CC BY
10УДК: 517.935.7 MSC2010: 47E05, 47E06
ЛОКАЛЬНЫЙ ВАРИАНТ ПРОБЛЕМЫ ПОМПЕЙЮ ДЛЯ ПРАВИЛЬНОГО СИМПЛЕКСА
© Н. С. Иванисенко
Донецкий национальный университет факультет математики и информационных технологий ул. Университетская, 24, Донецк, 83001, Украина e-mail: Ivanisenko.n.s@gmail.com
A local version of the Pompeiu problem for regular simplex.
Ivanisenko N. S.
Abstract. Let V be a domain in n > 2. A set A is a regular simplex, whose edge is л/2, in four-dimensional space. Some problems about functions is locally integrable on a set V with vanishing integrals over all images AA с V, A e M(n) of a fixed compact set A с are studied in the present paper. If the only function is locally integrable on a set V and satisfying this condition is f = 0 then the set A is called a Pompeiu set in V.
Extremely interesting are local versions of the Pompeiu problem, when a function f is defined on a bounded domain V с and JXA f (ж) =0 is required to hold only when AA с V. In this case the object is to determine conditions on the set A under which have the equality JXa f (ж) = 0 implies that f = 0 on V.
We will say that a compact set A с has the local Pompeiu property with respect to the domain V if every function f is locally integrable on a set V have the equality Jxa f (ж) = 0, for all AA с V, A e M(n) vanishes almost everywhere in V. Such set A is also called a Pompeiu set in V. We will denote by Pomp(V) the collection of all Pompeiu sets in the domain V.
Of considerable interest is the case when V is the ball Br с r > r*(A) (where r*(A)
is the radius of the smallest closed ball containing the set A). One can in this case show that for a broad class of sets A the condition A e Pomp(Br) occurs when the size of Br is sufficiently large compared with A. The following problem arises in this connection. The following problem arises in this connection.
Problem. Let A с be a compact set such that A e Pomp(Br) for some r > r*(A). Find R(A) = infr > r*(A) : A с Pomp(Br) and investigate when the value R(A) is attainable, that is, A с Pomp(Br) for r = R(A).
The questions concerning the local version Pompeiu's problem are investigated in this paper. The case, under considerations is investigation of a regular simplex in the fourth dimension space. A number of results similar to Stokes's formula are obtained, which allow to calculate integral from some differential operator, which working on set functions though values, similar to integral to a subset or border of a simplex of smaller dimension. In particular, the case when these subset
are faces and volume figures of the simplex is considered. Some estimates Pompeiu's radius were obtained earlier. In this paper estimates are considerably refined. These formulas help to improve the existing evaluation Pompeiu's radius.
Also we consider the problem about minimal radius of a ball on which A is a Pompeiu's set. A assessment Pompeiu's radius, for this regular simplex, have received.
Keywords: a local version Pompeiu's problem, Pompeiu's radius, regular simplex, locally integrable function, four-dimensional space.
Введение
Далее в работе через обозначается вещественное евклидово пространство размерности п ^ 2 с евклидовой нормой | • через М(п) группа изометрий , через МО;(Л,В) = (Л € М(п): ЛЛ С В} - часть группы движений, оставляющая Л внутри В, и В и = (х € Ега: |х| < К} - шар радиуса К.
Компактное множество Л С называется множеством Помпейю в В, если из того, что комплекснозначная локально суммируемая функция в В (/ € ¿¿ос(В)), для которой
У /(х)^х = 0
АА
для всех Л € МО;(А, В), следует, что функция / равна нулю почти всюду в В.
Классическая проблема Помпейю состоит в описании класса Рсшр(Кп) таких множеств Л и была изучена многими авторами (обзор [1] с обширной библиографией). Ряд достаточных условий принадлежности Л € Ротр(Кп) получили: румынский математик Помпейю в 1929 году [2, 3, 4], Николеско в 1929 году [5, 6], Христов в 1943 году [7, 8, 9], Илиеф в 1946 году [10, 11, 12] и Чакалов в 1949 году [13].
Легко видеть даже на плоскости К2, что не каждое множество имеет свойство Помпейю. В самом деле, пусть Ви = (х € К2 : |х| < К}, К > 0 — фиксировано и /(х1,х2) = ег(а1ж2+«2х2). Тогда, поскольку ЛВи является кругом радиуса К с центром в точке у € К2, координаты которой зависят только от Л € М(2), интеграл (1) сводится к
[ е^(«1Х2+«2Х2)^х = ^^КЫк^2^2), 1 |а|
где Л — функция Бесселя первого рода, |а |2 = а2 + Отсюда делаем вывод, что круг не является множеством Помпейю в К2, поскольку всякий раз, когда К|а| — нуль функции Бесселя получаем, что существует ненулевая функция / € Сте(К2), удовлетворяющая (1).
Для многих конкретных случаев известен ряд результатов, с помощью которых можно определить, является А множеством Помпейю или нет [14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23]. Отметим следующую теорему:
Теорема Вильямса [24, 25]. Пусть А — открытое ограниченное подмножество Ега с липшицевой границей, гомеоморфной сфере, и связным дополнением. Тогда если А Е Рошр(Ега), то граница А является вещественно-аналитическим подмногообразием в Ега.
Этот результат, в частности, показывает, что многие множества А с особенностями на границе (например, многогранники) принадлежат Рошр(Шп).
В случае множества А с вещественно-аналитической границей ситуация сложнее. Примером множества А С Рошр{Ша) для любого п ^ 2 является эллипсоид, отличный от шара.
При п ^ 3 классу Рошр{Ша) принадлежит также замыкание внутренности тора [26].
В 2005 году В. В. Волчков получил примеры множеств Помпейю, граница которых не обязательно липшицева [27]. Одним из таких множеств является "снежинка Коха".
В случае, когда некоторое множество не обладает свойством Помпейю, наличие ненулевой функции с условием (1) дает возможность получить нетривиальные оценки плотности укладки произвольного компакта в Кга множества вида АА, Л Е М(п). Такие оценки получил Б. Д. Котляр в работах [28, 29]. Если же А имеет свойство Помпейю, то в силу теоремы Винера [30] возможна аппроксимация в Ь1(Кга) линейными комбинациями индикаторов множеств вида А А, А Е М(п).
Если А Е Рошр(Кга), возникает вопрос, при каких значениях К компактное множество будет принадлежать классу Рошр(Вд)? В связи с этим в работе [31] поставлена следующая
Проблема (4.1.1 из [31], локальный вариант проблемы Помпейю). Для данного А найти М(А) = Ы{К > 0 : А Е Рошр(Бд)}.
Ряд результатов, содержащих оценки сверху для величины М(А), получен К. А. Беренстейном и Р. Гэем [32, 33], а также В. В. Волчковым [31].
В частности, для правильного треугольника со стороной а известно значение величины М(А) = , для правильной треугольной пирамиды радиус Помпейю М(А) = а\/3. Ранее для пространства размерности больше 3, для симплекса была получена верхняя оценка радиуса Помпейю. В данной работе уточнена оценка величины М(А) для правильного симплекса в четырехмерном пространстве.
1. Вспомогательные конструкции
В данной работе рассматривается правильный симплекс в4 в К4 с вершинами ¿1(1, 0, 0, 0), ¿2(0,1, 0, 0), *з(0, 0,1, 0),^(0, 0, 0,1), ^((1 — л/б)/4, (1 -/б)/4, (1 - /б)/4, (1 - /б)/4).
Введем необходимые дифференциальные операторы: = д/ду1 - д/ду2, 52 = д/ду1 - д/дуз, ^3 = д/ду1 - д/ду4, 54 = д/ду2 - д/дуз, 55 = д/ду2 - д/ду4, 56 = д/дуз - д/ду4,
57 = ((/б + 3)/4) * (д/ду1) + ((/5 -1)/4) * (д/ду2) + ((/б -1)/4) * (д/дуз) + ((/б -1)/4) *
* (д/дУ4) ,
58 = ((/б -1)/4) * (д/ду1 ) + ((/б -1)/4) * (д/ду2) + ((/б -1)/4) * (д/дуз) + ((/б+3)/4) *
* (д/дУ4).
Для формулировки теоремы 1 рассмотрим следующие операторы:
Я2,з;5 = /о1 [((-51Ы5(-52)56(-?з)/)(((/б - 1)/4)х2 + ((/б - 1)/4)хз + (1 - /б)/4, ((/б + 3)/4)х2 + ((/б - 1)/4)хз + (1 - /б)/4, ((/б - 1)/4)х2 + ((/б + 3)/4)хз + + (1 - /б)/4, ((/б - 1)/4)х2 + ((/б - 1)/4)хз + (1 - /б)/4)]^хз Н1 = -54*5658, Н = 5!55* (?2* (58 + 5з*) + 5658) - (58 + 5**) + ?4*?5*5658, Нз = 51555(-52*(58 + 5з) - 5658), #4 = 515452(58 + 5з*), В1 = 57Я2А5.
Необходимые дифференциальные операторы для формулировки теоремы 2:
Я2Д4,5 = /о1 ¿х2 /о1-Х2 ¿хз /Т"3((-5?)5455(-52)565з/)[((/б - 1) 4)х2 + + ((/б - 1)/4)хз + ((/б - 1)/4)х4 +(1 - /б)/4, ((/б + 3)/4)х2 + ((/б - 1)/4)хз + + ((/5-1)/4)х4 + (1-/б)/4, ((/5-1)/4)х2 + ((/б+3)/4)хз + ((/5-1)/4)х4 + (1-/б)/4, ((/б - 1)/4)х2 +((/б - 1)/4)хз + ((/б + 3)/4)х4 + ((1 - /5)/4)]Лж4, Н = 54455556, -Н2 = -5155(-52 + 56) - 5154452 - 5445556, Нз = 5*55(-52 + 56), Н4 = 51 54 52 , В2 = Н2,з,4,5.
2. Формулировки основных результатов
Приведенные ниже теоремы содержат информацию о том, какими допустимыми дифференциальными операторами необходимо подействовать на достаточно гладкую функцию /, чтобы интеграл по множеству 5*4 от данных конструкций выражался через значения некоторых дифференциальных операторов от функции /: 1) в грани ¿2гзг5 и вершинах, и 2) в объемном теле ¿2гзг4г5 и вершинах симплекса.
Теорема 1. Для произвольной функции / € С8(54) верно следующее равенство:
Г - 4
(В 1/)(у)^у = v/5Я2)з)5 + л/б )(**).
Г г=1
54
Теорема 2. Если функция f € С7^), тогда выполняется следующее равенство:
I (Д^ )(у)^у = ^5Я2)3;4;5 + л/5 (Щ )(*).
3. Доказательства основных результатов
Доказательство теоремы 1. Производя следующие замены: Ш = ((/5 + 3) 4)х + ((/5 - 1)/4)х2 + ((/5 - 1)/4)хз + ((/5 - 1)/4)х4 + (1 - /5)/4; У2 = ((/5 - 1)/4)х + ((/5 + 3)/4)х2 + ((/5 - 1)/4)хз + ((/5 - 1)/4)х4 + (1 - /5)/4; Уз = ((/5 - 1)/4)х + ((/5 - 1)/4)х2 + ((/5 + 3)/4)хз + ((/5 - 1)/4)х4 + (1 - /5)/4; У4 = ((/5 - 1)/4)х + ((/5 - 1)/4)х2 + ((/5 - 1)/4)хз + ((/5 + 3)/4)х4 + (1 - /5)/4,
переходим от интеграла по множеству 54 к интегралу по множеству = {х € К4 : х + х2 + хз + х4 ^ 1, х ^ 0, э = 1, 2, 3, 4} : /§4 f (У1,У2= /5/84 f (((/5 + 3)/4)Ж1 + ((/5 - 1)/4)^2 + + ((/5 - 1)/4)жз + ((/5 - 1)/4)ж4+ (1 - ^5)/4, ((/5 - 1)/4)®1 + ((/5 + 3)/4)®2 + + ((/5 - 1)/4)жз + ((/5 - 1)/4)Ж4 + (1 - /5)/4, ((/5 - 1)/4)^1 + ((/5 - 1)/4)я2 + + ((/5 + 3)/4)жз + ((/5 - 1)/4)ж4+ (1 - /5)/4, ((/5 - 1)/4)ж1 + ((/5 - 1)/4)ж2 + + ((/5 - 1)/4)яз + ((/5 + 3)/4)ж4 + (1 - /5)/4)^ж1^ж2^жз^ж4.
Для произвольной функции f переход к повторному интегралу по множеству 84 будем осуществлять исходя из данного равенства:
/в4 f (Ж1,ж2, жз, =
= /ф /0 Х1 /0 Х1 Х2 Х1 Х2 Х3 f (ж1, ж2, жз, ж4)^ж4.
Действуя оператором д7 на функцию f, имеем: ^ )(у)(1У =
= /5 /01 ^ /01 -Х2 ^хз /о1 -Х2- Х3 ^ /о1 -Х2-Х3-Х4 [(((/5 + 3)/4) * (5/5x1) + + ((/5-1)/4)* (5/5x2)-+ ((/5-l)/4)*(5/5xз) + ((/5-l)/4)*(5/5x4))f ](((/5+3)/4)х1 + + ((/5 - l)/4)x2 +((/5 - l)/4)xз + ((/5 - l)/4)x4 + (1 - /5)/4, ((/5 - l)/4)xl + + ((/5 + 3)/4^+ ((/5 - l)/4)xз + ((/5 - l)/4)x4 + (1 - /5)/4, ((/5 - l)/4)xl + + ((/5 - l)/4)x2 + ((/5 + 3)/4)xз + ((/5 - 1)/4^+ (1 - //)/4, ((/5 - l)/4)xl + + ((/5 - l)/4)x2 + ((л/5 - l)/4)xз + ((/5 + 3)/4^4 + ((1 - ^Б)^))^ =
= л/б/о ^2 /01-Х2 а^з /01-Х2-Х3[f (1 - X2 - xз - X4,X2,Xз,X4) - f (((л/б - 1) 4^2 +
+ ((/5 - 1)/4^з + ((/05 - l)/4)x4+ (1 - /5)/4, ((/5 + 3)/4)x2 + ((/5 - l)/4)xз + + ((/5 - 1)/4^4 + (1 - /5)/4, ((/5 - l)/4)x2 + ((/5 + 3)/4)xз + ((/5 - 1)/4^4 + + (1 - /5)/4, ((/5 - l)/4)x2+ ((/5 - 1)/4^з + ((/5 + 3)/4)x4 + ((1 - /б)/4))]^4. Аналогично получаем:
/я4(-5з 5857 / )(У^У = = л/б /01 ¿х2 /01-Ж2 [(58/)(0,х2,хз, 1 - х2 - хз) - (58/)(1 - х2 - хз,х2,хз, 0)]<^Гз -
- /00 ¿х2 /01-Х2 [(-5з / )(0, х2, хз, 1 - х2 - хз) - (-5з / )(((/б - 1)/4)х2 + ((/б - 1)/4)хз + + (1 - /б)/4, ((/б + 3)/4)х2+ ((/б - 1)/4)хз + (1 - /б)/4, ((/б - 1)/4)х2 +
+ ((/б + 3)/4)хз + (1 - /б)/4, ((/б - 1)/4)х2 + ((/б - 1)/4)хз + (1 - /5)/4)]^з. Приводя подобные слагаемые, приходим к равенству: /я4(-5з5857/)(У^У = ^ /о ¿х^01-Ж2(58 + 5з)(/)(0,x2, xз, 1 - х2 - хз)^хз-
- л/б /0 ¿х2 /01-Х2 (58/)(1 - х2 - хз,х2,хз, 0)<^Гз +
+ /б/0 ¿х2 Х,1-*2[(-5з/)(((/б - 1)/4)х2 + ((/б - 1)/4)хз + (1 - /б)/4,
((/б + 3)/4)х2+ ((/б - 1)/4)хз + (1 - /б)/4, ((/б - 1)/4)х2 + ((/б + 3)/4)хз +
+ (1 - /б)/4, ((/б - 1)/4)х2 + ((/б - 1)/4)хз + (1 - /б)/4)]^хз.
Подействуем теперь оператором -52 56 на функцию —5*58 57/ и приведем подобные слагаемые. В результате имеем:
/я4((-52)56(-5*)5857/)(У^У = /^/01(-52(58 + 5з) - 5658)(/)(0,х2, 1 - x2, 0)^х2 + + /б /01(52(58 + 5з)/)(0,х2, 0, 1 - х2)^х2+ /01 (5658/)(1 - х2,х2, 0, 0)^2 + + /б/01[((-52)56(-5з)/)(((/б - 1)/4)х2 + ((/б - 1)/4)хз + (1 - /б)/4, ((/б + 3)/4)х2+ ((/б - 1)/4)хз + (1 - /б)/4, ((/б - 1)/4)х2 + ((/б + 3)/4)хз + + (1 - /б)/4, ((/б - 1)/4)х2 + ((/б - 1)/4)хз + (1 - /б)/4)]Лхз.
Вычисляя интеграл по множеству от функции (-51 )5455(-52)56(-5*)5857/, получим:
/я4 ((-51 )54 55 (-52 )56 (-5з3)5857 / )(У^У = = /б/01[((-51 )5455(-522)56(-5з)/)(((/б - 1)/4)х2 + ((/б - 1)/4)хз + (1 - /б)/4, ((/б + 3)/4)х2 + ((/б - 1)/4)хз + (1 - /б)/4, ((/б - 1)/4)х2 + ((/б + 3)/4)хз + + (1 - /б)/4, ((/б - 1)/4)х2 + ((/б - 1)/4)хз + (1 - /б)/4)]^хз+
+ //5[-(54*555658/)](1, 0, 0,0) +
+ //б[(5155(52(58 + 5з) + 5658) - 51 /52(58 + 5з) + 54555658)/](0,1, 0,0) + +/^55(-52(58 + 5з) - 5658)/](0,0,1, 0) + //б[515452(58 + 5з)/](0, 0, 0,1).
Воспользовавшись обозначениями, введенными выше, получаем формулу, с помощью которой выражается интеграл по правильному симплексу в4 через значения данных операторов в грани ¿2гзг5 и вершинах данного симплекса:
Г - 4
(В 1/)(у)Лу = ^Я2Д5 + ^ )(**).
Г г=1
Я4
Это завершает доказательство теоремы 1.
Доказательство теоремы 2. Действуя оператором -5з на функцию 57/, имеем:
4 (-3з* 97/= = л/б£ /01-Ж2 [/(0, Х2, Хз, 1 - Х - Хз) - /(1 - Х - Хз, Х2, Хз, 0)]<^Хз + + л/5 /0 /01-Ж2 ^Хз /01-Ж2-Х3(9з/)((( л/5 - 1) 4)Х2 + (( л/б - 1)/4)хз + (( л/б - 1)/4)х4+ + (1 - л/5)/4, (( /5 + 3)/4)Х2 + (( /5 - 1)/4)хз + (( /5 - 1)/4)х4 + (1 - /5)/4, (( л5 - 1)/4)х2 + (( л5 + 3)/4)хз + (( л5 - 1 ) /4)Х4 + (1 - л5)/4, (( л5 - 1)/4)х2+ + (( л5 - 1)/4)хз + (( л + 3)/4)Х4 + ((1 - лб)/4))^Х4.
Подействуем оператором -9296 на функцию -9з57/ и приведем подобные слагаемые, получим равенство:
/з4 ((-92 )9а (^ )9т/)(у)^ = = л5/О /01-Х2 ^Хз /01-Х2-Х3(-92969з/)[(( л5-1)4)х2+(( л5-1)/4)хЗ+(( л5-1)/4)х4+ + (1 - л5)/4, (( л5 + 3)/4)Х2 + (( л5 - 1)/4)Хз + (( л5 - 1)/4)Х4 + (1 - л5)/4, (( л5 - 1)/4)Х2 + (( л5 + 3)/4)Хз + (( л5 - 1 ) /4)Х4 + (1 - л5)/4, (( л5 - 1)/4)х2+ + ((л5 - 1)/4)хЗ + (( л5 + 3)/4)х4 + ((1 - лб)^)]^ +
+ ^/01((-92 - 96)/)(0,Х2,1 - Х2, 0 )б?Х2 +
+ /о (92/)(0,Х2, 0, 1 - Ж2)^Х2+ ^б /01(^6/)(1 - Х2,Ж2, 0, 0)^2.
Интеграл по множеству S4 от функции (-91 95(-92)9б(-9з)97/ имеет вид:
4 ((-91 )9495 (-92 )9б(-9з )9з9т/= = л5 /01 ^ /01-Х2 ^Хз /01-Х2-Х3((-91 )9495(-92)9б9з/)[(( - 1) 4)х + (( - 1)/4)*з + + (( ^5 - 1)/4)х4 +(1 - лб)/4, (( ^5 + 3)/4)х2 + (( ^5 - 1)/4)хЗ + + ( ( л5-1)/4)Х4 + (1 -л5)/4, (( лб-1) /4)х2 + (( лб+3)/4)Хз + (( л5-1)/4)х4 + (1-лб)/4, (( ^5 - 1)/4)х2 +(( ^5 - 1)/4)хЗ + (( ^5 + 3)/4)х4 + ((1 - ^б)^)]^ + л5[(94*9596/)](1, 0, 0,0) + л/5[(-91*95(-92 + 96) - 919492 - 949596)/](0,1, 0,0) + + л/5[91*95(-92 + 9е)/](0, 0,1, 0) + л5[919492/](0, 0, 0,1).
Используя обозначения, введенные перед теоремами, получим формулу, с помощью которой интеграл по правильному симплексу в4 выражается через значения приведенных операторов в объемном теле 222з2425 и вершинах данного симплекса:
[(Д/)(у)^ = ^бЯ^^ + ^5 (Я/)(*).
^ г=1
34
Это завершает доказательство теоремы 2.
4. Оценка сверху радиуса Помпейю
Для данного правильного симплекса Б4 с длиной ребра равной л/2 центр описанной сферы расположен в точке 0(Л45—1, , л45-;1, л45-;1) и радиус Д = ^. Для удобства переобозначим вершины симплекса А = г1, В = 22, С = 2з, Д = 24, Ж = 25
Возьмем Я > Я. Решая соответствующую геометрическую задачу, найдем минимальное значение радиуса Я, для которого множество вершин при всевозможных сдвигах и вращениях компакта 54 внутри шара радиуса Я, при которых симплекс находится полностью внутри шара, совпадает с внутренностью шара. А также изучим множество и (Я) = {г = Аг : А € Мо£(54, Бд), г = 1,5}. Данное множество содержит все допустимые положения вершин Аг1, Аг2, Агз, Аг4, Аг5, при которых А € Мо^, Бд).
Экстремальные положения вершин симплекса: первое — когда А, В, С, Д € дБд (т. е. вершины А, В, С, Д лежат на границе шара), а вершина Й лежит внутри шара; второе — когда вершина Й € дБд, а остальные вершины симплекса лежат внутри шара.
Рассмотрим первый экстремальный случай. Найдем расстояние от центра сферы О1 радиуса Я до вершины правильного симплекса Й.
Сначала найдем координаты точки 01. Поскольку А, В, С, Д € дБд, имеем: |01А| = |01В| = |01С| = |01Д| = Я. Положим 01(а,а,а,а), тогда имеем вектор 01А(1 - а, -а, -а, -а). Длина данного вектора |01А| = у/1 - 2а + 4(а)2 = Я. Решая квадратное уравнение, получим а1 = 1+^44д2-3- > 0, а2 = 1-л/4д2-3- < 0. Таким образом, имеем координаты центра сферы 01( ^Д2-3, 1-/4д2-з, 1-444д2-3, 1-/4д2-3) радиуса Я.
Зная координаты центра сферы О1, найдем расстояние от вершины симплекса Й до Оъ
Зная координаты вектора йО1(, -^=3+75, , ),
вычислим длину вектора |йО1| = ^^= -74д2-3+/5.
Решая неравенство -4д22-3+/5 < я, покажем, что вершина Й находится внутри шара, и найдем для какого значения радиуса Я вершина расположена максимально близко к центру сферы. Итак, (-/4д22-3+75)2 < Я2 ^ 2 - 10/4Я2 - 3 < 0 ^ Я2 > ^, значит УЯ > Я вершина Й находится внутри шара. Заметим также, что подкоренное выражение V4Я2 - 3 ^ 0 ^ Я ^ л/2. Таким образом, при Я = л/2 точка Й совпадает с центром сферы радиуса Я (следовательно, если Я = \/2, тогда множество вершин симплекса совпадает с внутренностью данного шара, и (Я) = Бд), при Я < л/2 искомое расстояние р1(Я) = -л/4д2~3+^5.
Делаем вывод: если А, В, С, Д € д Бд, тогда множество и (Я) является множеством: -74д22-3+У5 < 1x1 < Я при Я < Я < /2.
Рассмотрим второй экстремальный случай. Найдем ближайшее расстояние от вершины симплекса А до центра сферы О1 радиуса Я.
Перемещаем вершину симплекса Й на границу шара так, чтобы оставшиеся вершины симплекса лежали внутри данного шара. Пусть Йп € дБд, Йп(п,п,п, п), п < 0, найдем п из соотношения |О1Йп| = Я. Имеем: ^Й,,|2 = 416п2+8(74д-3-1)б-274д-з+4д2-2 = д2
^ П1 = 1+2д-44д2-3 > 0, п2 = 1-2д-/4д2-3 < 0. Имеем координаты точки Й (1-2д-^4д-, 1-2д-^4д-, 1-2д-^4д-, 1-2д-^4д-). т. о., из
точки Й в Йп перемещение произведено с помощью сдвига на вектор 4(/5-2д-У4д2-3 /5-2д-У4д2-3 ^5-2д-У4д2-3 ^5-2д-У4д2-3)
'/ ( 4 , 4 , 4 , 4 ).
Проверим, что при данном сдвиге остальные вершины симплекса находятся внутри шара. Поскольку симплекс правильный, достаточно доказать данное предположение для одной вершины. Сдвигая вершину А на вектор 44 получаем точку Ап(4+75-2д4-74^з, 75-2д-474д-, /5-2д-474д^, У5-2д-474д-з). Проверим неравенство |ОАп| < Я. Длина вектора О-(3+^-2д, , , ) равна 10-| = у/Я2 - /5Я + 2. Тогда, решая неравенство Я2 - ^Я + 2 < Я2, получаем, что оно выполняется для всех Я > Я. Таким образом, мы показали, что при указанном сдвиге вершины правильного симплекса остаются внутри шара. А также найдено ближайшее расстояние от центра окружности до вершин симплекса:
Р2 (Я) = ^я2 - /5Я + 2.
Можем сделать вывод, что множество и (Я) является множеством: /Я2 - /5Я + 2 < 1x1 < Я.
Сравнивая величины р1(Я) и р2(Я), видим, что р1(Я) < р2(Я). Отсюда делаем вывод, что при первом экстремальном расположении симплекса (с длиной ребра \/2) при сдвигах и поворотах симплекса внутри шара радиуса Я множество его вершин покрывает большую часть шара, чем при втором.
Вывод: 1) и является множеством: -л/4д22-3+^5 < 1x1 < Я при Я < Я < л/2, 2) и (Я) = Бд при Я = /2.
Таким образом, получаем оценку сверху радиуса Помпейю:
^(54) ^ /2.
Заключение
В работе получены следующие результаты: 1) формулы, аналогичные формулам Стокса, которые позволяют выразить интеграл от некоторого оператора, действующего на заданную функцию, через значения интеграла по подмножествам границы симплекса меньшей размерности. В частности, рассмотрен случай, когда этими
подмножествами являются грани и объемные тела симплекса; 2) получено уточнение оценки радиуса Помпейю для данного правильного симплекса в четырехмерном
пространстве.
Описок литературы
1. ZALCMAN, L. A bibliographic survey of Pompeiu problem. Approximation dy solutions of partial differential equations / L.Zalcman // ed. B. Fuglede et al. — 1992. — C. 185-194.
2. POMPEIU, D. Sur certains systems d'equation lineaires et sur une propriete integrale de fonctions de plusieurs variables / D. Pompeiu // C. R. Accd. Sci. Paris. — 1929. — V. 188. — C. 1138-1139.
3. POMPEIU, D. Sur une propriete de fonctions continues depended de deux variables realles / D. Pompeiu // Bull. Sci. Accd. Royale Belgique. — 1929. — V. 15, № 5. — C. 265-269.
4. POMPEIU, D. Sur une propriete de fonctions continues depended de deux variables realles / D. Pompeiu // Bull. Sci. Accd. Royale Belgique. — 1929. — V. 53, № 2. — C. 328-332.
5. NICOLESCO, M. Sur un theoreme de Pompeiu / M. Nicolesco // C. R. Accd. Sci. Paris. — 1929. — V. 188. — C. 1370-1371.
6. NICOLESCO, M. Sur un theoreme de Pompeiu / M.Nicolesco // Bull. Sci. Accd. Royale. Belgique. — 1930. — V. 16, № 5. — C. 817-822.
7. CHRISTOV, C. Uber eina integraleidensehaft der functionen von swei argumenten / C. Christov // Ann. Unit. Sofia Fac. Phys., Livre 1. — 1943. — V 39. — C. 395-408.
8. CHRISTOV, C. Sur un probleme de Pompeiu / C.Christov // Mathematica (Timisoara). — 1948. — V 23. — C. 103-107.
9. CHRISTOV, C. Sur laquation integrale generalisee de Pompeiu / C. Christov // Ann. Univ. Sofia Fac. Sci., Livre 1. — 1949. — V. 45. — C. 167-178.
10. ILIEFF, L. Uber ein probleme von Pompeiu / L.Ilieff // Ann. Univ. Sofia. Fac. Phys., Livre. — 1946. — V. 42. — C. 83-96.
11. ILIEFF, L. Beitrag zum problem von Pompeiu / L.Ilieff // Ann. Univ. Sofia Fac. Phys., Livre. — 1948. — V. 44. — C. 309-316.
12. ILIEFF, L. Sur un promlem de Pompeiu / L. Ilieff // Ann. Unit. Sofia Fac. Phys., Livre 1. — 1949. — V. 45. — C. 111-1114.
13. CHAKALOV, L. Sur un problem de D. Pompeiu / L. Chakalov // Ann. Unit. Sofia Fac. Phys., Livre 1. — 1949. — V40. — C. 1-14.
14. BERENSTEIN, C. A. El problema de Pompeiu / C. A. Berenstein // Atas do Novo Coloquio Brasileiro de Mathematica. — 1977. — V. 1. — C. 31-37.
15. DEMAR, R.F. A complex Pompeiu problem / R.F.Demar, P.J.Davis // Duke Math. J. — 1966. — V33. — C. 91-101.
16. GAROFALO, N. A new result on the Pompeiu problem / N. Garofalo // Rend. Sem. Mat. Univ., Special Issue. - 1989. - C. 25-38.
17. GAROFALO, N. Asymptotic expansions for a class of Fourier integrals and applications to the Pompeiu promlem / N. Garofalo, F. Segala // J. Anal. Math. - 1991. - V. 56. - C. 1-28.
18. GAROFALO, N. Another step toward the solution of the Pompeiu problem in the plane / N. Garofalo, F. Segala // J. Anal. Math. - 1989. - V. 7, № 2. - C. 241-257.
19. HARCAOUI, M. Inversion de la Transformation de Pompeiu dans le disque hyperbolique / M. Harcaoui // Univ. Bordeaux. - 1993. - V. 37. - C. 133-164.
20. SZABO, G. On functions having the same integral on congruent semidisks / G. Szabo // Ann. univ. sci. Budapesht. Lec. compulator. - 1982. - V. 3. - C. 3-9.
21. Заставный, В. П. О функциях с нулевыми интегралами по множествам конгруэнтным данному / В. П. Заставный, Р. М. Тригуб // Теория функций и приближений. - 1988. - Ч. II. - C. 14-22.
ZASTAVNYI, V. and TRIGUB, R. (1988) On functions with zero integrals over the sets congruent to this. Theory of functions and applications. II. p. 14-22.
22. Малюгин, С. А. Мат. заметки / С.А.Малюгин // Математические вопросы кибернетики. -1978. - Т. 2. - C. 339-341.
MALUGIN, C. (1978) On functions with zero integrals on congruent cubes. Mathematical notes. 2. p. 339-341.
23. Произволов, В. В. Об интегралах, постоянных на конгруентных областях / В. В. Произволов // Мат. заметки. - 1977. - Т. 21. - C. 183-186.
PROIZVOLOV, V. (1977) On integrals are constant on congruent areas. Mathematical notes. 21. p. 183-186.
24. WILLIAMS, S. A. Analyticity of the boundary for Lipshits domains without the Pompeiu property / S. A. Williams // Ind. Univ. Math. J. - 1981. - V. 30. - C. 357-369.
25. WILLIAMS, S. A. A partial solution of the Pompeiu problem / S. A. Williams // Math. Ann. -1976. - V. 223. - C. 183-190.
26. VOLCHKOV, V. V. Harmonic Analysis of Mean Periodic Functions on Symmetric Spaces and the Heisenberg Group / V. V. Volchkov, Vit. V. Volchkov. - Dordrecht: Heidelberg London New York, 2009. - 617 c.
27. VOLCHKOV, V.V. New result in integral geometry / V.V.Volchkov, Vit.V.Volchkov // IMCP. -2003. - V. 16. - C. 173-188.
28. Котляр, Б. Д. Об укладках параллелотопов и некоторых других множеств / Б. Д. Котляр // Сиб. мат. журн. - 1984. - Т. 25. - C. 222-225.
KOTLYAR, B. (1984) On stacking parallelotopic and some other sets. Sib. mathematical journal. 25. p. 222-225.
29. Котляр, Б. Д. Плотности укладок ограниченных множеств / Б. Д. Котляр // Сообщ. Акад. наук Грузинской ССР. - 1987. - Т. 126. - C. 469-472.
KOTLYAR, B. (1987) Density pilings bounded sets. Community Academic of Sciences Georgian SSR. 126. p. 569-472.
30. Эдварс, Р. Ряды Фурье в современном изложении / Р.Эдварс. — М.: Мир, 1985. — 400 с. EDWARDS, R. (1985) Fourier's series in today's presentation. M.: World.
31. VOLCHKOV, V.V. Integral Geometry and Convolution Equations / V.V. Volchkov. — Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 2003. — 454 c.
32. BERENSTEIN, C. A. A local version of the two-circles theorem / C. A. Berenstein // Israel J. Math. — 1986. — V. 55. — C. 267-288.
33. BERENSTEIN, C. A. Le probleme de Pompeiu locale / C. A. Berenstein //J. Anal. Math. — 1989. — V 52. — C. 133-166.
