CC BY
71
УДК 629.12.001.2
ТЕОРЕМА О КРИВИЗНЕ НАЧАЛЬНОГО УЧАСТКА ДИАГРАММЫ ДИНАМИЧЕСКОЙ ОСТОЙЧИВОСТИ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ
Азовцев А.И., д.т.н., профессор, начальник кафедры Теории и устройства судна ФБОУ ВПО «Морской государственный университет
им. адмирала Г. И. Невельского», e-mail: Azovtsev@msun.ru Огай А.С., к.т.н., доцент кафедры Теории и устройства судна, ФБОУ ВПО «Морской государственный университет им. адмирала Г. И.
Невельского», e-mail: Ogay@msun.ru
Для специалистов занимающихся повышением безопасности мореплавания на основе надежного обеспечения остойчивости морских судов предлагается использовать вновь обнаруженное фундаментальное свойство диаграммы динамической остойчивости. Оно заключается в том, что кривизна начального участка диаграммы равна метацентрической высоте. Доказательство приведено в форме теоремы. Разработаны методы контроля диаграммы по доступному при эксплуатации судна параметру - по радиусу кривизны, определяемому по метацентрической высоте. Доказательство дано в системе координат, где масштабы по осям согласованы: 1м на шкале диаграммы динамической остойчивости равен линейно одному радиану (57,3°) на шкале углов крена. Для системы координат отличной от этого условия разработана система корректировки радиуса кривизны. Приведены примеры применения контроля диаграммы для согласованной системы координат и системы координат произвольной.
Ключевые слова: диаграмма динамической остойчивости, начальный участок, кривизна, радиус кривизны.
THEOREM OF THE CURVATURE OF THE INITIAL PORTION OF THE DYNAMIC STABILITY CHART AND ITS APPLICATION
Azovtsev A., Doctor of Engineering Science, professor, head of the Naval architecture chair, FSEIHPE «Maritime State University named after
admiral G.I.Nevelskoi», e-mail: Azovtsev@msun.ru Ogai А., Ph.D., assistant professor, Theories and devices ship chair, FSEI HPE «Maritime State University named after admiral G.I.Nevelskoi»,
e-mail: Ogay@msun.ru
A newly found fundamental property of the diagram of dynamic stability is suggested for specialists dealing with raising of navigation safety on the basis of a reliable ensuring of ships stability. Its idea is that the curvature of the initial section of diagram is equal to metacentric height. The proof is given in the form of a theorem. Methods of the diagram control are developed on the available ship's parameter - on the curvature radius, defined by the metacentric height. The proof is given in the system of co-ordinates, where the scales by axes are co-ordinated: 1 m on the scale of the diagram of dynamic stability is equal to one radian (57.3°) on the scale of list angles. A system of correction of the curvature radius is developed for the co-ordinate system different from that condition. There are examples of using the diagram control for the agreed system of coordinates and the arbitrary system.
Keywords: diagram of the dynamic stability, initial sector, curvature, radius of curvature.
Предварительные определения
Обеспечение достаточной остойчивости судна оценивается на основе диаграмм статической и динамической остойчивости. В теории корабля диаграммой статической остойчивости называется кривая, дающая зависимость восстанавливающих моментов от углов крена. В сложившейся практике судовых расчетов статической остойчивости и в Правилах классификации и постройки морских судов, например, том 1, 2015 год, часть IV. Остойчивость и в Приложении 1 «Инструктивные указания по составлению информации об остойчивости» [1] диаграмма статической остойчивости представляется как график плеча статической остойчивости в функции от угла крена.
На каждой диаграмме статической остойчивости должен быть построен проверочный треугольник [2]. Контроль основан на свойстве начального участка диаграммы статической остойчивости: первая производная от плеча статической остойчивости 1(и) по углу крена и при крене равном нулю (и=0) равна метацентрической высоте h:
dl (9)
de
9=0 = h (1)
Динамическая остойчивость судов характеризуется диаграммой динамической остойчивости, которая в размерности энергетической определяет величину наименьшей работы, которую нужно затратить для того, чтобы накренить судна на заданный угол. Величина этой работы может быть определена как работа момента восстанавливающего при накренении на заданный угол или как работа, затрачиваемая на увеличение вертикальной составляющей (по направлению сил тяжести и плавучести) расстояния между центром тяжести и центром плавучести. Аналогично диаграмме статической остойчивости, в судовой практике диаграмма динамической остойчивости может использоваться в размерности плеч. Плечо динамической остойчивости может быть представлено в метрах как увеличение вертикальной составляющей между центром тяжести и центром плавучести или как равная ей площадь диаграммы статической остойчивости в масштабе метр-радиан [1]. В [1] учтены унифицированные требования, интерпретации и рекомендации международной ассоциации классификационных обществ (МАКО) и соответствующие резолюции Международной Морской Организации (ИМО).
Определение динамической остойчивости как работы момента восстанавливающего по величине площади диаграммы статической остойчивости и расчет этой площади как интеграла от плеча статической остойчивости по углу крена устанавливает известную связь между
й й й й й l(9) й ф й h (e) [3]
диаграммами статической и динамической остойчивости как между интегрируемой кривой v ' и интегральной функцией [3]:
ld (9) =f l(9 )d9
0 (2)
При заданном угле крена ордината диаграммы динамической остойчивости выражает площадь диаграммы статической остойчивости; первая производная от плеча динамической остойчивости по углу крена определяет плечо статической остойчивости; угол максимума диаграммы динамической остойчивости соответствует углу заката диаграммы статической остойчивости.
Поскольку плечо статической остойчивости в прямом положении судна равно нулю:
при 9 = 0
l (0) = 0, l (0 )
ld (0) = 0,
(3)
то площадь под кривои
при ' (4)
h (0)
с1 \ ,
т.е. плечо в начале координат равно нулю.
Из (2) на основе связи первоИ производной от интеграла и подинтегральной функцией
(0)
Л
0= 0 =1 (0)
0= 0 = 0
Первая производная, как характеристика скорости роста функции, определена углом наклона касательной к графику функции равна
нулю при 0 0 . Угол наклона касательной к графику а ( ) в точке 0 0 равен нулю, что определяет положение оси абсцисс (углов
крена) как касательной к кривой а ( ) в точке 0 0 .
Наша практика экспертизы применения диаграммы динамической остойчивости в судовых расчетах дает основание утверждать, что это свойство диаграммы не всегда используется для контроля достоверности диаграммы. Теорема
Е й й к(0) й й
Если плечо статической остойчивости равно нулю в прямом положении судна, то кривизна диаграммы динамической остой-
/а (0) й й И
чивости при нулевом крене равна начальной метацентрической высоте .
Доказательство
к (0) Ь (0)
Нужно установить равенство функции, определяющей кривизну 4 7 диаграммы динамической остойчивости а , и начальной метацентрической высоты И при угле крена равном нулю.
Ь (0)
Для функции а , заданной в явном виде кривизна в любой точке определяется зависимостью [2]:
а \ (0)
K (0 ) =
1+
с/в
dld (0 ) dQ
\2
Из (2) следует, что dld (0)
dQ
= l (0)
На этом основании знаменатель в формуле (5) преобразован к виду:
(5)
1 +
dld (0) dQ
\2
1 3/ 22
= [1+(l(0)) ]
По условию теоремы, как показано в (3), при = 1
0= 0 l (0) = 0
1 3/
2 /2
[1 + (l(0)) ]
знаменатель в (5):
1 +
rdld (0 ) d0
2
v
/
1.
Подставляя это условие в (5) и используя (2) и (1), получим 2 'dld(0) Л
K(0) й=(
d ld(0)
е=0
2
d0
d d0
d0
e=0
yie=0
-—1(0) d0
e=0
а/(0) а0
что доказывает условие теоремы [5].
Метод касательной окружности для контроля соответствия диаграммы динамической остойчивости метацентрической высоте
2
П К(0) и
Практическое применение теоремы для контроля диаграммы основано на том, что кривизна 4 ' кривои в точке определяется ее
) ф
радиусом кривизны v ' по формуле:
При 0 — 0
K (0 ) - 1
R(0 ) (7)
K (0 ) le —о - 1
R(0 )
— h.
e—о
что позволяет определить радиус кривизны по метацентрической высоте h:
R0 )1 .—о—
h (8)
ld (0 ) 0— 0
Начальный участок диаграммы d вогнутый. В точке w w ось углов крена является касательной к диаграмме. Поскольку радиус
R - ld
кривизны перпендикулярен к касательной, то центр кривизны расположен на оси и его координаты вычисляются по условию:
ld —~Г.
h (9)
0 — 0
Условие (1) определено для диаграммы статической остойчивости в точке ° u. Практическое применение этого условия для l (0 ) й
контроля соответствия диаграммы метацентрической высоте основано на том, что гипотенуза проверочного треугольника должна
быть касательной к начальному участку этой кривой.
R(0 )—h d
На таком же принципе основано практическое применение теоремы: окружность радиусом с центром на оси в
l — 1
h б й h (0 )
должна быть касательной к начальному участку диаграммы .
"d
точке h должна быть касательной к начальному участку диаграммы d v у . Такая касательная окружность при практических
построениях совпадает с начальным участком этой диаграммы, что определяет соответствие диаграммы динамической остойчивости метацентрической высоте.
Замечание
Формула (5), на основе которой получено доказательство теоремы и определяется радиус кривизны R для контроля диаграммы динамической остойчивости, соответствует условию равенства масштабов координат по шкалам d ( ) и 0 . Формулы (6) и (8) справедливы только при условии, что отрезок от нуля до d метр на шкале d равен отрезку от нуля до 0 =1 радиан (57,3°) на шкале 0 . Для практического применения условия (8) шкалы d и 0 должны соответствовать этому условию согласованности масштабов.
Пример применения метода касательной окружности и теоремы при согласованных масштабах координатных осей диаграммы динамической остойчивости
В соответствии с «Пояснениями для самостоятельных расчетов» «Информации об остойчивости и прочности т/х «Амур» [5] при перевозке контейнеров в трюмах и на крышках трюмов определены следующие параметры:
^ = 6813,0т - водоизмещение, Z = 6,82м - аппликата центра тяжести судна, hg
1 = 0,90м - начальная метацентрическая высота. Для диаграмм статической и динамической остойчивости шкала плеч задана 1 м 80 мм . Согласованная шкала углов крена
1 радиан — 57,3° — 80 мм.
определена по условию
Расчет плеч статической и динамической остойчивости представлен в Таблице 1. На рисунке 1 построена по этой таблице диаграмма
й й 1(0 ) й й й h
статической остойчивости и традиционный проверочный треугольник для контроля соответствия метацентрической высоте h
0
этой диаграммы по условию (1). Соответствие подтверждается тем, что при малых углах крена гипотенуза треугольника является
й l (0 )
касательной к диаграмме .
На рисунке 2 построена диаграмма динамической остойчивости в согласованных координатах:
ld — 1,0 м — 80 мм — 1рад. — 57,3 — 0
Радиус кривизны проверочной окружности определен по метацентрической высоте:
R —1 — —1,11м. h 0,90
Таблица 1. Расчет плеч статической и динамической остойчивости
Углы крена Расчет плеч статической остойчивости Расчет плеч динамической остойчивости
е. град Шкала согласованная, мм Шкала несогласованная, мм 1 = 1р -гдБтв 1 1 + +1 2 57)3
51П0 гдвтв 1Р ^ , м 1г + 11+1 2 01+1-01 57,з ¡■а, м
0 0 0 0,000 0 0 0 0 0
5 7,0 5 0,087 0,594 0,674 0,080 0,040 0,087 0,003
10 14,0 10 0,174 1,187 1,357 0,170 0,125 0,087 0,014
15 20,9 15 0,259 1,767 2,047 0,280 0,225 0,087 0,034
20 27,9 20 0,342 2,333 2,763 0,430 0,355 0,087 0,065
25 34,9 25 0,423 2,886 3,496 0,610 0,520 0,087 0,110
30 41,9 30 0,500 3,411 4,211 0,800 0,705 0,087 0,171
40 55,8 40 0,643 4,387 5,217 0,830 0,815 0,174 0,313
50 69,8 50 0,766 5,226 5,976 0,750 0,890 0,174 0,450
60 83,8 60 0,866 5,908 6,408 0,500 0,625 0,174 0,559
70 97,7 70 0,940 6,413 6,503 0,090 0,295 0,174 0,610
В этой таблице р - пантокарены.
Рисунок 1. Диаграмма статической остойчивости.
Рисунок 2. Диаграмма динамической остойчивости в согласованных координатах. Этим радиусом проведена проверочная окружность. Соответствие построенной диаграммы динамической остойчивости
/„ (0)
ь 0
центрической высоте подтверждается тем, что при малых углах крена проверочная окружность является касательной окружностью
к диаграмме динамической остойчивости.
На рисунке 3 диаграмма динамической остойчивости
/а = 1м = 80 мм,
0°= 57,3° = 57,3мм(0 ° = 1° = 1мм)
I (0)
построена в несогласованных координатах:
Рисунок 3. Диаграмма динамической остойчивости в несогласованных координатах.
Проверочная окружность, определенная по условию (8), расходится с диаграммой, что подтверждает применимость условия (8) только в согласованных координатах.
Определение радиуса кривизны начального участка диаграммы динамической остойчивости при несогласованных координатных осях.
(6С, I,-) 0Г °
На рисунке 4 точка С диаграммы динамической остойчивости с координатами С в координатной оси согласованной С
«С = 1
„ С к
и лежит на проверочной окружности, радиус которой .
Рисунок 4. К определению радиуса кривизны начального участка диаграммы динамической остойчивости в несогласованных
координатах.
I 1Г 6 °
Плечо динамической остойчивости г отмечено точкой Н при угле крена н на несогласованной оси углов крена. Радиус окружности с центром на оси и проходящей через точки О и Н О и Н обозначен «Н. . Численно для точек С и Н
равны, но их отстояние от нуля по оси углов крена составляет 1с и 1Н соответственно. Из [41 и в соответствии с обозначениями на рисунке 4:
ь = К-Л «С-% *
откуда
л1я2С- 1С = «С -Ь.
п 1С + I гН Кс =
(10)
2/„ .
6 И
Аналогично определится радиус окружности в несогласованной координатной оси
(11)
6
Отношение радиусов
При
и ^ о
«ш =
/И +/Г
2Г
= 2/д(/ И+/ Г,-) = /И+/2,
Яс ш/С+/2) /С+/2,
К
И > / И =
ъ /2
^С
1С
'I л2
И
Л
С
= Шп,
(12)
(13)
(14)
Ши 6 и /Г "1И 6 И
где масштаб несогласованной оси с осью . Масштаб несогласования оси рационально
6
/
ш„ -
6
опреде-
лить практически, как это показано на рисунке 4 пунктиром. Радиусом, соответствующим 1 метр на оси г провести дугу окружности с
6 ° 6
центром в начале координат и получить точку на шкале углов крена п . Угол крена соответствующий этой точке обозначен 1ш
57 3° = 1
На согласованной шкале этой точке соответствует угол ' радиан. Рекомендуется определить:
57,3° шп =-
п 6, °
1Ш (15)
Радиус кривизны Кн начального участка диаграммы динамической остойчивости для проверки ее на соответствие метацентрической высоте к при несогласованной шкале углов крена определится из (14), (15) с учетом (8):
« = 2 « = шИ
«п = Шп«с = ~Г
к . (16)
Пример применения метода касательной окружности при несогласованных осях координат
/Г
На рисунке 3 ось углов крена не согласована с осью г . Показано, что окружность, радиус которой определен по условию (8) согласованных осей, не является касательной к начальному участку диаграммы. В соответствии с рекомендацией (15):
57 3°
шИ = 0,71623,
п 80,0°
2 = 0,513
Шп
Радиус проверочной окружности определяется по (16):
ш И
0,513
= ^ = = 0,57
п к 0,90
м.
На рисунке 3 окружность такого радиуса является касательной окружностью к начальному участку диаграммы динамической остойчивости, что оценивается как соответствие диаграммы метацентрической высоте.
Заключение
На основе теоремы о кривизне начального участка диаграммы динамической остойчивости разработаны методы практического ее применения для контроля достоверности диаграммы динамической остойчивости методом касательной окружности, радиус которой определяется по метацентрической высоте. Приведенные примеры наглядно демонстрируют применимость такого контроля достоверности диаграммы динамической остойчивости и методику выполнения такого контроля. Морской Государственный Университет имени адмирала Г. И. Невельского включил этот метод в программу обучения судоводителей и в разрабатываемую документацию для контроля остойчивости морских судов.
Литература:
1. Правила классификации и постройки морских судов. Том 1. С.-Пб.. РМРС. 2015.-500с.
2. Справочник по теории корабля: В трех томах. Том 2. Статика судов. Качка судов / Под ред. Я.И. Войкунского. - Л.: «Судостроение», 1985. - 440 с.
3. Благовещенский С.Н., Холодилин А.Н. Справочник по статике и динамике корабля. В двух томах. Изд. 2-е перераб. Том 1. Статика корабля. Л., «Судостроение», 1975, 336 с.
4. Бронштейн И.Н., Семендеев К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. - 13 изд. Исправленное, - М.: Наука, Гл. ред. физ. - мат. лит., 1986. - 544 с.
5. Азовцев А.И. Теорема о кривизне начального участка диаграммы динамической остойчивости. БЕВЯАТ - 11, МГУ, Владивосток, 2011.- 212 с.
6. Азовцев А.И., Огай А.С., Петров В.А. Расчет мореходных качеств судна по информации об остойчивости и прочности. Методическое указания. МГУ: Владивосток, 2009.- 124 с.
