Теорема об одном радиусе на сфере с выколотой точкой Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1871 Уфимский математический журнал. Том 11. № 4 (2019). С. 3-13.

УДК 517.444

ТЕОРЕМА ОБ ОДНОМ РАДИУСЕ НА СФЕРЕ С ВЫКОЛОТОЙ ТОЧКОЙ

Н.П. ВОЛЧКОВА, вит. в. волчков

Аннотация. Рассматриваются локальные аспекты периодичности в среднем на двумерной сфере S2. Согласно классическим свойствам периодических функций всякая непрерывная на единичной окружности S1 функция, имеющая нулевые интегралы по любому интервалу фиксированной длины 2г на S1, является тождественным нулем тогда и только тогда, когда число r/п иррационально. Кроме того, не существует ненулевой непрерывной функции на R, имеющей нулевые интегралы по всем отрезкам фиксированной длины и их границам. Целью статьи является исследование подобных явлений на сфере в R3 с выколотой точкой. Изучаются гладкие функции на S2 \ (0, 0, -1), имеющие нулевые интегралы по всем допустимым «сферическим шапочкам» и окружностям одного фиксированного радиуса. Для таких функций установлена новая теорема об одном радиусе, влекущая инъективность соответствующего интегрального преобразования (Теорема 2.1). Получено также усиление известной теоремы Унгара о сферических средних, дающей необходимые и достаточные условия принадлежности «сферической шапочки» классу множеств Помпейю на S2 (Теорема 4.1). Доказательства основных результатов основаны на описании множества решений f £ С^(S2 \ (0, 0, — 1)) уравнения свертки (/ * аг)(£) =0 С £ где Вж-Г -открытый геодезический шар радиуса ж — г с центром в точке (0, 0,1) на S2, аг — дельта-функция, сосредоточенная на дВг. Ключевым инструментом для описания / являются ряды Фурье по сферическим гармоникам на S1. Показано, что коэффициенты Фурье Д(0) функции f представимы рядами по функциям Лежандра Pv |fc|(cos 0), связанными с нулями ^функции Pv (cos г). Теоремы 2.1 и 4.1 являются следствием указанного представления функции / и соответствующих свойств функций Лежандра. Результаты, полученные в работе, можно использовать при решении задач, связанных с шаровыми и сферическими средними.

Ключевые слова: сферические средние, преобразование Помпейю, функции Лежандра, уравнения свертки.

Mathematics Subject Classification: 53С65; 44А35

1. Введение

Пусть г - фиксированное положительное число. Очевидным свойством ненулевых 2г-периодичееких функций на вещественной оси является отсутствие у них антипериода, равного 2г. Другими словами, если функция / на R удовлетворяет соотношениям

/(х + г) — f (х — г) = 0, /(х + г) + /(х — г) = 0, х £ R,

то / = 0. В терминах интегральных средних это означает, что любая непрерывная функция на R, имеющая нулевые интегралы по всем отрезкам Кг = [х — г,х + г] и их границам дКг = {х ± г} является тождественным нулем. (Как обычно, интеграл по дКг понимается как сумма значений функции в точках множества дКг.)

N.P. volchkova, VlT.V. VOLCHKOV, A one-radius theorem on a sphere with pricked point.

© Волчкова Н.П., Волчков Вит.В. 2019. Поступила 3 декабря 2018 г.

Указанный факт допускает нетривиальные обобщения для различных многомерных пространств (см, [1] [5]), В частности, если функция f € С(Кга), п ^ 2, имеет нулевые интегралы по всем шарам и сферам фиксированного радиуса, то / = 0 (см, [2]), Утверждения такого типа называются теоремами об одном радиусе,

В данной работе изучаются функции на проколотой двумерной сфере, имеющие нулевые интегралы по всем допустимым «сферическим шапочкам» и окружностям одного фиксированного радиуса. Для таких функций установлена новая теорема об одном радиусе, уточняющая один из результатов в работе [6]. Отметим также, что промежуточным результатом работы является усиление известной теоремы П, Унгара о сферических средних [7] (см, теорему 4,1 в § 4),

2. Формулировка основного результата Пусть Б2 = € К3 : |£| = 1} £1, £2, Сз _ декартовы координаты точки £ € Б2,

Б' = {£ € Б2 : £з = -1}. Расстояние г/) между точками € Б2 вычисляется по формуле

V) = агссо8(^1 + £2^2 + £зщ).

В частности,

= атссоБ £3, где о = (0, 0,1).

Множество

Вг('ц) = {£ € Б2 : ¿(^'ч) <г}, 0 <г<ж, называется открытым геодезическим шаром («сферической шапочкой») па Б2 радиус а г с центром в точке Его граница

дВг(п) = {£ € Б2 : ^) = г}

является геодезической окружностью радиуса г на Б2 с центром в точке Аналогично, множество

= Вг (п) и дВг (п)

называется замкнутым геодезическим шаром на Б2 радиус а г с центром в точке

Обозначим через и элемент площади и элемент длины на Б2 соответственно. Основным результатом данной работы является следующий сферический аналог теоремы об одном радиусе.

Теорема 2.1. Пусть г - фиксированное число из интервала (0; ж), f € С^(Б') и выполнены следующие условия:

1) функция / имеет нулевые интегралы относительно меры, ^ по любому замкнутому геодезическому шару радиуса г на, Б2, лежащему в Б';

2) функция / имеет нулевые интегралы относительно меры по любой геодезической окружности радиуса г на, Б2, лежащей в Б'.

Тогда, f = 0.

Этот результат интересно сравнить с теоремой об одном радиусе, полученной в работе [6], Теорема 2 из [6] показывает, что если 0 < г ^ -к/2, / € С (Б') и

/ =/ /(£¥(£) = 0 (2.1) иВ ¿дВ

для любого замкнутого геодезического шара В радиуса г, лежащего в 8', то $ = 0, Кроме того, при ж/2 < г < ж существуют ненулевые функции /, удовлетворяющие соотношениям (2,1), Если же /гладкая па Б' и удовлетворяет при некотором г € (0; ж) условиям 1), 2) в теореме 2,1, то / = 0,

Относительно других теорем об одном радиусе см, [2]-[5] и имеющуюся там библиографию,

3. Основные обозначения

Пусть N Z+ С - множества натуральных, целых, целых неотрицательных и комплексных чисел соответственно. Обозначим через Р^ € С) функции Лежандра пер-(-1, 1)

™ = Гй-о (т-Э2 Р +1; 1 € *

РДх) = (-1)"(1 - х2)'("р„(х), » € N.

где Р - гипергеометрическая функция Гаусса, Г - гамма-функция и Ри = Р°

(см, [8, гл. 3, п, 3,4, формула (6) и п, 3,6,1, формула (6)]), Для них справедливо интегральное представление Мелера-Дирихле

о»< m Д (sin»)"

= У ÍF^ х

2

xjf(cosí - cos^)-4-2 cos ^I/ + 1)í ) dt> ве < 1. (3-1)

Функции Лежандра второго рода на (-1,1) определяются равенством

2W2™(x) (К \xF (, ^ + 1; 3;x2)

(i -x2y/2Q>¿(x) = / к (,у + „л xF , ^ + 1; I ;x2)

2^^3/2 + г () Г (-)

1 (-Ц^, ; 1;x2)

2

Qv = Q0, -vi N.

Они связаны с P¡f следующим образом:

2

P^(-x) = P£(x) cos U(u + - -Q£(x) sin (k(í/ + (3.2)

К

(см. [8, гл. 3, п. 3.4, формулы (14), (15), (20), (21)]). Кроме того,

(1 - x2) (Pi'(x)¿Qi;(x) - Qt(x)^cPS(x)\

г h + ^ г (^

= o2jU1 V1 + 2УГУ 2 / / о о\

г () г (1 + ^) 1 j

(см. [8, гл. 3, п. 3.4, формула (25)]).

(0;^), Из (3.1) следует, что функция

h( и) = Pv (cos г) = P°(cosr)

много нулей, все ее нули являются вещественными, простыми, расположены симметрично относительно точки — 1 и лежат вне отрезка [-1; 0] (см. [3, часть 2, гл. 3]). Для множества нулей этой функции из промежутка (0; будет использоваться символ N (г), т.е.

N (г) = [и > 0 : Pv (cos г) = 0}.

Положим также

2(г) = {I Е N : Pi (cos г) = 0} .

Отметим, что

2 (ж/2) = N (ж/2) = {2к + 1,к Е Z+ }.

Кроме того, множество {г Е (0,^) : Z(г) = 0} является счетным и всюду плотным на интервале (0,^) (см. [9]).

Введем сферические координаты р, 9 на S2 следующим образом:

= sin в sin £2 = sin в cos £3 = cos в, р Е (0, 2ж), в Е (0,^)

(как и выше, £2, £3 - декартовы координаты точки £ Е S2), Положим

Ри, k (0) = P-k (cos в), (3.4)

Sv,k(£) = P,,\k\(0)elkv, ^ Е C, к Е Z. Функция S.,k является вещественно-аналитической на S'. При этом

L(Sv,k ) = (и + 1) SVtk, (3.5)

где L - оператор Лапласа на S2, т.е.

д2 „ д 1 д2

L = + +

дв2 ' ^" дв ' sin2 ddip2

(см. доказательство леммы 4.1 ниже).

Всякой функции f Е С (S') поставим в соответствие ряд Фурье

!к kez

компоненты которого определяются равенствами

f ~ Е fk, (3-6)

1 С2ж

fk (£) = fk (d)etkv, fk(6) = — f (sin в sin a, sin в cos a, cos 9)e~lkada.

J 0

Если f Е C^(S'), то ряд (3.6) сходитея к f в стандартной топологии пространства C^(S') (см. [4, гл. 11, п. 11.1]). Из (3.6) следует формула

1 Г2ж

f (£) = ^ J f ЫУ^а, (3.7)

где та - вращение R3 в плоскости (х1,х2) на угол а, т.е.

ТаС = (C1 cos а — £2 sin a, ^ sin а + £2 cos а, £3). Пусть 0(3) - ортогональная группа в R3,

Вг = Вг(о) = {С Е S2 : £3 > cos г} = {(р, в) : 0 ^ в <г}, Sr = Sr(о) = {С Е S2 : & = cos г} = {(<р,6): в = г}.

Положим

Ur(S) = {f Е С(S) : í f (т£)dl(0 = 0 Vr Е 0(3) : тВг С S'}.

J Sr

Класс Ur (S') можно рассматривать как множество функций f Е С(S'), удовлетворяющих уравнению свертки f * ar = 0 в шаре Вж-Г, где ar - дельта-функция, сосредоточенная на Sr.

4. Вспомогательные утверждения

Обозначим через Ик дифференциальный оператор, определенный на пространстве С 1(0,^) следующим образом:

(И = (^)к | ( ) , и ее '(о.,).

Пусть также Ы - тождественный оператор. Лемма 4.1. Имеют .место равенства

ИкРи,к = (к - и)(к + и+ 1)ри,к+1, И-кр„>к = Ри,к-1, (4-1)

(Ь + и( и + 1)Н)(р„кк (в)егк^) = 0. (4.2) Доказательство. Используя формулу

(1 - х2)^М = -„хРЦ{х) + (и + 1 (х) ах

(см. [8, гл. 3, п. 3.8, формула (19)]), находим

Отсюда

Поскольку

( к — и)

PÍ,k (в) = vctgepVtk (в) + (в).

sine/

DkPvk(в) = ^(Ри-1,к(в) - cosepv>k(в)), (4.3)

sin

D-kP„,k(в) = —a((u + k)cosepv¿(в) - (и -k)pv-1¡k(0)). (4.4)

sin

Pü-1(x) - xP¡? (x) = (U - | + 1)V1 -x2 P^-1(x),

( и - i)xP^(x) - (u + l)P^-1(x) = V1 -x2PZ+\x) (см. [8, гл. 3, n. 3.8, формулы (15), (17)]), из (4.3) и (4.4) получаем (4.1). Далее, оператор L действует на функцию и гада и(£) = v(9)elkip по правилу

(Lu)(0 = (£kv )(6)е**, (4.5)

где

d2 d к2

d02 d0 sin2 в

Оператор £k можно представить в виде

Ik = D-k-1Dk - к(к + 1)/d = Dk-1D-k - к(к - 1)M (4.6)

Теперь соотношение (4.2) следует из (4.6) и (4.1). □

Лемма 4.2. (i) Пусть е, в G (°,ж),к G Z+. Тогда при и ^ то так, что | arg и\ < ж-е, справедливо асимптотическое равенство

,„ r^cos(( I/ + 1 - 4(2к + 1)) + n /e»|ImH\

p->k W = V -(¡т+ijk+i-+0( ■ (4'7)

причем, ЦЛ) выполнено равномерно по в на, любом, отрезке [а,0] С (°,ж). (ii) Если, и i C, в G (°,ж), fc G Z+, mo

lí^k(0)| ^ (sin cos 2) k 1 ee|ImИ. (4.8)

(iii) Пусть 0 < а < ж, s,k £ Z+. Тогда

dspv,k (д)

max 0e[Q,a]

dOs

Доказательство. Учитывая (3,4), по формуле (3,1) имеем

0(us-k), и ^ (4.9)

pv>k(в) = ^"П^ 1. i (cos t — cos в)к-1 ei(v+1Уdt. (4.10)

у2^Г [k + J-q

Из (4.10) и асимптотического разложения интегралов Фурье (см. [10, гл. 2, доказательство теоремы 10.2]) получаем (4.7).

Для доказательства (4.8) снова используем (4.10). Тогда

lpUik(9)1 ^ 1 а Г (cost — cos9)к-2dteellmvl.

\2жГ [к + 2J

Интеграл в правой части оценивается следующим образом:

гв г-1

(cos t — cos в)к-2 dt = (х — cos в)к-1 ЦХ ^ Л Лс8 0 V 1 — X2

<

V1 + cos 9

cos V J cos в

(х — cos 9)к 2 (1 — х) 2 dx

^2к-1Г (к + 2)

fc!

/ 0\ 2V ^

у1П 2 J (vcos2j

1

что дает оценку (4.8).

Наконец, докажем (4.9). Оценка (4.9) при а < ж/2 следует из интегрального представления

D *(в)е^ = lk Г(и + к +1) X

Pv-k(U)e =% 2жГ(и+1) Х

х/ (cos 9 + i sin 9 cos(ip — ^)Yeik^diP, 9£ (0,ж/2)

и равенства

/лч / Г{у + к + 1)

<") = <-1)кГ(, - к + 1)^

(см. [8, гл. 3, п. 3.7, формулы (25), (26), п. 3.3.1, формула (7), а также п. 3.4, формула (5)]). С другой стороны, асимптотическое разложение (4.7) и второе соотношение в (4.1) показывают, что

max

dspv,k (9)

О (и

s-k-1/2

),

V ^ +ГО.

Используя эти два случая, получаем утверждение (iii).

□

1

1

—ж

Лемма 4.3. (i) Имеет место равенство

Z (г) = Z (ж — г).

(ii) Если ри,0(г) = 0, то ри>1(г) = 0.

(iii) Если ри,0 (г) = 0, то Qu (cos г) = 0.

Доказательство. Утверждение (i) следует из определения множества Z(г) и соотношения

Рп(—х) = (—1)пРп(х), п Е Z+

(см, [8, гл. 3, п, 3,4, формула (19)]), Далее, предположим, что pu,0(r) = pu,1(r) = 0 при пекотором и Е C, Тогда

pv,o(r) = К,0( г) = 0

и

2

-^ри,0(0) + ctg в~^Ри,0(0) + и(У + 1)pv,0(6) = 0

(см, (4,1), (4,2) и (4,5)), Отсюда в силу единственности решения задачи Коши для обыкновенного линейного дифференциального уравнения второго порядка получаем ри,0 = 0, что противоречит определению Pv. Наконец, формула

(1 — x2)(pv (х) ^Qu (х) — Qu (х) *-Pv (х)^ = 1

(см, (3,3)) показывает, что равенства Pv(cos г) = 0 и Qu(cos г) = 0 не могут выполняться одновременно. Таким образом, лемма 4,3 доказана, □

Лемма 4.4. Пусть

5(ц, и) = ри,0(в)р^,0(в) sin 6d6, ц,и ЕЙ (г). 0

Тогда, 8(ц, и) = 0 при ц = v и

5(и,и) > —, (4.11)

> 0

Доказательство. При ц = v утверждение следует из равенства

(ц — v)(n + U+1) Ри,0(в)Рц,0(в) sin ddd = 0

= sinr(p^,0(r)plu,0(r) — Pu,0(r)P^,0(r)) (см. [8, гл. 3, п. 3.12, формула (3)]). Далее, неравенство (4.11) достаточно доказать при всех достаточно больших и Е N (г). Пусть и > 4r — 2- Положим

д(в, t) = (cos t — cos в)-1, 0 ^t^e^n. (4.12)

Тогда из (3.1) имеем

5(и, у)= (pv,0(0))2 sin вdO =

^ sin^^jí д(в, t)cos(^u + 0 tdt^ de ^

00

2 Г4^+72) ( re / ч ( 1 \ \2

^ ^ / singly g(e, t) cos í i/ + -j tdtj de ^

1 Г 4(„+1/2) / Гв \

} ^ (/, д(в, ^ )

Внутренний интеграл в (4,13) оценивается следующим образом:

ев

reos 2

I д(в, t)dt= I (х — cos^)-2 >

'2 J eos в Vi - X2

втб1

'соб в

i 1 (cos 2 — cos ^ 2

(х — cos б1) 2 dx = 2--2-—

sin в

Учитывая, что

cos % — cos в sin ^ 13 в 3в

^ - sin —— ^ —

вт в

2 cos § cos 4 2 4 4к

при 0 < в < из (4-13) и (4,14) получаем

, ч 4 f 4(^+1/2) 36»

¿(f) ^ — de,

к2

4к

откуда следует (4,11),

(4.13)

(4.14)

□

Лемма 4.5. Пусть г € (0,^), V € С к € Ъ. Тогда для любого т € 0(3), такого что тВг С Вж, имеют .место равенства,

S„,k(rQdl(£) = 2к sin г pu,o(r)Su,k(то)

(4.15)

Sv,k (rC)dC = 2к sinr pVíi(r)Sv,k (то).

' Br

Доказательство. По формуле Пиззетти имеем (см. [11, формула (20)] и (3.5))

í SVík(r0dl(0 = 2TT sinr х

X

(

sv,k (то) +

L(L + 2)...(L + (m — 1)m)Sv>k(то) /. r

m=1

(m!)2

= 2к sin r Su,k (то) ( 1+

(»1)'")

(i

+

^ (—v(v + 1))(2 — v(v + 1))...(m(m — 1) — v(v +1)) / r\2m

m=1

( m!) 2

(sin 2 Г)

„ . ~ , Г(т — и)Г(т + У+1) (. r\2m

2K smrS-k(T0)^ r(—f )Г(и + 1)(m!)2 lsin ~2)

m=0

2к sin r su,k (to)F I — u, v + 1

li1: H )2)

(4.16)

2

сов

1

0

S

r

s

I•

Теперь равенство (4,15) следует из (3,4) и определения функций Лежапдра, Далее, используя (4,15) и (4,1), получаем

¡•г

Sv,k(т№= I SVtk(rOdl(Odp

' Br

2n Sv>k(то) sinp pVfl{p)dp =

.70

= 2nSVtk(to) sinp (D-ipVti)(p)dp =

0

rr d

"V

2ttSVtk (to) ~t(pv,i (p)sinp) dp Jo dp

= 2n sin гpv>i(r) Sv>k(тo). Это завершает доказательство леммы 4,5, □

Лемма 4.6. Пусть f Е C^(S'). Тогда для 'того чтобы, f Е Ur(S'), необходимо и достаточно, чтобы, для любого к Е Z имело .место разложение

f (£) = Е a-kSu,k(0, ^Е S',

veN (г)

где av>k Е Cu

&v,k = 0(v-a) при V ^ +ж для любого а > 0. (4-17)

Утверждение леммы 4,6 является частным случаем результата, установленного ранее Вит, В, Волчковым [4, теорема 16,6(H)],

В соответствии с теоремой П, Унгара о сферических средних [7], если функция f Е C (S2) имеет нулевые интегралы по всем геодезическим окружностям радиуса г и P¡ (cos г) = 0 для любого I Е N, то f = 0,

Следующий результат является уточнением указанного факта.

Теорема 4.1. Пусть f Е C^(S'). Тогда, для, того чтобы, функция f имела нулевые интегралы по всем, геодезическим, окружностям радиуса г на, S2, лежащим в необходимо и достаточно, чтобы, для любого к Е Z им,ело .место разложение

f (£) = Е a-'kSu,k(О, ^Е S', (4.18)

vez (г)

где коэффициенты, av,k удовлетворяют условию (4.17).

окружностям радиуса г на S2, лежащим в S', равны нулю. По лемме 4.6 имеем

f (£) = Е a-kSu,k(О, ^Е S', (4.19)

veN (г)

где коэффициенты av,k удовлетворяют условию (4.17). В силу формулы (3.7) интегралы от /k по всем геодезическим окружностям радиуса г на S2, лежащим в S', также равны нулю. В частности, поскольку Sn-r = Sr ((0, 0, -1)), то

/ fk (at 0 di (О = 0 при Щ < г,

J S-K-r

где

at£ = (6,6 cos t + £3 sin t, - & sin t + £3 cos t).

o JSp

Записывая это соотношение для правой части в (4,19) и используя леммы 4,2, 4,5, находим

^ (- cos r)p„,\k\(t) = 0, \t\ <r. (4.20)

ueN (г)

Применяя к обеим частям (4,20) дифференциальный оператор D—... D-\k\+iD-\k\ (см, (4,9) и (4,1)), получаем

у^ av,kPv(- cosr)Pv,o(t) = 0, \í\ < г.

ueN (г)

Отсюда на основании (4,9) и леммы 4,4 делаем вывод, что

av,kPv (- cos г) = 0, veN (г). (4.21)

Учитывая формулу (3.2), равенство (4.21) можно переписать в виде

av,k sin(^ v)Qv (cos г) = 0, v e N (г).

Тогда (см. лемму 4,3(iii))

av>k sin(^ v) = 0, veN (г),

и, значит, av>k = 0 при v e N (г), ve N. Ввиду (4.19) это доказывает необходимость в теореме 4.1.

Докажем достаточность. Пусть при любом к e Z имеет место разложение (4.18). Тогда из (4.15) и леммы 4,3(i) заключаем, что каждый коэффициент Фурье fk имеет нулевые

интегралы по всем геодезическим окружностям радиуса г на S2, лежащим в S'. Следова-" □

5. Доказательство теоремы 2.1

Пусть функция f e Судовлетворяет условиям теоремы 2.1. Тогда из первого условия теоремы 2.1 и теоремы 4.1 следует, что для любого к e Z имеет место представление (4.18), для коэффициентов которого справедлива оценка (4.17). Далее, в силу второго условия теоремы 2.1 из формулы (3.7) получаем

/ fk(atC) = 0 при \í\ <ж - г. (5.1)

J Br

Используя (5.1), (4.18), (4.16) и лемму 4.2, находим

^Т au,kPu,i(r)Pu,\k\(t) = 0, \t\ <n - г.

vez (г)

Отсюда (см. доказательство теоремы 4.1)

av,kPu,l(r) Ри,0 (t) = 0, \t\ <П - Г,

vez(r)

что равносильно равенству

^Т au,kPu,i(r) pv,o(t) = 0, \t\ <n -г

v ez('K-r)

(см. лемму 4.3(i)). Теперь лемма 4.4 показывает, что

аи,кРи,1 (r) = 0, veZ (г).

Но по лемме 4.3(ii) равенства Ри,о(г) = 0 и pv,i(r) = 0 не могут выполняться одновременно. Поэтому au,k = 0 при v e 2(г) Это означает, что все fk = 0, откуда f = 0. Таким образом, теорема 2.1 полностью доказана.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. С.A. Berenstein, R. Gay A local version of the two-circles theorem // Israel J. Math. 55. 1986. P. 267-288.

2. Волчков В.В. Решение проблемы носителя для некоторых классов функций // Матем. сб. 188:9. 1997. С. 13-30.

3. V.V. Volchkov Integral geometry and convolution equations. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht (2003).

4. V.V. Volchkov, Vit.V. Volchkov Harmonic analysis of mean periodic functions on symmetric spaces and the Heisenberg group. Springer-Verlag, London (2009).

5. V.V. Volchkov, Vit.V. Volchkov Offbeat integral geometry on symmetric spaces. Birkhauser, Basel (2013).

6. Волчков Вит. В. Об инъективности локального преобразования Помпейю на сфере // Матем. заметки. 81:1. 2007. С. 59-69.

7. P. Ungar Freak theorem about functions on a sphere //J- London Math. Soc. 29:2. 1954. P. 100103.

8. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. М.: Наука. (1973).

9. Е. Badertscher The Pompeiu problem on locally symmetric spaces //J- Analyse Math. 57. 1991. P. 250-281.

10. Риекстынып Э.Я. Асимптотические разложения интегралов. Рига: Зинатне. (1974).

11. С.A. Berenstein, L. Zalcman Pompeiu's problem on spaces of constant curvature // J. D'Analyse Math. 30. 1976. P. 113-130.

Наталья Петровна Волчкова,

Донецкий национальный технический университет, ул. Артёма, 58,

83000, г. Донецк, Украина E-mail: volna936@gmail. com

Виталий Владимирович Волчков, Донецкий национальный университет, ул. Университетская, 24,

83001, г. Донецк, Украина E-mail: volna936@gmail. com