Проблема деконволюции для индикаторов отрезков Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математические заметки СВФУ Июль—сентябрь, 2019. Том 26, № 3

УДК 517.444

ПРОБЛЕМА ДЕКОНВОЛЮЦИИ ДЛЯ ИНДИКАТОРОВ ОТРЕЗКОВ Н. П. Волчкова, Вит. В. Волчков

Аннотация. Пусть ... , — семейство распределений с компактными носителями на вещественной оси. Восстановление функции (распределения) f по известным сверткам f * ... , f * ^п называется деконволюцией. В работе рассматривается проблема деконволюции для п = 2 и ^ = Хг^, 3 = 1, 2, где — индикатор отрезка [—т^]. Эта задача является корректно поставленной лишь при условии несоизмеримости чисел т 1 и Г2. Основной результат работы дает формулу обращения оператора f —> (/ * хГ1 , / * ХГ2) в указанном случае.

Б01: 10.25587/8УРи.2019.47.12.001 Ключевые слова: уравнения свертки, формулы обращения, теорема о двух радиусах, распределения с компактными носителями.

§ 1. Введение

Хорошо известно, что непрерывная на К функция, имеющая два несоизмеримых периода, постоянна. Отсюда следует, что если функция / € С (К) имеет нулевые интегралы по всем отрезкам длины 2тх и 2т2 на К, и т 1

— № — множество рациональных чисел), (1)

т 2

то / = 0. Пример функции /(ж) = 8ш(Аж) при подходящем А € К показывает, что указанное условие на т\/т2 является необходимым. Таким образом, оператор

(г 1 Г2 \

у1/ (ж - г)(И, I / (ж - , ж € К, / € С (К), (2)

— Г1 —Г2 /

инъективен тогда и только тогда, когда число т\/т2 иррационально. Это означает, что задача о восстановлении функции / по известным значениям / имеет единственное решение лишь при выполнении условия (1). Более общая задача (так называемая проблема деконволюции) связана с заменой интегралов в (2) свертками / * , / * где ц2 — заданные распределения на К с компактными носителями. При этом оператор & соответствует случаю, когда ^^ = Хг3- — индикатор отрезка [—Tj ,т^ ], ] = 1, 2. Подобными вопросами и различными их обобщениями на многомерные пространства занимались многие авторы (см. [1-4] и библиографию к этим работам). В частности, в [2] получен следующий результат.

© 2019 Волчкова Н. П., Волчков Вит. В.

Теорема А. Пусть Б — натуральное число, не являющееся точным квадратом, гх = I, г2 = \[Т), f^j = Хг- .,

Ш = = (3)

— преобразование Фурье функции , ] = 1, 2. Пусть / € (СП Ь2)(М) и ф — функция класса С°°(11) с носителем в интервале ( —(1 + л/15), 1 + л/15) такая,

что ф > 0 и $ ф(г)<И = 1. Тогда

к

/ * ф = (/ * ^х) * VI,- + (/ * ^2) * ^2,0, (4)

где _

= Е + (5)

1: Wh{{-i)n+1+emt)xrM- (6)

nez\|o} P2V 7 7

Множество чисел вида ^r-, n G Z \ {0}, совпадает с множеством нулей функции /j. Поскольку т1/т2 является квадратичной иррациональностью, из теоремы Лиувилля о приближении алгебраических чисел рациональными дробями [5, § 46] следует, что существует константа c > 0 такая, что если /j (Z) = 0, то

c

1Ы01 > ï^jâ, k,j = 1,2, kjtj.

Поэтому в силу убывания преобразования Фурье ф, ряды (5) и (6) сходятся даже для функций ф G C4(R). Учитывая, что f * ф сходится к f в смысле распределений, когда ф стремится к S -функции, с помощью (4) получаем процедуру восстановления f по известным функциям f * /.

Метод доказательства теоремы A основан на идеях Беренстейна и Ижера, связанных с нахождением подходящих решений vi, v2 аналитического уравнения Безу

Ai(C )й(С )+ /2(С )ï2 (С ) = 1 (7)

(см. [1,6]). По теореме Хёрмандера [7] для заданных распределений /1,/2 на R с компактными носителями уравнение (7) имеет решения v1, v2 в том же классе распределений тогда и только тогда, когда существуют положительные константы A, B и натуральное число N такие, что

(ЫС)|2 + 1/2(С)|2)1/2 > Ae-B|Imz|(1 + |Z|)-N, с G C. (8)

Для /j = Xr-j условие (8) сводится к существованию положительных констант c и N таких, что

т m c m „

--- -GQ. 9

т2 n |n|N n

Как отмечено в [2], аналог теоремы А справедлив и в случае, когда тх/т2 плохо приближается рациональными дробями в смысле оценки (9). Однако для иррациональных отношений тх/т2, не удовлетворяющих условию (9), методы из [1,2,6] становятся неприменимыми. Цель данной работы — получить формулу обращения преобразования / ^ &/ для произвольных тх/т2 ( (Ц>.

§ 2. Формулировка основного результата

Пусть 'З'(М) и §'(М) — пространства распределений и распределений с компактными носителями на М соответственно. В отличие от (3) нам удобнее определить преобразование Фурье распределения Т Е §' (М) равенством

Т(г) = ^(Т)(г) = (Т, е-йг>, г Е С. (10)

Множество всех нулей целой функции Т обозначим через ££(Т). Для Т = хг из (10) получаем

=-—, 2Г{ъ) = \—-.п£1.,п± 0 . И

г I т )

Пусть

* С) = (* ■- £) (* ■- (* - , = * (|) X,. (12)

Тогда в силу формулы

& ^р (г) = р{гг)Т(г) (р — алгебраический многочлен) (13)

имеем

=рг{1г)х;{г) = 2рг{1г) (14)

2>(*)=1™\ и/ЛЛМ (15)

\ЧгУ I т /пех\{о| \4т' 2т' 4т]' причем все нули £г простые. Кроме того,

& (£) П ^ (£) = 0 ^ (16)

Для Л Е ^ положим

= Ш ((1 " ^^^ (17)

1

2т сов(тЛ)рг (г

если Хг(Л) = 0, и

(18)

если рг(гЛ) = 0, где

Основным результатом данной работы является

¿(г) = Щ. (19)

г — гЛ

Теорема 1. Пусть % £ Q, / G {Ж). Тогда

_! ÍPrÁÍ)(Zr2,л2 *(/*XrJ)

.. а2

(in ) (ír2 )

F y

^ ^ еДАх)

РъШ&иЪ *if*Xr2))\ (20)

£2 (A2)

где ряд (20) сходится безусловно в пространстве @'(R).

Равенство (20) восстанавливает распределение f по известным сверткам f * хГ1 и f * Хг2 (см. (12), (14)—(19)). Таким образом, теорема 1 дает полное решение проблемы деконволюции для ¡j = xrj, j = 1, 2. Относительно других аспектов теории уравнений в свертках см. [4, гл. 3.1-3.4; 8, гл. 16; 9].

§ 3. Вспомогательные утверждения

Пусть T G S'(К), suppT — носитель распределения T,

r(T) = inf {r > 0 : supp T С [x — r, x + r] при некотором x G R}.

Далее будем считать, что

r(T) > 0, suppT С [—r(T),r(T)], J°(T) = 0 и T'(A) = 0 VA G J°(T). (21)

По теореме Пэли — Винера — Шварца [8, гл. 7, теорема 7.3.1] T является целой функцией экспоненциального типа и

|T(z)| < ci(1 + |z|)c2 er(T)| Im z|, z G C, (22)

где c1 > 0 и c2 G R не зависят от z. Кроме того, для любого A G (Т) существует единственное распределение T\ G ¿?'(R) такое, что r(T\) = r(T) и

Tx(z) = ^ T(z)-, zGC,z^X. (23)

T'(A)(z-A)

Оценка (22) показывает, что целая функция T принадлежит классу C (см. [10, лекция 16]). Из свойств функций класса C следует, что индикаторной диаграммой T является отрезок [—ir(T),ir(T)] мнимой оси. Для почти всех в G [—п,п] справедливо равенство

ln lT(re10)l

lim —-¿i = r(T)I sin в\ (24)

r—r

(см. [10, лекции 16, 17; 3, разд. 6.1, 8.2]).

Далее, пусть z G C. Для любого A G (T) по принципу максимума модуля имеем л

TT(z) \ |TT(z)|, если |z — A| > 1,

z — X ~ I max |f(C)|, если U — AI < 1. I |C-A| = 1

Отсюда

\Tx(z)\ < -к- max |Г(С)|. (25)

|ТТ'(А)| IZ—z|<2

Ясно также, что для любых Л, a Е (Т)

Л , ч i 0, если Л = a, , ч

вд= ' , (26)

[ 1, если Л = a Лемма 1. Пусть Т удовлетворяет условию (21),

I Im Л| 1

SUP ^-гт^—гг < оо и > —- < оо. 27)

^)1 + |ReA| л^)™1

Тогда

Е Тл = S, (28)

леЗ* (Т)

где ряд (28) сходится безусловно в пространстве 3'(R).

Утверждение леммы 1 является частным случаем предложения 8.9, полученного В. В. Волчковым в работе [3]. Для полноты изложения приведем доказательство разложения (28) при сформулированных условиях на Т.

Доказательство леммы 1. Пусть f^(R) — пространство финитных бесконечно дифференцируемых функций на R, ? Е 3(R). Определим функцию ф Е CTO(R) равенством

+ж

фЦ) = 7Г / ФУ** Ах. 2п J

—ж

Тогда

ф = ? и sup |tmф(к) (t)I < то для любых k,m Е {0,1, 2,... }. (29)

teR

Учитывая (29), (22), (23), имеем

+ж

(Тл,?) = (Тл,ф) = (ТА,Ф> = J Tл(í)ф(í) dt.

— Ж

Используя это равенство и (25), получаем

+ж

\(Т\,р)\ < — [ \W\ max |f(C)|di. |ТГ'(Л)| J К—1|<2'

—ж

Оценки (22), (29) и второе условие в (27) показывают, что ряд (28) сходится безусловно в пространстве @ '(R) к некоторому распределению f Её '(R). При этом по определению преобразования Фурье

f(z) = ]Т Тл(г), z Е C, (30)

лез* (т)

поскольку suppTA С [—r(T),r(T)] для любого Л Е (Т). Рассмотрим функцию

h(z) = /(j ~ 1, г £ С. T(z)

В силу соотношений (26), (30) и четвертого условия в (21) функция h определена корректно и является целой функцией не выше первого порядка. Из (30), (23) и (27) видно, что существует е Е (0, п/2) такое, что

Т(гег0)

lim 1} > = 0 (31)

r—rT(rei^)

для произвольного в Е ( — п, п), удовлетворяющего неравенству |п/2 — |в|| < е. Из (31), (24) и принципа Фрагмена — Линделефа следует, что функция h ограничена на C. Кроме того, lim h(rei0) = 0 при некотором в Е (—п,п).

r—>+^

Отсюда по теореме Лиувилля заключаем, что h = 0. Значит, / = 1, т. е. f = 5. Лемма 1 доказана. □

Лемма 2. Пусть Л Е 2£(Т). Тогда

= ^-, (32)

e(A)(.-A)

т. е. (£r)л =

Доказательство. Сначала предположим, что xr(Л) = 0, так что

sin(^) = 0. (33)

По формуле Эйлера это соотношение равносильно равенству

e2irA = 1. (34)

Используя (10), (13) и (17), имеем

Г

Pr(iz) f ^ _ eiX{t+r))e-itz dt

2r cos(^)pr (¿Л)

r

pr(iz) ^2 sin(rz) elXr ^ei(x-z)r _e-i(x-z)r^\

--- —

2rcos(^)pr(¿Л) \ z ¿(Л — z)

Учитывая (34), отсюда находим

-—pr(iz) /2sin(rz) 2sin(rz) <ir,x{z) = —--^-r--T—--h

2r cos(^)pr (¿Л) \ z Л — z

Л pr (¿z)sin(rz)

r cos(^)pr (¿Л) z(z — Л)

С другой стороны, поскольку

2 ( 8Ш(г^) — г соэ(гг)--

2 у 2

из (33) получаем

2Г со8(гЛ)рг (¿Л)

. (37)

I/ 2 / 8Ш(г^) \ = грг(*2)Хг(г) + - I г сое(гг)---- I рг(гг), (36)

ё(А)

Поэтому (см. (14))

Сг (2) Л 2рг (¿2)8т(гг)

С(А)(г-Х) 2гсоз(гА)рг(гА) 2(2 - А)

Л рг (¿2)зт(г2)

Г 008(гЛ)рг (¿Л) 2(2 — Л) Сравнивая (35) и (37), приходим к равенству (32) в случае, когда Хг(Л) = 0. Пусть теперь рг(гЛ) = 0. Тогда в силу (18), (13), (14) и (19) имеем

Кроме того, условие рг(гЛ) = 0 влечет равенство

А _ 1

2^ш(гА)р;(а)

(см. (36) и (14)). Отсюда получаем формулу (32) в случае рг(¿Л) = 0, что завершает доказательство леммы 2. □

Лемма 3. Пусть Л1

е 2?(£Г1), Л2 е 2?(Сг2). Тогда

А2 * С

(А2 - А1)4п,А1 * 4г2,А2 = -г- /Л .---Г- /Л Ч •

Сг1 '(Л1) Сг2 '(Л2)

Доказательство. Из леммы 2 и формулы Бореля для преобразования

Фурье свертки имеем

м \ , с \( \ (А2 - А1) , , А2 - А1 Сп.А! *4г2,А2 2 = -г- л , ' 7-ГТ7-гт- 39

Сг1 '(Л1)Сг2 '(Л2 ) — Л1)(2 — Л2 )

Аналогично преобразование Фурье правой части в (38) равно

£ДА1) £'(Аа)

_ СГ1 (2)СГ2 (2) СГ2 )СГ1 )

Сг1 '(Л1)Сг2 ' (Л2 )(2 — Л2 ) Сг2 '(Л2)Сг1 '(Л1)(2 — Л1)

СГ1 (¿)СГ2 (2) ( 1 1

Сг1 ' (Л 1 )Сг2 '(Л2) V2 — Л2 2 — Л1,

(Л2 — Л1) С г1 )Сг2 )

(г-М)(г-\2У (4°} Сравнивая (39) с (40) и используя инъективность преобразования Фурье, получаем утверждение леммы 3. □

§ 4. Доказательство теоремы 1

Поскольку нули вещественны (см. (15)), имеем

|ImA|

sup -1-г = 0.

лея- (¿Г) 1 + 1 Re А| Кроме того, если £Г(А) = 0, |А| >7, то Хг(Х) = 0 и

2r cos(rA) , Л, £ДА) =--^Рг(г А)

(см. (11), (36)). Следовательно (см. (33)),

V 1 у- |А|

- |£ДА)| 2r|cos(rA)||Pr(a)|

= — У |A|

2г ^ \Рг(гХ)\ < °°'

Отсюда и из лемм 1, 2 получаем

Е ,Л1 = 5, Е ^г2,л2 = 5 (41)

Aie2* (¿П) Л2 еЗ1 (¿Т2)

Докажем, что

Е Е ^,Л1 * Сг2,Л2 = 5, (42)

Л1 е^ (¿Г1) Л2 езт (¿Г2)

где ряд (42) сходится безусловно в пространстве @'(К). Пусть ^ £ Из (17), (18), перестановочности оператора дифференцирования со сверткой и определения производной распределения имеем

,, , ((1 - * (1 - е^+кУ)Хн(1), (ргрд)(-<*М)у)

<Лг,А </>; 4гДсоз(гА)соз(ДМ)рг(и)ряМ '

если ХГ(А) = 0, Хя(м) = 0,

и

г' 4г сов(гА) 8ш(Д^.)рг(гА)рд(г^) '

если Хг(А) = 0, ря(^м) = 0. На вещественной оси выполнены оценки

|(1 - егА(*+Г))хг(¿) * (1 - е^+д))хя(4)| < 8 ш1п(г, Д>, (45)

|(1 - егА(*+г))хг(4) * Хд(*)| < 4ш1п(г,й}. (46)

Кроме того, как и выше,

^ I соз(гг/)||«г(гг/)| ~ ^ |Рг(гг/)1 < <"47''

(хГ) и^ л ^ез1 (хГ Г

Из (43)-(47) следует, что

Е ( Е * С^2,А2 ^Я) <

а^З1^) А2^(¿Г2)

Значит (см., например, [11, гл. 1, теорема 1.24]), ряд в (42) сходится безусловно в пространстве ^'(М). При этом (см. (41))

Е Е (Сп ,А1 * СГ2 ,А2

А1^(¿П) А2 (¿Г2)

= Е ( Е (с А2 (СГ1,А1 (х), + х))) А1^(¿Г1) А2 (¿Г2)

= = Е (СГ1,А1 (х),^(х)) = <^(0) А1^(¿П )

что доказывает (42).

Сворачивая обе части (42) с / и учитывая раздельную непрерывность свертывания / е 0'(М) с д е <?'(М), (38) и (16), находим

, = 1 (£г2,а2 * (/ *£п) _ Сп.А! * (/*&2Л

~л1б^)^)Аа-А1 V У

Наконец, используя (48), (12) и коммутативность оператора свертки с оператором дифференцирования, приходим к формуле (20). Таким образом, теорема 1 доказана.

Авторы благодарят рецензента за полезные замечания, способствовавшие улучшению изложения статьи.

ЛИТЕРАТУРА

1. Berenstein C. A., Yger A. Le probleme de la deconvolution //J. Funct. Anal. 1983. V. 54. P. 113-160.

2. Casey S. D., Walnut D. F. Systems of convolution equations, deconvolution, Shannon sampling, and the wavelet and Gabor transforms // SIAM Review. 1994. V. 36, № 4. P. 537-577.

3. Volchkov V. V., Volchkov Vit. V. Harmonic analysis of mean periodic functions on symmetric spaces and the Heisenberg group. London: Springer-Verl., 2009.

4. Volchkov V. V. Integral geometry and convolution equations. Dordrecht: Kluwer, 2003.

5. Бородин А. И. Теория чисел. Киев: Выща школа, 1992.

6. Berenstein C. A., Yger A. Analytic Bezout identities // Adv. Appl. Math. 1989. V. 10. P. 5174.

7. Hormander L. Generators for some rings of analytic functions // Bull. Amer. Math. Soc. 1967. V. 73. P. 943-949.

8. Хёрмандер Л. Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными, Т. I, II. М.: Мир, 1986.

9. Волевич Л. Р., Гиндикин С. Г. Обобщенные функции и уравнения в свертках. М.: Наука. Физматлит, 1994.

10. Levin B. Ya. (in collaboration with Lyubarskii Yu., Sodin M., Tkachenko V.) Lectures on entire functions. Providence: Amer. Math. Soc., 1996. (Transl. Math. Monogr., V. 150).

11. Ильин В. А., Садовничий В. А., Сендов Бл. Х. Математический анализ, Т. II. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1987.

Поступила в редакцию 12 декабря 2018 г. После доработки 4 августа 2019 г. Принята к публикации 3 сентября 2019 г.

Волчкова Наталья Петровна

Донецкий национальный технический университет, ул. Артема, 58, Донецк 83000, Украина volna936@gmail•com, volchkova.n.p@gmail.com

Волчков Виталий Владимирович Донецкий национальный университет, ул. Университетская, 24, Донецк 83001, Украина volna936@gmail.com

Математические заметки СВФУ Июль—сентябрь, 2019. Том 26, № 3

UDC 517.444

DECONVOLUTION PROBLEM FOR INDICATORS OF SEGMENTS N. P. Volchkova and Vit. V. Volchkov

Abstract: Let ßi,..., ßn be a family of compactly supported distributions on real axis. Reconstruction of a function (distribution) f by given convolutions f * ßi,... ,f * ßn is called deconvolution. We consider the deconvolution problem for n = 2 and ßj = Xr3-, j = 1, 2, where Xr3- is the indicator of segment [—rj, rj]. This problem is correctly settled only under the condition of incommensurability of numbers ri and r2. The main result of the article gives an inversion formula for the operator f ^ (f * xri, f * Xr2) in the indicated case.

DOI: 10.25587/SVFU.2019.47.12.001

Keywords: convolution equations, inversion formulas, two-radii theorem, compactly supported distributions.

REFERENCES

1. Berenstein C. A. and Yger A., "Le probleme de la deconvolution," J. Funct. Anal., 54, 113—160 (1983).

2. Casey S. D. and Walnut D. F., "Systems of convolution equations, deconvolution, Shannon sampling, and the wavelet and Gabor transforms," SIAM Rev., 36, No. 4, 537—577 (1994).

3. Volchkov V. V. and Volchkov Vit. V., Harmonic Analysis of Mean Periodic Functions on Symmetric Spaces and the Heisenberg Group, Springer-Verl., London (2009).

4. Volchkov V. V., Integral Geometry and Convolution Equations, Dordrecht, Kluwer (2003).

5. Borodin A. I., Number Theory, Vysha Shkola, Kiev (1992).

6. Berenstein C. A. and Yger A., "Analytic Bezout identities," Adv. Appl. Math., 10, 51—74 (1989).

7. Hormander L., "Generators for some rings of analytic functions," Bull. Amer. Math. Soc., 73, 943-949 (1967).

8. Hormander L., The Analysis of Linear Partial Differential Operators, Vols. I, II, SpringerVerl., New York (1983).

9. Volevich L. R. and Gindikin S. G., Generalized Functions and Convolution Equations [in Russian], Nauka, Moscow (1994).

10. Levin B. Ya. (in collaboration with Lyubarskii Yu., Sodin M., and Tkachenko V.), Lectures on Entire Functions, Amer. Math. Soc., Providence, RI (1996) (Transl. Math. Monogr.; 150).

11. Ilyin V. A., Sadovnichiy V. A., and Sendov Bl. Kh., Mathematical Analysis [in Russian],

© 2019 N. P. Volchkova and Vit. V. Volchkov

Mosk. Gos. Univ., Moscow (1987).

Submitted December 21, 2918 Revised August 4, 2019 Accepted September 3, 2019

Natalia P. Volchkova Donetsk National Technical University, 58 Artyom Street, Donetsk 83000, Ukraine volna936@gmail•com, volchkova.n.p@gmail.com

Vitaly V. Volchkov Donetsk National University,

24 Universitetskaya Street, Donetsk 83001, Ukraine volna936@gmail.com