РЕЗУЛЬТАТЫ О НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКЕ ДЛЯ УПЛОТНЯЮЩИХ ОПЕРАТОРОВ ЧЕРЕЗ МЕРУ НЕКОМПАКТНОСТИ Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 515.1 Вестник СПбГУ. Математика. Механика. Астрономия. 2022. Т. 9 (67). Вып. 3

МБС 47Н10; 54Н25

Результаты о неподвижной точке для уплотняющих операторов через меру некомпактности

Ю. Туаль, А. Джейд, Д. Аль-Мутавакиль

Университет Султана Мулай Слимана, Марокко, 23000, Бени-Меллал, 591

Для цитирования: Туаль Ю, Джейд А., Аль-Мутавакиль Д. Результаты о неподвижной точке для уплотняющих операторов через меру некомпактности // Вестник Санкт-Петербургского университета. Математика. Механика. Астрономия. 2022. Т. 9 (67). Вып. 3. С. 542-549. https://doi.org/10.21638/spbu01.2022.314

В этой статье мы доказываем некоторые теоремы о неподвижных точках для уплотняющих операторов в условиях банаховых пространств через меру некомпактности без использования регулярности. Наши результаты улучшают и обобщают многие известные в литературе результаты.

Ключевые слова: неподвижная точка, мера некомпактности, регулярность.

1. Введение. Классические принципы неподвижной точки Шаудера [1] и Банаха [2] являются одними из наиболее полезных результатов в метрической теории неподвижной точки. Благодаря приложениям в математике и других смежных дисциплинах эти результаты были обобщены во многих направлениях. Теорема Шаудера о неподвижной точке утверждает, что любое компактное выпуклое непустое подмножество нормированного пространства обладает свойством неподвижной точки. В 2013 г. в работе [3] эта теорема была обобщена на полулинейные пространства. Расширения банахова принципа сжатия были получены либо путем обобщения свойств расстояния лежащей в основе области, либо путем изменения условия сжатия на отображениях.

В 1930 г. Куратовский [4] ввел понятие меры некомпактности, определяемое следующим образом:

п

а(П) = М { £ > 0 : П С У Вк, Вк С X, Б1аш (Вк) < е : к = 1, 2,...,п £ Ы},

к=1

где Б1аш (В) обозначает диаметр ограниченного множества В.

В 1955 г. Дарбо [5] использовал эту меру для обобщения как классического принципа неподвижной точки Шаудера, так и принципа банахова сжатия для к-уплотняющих операторов, удовлетворяющих условию а(Т(П)) < ка(П) для некоторого к £ [0,1). В том же направлении исследований Садовский [6] в 1967 г. изучил класс так называемых уплотняющих отображений, удовлетворяющих условию а(Т(П)) < а(П), и обобщил теорему Дарбо.

Теорема Красносельского о неподвижной точке (1955) [7] для суммы двух операторов Т + й представляет собой комбинацию банахова принципа отображения сжатия и теоремы Шаудера о неподвижной точке. Она утверждает, что сумма Т + й

© Санкт-Петербургский государственный университет, 2022

имеет хотя бы одну неподвижную точку в непустом замкнутом выпуклом подмножестве C банахова пространства X, где S и T удовлетворяют следующим условиям:

(i) T — сжатие с константой y € [0,1),

(ii) S непрерывна,

(iii) S(C) принадлежит компактному подмножеству X,

(iv) любые x,y € C влекут, что Tx + Sy € C.

Этот результат был распространен в различных направлениях (см., например, [8, 9]).

В 1962 г. Эдельштейн [10] доказал теорему о неподвижной точке для сжимающих отображений на метрическом пространстве (X, d) в предположении, что это пространство компактно. В статье [11] авторы доказали результат для сжимающих отображений в ограниченном метрическом пространстве (X,d), удовлетворяющих условию infx=yex{d(x,y) — d(Tx,Ty)} > 0 без добавления компактности пространства; другие работы в этом направлении можно найти в [12-16].

Руководствуясь вышеуказанными работами, в этой статье мы используем концепцию мер некомпактности, чтобы доказать новую неподвижную точку для нового класса уплотняющих отображений T : C ^ C, определяемых следующим образом:

inf ¡Q) — ¡(T(Q)) : Q С C, ¡(Q) > 0} > 0. (1)

При сравнении с основной теоремой в [6] отметим, что наши результаты доказываются без использования регулярности меры, что на практике является очень трудным предположением.

Кроме того, мы доказываем теорему для нового класса уплотняющих отображений в себя, которые мы называем ¡Е-слабоуплотняющими отображениями, определяемыми следующим образом:

¡(T(Q)) < ¡(Q) — ф(1+ ¡(Q)), (2)

где ф : [1, ^ [0, — функция, удовлетворяющая ф(1) =0 и inft>i ф(Ь) > 0.

Кроме того, мы используем первую теорему для доказательства новой некомпактной неподвижной точки типа Красносельского, которая является расширением известной теоре{мы Красносельского о неподвижной точке}, поскольку условие (iii) заменено на inf {¡(Q) — ¡((I — T)-1S(Q)) : Q С C, ¡(Q) > 0} > 0.

Наконец, чтобы показать применимость нашего основного результата, дается приложение для интегрального уравнения Вольтерра при новых и слабых условиях.

2. Постановка задачи. Всюду в этой статье X — банахово пространство, Mx — семейство всех ограниченных подмножеств в X, Nx — семейство всех относительно компактных множеств в X и D(T) обозначает область определения оператора Т. Пусть В и Cov (В) обозначают замыкание и замкнутую выпуклую оболочку B С X соответственно. Напомним некоторые определения и результаты, необходимые в дальнейшем.

Определение 1 (Банас и Гобель, 1980 [18]). Отображение л : Mx ^ [0, называется мерой некомпактности, определенной на X, если оно удовлетворяет следующим свойствам:

(i) семейство ker л = {B € Mx : л(B) = 0} непусто и ker л С Nx,

(ii) А с В ц{А) < л(В),

(iii) л(В) = л(В) = n(Cov(B)),

(iv) л(ЛА + (1 - X)B) < Лл(А) + (1 - X)^(B) для всех Л G [0,1] и A, B e MX,

(v) если {Bn} — убывающая последовательность непустых, замкнутых и ограниченных подмножеств X с lim^(B„) = 0, то B= ПпBn = 0.

Определение 2 [18]. Пусть л — мера некомпактности в банаховом пространстве X. Мера л однородна, если ¡(ЛА) = |Л|л(А) для Л G R. Если мера ц удовлетворяет условию ¡(А + B) < ¡(А) + ¡(B), то она называется субаддитивной.

Мера ¡, будучи одновременно однородной и субаддитивной, называется сублинейной.

Определение 3 [18]. Говорят, что мера некомпактности л обладает свойством максимума, если ¡(А U B) = max{^,(A),^,(B)}.

Определение 4 [18]. Сублинейная мера некомпактности ¡, имеющая максимум и такая, что ker л = NX, называется регулярной мерой.

Пример. В каждом метрическом пространстве X отображение

л/п\ / 0, если О предварительно компактен, [1, если иначе,

есть мера некомпактности, называемая дискретной мерой некомпактности. Эта мера обладает свойством максимума, инвариантна при переходе на выпуклую оболочку и не является однородной.

Теорема 1 (Шаудер [1]). Пусть C — замкнутое выпуклое подмножество банахова пространства X. Тогда каждое компактное непрерывное отображение T : C ^ C имеет хотя бы одну неподвижную точку.

В качестве существенного обобщения теоремы Шаудера о неподвижной точке мы имеем следующую теорему о неподвижной точке.

Теорема 2 (Дарбо, 1955 [5]). Пусть C — непустое, ограниченное, замкнутое и выпуклое подмножество банахова пространства X, и пусть T : C ^ C — непрерывное отображение. Предположим, что существует константа k G [0,1) такая, что

¡(T(О)) < кл(О)

для любого подмножества О в C. Тогда T имеет хотя бы одну неподвижную точку. Здесь л — произвольная мера некомпактности.

Обобщение теоремы 2, где л — регулярная мера некомпактности, было доказано Садовским, мы приводим его в следующей теореме.

Теорема 3 (Садовский [6]). Предположим, что C — непустое, ограниченное, замкнутое и выпуклое подмножество банахова пространства X и T : C ^ C — непрерывное отображение. Если для любого непустого подмножества О в C с л(О) > 0 имеем

m(T(О)) <л(О),

где л — регулярная мера некомпактности в X, то T имеет хотя бы одну неподвижную точку в C.

Лемма 1 [9]. Пусть (X, ||.||) — нормированное пространство, C С X. Предположим, что отображение T : C ^ X является сжатием с константой y < 1,

тогда обратное Г := I — Т : С ^ (I — Т)(С) существует и

\\F~4x) - Р~Чу)II < —\\х-у\\ для всех х, у € КС). 1 - 7

3. Основные результаты. Сначала докажем следующую вспомогательную лемму.

Лемма 2. Если ц — мера некомпактности, то V = ем — 1 — мера некомпактности.

Доказательство. Мы имеем V(В) = 0 тогда и только тогда, когда ¡(В) = 0 для всех В € Мх. Так как функция ехр непрерывна, неубывающа и выпукла, то V удовлетворяет всем свойствам меры некомпактности. □

Теперь мы можем сформулировать наш основной результат.

Теорема 4. Пусть С — непустое ограниченное, замкнутое и выпуклое подмножество банахова пространства X и Т : С ^ С — непрерывное отображение такое, что

М {¡(О) — ¡(Т(О)) :О С С, ¡(О) > 0} > 0.

Тогда Т имеет хотя бы одну неподвижную точку. Здесь ц — произвольная мера некомпактности.

Доказательство. Пусть

I = М {¡(П) — ¡(Т(О)) :О С С, ¡(О) > 0}, (3)

тогда

для всех О С С, где ¡(О) > 0. Отсюда получаем

где к = е-1 < 1. Тогда имеем

¡(Т(О))) < ¡(О) — I (4)

е»(тт < ке^(п), (5)

v(T(О)) < ^(О) (6)

для всех О С С, где V = ем — 1.

По лемме 2 V является мерой некомпактности. Тогда согласно теореме 2 получаем, что Т имеет хотя бы одну неподвижную точку. □

Определение 5. Пусть С — непустое ограниченное, замкнутое и выпуклое подмножество банахова пространства X и Т : С ^ С — отображение. Т будем называть ¡Е-слабоуплотняющим отображением, если оно непрерывно и

¡(Т(О)) < ¡(О) — ф(1 + ¡(О))

для всех О С С, где ¡(О) > 0 и ф : [1, ^ [0, — функция, удовлетворяющая ф(1) = 0 и ф(г) > 0.

Теорема 5. Пусть С — непустое ограниченное, замкнутое и выпуклое подмножество банахова пространства X и Т : С ^ С — ¡Б-слабоуплотняющее отображение. Тогда Т имеет хотя бы одну неподвижную точку.

Доказательство. Пусть П С С, из определения 7 имеем

о < м ф(г) < ф(1 + ^(П)) < ^(П) - ^(Т(П)). (7)

Тогда { }

М {^(П) - ¡л(Т(П)) : П С С, ^(П) > 0} > 0. (8)

Согласно теореме 4, отображение Т имеет хотя бы одну неподвижную точку. □

Пример. Мера некомпактности Хаусдорфа определяется следующим образом (см. [18]):

х(П) = М ^ е > 0 : П ^ У В(хк, г к), Хк £ X, Гк < £ : к =1, 2,...,п £ N I =

к=1

= inf{ е > 0 : П имеет конечную е-сеть}.

Теперь пусть X = ¡2 = {х = (х1,х2,..., х^,...) : Ух! < ж, ||х|| =

($^¿=1 х!2)1/2} — пространство всех абсолютно 2-суммируемых рядов и С = В(0,1) — единичный замкнутый шар пространства X. Определим Т и ф по

Тх = (\Д - |М|2, XI, Х2, ..., Хг, ...) (9)

для всех х £ С, а также

ф(1) = 0 (10)

для всех £ £ [1, +то). Имеем

х(Т (П)) = х(П) (11)

для любого набора П С С.

Действительно, если элементы

хя (хв1 ,хв2 , ..., ХSi , ...), в 1, 2, ..., n, (12)

образуют е-сеть множества П, компакт К, состоящий из элементов

у8 = (x0,xsl ,хЯ2 ,...,хн,...), хо £ [0,1], в = 1, 2,...,п, (13)

образует е-сеть множества Т(П).

С другой стороны, если элементы (12) образуют е-сеть множества Т(П), то конечная е-сеть для П может быть составлена из вектора

^ = (х,$2 ,...,хн,...), в = 1, 2,...,п. (14)

Следовательно,

х(Т(П)) < х(П) - ф(1+ х(П))) (15)

для всех П С С.

Тем не менее Т не является уи£-слабоуплотняющим отображением, так как М>1 ф(£) =0 и Т не имеет неподвижных точек. Поэтому условие т^>1 ф(£) > 0 является существенным.

Далее мы даем новую версию теоремы Красносельского о неподвижной точке [7].

Теорема 6. Пусть С — непустое, ограниченное, замкнутое и выпуклое подмножество банахова пространства X с С С П(Т) С X. Предположим, что Т : Б(Т) ^ X и Б : С ^ X такие, что (г) Б непрерывна,

(п) Т — сжатие с константой 7 < 1, (гп) Б (С) С (I — Т )(Б(Т)),

(ш) Ы {¡(О) — ¡((I — Т)-1Б(О)) : О С С, ¡(О) > 0} > 0. Тогда Т + Б имеет хотя бы одну неподвижную точку.

Доказательство. Так как Т — это сжатие с константой 7 < 1, то по лемме 1 обратное сжатие (I — Т) существует на ее образе (I — Т)(В(Т)) и является непрерывным. Из (1) и (ш) заключаем, что отображение N = (I — Т)-1Б : С ^ В(Т) корректно определено и непрерывно. Тогда из (1у) и теоремы 4 мы заключаем, что N имеет по крайней мере одну неподвижную точку. Это завершает доказательство теоремы. □

4. Приложение. В этом разделе мы исследуем существование решения интегрального уравнения Вольтерра. Для этого предложим, что X = С([0,т], К) — пространство всех непрерывных функций из [0,т] в К с т > 0. Заметим, что X является банаховым пространством, учитывая стандартную норму ||х|| = шах4е[о,т] |х(г)|.

Пусть В — выпуклое, замкнутое и ограниченное подмножество К, обозначим через С = С([0, т], В) пространство всех непрерывных функций из [0, т] в В. Ясно, что С — замкнутое, ограниченное и выпуклое подмножество X. Рассмотрим интегральное уравнение Вольтерра

х(г) = к(в,х(в))ё18, (16)

о

где х € С и к : [0,т] х В ^ В — непрерывное отображение.

Пусть ¡ — мера некомпактности, определяемая следующим образом (см. [18]):

¡(О) = 8пр ||х|| (17)

хео

для всех О € Мх. Пусть

в : [0,т] ^ К, г ^ 0.

Отметим, что ¡ — сублинейная мера некомпактности со свойством максимума и кег ¡ = {в} = Мх, поэтому ¡ не является регулярным.

Рассмотрим теперь оператор Т : С ^ С, определенный следующим образом:

Т(х)(г) = [ к(з,х(з)№. (18)

о

Итак, (1) имеет решение тогда и только тогда, когда Т имеет хотя бы одну неподвижную точку.

При сделанных предположениях сформулируем следующую теорему. Теорема 7. Если существует А > 0 такое, что

|Л(*,*(*))|<±(|х(*)|-Л) (19)

для всех t G [0,т] и x G C. Тогда нелинейное интегральное уравнение (1) имеет решение.

Доказательство. Пусть t g [0,r], О с C и x g О такие, что ¡(О) > 0, тогда имеем

\T{x){t)\< [ \k{s,x{s))\ds<- f (\x(s)\-A)ds < - [ (||ж|| - A)ds < sup ||ж|| - A.

Jо T J о T J о xen

Итак,

\\Tx\\< sup ||x|| — A. (20)

xen

Следовательно,

¡(TО) < ¡(О) — A (21)

для всех О с C с ¡(О) > 0. Далее мы имеем

inf {^(О) — ¡(Т(О)) : О с C, ¡1,(0) > 0} > 0. (22)

Согласно теореме 4 заключаем, что Т имеет хотя бы одну неподвижную точку. □

Авторы выражают сердечную благодарность профессору Н. А. Широкову за помощь в переводе рукописи на русский язык.

Литература/References

1. Schauder J. Der Fixpunktsatz in Funktionalraumen. Studia Math. 2, 171—180 (1930).

2. Banach S. Sur les operations dans les ensembles abstraits et leur applications aux equations integrales. Fund. Math. 3, 133-181 (1922).

3. Agarwal R. P., Arshad S., O'Regan D., Lupulescu V. A Schauder fixed point theorem in semilinear spaces and applications. Fixed Point Theory Appl. 2013, 306 (2013). https://doi.org/10.1186/1687-1812-2013-306

4. Kuratowski K. Sur les espaces complets. Fundam. Math. 15, 301-309 (1930).

5. Darbo G. Punti uniti in trasformazioni a codominio non compatto. Rend. Sem. Mat. Univ. Padova 24, 84-92 (1955).

6. Sadovskii B.N. A fixed-point principle. Funct. Anal. Its Appl. 1, 151-153 (1967). https://doi.org/10.1007/BF01076087

7. Krasnosel'skii M. A. Two remarks on the method of successive approximations. Uspekhi Matem-aticheskikh Nauk 10, 123-127 (1955).

8. Burton T. A fixed-point theorem of Krasnosel'skii. Appl. Math. Lett. 11, 85-88 (1998).

9. Dhage B.C. Remarks on two fixed-point theorems involving the sum and the product of two operators. Computers and Mathematics with Applications 46, 1779-1785 (2003).

10. Edelstein M. On fixed and periodic points under contractive mappings. J. of Lon. Math. Soc. 37 (1), 74-79 (1962).

11. Touail Y., El Moutawakil D., Bennani S. Fixed Point theorems for contractive selfmappings of a bounded metric space. J. Func. Spac. 2019, 4175807 (2019). https://doi.org/10.1155/2019/4175807

12. Touail Y., El Moutawakil D. Fixed point results for new type of multivalued mappings in bounded metric spaces with an application. Ricerche di Matematica (2020). https://doi.org/10.1007/s11587-020-00498-5

13. Touail Y., El Moutawakil D. New common fixed point theorems for contractive self mappings and an application to nonlinear differential equations. Int. J. Nonlinear Anal. Appl. 12 (1), 903-911 (2021). https://doi.org/10.22075/IJNAA.2021.21318.2245

14. Touail Y., El Moutawakil D. Fixed Point Theorems for New Contractions with Application in Dynamic Programming. Vestnik St Petersb. Univ. Math. 54, 206-212 (2021). https://doi.org/10.1134/S1063454121020126

15. Touail Y., El Moutawakil D. Some new common fixed point theorems for contractive selfmappings with applications. Asian. Eur. J. Math. 15 (4), 2250080 (2022). https://doi.org/10.1142/S1793557122500802

16. Touail Y., El Moutawakil D. Fixed point theorems on orthogonal complete metric spaces with an application. Int. J. Nonlinear Anal. Appl. 12 (2), 1801—1809 (2021). https://doi.org/10.22075/lJNAA.2021.23033.2464

17. Touail Y., Jaid A., El Moutawakil D. New contribution in fixed point theory via an auxiliary function with an application. Ricerche di Matematica (2021). https://doi.org/10.1007/s11587-021-00645-6

18. Banas J., Goebel K. Measures of Non-compactness in Banach Spaces. New York, Marcel Dekker (1980).

Статья поступила в редакцию 21 декабря 2021 г.;

доработана 14 февраля 2022 г.; рекомендована к печати 3 марта 2022 г.

Контактная информация:

Туаль Юсеф — аспирант; youssef9touail@gmail.com Джейд Амине — аспирант; aminejaid1990@gmail.com Аль-Мутавакиль Дрисс — проф.; d.elmoutawakil@gmail.com

Fixed point results for condensing operators via measure of non-compactness

Y. Touail, A. Jaid, D. El Moutawakil

Sultan Moulay Slimane University, 591, Beni-Mellal, 23000, Morocco

For citation: Touail Y., Jaid A., El Moutawakil D. Fixed point results for condensing operators via measure of non-compactness. Vestnik of Saint Petersburg University. Mathematics. Mechanics. Astronomy, 2022, vol. 9(67), issue 3, pp. 542-549. https://doi.org/10.21638/spbu01.2022.314 (In Russian)

In this paper, we prove some fixed point theorems for condensing operators in the setting of Banach spaces via measure of non-compactness, without using regularity. Our results improve and generalize many known results in the literature. Keywords: fixed point, measure of non-compactness, regularity.

Received: December 21, 2021 Revised: February 14, 2022 Accepted: March 3, 2022

Authors' information:

Youssef Touail — youssef9touail@gmail.com

Amine Jaid — aminejaid1990@gmail.com

Driss El Moutawakil — d.elmoutawakil@gmail.com