CC BY
4
УДК 510.6 Вестник СПбГУ. Математика. Механика. Астрономия. 2023. Т. 10 (68). Вып. 2
МЯС 37С25, 55М20
Теорема о неподвижной точке
через меру некомпактности для нового вида
сжимающих отображений
Ю. Туаль, А. Джейд, Д. Аль-Мутавакиль
Университет Султана Мулай Слимана, Марокко, 23000, Бени-Меллал, 591
Для цитирования: Туаль Ю., Джейд А., Аль-Мутавакиль Д. Теорема о неподвижной точке через меру некомпактности для нового вида сжимающих отображений // Вестник Санкт-Петербургского университета. Математика. Механика. Астрономия. 2023. Т. 10 (68). Вып. 2. С. 270-276. https://doi.org/10.21638/spbu01.2023.208
Статья продолжает недавние исследования авторов о сжимающих отображениях в ограниченном метрическом пространстве, без использования компактности пространства, и классе сжимающих отображений без использования регулярности для произвольной меры некомпактности. В статье используется понятие а-допустимых отображений в банаховых пространствах, вводится понятие Тр-сжимающих отображений и доказываются теоремы о неподвижной точке для такого типа сжатия. Эти теоремы обобщают и улучшают многие известные в литературе результаты. Кроме того, основной результат используется для доказательства существования решения интегрального уравнения Вольтерра при более общих предположениях, чем это делалось ранее.
Ключевые слова: фиксированная точка, мера некомпактности, а-допустимое отображение, Тр-сжимающее отображение, регулярность.
1. Введение. Мера некомпактности — один из самых мощных инструментов теории неподвижной точки. Существуют различные типы определений понятия мер некомпактности на метрических и топологических пространствах, но первоначально мера некомпактности была определена Куратовским [1]. Чтобы ввести меру некомпактности, Куратовский определил для семейства всех ограниченных подмножеств метрического пространства (X, ¿) следующую функцию:
п
а(П) = М { £ > 0 : П С У Бк, Бк С X, Б1аш (Бк) < е : к =1, 2, ••• ,п £ Ы}.
к=1
В 1955 г. Дарбо, используя этот подход, доказал теорему, гарантирующую существование неподвижных точек так называемых уплотняющих операторов [2], и обобщенную теорему Шаудера о неподвижной точке [3]. Позднее, в 1967 г., Садовский [4] доказал теорему о неподвижной точке для уплотняющих операторов, обобщающую теорему Дарбо о неподвижной точке.
С другой стороны, в 2012 г. Самет и др. [5] ввели понятие а-допустимого отображения. Используя это понятие, авторы определили а-^-сжимающие отображения и доказали существование неподвижной точки для таких отображений во множестве метрических пространств. Этот результат можно считать одним из важнейших
© Санкт-Петербургский государственный университет, 2023
обобщений теоремы Банаха о неподвижной точке. Проводя исследования в том же направлении, но с использованием меры некомпактности, Агаджани и Пурхад [6] доказали существование неподвижной точки для а-допустимых отображений.
В недавней работе [7] авторы получили результат для сжимающих отображений в ограниченном метрическом пространстве (X, ¿), удовлетворяющих условию Ых=уех{¿(х, у) — ¿(Тх, Ту)} > 0, не используя компактность пространства. Другие работы в этом направлении можно найти в [8-14]. Аналогично этим работам, совсем недавно, для произвольной меры некомпактности ц, авторы [15] получили результат для класса сжимающих отображений без использования регулярности при условии
Таким образом, возникает вполне естественный вопрос: можем ли мы распространить условие (1) на
В настоящей работе, основываясь на понятии «-допустимых отображений, мы вводим понятие Tß-сжимающего отображения в банаховых пространствах, чтобы доказать новую теорему о неподвижной точке для нового типа сжимающих отображений, упомянутого в [2]. В литературе, известной авторам, это первая попытка доказать существование фиксированной точки отображений, удовлетворяющих условию /(Т(П)) < /(П).
Наконец, в последнем разделе статьи существующий результат для интегрального уравнения Вольтерра рассматривается при новых и слабых условиях.
2. Подготовительный этап. В этом разделе мы приводим некоторые определения и результаты, которые потребуются далее.
Пусть X — банахово пространство, Mx — семейство всех ограниченных подмножеств, X и Nx — семейство всех относительно компактных множеств в X. Пусть В и Cov (В) — замыкание и замкнутая выпуклая оболочка В С X соответственно.
Определение 1. Отображение / : MX ^ [0, называется мерой некомпактности, определенной на X, если оно имеет следующие свойства:
(i) семейство ker / = {B G MX : /(B) = 0}, непустое, и ker / С NX;
(ii) АсВ^ ц{А) < ц(В); (in) (л(В) = (л(В) = /x(Cov(B));
(iv) /(XA + (l - X)B) < X/(A) + (1 - X)/(B) для всех X G [0,1] и A, В G Mx;
(v) если {Bn} представляет собой убывающую последовательность непустых, замкнутых и ограниченных подмножеств X с lim /(Bn) = 0, то B= HnBn =
Определение 2 ([16]). Пусть / — мера некомпактности в банаховом пространстве X. Мера / однородна, если /(XA) = |X|/(A) для X G R. Если мера / удовлетворяет условию /(A + B) < /(A) + //(B), то она называется субаддитивной. Однородная и субаддитивная мера / называется сублинейной.
Определение 3 ([16]). Говорят, что мера некомпактности / обладает свойством максимума, если /(A U B) = max{/(A), /(B)}.
Определение 4 ([16]). Сублинейная мера некомпактности /, обладающая свойством максимума и такая, что ker / = NX, называется регулярной мерой.
inf {/(П) - /(Т(П)) : П С C, /(П) > 0} > 0.
(1)
inf {/(П) - /(Т(П)) : П С C, /(П) > 0} > 0?
(2)
Определение 5 ([6]). Пусть .заданы отображения Т : С С X ^ X и а : Мх ^ [0,
Мы говорим, что Т а-допустимо, если
а(О) > 1 ^ а(Соу ТО,) > 1 для всех О С С, О £Мх,Т(О) £Мх■ (3)
Лемма 1 ([6]). Пусть С — ограниченное, замкнутое и выпуклое подмножество банахова пространства X и Т : С ^ С — непрерывное и а-допустимое отображение такое, что а(С) > 1 и
а(О)р(ТО) < кр(О) для всех О С С,
где 0 < к < 1. Тогда Т имеет неподвижную точку.
Теорема 1 (Шаудер [3]). Пусть С — замкнутое выпуклое подмножество банахова пространства X. Тогда каждое компактное непрерывное отображение Т : С ^ С имеет хотя бы одну неподвижную точку.
Теорема 2 (Дарбо, 1955 [17]). Пусть С — непустое, ограниченное, замкнутое и выпуклое подмножество банахова пространства X и пусть Т : С ^ С — непрерывное отображение. Предположим, что существует константа к £ [0,1) такая, что
(л(Т(О)) < кИ(О)
для любого подмножества О в С. Тогда Т имеет хотя бы одну неподвижную точку, где ц — произвольная мера некомпактности.
Теорема 3 (Садовский [4]). Предположим, что С — непустое, ограниченное, замкнутое и выпуклое подмножество банахова пространства X и Т : С ^ С — непрерывное отображение. Если для любого непустого подмножества О в С с ц(О) > 0 справедливо неравенство
р(Т(О)) <р(О),
где ц — регулярная мера некомпактности в X, то Т имеет хотя бы одну фиксированную точку в С.
3. Основные результаты. Вначале введем определение и докажем лемму.
Определение 6. Пусть С — ограниченное замкнутое выпуклое подмножество банахова пространства X и Т : С ^ С — отображение. Т называется Тр-сжимающим отображением, если
М {^(О) — ¡А,(Т (О)) + в (О) : О С С, ¡л(О) > 0} > 0, (4)
где в — функция, удовлетворяющая неравенству
в (О) < 0 ^ в(Соу ТО) < 0 для всех О С С, О £Мх ,Т (О) £Мх . (5)
Лемма 2. Если ц — мера некомпактности, то V = ем — 1 — мера некомпактности.
Доказательство. Мы имеем V(Б) = 0 тогда и только тогда, когда ц(Б) = 0 для всех Б £ Мх. Так как функция ехр непрерывная, неубывающая и выпуклая, то V удовлетворяет всем свойствам меры некомпактности. □
Основной результат статьи заключается в следующем.
Теорема 4. Пусть С — ограниченное замкнутое выпуклое подмножество банахова пространства X и Т : С ^ С — непрерывное Тр-сжимающее отображение такое, что в(С) < 0 и
в (Б) < М {м(О) — ц(Т (О)) + в(О) : О С С, ц(О) > 0},
для всех Б С С, где ц — произвольная мера некомпактности. Тогда Т имеет хотя бы одну неподвижную точку.
Доказательство. Пусть
А = М {^(О) — ц(Т (О)) + в (О) : О С С, ц(О) > 0}.
Тогда
^(Т (О)) — в (О) < МО) — А,
для всех О С С, где 1^(О) > 0. Следовательно,
а(О)ехр(^(Т(О))) < к ехр(^(О)),
где к = ехр—А) < 1 и а(О) = ехр(—в(О)). Тогда
а(Оу(Т(О)) < О),
где V — мера некомпактности, рассмотренная в лемме 2.
Согласно лемме 1, получаем, что Т имеет хотя бы одну неподвижную точку. □
Следствие ([15]). Пусть С — непустое ограниченное, замкнутое и выпуклое подмножество банахова пространства X и Т : С ^ С — непрерывное отображение такое, что { }
М {/л(О) — ¡л(Т(О)) : О С С, ц(О) > 0} > 0.
Тогда Т имеет хотя бы одну неподвижную точку, где ц — произвольная мера некомпактности.
4. Приложение. В этом разделе мы исследуем условие существования решения интегрального уравнения Вольтерра. С этой целью рассмотрим X = С([0,т], К) — пространство всех непрерывных функций из [0,т] в К с т > 0. Заметим, что X является банаховым пространством с учетом стандартной нормы ||х|| = шах4е[0,т] |х(£)|.
Пусть Б — замкнутый промежуток в К. Обозначим через С = С([0,т], Б) пространство всех непрерывных функций из [0, т] в Б. Рассмотрим интегральное уравнение Вольтерра:
х(Ь) = I к(в,х(в))ё18, (6)
0
где х £ С и к : [0,т] х Б ^ Б — непрерывное отображение.
Пусть ¡л — мера некомпактности, определяемая следующим образом (см. [16]):
(7)
для всех О € Мх. Зададим функцию в в виде
¡(О) = вир ||х||,
хеп
в : [0, т] ^ К
в(г) = 0.
Заметим, что ¡л — сублинейная мера некомпактности с максимальным свойством и кег ¡л = {в} = Мх, поэтому ¡л не является регулярным.
Рассмотрим оператор Т : С ^ С, определенный следующим образом:
Т (х)(Ь) =
■! 0
(8)
Таким образом, (6) имеет решение тогда и только тогда, когда Т имеет хотя бы одну неподвижную точку.
При сделанных предположениях сформулируем следующую теорему.
Теорема 5. Если существует А > 0 такое, что
(9)
для всех £ € [0,т] и х € С, то нелинейное интегральное уравнение (6) имеет решение.
Доказательство. Пусть £ € [0,т], О с С \{в} и х € О. Рассмотрим функцию
в(О) =
А, если О = {в}, 0, если иначе,
для всех О с С.
Понятно, что функция в удовлетворяет условию (5). Теперь имеем
1Т(х)(г)1< [ 1к(з,х(з))^з <
Jo
1 <-Т
[ (1х(з)1—А^з <
Jo
<- Г{\\х\\- А)<18 < т0
< вир ||х|| + в (О) — А
хеп
Следовательно,
ЦТхЦ < вир ||х|| + в(О) — А.
хеп
¡(ТО) < ¡(О) + в(О) — А.
(10)
(11)
и
Таким образом,
/л(П) - ц(ТQ) + /3(П) > A,
(12)
откуда следует
inf {^(П) - ц(Т(Q)) + ,6(0) :Q с C, ц(П) > 0} > A > fî(B), (13)
для всех B с C.
Согласно теореме 4 заключаем, что оператор Т имеет хотя бы одну неподвижную точку. □
Литература/References
1. Kuratowski K. Sur les espaces complets. Fundam. Math. 15 (1930), 301—309.
2. Banach S. Sur les operations dans les ensembles abstraits et leur applications aux equations integrales. Fund. Math. 3, 133-181 (1922).
3. Schauder J. Der fixpunktsatz in funktionalraumen. Studia Mo,th. 2, 171-180 (1930).
4. Sadovskii B. N. A fixed point principle. Functional Analysis and Its Applications 1, 74-76 (1967).
5. Samet B., Vetro C., Vetro P. Fixed point theorems for a—^-contractive type mappings. Nonlinear Analysis 75 (4), 2154-2165 (2012). https://doi.org/10.1016/j.na.2011.10.014
6. Aghajani A., Pourhad E. Application of measure of noncompactness to ii-solvability of finite systems of second order differential equations. Bull. Belg. Math. Soc. Simon Stevin 22 (1), 105-118 (2015). https://doi.org/10.36045/bbms/1426856862
7. Touail Y., El Moutawakil D., Bennani S. Fixed point theorems for contractive selfmappings of a bounded metric space. Journal of Function Spaces 2019, Article ID 4175807 (2019).
8. Touail Y., El Moutawakil D. Fixed point results for new type of multivalued mappings in bounded metric spaces with an application. Ricerche di Matematica 71, 315-323 (2022). https://doi.org/10.1007/s11587-020-00498-5
9. Touail Y., El Moutawakil D. New common fixed point theorems for contractive self mappings and an application to nonlinear differential equations. Int. J. Nonlinear Anal. Appl. 12 (1), 903-911 (2021). https://doi.org/10.22075/ijnaa.2021.21318.2245
10. Touail Y., El Moutawakil D. Fixed point theorems for new contractions with application in dynamic programming. Vestnik St Petersburg University. Mathematics 54, iss. 1, 206-212 (2021). https://doi.org/10.1134/S1063454121020126
11. Touail Y., El Moutawakil D. Some new common fixed point theorems for contractive self mappings with applications. Asian-European Journal of Mathematics 2250080 (2021). https://dx.doi.org/10.1142/s1793557122500802
12. Touail Y., El Moutawakil D. Fixed point theorems on orthogonal complete metric spaces with an application. International Journal of Nonlinear Analysis and Applications 12 (2), 1801-1809. https://doi.org/10.22075/ijnaa.2021.23033.2464 (2021).
13. Touail Y., Jaid A., El Moutawakil D. New contribution in fixed point theory via an auxiliary function with an application. Ricerche di Matematica (2021). https://doi.org/10.1007/s11587-021-00645-6
14. Touail Y. On multivalued L^F-contractions on generalized orthogonal sets with an aplication to integral inclusions, probl. Anal. Issues Anal. 11 (29), no. 3, 109-124 (2022). https://doi.org/10.15393/j3.art.2022.12030
15. Touail Y., Jaid A., El Moutawakil D. Fixed point results for condensing operators via measure of non-compactness. Vestnik St Petersburg University. Mathematics 55, 347-352 (2022). https://doi.org/10.1134/S1063454122030153
16. Banas J., Goebel K. Measures of non-compactness in Banach Spaces. New York, Marcel Dekker (1980).
17. Darbo G. Punti uniti in trasformazioni a codominio non compatto. Rendiconti del Seminario Matematico della Université di Padova 24, 84-92 (1955).
Статья поступила в редакцию 20 июня 2022 г.;
доработана 7 ноября 2022 г.; рекомендована к печати 17 ноября 2022 г.
Контактная информация:
Туаль Юсеф — аспирант; youssef9touail@gmail.com Джейд Амине — аспирант; aminejaid1990@gmail.com Аль-Мутавакиль Дрисс — проф.; d.elmoutawakil@gmail.com
Fixed point theorem via measure of non-compactness for a new kind of contractions
Y. Touail, A. Jaid, D. El Moutawakil
Sultan Moulay Slimane University, 591, Beni-Mellal, 23000, Morocco
For citation: Touail Y., Jaid A., El Moutawakil D. Fixed point theorem via measure of non-compactness for a new kind of contractions. Vestnik of Saint Petersburg University. Mathematics. Mechanics. Astronomy, 2023, vol. 10(68), issue 2, pp. 270-276. https://doi.org/10.21638/spbu01.2023.208 (In Russian)
In this paper, we will use the notion of a-admissible mappings in Banach spaces, to introduce the concept of Tp-contractive mappings and establish a fixed point theorem for this type of contractions. Our theorems generalize and improve many results in the literature. Moreover, we apply the main result to prove the existence of a solution for Volterra-integral equation, under more general assumptions than previously made.
Keywords: fixed point, measure of non-compactness, a-admissible, Tp-contractive mapping, regularity.
Received: June 20, 2022 Revised: November 7, 2022 Accepted: November 17, 2022
Authors' information:
Youssef Touail — youssef9touail@gmail.com
Amine Jaid — aminejaid1990@gmail.com
Driss El Moutawakil — d.elmoutawakil@gmail.com
