Теорема единственности для функций с нулевыми интегралами по четырехмерным симплексам Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК: 517.988.28 MSC2010: 53B06

ТЕОРЕМА ЕДИНСТВЕННОСТИ ДЛЯ ФУНКЦИЙ С НУЛЕВЫМИ ИНТЕГРАЛАМИ ПО ЧЕТЫРЕХМЕРНЫМ СИМПЛЕКСАМ

© Н. С. Иванисенко

Донецкий национальный университет факультет математики и информационных технологий ул. Университетская, 24, Донецк, 83001, Украина e-mail: Ivanisenko.n.s@gmail.com

Uniqueness theorem for a functions with zero integrals over four-dimensional simpleces.

Ivanisenko N. S.

Abstract. Throughout in this paper we assume that A is a compact set in Rn,n > 2, of positive Lebesgue measure. As usual we denote by M(n) the group of Euclidean motions in Rn. Under P(A, B) we mean the class of functions Lloc(B) such that the relation Ixa f (x)dx = 0, VA e M (n) is valid for any A e Mot (A, B).

We say that a set A has the Pompeiu property if the only function f e Lloc(Rn) satisfying Sxa f (x)dx = 0 for any A e M(n) is f = 0. One says also that such a set A is a Pompeiu set.

The Pompeiu problem in its original form is formulated as follows: "under what conditions does a set A have the Pompeiu property?" This problem got its name from the Romanian mathematician D. Pompeiu who was the first to consider the relation Jxa f (x)dx = 0. A lot of researches were engaged in this problem but it still remains open.

Some sufficient conditions for A e Pomp(Rn) to meet were obtained by Pompeiu (1929), Nicolesco (1929), Christ (1943), Ilief (1946) and Chakalov (1949). Also, for many concrete cases there are a number of known results with the help of which one can determine whether A is a Pompeiu's set or not.

In the case where a set does not have the Pompeiu property, the presence of a non-zero function with the condition JAA f (x)dx = 0 for any A e M(n) makes it possible to get nontrivial estimates of density of laying an arbitrary compact in Rn sets of the form AA, A e M(n). Such estimates were obtained by Kotlyar. If A has the Pompeiu property then the Wiener theorem makes it possible to approximate indicators of sets of the type AA, A e M(n) by linear combinations in L:(Rra).

A local version of Pompeiu's problem was obtained by V.V. Volchkov in 1998: for a given set A, find the R(A) = inf{R > 0 : A e Pomp(BR)} and investigate when the value R(A) is reached, i.e., A с Pomp(Br) whenever r = R(A).

In this paper we investigate the questions concerning the local version of Pompeiu's problem. We consider the simplex A = {x e R4 : x1 + x2 + x3 + x4 ^ 1, Xj ^ 0, j = 1, 2, 3, 4} with

the vertices zo(0,0, 0, 0), zi(1,0, 0, 0), ¿2(0,1, 0, 0), ¿3(0, 0,1, 0), ¿4(0, 0, 0,1). Let r*(A) be the radius of the smallest closed ball containing the simplex closure, r*(A) = ^.

Our main result is the uniqueness theorem which implies that any locally integrable function with zero integrals over the simplexs and zero in the ball of radius r (r > 1-a/42r2-3) is equal to zero in the ball of radius R > r*.

Theorem 1 (The uniqueness theorem). Let ^ < R < 1 and a function f <E P(A, Br). Let also f = 0 in the ball Br then f = 0 in Br for some r > W4R2-3.

Earlier there were obtained results similar to Stokes's formula for this simplex that allow to express the integral of some differential operator acting on a given function through its values over subsets of the simplex boundary of lower dimension. In particular, one can do it in the case when these subsets are vertexes and edges of the simplex considered before.

To prove the main result, we use given theorems as well as theorems obtained by V.V. Volchkov. Also a standard method of smoothing of functions is used.

The results can be used in the approximation theory and in the complex analysis (in particular, one can get a new version of Morera's theorem for analytic functions).

Keywords: a local version of Pompeiu's problem, Pompeiu's radius, locally integrable functions, four-dimensional simplex, functions with zero integrals over sets

Введение

Пусть Кга - вещественное евклидово пространство размерности п ^ 2 с евклидовой нормой | • |, М(п) - группа изометрий Мга. Для компактного множества А С Кга и области В С Кга, обозначим через Мо1(А,В) = (Л € М(п): АА С В} - часть группы движений, оставляющая А внутри В, Вд = (х € Кга: |х| < Я} - шар радиуса Д.

Компактное множество А С Кга называется множеством Помпейю в области В (будем обозначать А € Ротр(В)), если всякая локально суммируемая функция (/ € Ьгос(В)), для которой

У /(х)^Х = 0, УЛ € Мо^А, В) (Х)

АА

равна нулю почти всюду в В. Классическая проблема Помпейю об описании класса Ротр(Кга) таких множеств А изучалась многими авторами. В работах [1, 2] Вильямс получил результаты, из которых следует, что если граница множества А липшицева, гомеоморфна сфере, но не вещественно аналитическая, то А € Ротр(Мга).

Для многих конкретных случаев известен ряд результатов, с помощью которых можно определить, является А множеством Помпейю или нет [3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12].

Большой интерес представляют "локальные"варианты проблемы Помпейю: например, когда функция f задана в шаре Br с Rn и выполнено условие (1) для всех AA с Br. В данном случае следует для широкого класса множеств A, что f = 0 в Br, если размеры множества Br достаточно велики по сравнению с множеством A (см. [13]). В связи с этим возникает задача о нахождении минимального радиуса R = R(A) шара BR c этим свойством и в работе [14] Волчковым В.В. была поставлена следующая проблема.

Проблема 1 (4.1.1 из [14], локальный вариант проблемы Помпейю). Для данного A найти R(A) = inf{R > 0 : A e Pomp(BR)}.

Величину R(A) будем называть радиусом Помпейю. Даже на плоскости R2 не каждое множество имеет свойство Помпейю, примером такого множества является шар. Следует заметить, что не для всех множеств, которые обладают указанным свойством возможно получить точное значение радиуса Помпейю. Таким образом, кроме точного значения величины R(A), например, для следующих множеств A : в [14] для полушара в Rn радиус R(A) = л/5/2, в [15] для треугольника Рело R(A) = 1, в [16] для замыкания разности двух треугольников: OAB - правильного со стороной равной 1 и равнобедренного CAB с высотой h, имеющих общее основание (то есть OA = OB = AB = 1, CA = CB, OC = ^3/2 - h при h e (0; V3/2)), радиус Помпейю равен R(A) = л/3/2 — h; для некоторых множеств A имеется ряд результатов, содержащих оценки сверху для величины R(A), которые получены К.А. Беренстейном и Р. Гэем [13, 17], а также В.В. Волчковым [14]. В работах [18, 19, 20] содержится наиболее полный библиографический обзор по проблеме Помпейю и близким к ней вопросам, включающим локальные варианты этой проблемы.

В данной работе рассматриваемое множество является четырехмерным симплексом A = {x e R4 : x1 + x2 + x3 + x4 ^ 1, Xj ^ 0, j = 1, 2, 3,4} с вершинами zo(0, 0,0, 0),zi(1,0, 0, 0),z2(0,1, 0, 0),^з(0, 0,1,0), zi(0, 0, 0,1). Получена теорема единственности для ненулевых функций с нулевыми интегралами по данному симплексу.

1. Вспомогательные утверждения

В основном в данной работе рассматривается четырехмерное пространство

R4 четверки чисел (x1, x2, x3, x4), x1,x2,x3,x4 e R с евклидовой нормой

|(X1,X2,x3,x4)| = \Jxi + x2 + x3 + x2, как обычно Д = щ + Jxf + dx2 + Jx| — оператор Лапласа. Учитывая, что в работе изучаются функции с нулевыми интегралами по некоторым множествам, под P(A, B) будем понимать класс функций из Lioc(B), для

которых равенство (1) верно для всех Л G Mot(A,B). Добавляя гладкость, получим классы функций pm = P(A,B) П Cm(B), m G N, P~(A,B)= P(A, B) П C~(B) и P°(A, B) - класс радиальных функций из P^(A, B).

Введем обозначение для множеств, описывающих некоторые допустимые положения вершин симплекса A при различных характерных движениях его в шаре Br. Для R > r*(A) (г* - радиус наименьшего замкнутого шара, содержащего A) определим U(R) = {z = Лzj : Л G Mot(A,BR), j = 0,1, 2, 3,4}. Отметим, что непосредственно из определений следует, что введенное множество инвариантно относительно поворотов вокруг начала координат, то есть обладает шаровой симметрией. Это говорит о том, что далее повороты рассматривать не имеет смысла. Поскольку сдвиг непрерывное преобразование, следовательно, если некоторыми сдвигами, не выводящими за шар, можно достичь некоторой вершиной двух положений, то этой же вершиной можно достичь и промежуточных положений. Таким образом, приходим к заключению, что введенные множества являются некоторыми шарами и шаровыми слоями.

Сформулируем результат, полученный ранее, который содержит информацию о том, какими допустимыми дифференциальными операторами необходимо подействовать на достаточно гладкую функцию /, чтобы интеграл по множеству A от данных конструкций выражался через значения некоторых дифференциальных операторов от функции / в вершинах симплекса z0, zi, z2, z3, z4.

Теорема 1. Для любой функции / G C10 (A) выполняется следующее равенство:

(D/)(x)dX = ¿(g*/)(*),

A i=0

где qi dxi dx2 , q2 dxi дxз , q3 dxi дx4 , q4

д д ^ _ _ д _ _ д „ _ д „ _ д

x3 дx4 ' дxl

95 дж2 дж4 , 9б джз дж4 , 97 джх , 98 дж2 , 99 джз ,

_ д п _ ТТ10

910 = , ^ = Пг=0 9*,

9* = 9293 [959798 (99 - 9б) + 9497(959б - 9899)] + 91 (9294 [979899 - 9з959б] - 93959798 [99 - 9б]), 9* = 929з(959798(9б-99)+9497(9899 - 959б)), 9* = 9193 959498 (99-9б), 94 = -919294979899.

Используя данную теорему и теорему 4.3.2. из [14], получим

Лемма 1. Пусть Я > г* и / € Р°(А(Л,),Вд). Тогда существует ненулевой многочлен 9 : Е ^ С такой, что 9(Д)/ = 0 в и (Я).

Обозначим ребро симплекса г0г1 через Ь0,1 = ((*, 0,0,0), ребро г0г2 через Ь0,2 = (0,*, 0,0)}, ребро г0г3 через Ь0,3 = ((0,0,*, 0)}, ребро г0г4 через Ь0,4 = ((0,0,0,*)}, ребро г1г2 через Ь1,2 = ((*, 1 - 0,0)}, ребро г1 г3 через ^1,3 = ((*, 0,1 - 0)}, ребро г1г4 через Ь1,4 = ((*, 0, 0,1 - *)}, ребро г2г3 через

¿2,3 = {(0,г, 1 — ¿, 0)}, ребро через ¿2,4 = {(0, 0,1 — ¿)}, ребро гзг4 через ¿3,4 = {(0, 0, г, 1 — г)}, 0 ^ г ^ 1; ЯЬ(А, В) = (^ е М4: А + м С В}. Сформулируем результат, который содержит информацию о том, какими допустимыми дифференциальными операторами необходимо подействовать на достаточно гладкую функцию /, чтобы интеграл по множеству А от данных конструкций выражался через значения некоторых дифференциальных операторов от функции / в ребрах симплекса

¿0^1, ^0^2, ^0^3, ^0^4, ^1^2, ^¿з, ^1^4, ^2^3, ¿2^4, ¿3^4.

Теорема 2. Пусть / е С9(А) и Е := {(/,к) : I = 0,3, к = 1~4, 1 < к}. Тогда следующая формула имеет место

У^/)(ж)йж = + q¡kk У/,к е Е. Где Р = П6=0 ^ = П!=2 ^ Р1 = П?=2 ^2 = п!=м=2 ^ р = П®=м=2

^3 = П 1"==1,г=3 ^ Р3 = П6=1,г=3 ^; ^4 = П!=м=4 ^ р = П6=м=4

= П!=1,г=5 ^ Р5 = П6=1,г=5 ^; = П!=1,г=5 ^ р = Ш=1 = П1=М=7 ^ = П!=М=8 qi, = П!=М=9 ^ ¿>10 = П9=1 Ф;

#0,1 = ^7, #0,2 = ^8, #0,3 = ^9, #0,4 = —^ю,

#0*1 = /0!( — Р/)(Х1, 0, 0, 0)^X1, #0 ,2 = /0!( — Р/)(0,Х2, 0, 0)^2, #0,3 = /0!(—Р/)(0, 0,Х3, 0)^X3, #0 ,4 = /„(Р/)(0, 0, 0,Х1)^Х4,

^0,1(0) = q2qз[q5q8 (q9 — q6) + q4(q5q6 — q8q9)] + qlq8[qзq5(q6 — q9) + q2q4q9], ^0,1(2) = —q2qз[q5q8(q9 — q6) + q4 (q5q6 — q8q9)], Ццз) = qlqз q5q8(q9 — q6), ^0,1(4) = —qlq2q4q8q9;

^0,2(1) = q2qзq7[q5 (q9 — q6) — q4q9] + qlq7[qзq5(q6 — q9) + q2q4q9] — Р1, 42(2) = q2qз[q5 q7(q6 — q9) + q4(q7q9 — q5q6)], Людз) = qlqзq5q7(q9 — q6), 42(4) = —qlq2q4q7q9;

^0,з(1) = q2qзq7[q5 (q8 — q6) — q4q8] + ql[qзq5q7(q6 — q8) + q4(q2q7q8 + qз q5q6)], ^0,з(2) = q2qзq7[q5(q6 — q8) + q4q8], Цз(з) = ql qзq5[q7(q8 — q6) — q4q6], ^0,з(4) = —qlq2q4q7q8;

^0,4(1) = q2qзq7[q4 (q8 + q6) — q5q8] — qlq2q4[q7(q8 + q6) + q5q6] + qlqзq5q7q8, ^0,4(2) = q2qзq7[q5q8 — q4(q6 + q8)], Лю,4(з) = —qlqзq5q7q8, ^0,4(4) = q4q7(q8 + q6) + Рз;

#1,2 = ^1, #1,3 = ^2, #1,4 = Аз, #2,3 = ^4, #2,4 = ^5, #3,4 = ^6,

#1,2 = J01(q2qз[q5q7q8(q9 — q6) + q4(q5q6 — q7q8q9)])(/)(х1,1 — жь 0, 0)^X1

^1,2(0) = —Р1, ^1,2(1) = q2q4[q7q8q9 — qзq5q6] — qзq5q7q8[q9 — q6], ^1,2(3) = q2qзq4q5q6/)(^) + (qзq5q7q8[q9 — q6], 42(4) = —q2q4q7q8q9;

н,З = /О(919З959798(96 - 99))(/)(ж1, 0,1 - жь 0)^гь Л-1,з(0) = Р2, ^1,3(1) = 9з[959798(99 - 9б) + 9497(9596 - 9899)] + 9194(979899 - 9З9596), ^1,3(2) = -93 [959798 (99 - 9б) + 94 97(9596 - 9899)], ^1,3(4) = -9194979899;

Н* ,4 = /01 (919294979899/)(ж, 0, 0,1 - жЛ-М(0) = рЗ, ^1,4(1) = 92[959798(99 - 9б) - 9497(9899 - 959б)] - 91 [959798(99 - 9б) - 92949б], ^1,4(2) = 9297[9598(96 - 99) + 94(9899 - 959б)], ^1,4(3) = 91959798(99 - 9б);

#2,3 = /о1 (93959798(9б - 99)/)(0,Х, 1 - Х2, 0)^Ж2, ^2,3(0) = Р4, ^2,3(1) = 93959798(99 - 9б) + 929397(959б - 9899) + 9192(979899 - 959б), ^2,3(2) = 93959798(96 - 99) + 929397(9899 - 959б), ^2,3(4) = -9192979899;

Н2,4 = /о1 (919294979899/)(0,Х2, 0, 1 - Х2)^Х2, ^2,4(0) = Р5, ^2,4(1) = 9з9798(99 - 9б)(92 - 91) - 9294(979899 + 9з9б97 + 919з9б), ^2,4(2) = 92[9з9798(96 - 99) + 9497(9899 - 9з9б)], ^2,4(3) = 91939798(99 - 9б);

нЗ*,4 = /о1 (919294979899/)(0 , 0, Хз, 1 - хЗ)^Хз, йз,4(0) = -Рб, ^3,4(1) = 979899(-919З + 9293 + 9194) + 93959798(91 - 92) + 929З9495(97 - 91), ^3,4(2) = 9293(-979899 + 959798 - 949597), ^3,4(3) = 919798(9399 - 9499 - 9395); 90*1 = 5]4=1(^0,1(г)/90*2 = ^4=1(^0,2(г)/^ 90*3 = ^4=1 (^0,3(г)/

90*4 = Е4=1(^0,4(г)/)^г,91*2 = Е0=1,г=2(^0,2(г)/)zг, 91*3 = Ег=1,г=3(Цз(г)/^ 91*4 = 5]г=1(^1,4(г)/^ 92*3 = Ег=1,г=3 (^2,3(г)/^ 92*4 = Ег=1 (^2,4(г)/ ^

93*4 = Е?=1(^3,4(г)/ ^

Используя данную теорему и рассуждения из доказательства леммы 4.5.6 из [14], получаем

Лемма 2. Пусть Я > г * и / € Р°(А(Л,), Вд). Тогда существует ненулевой многочлен 9 : Е ^ С такой, что (9(Д)/) (х1 + и1, х2 + и2, ж3 + и3, ж4 + и4) = 0 для любого вектора (и1,и2,и3,и4) € ЯЬ(А,Вд).

Поскольку симплекс А (Л,) € Рошр(Е4), используя лемму 4.1.3 из [14], получаем

Лемма 3. Пусть Я > г *, для некоторой функции / € Р(А, Вд) и для некоторого многочлена 9: Е ^ С выполняется 9(Д)/ = 0 в Вд. Тогда / = 0 в Вд.

Используя рассуждения, подобные тем, что применяются при доказательстве леммы 4.1.1 из [14], получаем

Лемма 4. Пусть Р°(А, Вд) = (0} для некоторого Я > г *. Тогда & (А) ^ Я.

Лемма 5. Пусть 0 ^ к < / < ^ < Я, / € ¿(0; Я), / = 0 при а/х2 + х3 + х4 € (к; /) и Я), и при некоторых а1, а2 таких, что к < а1 < а2 < I,

(Х2+Хз+Х4) /+ х2 + х2 + Х) = 0 для всех у/ж2 + ж3 + Х € (а1, а2). Тогда / = 0 почти всюду в шаровом слое .

Доказательство. Сделаем в данном интеграле замену

* = + X + ж2 + ж4, у = + ж2 + ж2. Тогда для всех перечисленных условий на входящие в интеграл параметры получим для всех у Е (а; а2) равенство т си = 0. Так как функция f (*) = 0 при £ Е (к; /), то для любого у Е (а^ а2)

верно ^2 С* = 0.

Разложим в ряд Лорана -^2= = (1 - (у/*)2)-1/2 = 1 + ЕГ=1 ^Т ■ (у/^)2'', 1*1 > У. Подставив разложение в предыдущее равенство, получаем

0 = Е (/ ^ с*) -у Е (-1= -2).

Таким образом, ^ С* = 0 для всех ] Е Сделаем в полученном интеграле замену г = 1/*2. Получим Л/^ г'-1 ^Сг = 0.

Так как система многочленов {1, г, г2,...} замкнута в пространстве С(1/С2; 1/12), то f (1/^/2)/^/^ = 0 в (1/С2; 1//2), откуда следует f (*) = 0 в (/; С). Учитывая равенство нулю функции f в (к; /) и (С; Я), получаем требуемое утверждение леммы. □

2. Описание множества и (Я)

У рассматриваемого симплекса А длины ребер равны соответственно ^0^1 = ^0^2 = = го¿4 = 1, и ^1^2 = ^1^3 = ^1^4 = ^¿з = 2^4 = 2:32:4 = л/2. Центр описанной около симплекса сферы находится в точке 0(1/2,1/2,1/2,1/2) и радиус равен Я =1. Решая соответствующую геометрическую задачу, получаем, что радиус наименьшего замкнутого шара, содержащего множество А равен г * = ^.

Сначала поместим симплекс г0г1г2г3г4 в сферу радиуса Я с центром в точке 0(0,0,0,0) так, чтобы вершины г1,г2,г3,г4 Е дВД (лежали на границе сферы), а вершина г0 лежала внутри сферы. Получим, что в случае, когда л/3/2 ^ Я < 1 :

1) вершины симплекса имеют следующие координаты:

~ / —1-У4Д2-3 -1-У4Д2-3 -1-У4Д2-3 -1-У4Д2-3\

М 4 , 4 , 4 , 4 ),

~ ( 3-У4Д2-3 -1-У4Д2-3 -1-У4Д2-3 -1-У4Д2-3 )

г1( 4 , 4 , 4 , 4 ),

~ /-1-У4Д2-3 3-У4Д2-3 -1-У4Д2-3 -1-У4Д2-3\ г2( 4 , 4 , 4 , 4 ),

~ (-1-У4Д2-3 -1-У4Д2-3 3-У4Д2-3 -1-У4Д2-3) г3( 4 , 4 ,4 , 4 ),

~ (- 1-У4Д2-3 -1-У4Д2-3 -1-У4Д2-3 3-У4Д2-3\

г4( 4 , 4 , 4 , 4 ),

расстояние от центра сферы до вершин г1,52,53,,г4 равно радиусу сферы: Ро,21 = Ро,22 = Ро,23 = Ро,24 = Я, от центра до вершины 20 равно ро,го = 1+л/42д2-33;

2) вершины симплекса имеют следующие координаты:

• ^ - 1+У4Д2-3 - 1+У4Д2-3 -1+У4Д2-3 - 1+У4Д2-3\

М 4 , 4 , 4 , 4 ),

V ( 3+У4Д2-3 -1+У4Д2-3 - 1+У4Д2-3 -1^4Д2-3) ¿1( 4 , 4 ' 4 ' 4 ) '

• I-1+У4Д2- 3 3+У4Д2-3 -1+У4Д2-3 -1+У4Д2-3\ ¿2( 4 , 4 , 4 , 4 ),

V ( -1+У4Д2-3 -1+У4Д2-3 3+У4Д2-3 -1+У4Д2-3) ¿3( 4 > 4 ' 4 ' 4 )'

• (-1+У4Д2-3 -1+У 4Д2-3 -1+У4Д2-3 3+У4Д2-3 N

¿4( 4 , 4 , 4 ,4 )'

расстояние от центра сферы до вершин, которые лежат на границе равно радиусу сферы ро,х\ = Ро,х2 = Ро,х3 = Ро,х4 = Я, от центра до вершины ¿0 равно „ _ 1- у 4 Д2 - 3

рО,го = -2-•

При сдвиге симплекса с вершинами 20 , 21 , 22 , 23 , 24 на вектор

— (V4Д2-33 , ^4Д^2-3 , ^4Д2-3 , ^4Д2-3), вершины будут иметь координаты точек ,¿0, ,¿1, ,¿2, ,¿3, ,¿4 (2о + — — ,¿0, 2 + — — ,¿1, 22 + — — ,¿2,23 + — — ¿3, 24 + — — ¿4). Заметим, что данный симплекс при сдвиге на вектор — ),? € (0, ^4Д2-3) остается внутри шара радиуса Я (Я > г*). Ближайшее расстояние от вершин ¿1,,2,,3,,4 до центра шара равно ртгП(,1,0) = ^, достигается при сдвиге симплекса на вектор — (, , , ). Заметим, что при Я > ^ выполняется неравенство ро,гъ ^ Ртгп(,1,0).

В случае, когда Я ^ 1 координаты вершин имеют координаты точек ¿0, ¿ъ ¿2, ¿3, ¿4 и расстояние от центра сферы до вершины ¿0 равно ро,й0 = л/4Д22-'3~1 • В случае, когда Я =1 вершины симплекса остаются ¿1,,2, ¿3,,4 неподвижными, т. е. ¿1(1, 0,0, 0), ¿2(0,1, 0, 0), ¿3(0, 0,1, 0), ¿4(0, 0, 0,1), а вершина ¿0 имеет координаты (0, 0,0, 0) или (1/2,1/2,1/2,1/2). Если ¿0(0, 0, 0, 0), то расстояние до центра сферы равно нулю. Заметим, что при сдвиге симплекса на вектор — (-1/2, -1/2, -1/2, -1/2) вершина ¿0 принимает все значения отрезка от центра сферы до границы.

Можем сделать вывод, что для Я =1 множество и (Я) является шаром радиуса 1. Соответственно, и при Я > 1 множество и (Я) также является шаром радиуса Я. Остается исследовать данное множество при Я < 1.

Заметим, что при Я < 1 невозможно поместить рассматриваемую фигуру в сферу радиуса Я так, чтобы ¿1 лежала внутри сферы (или любая другая вершина, кроме ¿0), а все остальные вершины лежали на границе.

Далее поместим симплекс в сферу так, чтобы точки ¿0 и ¿4 лежали внутри, а ¿1,,2,,3 € дВД. Получаем, что вершины ¿0, ¿1, ¿2, ¿3, ¿4 (при первом расположении, когда все вершины, кроме ¿0, лежали на границе сферы) переходят в точки

- ( 5-3 У4Д2-3 5-3 У4Д2-3 5-3 У4Д2-3 -1-У4Д2-3 ) ¿0( 12 , 12 , 12 , 4 ^

¿1(3

¿2 (-

¿3(-

¿4 (5

12 12

5-3 У4Д2 - 3

12

-1- У 4Д2 -3,

4

-1- У 4Д2 -3,

4

3-У 4Д2 -3,

, 4

5-3 У4Д2 -3

12 '

-1-у 4Д2-3

4

),

-1-у 4Д2-3 ) 4 ^ -1-У4Д2-3 ) 4 ^ 3-У4Д2-3 ) 4 ^

и соответственно имеем расстояния Ро,г4 = \/Д2 — / 4Д2 — ~3 + 1/3,

Ро,зд = ^ Д2 — У4Д22-3 — 6, Ро,^1 = Рзд = Ро,ад = Д при Д> ^.

Заметим, что при Д < 1 невозможно расположить симплекс внутри сферы так, чтобы: 1) две вершины лежали на границе, а остальные внутри и 2)одна вершина лежала на границе, а остальные четыре внутри сферы радиуса Д.

Введем следующие обозначения: Г1 = 1-л/42д2 -3, г2 = 1+л/42д2-3, г3 = ,

Г4 = ^ Д2 —/4Д2 — 3 + 1/3.

Сравнивая полученные расстояния, можем сделать следующий вывод:

1) при \/3/2 < Д ^ \/7/3 множество и (Д) является объединением шаровых слоев соответствующих радиусов ВГ1 ,Г2 и Вгз,д;

2) при //7/3 < Д < множество и(Д) является объединением шаровых слоев ВГ1,Г2 и ВГ4 ,д;

3) при ^ Д < 1 множество и(Д) является является шаровым слоем ВГ1,д. 3) при Д ^ 1 множество и(Д) является шаром радиуса Д.

Таким образом, в данной главе мы изучили множество и(Д) для всех Д.

3. Основной результат

Данный результат показывает, что УД > г* функция f равная нулю в Вг (г > г1), имеющая нулевые интегралы по множествам АА(УА е Мо^А, Вд)) будет равна 0 в Вд.

Теорема 3 (Теорема единственности). Пусть <Д< 1 и f е Р(А, Вд). Пусть также f = 0 в Вг при некотором г > г1. Тогда f = 0 в Вд.

4. Доказательство основного результата

Доказательство. Считаем Д > ^, е е (0, Д — ^) фиксированными числами. Требуется доказать, что Р(А,Вд) = {0}. Используя стандартный метод сглаживания, например, изложенный в [14] §1.3.3, видим, что достаточно доказать, что (А, Вд_е) = {0}. Учитывая лемму 4, видим, что достаточно доказать равенство Р~(А, Вд_£) = {0}.

Рассмотрим произвольную функцию f е (А, Вд_£). Из леммы 1 следует, что существует ненулевой многочлен д: К ^ С такой, что Я = д(Д^ = 0 в и(Д — е). Отметим, что при различных Д, множество и(Д — е) является объединением шаровых слоев соответствующих радиусов ВГ1(д_£),Г2(д_£) и ВГ4(д_£),д_£ или ВГ1(д_£),Гз(д_£) и ВГ4(д_£),д_£ или шаровым слоем ВГ1(д_£),д_£ для некоторых г1(Д — е), г2(Д — е), г3(Д — е), г4(Д — е). Из условия теоремы следует, что функция

f = 0 в шаре Вг. В первом случае, когда множество и (Я - е) является объединением шаровых слоев, применяя к функции Я € (А, Вд-£) леммы 2 и 5 получаем, что существует такой ненулевой многочлен 2 — С, что Я = = 0 в Вд-£.

Поскольку произведением многочленов является многочлен, применяя к функции f лемму 3, в которой многочленами являются д.д в первом и д во втором случаях, получаем f = 0 в Вд-£. Что и требовалось доказать. □

Заключение

В работе получен следующий результат: теорема единственности для функций с нулевыми интегралами по четырехмерным симплексам. Данный результат носит теоретический характер и может быть использован в теории аппроксимации и комплексном анализе.

Список ЛИТЕРАТУРЫ

1. WILLIAMS, S.A. (1981) Analyticity of the boundary for Lipshits domains without the Pompeiu property. Ind. Univ. Math. J. 30 p. 357-369.

2. WILLIAMS, S. A. (1976) A partial solution of the Pompeiu problem. Math. Ann. 223 p. 183-190.

3. BERENSTEIN, C.A. (1977) El problema de Pompeiu. Atas do Novo Coloquio Brasileiro de Mathematica. 1 p. 31-37.

4. DEMAR, R.F. and DAVIS, P.J. (1966) A complex Pompeiu problem. Duke Math. J. 33 p. 91-101.

5. GAROFALO, N. (1989) A new result on the Pompeiu problem. Rend. Sem. Mat. Univ., Special Issue. 1 p. 25-38.

6. GAROFALO, N. and SEGALA, F. (1991) Asymptotic expansions for a class of Fourier integrals and applications to the Pompeiu promlem. J. Anal. Math. 56 p. 1-28.

7. GAROFALO, N. and SEGALA, F. (1989) Another step toward the solution of the Pompeiu problem in the plane. J. Anal. Math. 7 (2). p. 241-257.

8. HARCAOUI, M. (1993) Inversion de la Transformation de Pompeiu dans le disque hyperbolique. Univ. Bordeaux. 37 p. 133-164.

9. SZABO, G. (1982) On functions having the same integral on congruent semidisks. Ann. univ. sci. Budapesht. Lec. compulator. 3 p. 3-9.

10. Заставный, В. П. О функциях с нулевыми интегралами по множествам конгруэнтным данному / В .П. Заставный, Р. М. Тригуб // Теория функций и приближений. — 1988. — Ч. II. — C. 14-22.

ZASTAVNYI, V. and TRIGUB, R. (1988) On functions with zero integrals over the sets congruent to this. Theory of functions and applications. II p. 14-22.

11. Малюгин, С. А. Мат. заметки / С. А. Малюгин // Математические вопросы кибернетики. — 1978. — Т. 2. — C. 339-341.

MALUGIN, C. (1978) On functions with zero integrals on congruent cubes. Mathematical notes. 2 p. 339-341.

12. Произволов, В. В. Об интегралах, постоянных на конгруентных областях / В. В. Произволов // Мат. заметки. — 1977. — Т. 21. — C. 183-186.

PROIZVOLOV, V. (1977) On integrals are constant on congruent areas. Mathematical notes. 21 p. 183-186.

13. BERENSTEIN, C. A. and GAY, R. (1989) Le probleme de Pompeiu locale. J. Anal. Math. 52 p. 133166.

14. VOLCHKOV, V. V. (2003) Integral Geometry and Convolution Equations. 454. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers.

15. MASHAROV, P. A. (2001) Solution of local Pompeiu problem for Reuleaux triangle. Vestnik Dneprop. Univ. 6 p. 72—81.

16. Иванисенко, Н. С. Локальный вариант проблемы Помпейю для невыпуклого четырехугольника / Н. С. Иванисенко, П. А. Машаров // Тр. Ин-та прикладной математики и механики НАН Украины. — 2014. — Т. 28. — C. 76-83.

IVANISENKO, N. and MASHOROV, P. (2014) A local version of Pompeiu problem for non-convex quadrilateral. Intstitula Proceedings of Applied Mathematics and Mechanics of NAS of Ukraine. 28 p. 76-83.

17. BERENSTEIN, C. A. (1986) A local version of the two-circles theorem. Israel J. Math. 55 p. 267-288.

18. VOLCHKOV, V. V. and VOLCHKOV, VIT.V. (2009) Harmonic Analysis of Mean Periodic Functions on Symmetric Spaces and the Heisenberg Group. 617. Dordrecht: Heidelberg London New York.

19. ZALCMAN, L. (1992) A bibliographic survey of Pompeiu problem. Approximation dy solutions of partial differential equations. ed. B. Fuglede et al. 1 p. 185-194.

20. ZALCMAN, L. (2001) Supplementary bibliography to 'A bibliographic survey of the Pompeiu problem'. In: Radon Transforms and Tomography.. Contemp. Math. 278 p. 69-74.