Abstract. The paper presents definitions and various auxiliary properties of Hadamard and Hadamard-type directional fractional integrals, Marchaud-Hadamard and Marchaud-Hadamard-type directional fractional derivatives. A relation is established between Hadamard and Hadamard-type directional fractional integrals and Marchaud-Hadamard and Marchaud-Hadamard-type directional fractional derivatives with the directional Riemann-Liouville operator. A modification of Hadamard and Hadamard-type directional fractional integrals with the kernel improved at infinity is introduced. The paper deals with a stretch invariant "convolution type" operators in weighted Lebesgue spaces with mixed norm. The boundedness and semigroup properties of Hadamard and Hadamard-type directional fractional integration in weighted Lebesgue spaces with mixed norm are proved. The compositions of Hadamard and Hadamard-type fractional integral and Marchaud-Hadamard and Marchaud-Hadamard-type directional fractional derivative are also considered and integral representation of Marchaud-Hadamard and Marchaud-Hadamard-type truncated directional fractional derivatives is obtained. Inversion theorems are proved for Hadamard and Hadamard-type directional fractional integrals on weighted Lebesgue spaces with mixed norm. A relationship between ordinary and truncated Marchaud-Hadamard and Marchaud-Hadamard-type directional fractional derivatives is also revealed.

Key words: Hadamard fractional integral, Hadamard fractional derivative, Lebesgue space with mixed norm, dilation operator, fractional derivative by direction of the Marshau-Hadamard, fractional derivative by direction of the Marshau-Hadamard type.

Mathematical Subject Classification (2010): 26A33, 41A35, 46E30.

For citation: Yakhshiboev, M. U. On Hadamard and Hadamard-Type Directional Fractional Integro-Differentiation in Weighted Lebesgue Spaces with Mixed Norm, Vladikavkaz Math. J., 2020, vol. 22, no. 4, pp. 119-134 (in Russian). DOI: 10.46698/t4957-0399-9092-y.

134

HxmnöoeB M. y.

References

1. Hadamard, J. Essai sur l'Etude des Functions Donnees par Leur Developpment de Taylor, Journal de Mathematiques Pures et Appliquees, 1892, vol. 8, no. 4, pp. 101-186.

2. Benedek, A. and Panzone, R. The Space Lp, with Mixed Norm, Duke Mathematical Journal, 1961, vol. 28, no. 3, pp. 301-324. DOI: 10.1215/s0012-7094-61-02828-9.

3. Antonie, N. and Ivec, I. On the Hormander-Mihlin Theorem for Mixed-norm Lebesgue Spaces, Journal of Mathematical Analysis and Applications, 2016, vol. 433, no. 1, pp. 176-199. DOI: 10.1112/S0024610704005502.

4. Stefanov, A. and Torres, R. H. Calderon-Zygmund Operators on Mixed Lebesgue Spaces and Applications to Null Forms, Journal of the London Mathematical ,Society, 2004, vol. 70, no. 2, pp. 447-462. DOI.org/10.1112/S0024610704005502.

5. Besov, O. V., Il'in, V. P. and Nikol'skii, S. M. Integral'nye predstavleniya funkcij i teoremy vlozheniya [Integral Representations of Functions, and Embedding Theorems], Moscow, Nauka, 1975, 480 p. (in Russian).

6. Marehaud A. P. Sur les Derivees et sur les Differences des Functions de Variables Reelles, Journal de Mathematiques Pures et Appliquees, 1927, vol. 6, pp. 337-426.

7. Kipriyanov, I. A. The Operator of Fractional Differentiation and the Powers of Elliptic Operators, Dokl. Akad. Nauk SSSR, 1960, vol. 131, no. 2, pp. 238-241 (in Russian).

8. Kipriyanov, I. A. On Spaces of Fractional-Differentiable Functions, Izv. Akad. Nauk SSSR. Ser. Mat., 1960, vol. 24, no. 6, pp. 865-882 (in Russian).

9. Kukushkin, M. V. On some Qualitative Properties of the Operator of Fractional Differentiation in Kipriyanov Sense, Vestnik SamU. Estestvenno-Nauchnaya Ser., 2017, no. 2, pp. 32-43 (in Russian).

10. Butzer, P. L., Kilbas, A. A. and Trujillo, J. J. Fractional Calculus in the Mellin Setting and Hadamard-Type Fractional Integrals, Journal of Mathematical Analysis and Applications, 2002, vol. 269, no. 1, pp. 1-27. DOI: 10.1016/S0022-247X(02)00049-5.

11. Kilbas, A. A. Hadamard-type Fractional Calculus, Journal of the Korean Mathematical ¡Society, 2001, vol. 38, no. 6, pp. 1191-1204.

12. Kilbas, A. A. and Titioura, A. A. A Marchaud-Hadamard-Type Fractional Derivatives and Inversion of Hadamard-Type Fractional Integrals, Report of the Academician of Sciences of Belarus, 2006, vol. 50, no. 4, pp. 10-15 (in Russian).

13. Ma, L. and Li, C. On Hadamard Fractional Calculus, World Scientific, Fractals, 2017, vol. 25, no. 3, pp. 1-13. DOI: 10.1142/S0218348X17500335.

14. Samko, S. G. and Yakhshiboyev, M. U. A Chen-Type Modification of Hadamard Fractional Integro-Differentiation, Operator Theory: Advances and Applications, 2014, vol. 242, pp. 325-339.

15. Wu, Y., Yao, K. and Zhang, X. The Hadamard Fractional Calculus of a Fractal Function, World Scientific, Fractals, 2018, vol. 26, no. 3, pp. 25-36. DOI: 10.1142/s0218348x18500251.

16. Yakhshiboev, M. U. Hadamard-Type Fractional Integrals and Marchaud-Hadamard-Type Fractional Derivatives in the Spaces With Power Weight, Uzbek Mathematical Journal, 2019, no. 3, pp. 155-174. DOI: 10.29229/uzmj.2019-3-17.

17. Samko, S. G., Kilbas, A. A. and Mariehev, O. I. Integraly i proizvodnye drobnogo poryadka i nekotorye ih prilozheniya [Fractional Integrals and Derivatives and some of their Applications], Minsk, Nauka and Tekhnika, 1987, 688 p. (in Russian).

18. Berdyshev, A. S., Turmetov, B. Kh. and Kadirkulov, B. J. Some Properties and Applications of the Integrodifferential Operators of Hadamard-Marchaud Type in the Class of Harmonic Functions, Siberian Mathematical Journal, 2012, vol. 53, no. 4, pp. 600-612. DOI: 10.1134/S0037446612040039.

19. Kilbas, A. A. and Titioura, A. A. Nonlinear Differential Equation with Marchaud-Hadamard-Type Fractional Derivative in the Weighted Space of Summable Functions, Mathematical Modelling and Analysis, 2007, vol. 12, no. 3, pp. 343-356. DOI: 10.3846/1392-6292.2007.12.343-356.

20. Stein, E. M. Singulyarnye integraly i differencial'nye svojstva funkcij [Singular Integrals and Diffe-rentialiability Properties of Functions], Moscow, Mir, 1973, 342 p. (in Russian).

Received May 18, 2020 Makhmadiyor U. Yakhshiboev

National University of Uzbekistan named after Mirzo Ulugbek, 4 University St., Student's campus, Tashkent 100174, Uzbekistan, Assoeiate Professor E-mail: m. yakhshiboev@gmail. com