Теорема о существовании уточнённого порядка Текст научной статьи по специальности «Математика»

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

ТЕОРЕМА О СУЩЕСТВОВАНИИ УТОЧНЁННОГО ПОРЯДКА Нгуен Ван Куинь Email: [email protected]

Нгуен Ван Куинь - кандидат физико-математических наук, старший преподаватель, факультет фундаментальной науки, Ханойский университет промышленности, г. Ханой, Социалистическая Республика Вьетнам

Аннотация: уточнённый порядок играет важную роль в теории субгармонических и 8 -субгармонических функций. Классические свойства были представлены во многих монографиях, например в [1]. Отметим, что с помощью уточнённого порядка А.Ф. Гришин изучил рост субгармонических и 8 - субгармонических функций на бесконечности. В статье предлагается усиление варианта Гришина теоремы о существовании уточнённого порядка. Результат нашей статьи позволяет несколько упростить конструкции из доказательства нескольких утверждений. Ключевые слова: уточнённый порядок, равномерная непрерывность, абсолютно непрерывная функция.

THEOREM ON THE EXISTENCE OF PROXIMATE ORDER

Nguyen Van Quynh

Nguyen Van Quynh - Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Senior Lecturer,

FACULTY OF FUNDAMENTAL SCIENCE, HANOI UNIVERSITY OF INDUSTRY, HA NOI, SOCIALIST REPUBLIC OF VIETNAM

Abstract: рroximate orde is important in the theory of subharmonic and 8 -subharmonic functions. Classical properties were presented in many monographs, for example in [1]. Note that using the proximate order of A.F. Grishin studied the growth of subharmonic and 8 -subharmonic functions at infinity. In the article we sharpen Grishin's variant of the theorem on the existence of a proximate order. The result of this paper allows us to somewhat simplify the constructions from the proof of several assertions. Keywords: рroximate orde, uniform continuity, absolutely continuous function.

УДК 517.518.14

Пусть f (r) - положительная функция на полуоси (0; ю) и перед нами стоит

задача описать асимптотическое поведение функции f на бесконечности. Важной

числовой характеристикой функции f является ее порядок р , которой определяется

по формуле

7—ln f (Г) р = lim—. r—( ln r

Если р - порядок функции f, а - произвольное строго положительное число, то выполняется следующая система неравенств: f (r) < rp+E; f (r) > P.

Типом функции f при порядке р называется величина

nm^r).

r—r Р

Если с <ю, то для любого £ > 0 выполняются неравенства: f (r) < (c + £)rр, f (r) > (o-e)rр.

Уточнённый порядок играет важную роль в теории роста субгармонических функции, в ряде других разделов математики.

Абсолютно непрерывная функция р (г) на полуоси ( 0 , да) называется уточнённым порядком в смысле Валирона, если выполняются следующие два условия:

1) существует предел limp (г) = р (да) = р £ (—да, + да) , ( 1 )

Г-> со

2) li mrl пгр' (г) = 0 . (2 )

Г-> со

В приложениях чаще всего используется не сам уточнённый порядок , а функция 7 (г) = гр (г). Отметим следующее свойство уточнённого порядка.

Отметим следующее свойство уточнённым порядком (см., пример [1])

Теорема 1. Для любого t > 0 существует предел

7(tr)

(3)

Г->СО 1/ (J" J

и этот предел равномерный на любом сегменте [а, Ъ] с ( 0 , да).

Если р (г) - уточнённый порядок, то существует дифференцируемый, и даже аналитический, уточнённый порядок такой, что

7 (г)

где .

Поэтому предположение о дифференцируемости уточнённого порядка часто не ограничивает общности рассуждений. В дальнейшем мы будем предполагать, что функция р (г) является непрерывно дифференцируемой на полуоси ( 0 , да).

Рост произвольной функции / (г) сравнивается с ростом функции вида 7 (г) .

Множество функций вида 7 (г) - это более широкое множество, чем множество степеней г а, а£(—да, + да), или множество функций вида г«0( /Пг) а 1 (ln 2 г) . . . (In fc г)агде ат - вещественные числа, а l птг - это -тая итерация логарифма. Например, ln 2 г = Zn ( /пг) .

Важность понятия уточнённого порядка в теории роста функций можно усмотреть из следующей теоремы.

Теорема 2. Пусть / (г) - произвольная функция конечного порядка р. Тогда существует уточнённый порядок такой, что выполняются условия:

1) р = lim р(г);

2) Функция р(r) является монотонной функцией на полуоси [1; (ю) ;

3) Выполняется соотношение (r + e)ln(r + e)\p'(r)|<|p(r) — р|, r > 1 ;

4) Выполняется соотношение

_f(r)

lim^ = (j£ (0,да). (4)

r->OD V (т)

Доказательство этой теоремы можно найти в [2]. Правда, в дополнительно требуется, чтобы функция / (г) была непрерывной. Сейчас мы увидим, что несущественное требование.

Пусть / (г) - произвольная функция порядка р . Не ограничивая общности, можно

считать, что функция / (г) является ограниченной на любом сегменте [0; N]. Пусть n > 0 произвольное целое число. Обоначим mn = inf{ f (r): r e[n; n + 1]};

1 2

Mn = sup{/(r): r e[n; и +1]} ; an = n + —; J3n = n + — . Строим функцию / (r)

следующим образом. На каждом сегментов [и;аи ]; [«и ]; [^; n + 1] она

линейная и, кроме того, выполняются равенства

fi(n)=f (n); /1(«п)=; /[(Д) = Mn■ функция л W непрерывна на полуоси

(0; . Очевидно, что любой уточнённый порядок функции Д (г) является также

уточнённым порядком функции / (г) .

Отметим, что функция р (г) , существование которой утверждается в теореме 2, обладает некоторыми дополнительными свойствами, которых нет у произвольных уточнённых порядков. Это во-первых, свойство монотонности функции р (г); во-вторых, условие 3) из текста теоремы - это более сильное ограничение на функцию р (г) , чем требование (2) limrlnrp ' (г) = 0 из определения уточнённого порядка.

Г->°о

Обычно уточнённый порядок применяют для исследования асимптотического поведения функций / (г) по направлению г —оо. В этом случае поведение функции в окрестности нуля не играет никакой роли. Однако, в некоторых вопросах поведение р (г) в окрестности нуля также важно. Удобным, является

условие: р (г) удовлетворяет равенству р = — р (г) , или, что то же самое, V(г) = V . Принятие таких ограничений позволяет доказать следующую теорему.

Теорема 2.4. Пусть р (г) - нулевой уточнённый порядок (р (г) — 0, г — оо), удовлетворяющий условию р = — р (г) и пусть у ( t) = sup^(-y.

Тогда у ( t) - непрерывная функция на полуоси ( 0 , о) и выполняются соотношения

In КО . .. In ко

lim —-= 0, lim-z— = 0.

t—*со In t t->+o , ±

t

Отметим, что в случае если , где уточнённый порядок

удовлетворяет условию теоремы 2.4, получаем глобальное неравенство

V(rt) < tpY(t)V(r), (г, t) 6 (0, да). (5)

Использование этого неравенства позволяет упростить доказательство ряда известных утверждений.

Список литературы /References

1. Левин Б.Я., 1956. Распределение корней целых функций, ГИТТЛ. Москва.

2. Гришин А.Ф., Малютина Т.И., 1998. Об уточнённом порядке, Комплексный анализ и математическая физика. Красноярск. С. 10-24.