Теорема единственности одной обратной задачи для квазилинейного уравнения эллиптического типа Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИКА

УДК 517.946

ТЕОРЕМА ЕДИНСТВЕННОСТИ ОДНОЙ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ КВАЗИЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА

© 2012 г. Р.А. Алиев

Алиев Рамиз Аташ оглы - кандидат физико-математических Aliyev Ramiz Atash ogli - Candidate of Physical and Math-наук, доцент, кафедра информатики и информационных си- ematical Science, Associate Professor, Department of Infor-стем, Азербайджанский университет кооперации, ул. Н. mation and Information System, Azerbaijan University of Нариманова, 86, г. Баку, Азербайджан, AZ1106, е-mail: Cooperation, N. Narimanov St., 86, Baku, Azerbaijan, [email protected]. AZ1106, е-mail: [email protected].

Обратные задачи по определению коэффициентов дифференциальных уравнений с частными производными представляют интерес во многих прикладных исследованиях. Эти задачи приводят к необходимости приближенного решения обратных задач математической физики, некорректных в классическом смысле. В частности, необходимость идентификации неизвестных плотностей источников и коэффициентов приводит к обратным задачам для эллиптических уравнений. Исследуется обратная задача определения неизвестного коэффициента в квазилинейном эллиптическом уравнении. С использованием метода оценок типа Карлемана доказана теорема единственности для обратной задачи квазилинейного уравнения эллиптического типа в ограниченной области.

Ключевые слова: обратная задача, квазилинейное уравнение эллиптического типа.

Inversion problems on restoration of coefficients of the differrential equations with private derivatives are of interest in many applied researches. These problems lead to necessity of the approached decision of inversion problems for the equations of mathematical physics which are incorrect in classical sense. In particular, the density of unknown sourse and indentification coefficients leads to incorrect return for elliptic equation. In the article inversion problems in definition of unknown factors in the quasilinear eliptic equation is studied. Using a method of Carlemans type, was proved the theorem of eguation quasilinear eliptic equation for limited sphere.

Keywords: return problem, quasilinear eliptic equation.

Обратные задачи для линейных и нелинейных уравнений эллиптического типа рассмотрены в [1-8]. В [2] на основе метода оценок типа Карлемана [9, 10] получена теорема единственности для широкого класса обратных задач. При этом удалось исследовать обратные задачи для различных типов уравнений как линейных, так и нелинейных. Метод карлемановских оценок позволяет избавиться от предположений аналитичности или «малости» искомых коэффициентов. В [11], пользуясь этой идеей, получена теорема единственности для нелинейных уравнений параболического типа.

Рассмотрим задачу об определении функций {q(u),u(x,y),ф2(y)} по уравнению и граничным

условиям:

-q(u)Au + q(u)u = h(x, y), (x, y) e D,

u(x,0) = 9j(x),u(x,1) = Ф2(x), 0< x< 1, (1)

u(0, y) = Ф1 (y), ux (1, y) = ф2( y), 0 < y < 1,

u(do,y) = X(y),0 < d0 < 1, 0 < y < 1, (2)

uy|y=0 = g (x), 0 < x < 1, (3)

Ф1 (0) = Ф1 (0); Ф1 (1) = Ф2 (0); Ф2x (1) = Ф2 (1); Фи (1) = = Ф2 (0); g(0) =

= Ф1у (0); Ф1 (d0) = x(0); Ф2 (d0) = x(1); gx (1) = Ф2 y (0).

Здесь D = {(x,y)|0 < x < 1,0 < y < 1}, h(x,y),

Ф, (х), г = 1,2, ф^у), х(у), g(х) - известные функции;

Ы(х, у) е С3+а (ф), фг (х) е С 4+а[0,1],

г = 1,2,ф1(у) е С4+а[0,1], Х(у) е С4+а(0,1),

g(х) е С3+а[0,1], 0 < а< 1; ЯъЯ2 - некоторые числа.

Определение. Функции (д(и),и(х,у),ф2(у)} назовем решением задачи (1)-(3), если q(u), ф2(у) принадлежат соответственно классам м^, Л2] и ^[0,1];

0 < Ц1 < q(u) < Ц2,0 < V! < q'(u) < У2 , q(u) е С2[ЯЬ Я2] и ф2( у) >Ц> 0, ф2 у (у) > 0, ф2(у) е и u( х, у) е С 4(ф) и удовлетворяются соотношения (1)-(3).

Обозначим а0 =фх(0), а1 =ф1(1), а2 = %(1). Пусть

а1 <а2. Для каждого 2е[аьа2] через ^(х) обозначим функцию у = (х), являющуюся решением уравнения ^х, (х)) = г,(х, (х)) е ф . Введем обозначение: Фг = {(х,у) еф,u(х,у) <г}. Для каждого 2 е[а1,а2],u(x,(а^)) = /(х) . Очевидно, что / (А0) = 2. Пусть %'(у) > 0 и у(г) - обратная функция хСу) . Очевидно, что у(г) = .

Теорема

Пусть

% (x, У)e C (D

2 2 _

S ay % % J >цЕ%2, Ц> о, u(x, y) е С 2(D) n C(D ) и i,J =1 ¿=1

удовлетворяет в D условию

an (x, y)Uxx + 2ai2 (x, y)Uxy + a22 (x, y)u„„ = = bi (x, y)Ux + bi (x, y)Uy + bi (x, y)u,

где bi (x, y), г = 1,2,3 - ограниченные функции на D . Если в области D

|aiiUxx + 2ai2Uxy + a22Uyy| <M||ux| + |uy| + \u\J, (x, y) е D, u(i, y) = 0, Ux (i, y) = 0, y e(0,i), тогда u(x, y) = 0 в D [9, c. 99].

Лемма 1. Пусть выполнены следующие условия: h(x, y) > 0; hx (x, y) > 0; hy (x, y) > 0; <pi (0) > 0;

Ф2 (x) -9i(x) >ц; (x) >ц, i = g(x) >ц;

Ф1у (y) >Ц Ф2xx(x) <Фl(0)-Ф2(0);

ц<Фlyy(y)< Ф!(0)+ц -Фlyy(y)+ФКу) + ц<^^<

|1

— —Ф2хх( x)+Ф2(Х) -ц; Ф1х С1) = Ф2(°); Ф2х С1)=ФгС1); g(0) = Ф1у (0); g' (1) = Ф2 у (0).

Тогда для решения задачи об определении u(x,у) из условий (1), (3) верны оценки:

Ux (x, у) , Uy (x, у) > 0 , (4)

где

ц = min{ min g(x), min xe[0,1] 1—г—2

т^Фи:(x), mrin ,ф1у (У), mrin1 [ Ф2 (x) ^1(x)]/> xe[0,1] уе[0,1] уе[0,1]

X = min{|j,mm

hx(x y)

D , h(x, y) 12 +- v2

Ii

hy (x, y)

minD h(x, y)

Ц2 + ^^2 Ц1

Доказательство. В задаче (1)-(3) сделаем замены u (x,у) = -u(x,у) + ф1 (у) + цт, «1 (x, у) = -u(x, у) + Ф2 (x) + ц(у -1).

Покажем, что верна оценка

Ux (0, у) >Ц, иу (x,1) >ц. (5)

Действительно, c учетом условий леммы и принципа максимума получим и(x, у) — 0, (x, у) е D, поэтому ux (0, у) — 0. Следовательно, ux (0, у) >ц.

Аналогично «1(x, у) > 0, (x, у) е D, поэтому и>1у (1, у) — 0. Следовательно, u-i! (1, у) >ц.

Уравнение (1) продифференцируем соответственно по x и у. Учитывая условия леммы и (5), получим оценку (4). Лемма доказана.

В силу (4) функция (х) корректно определена для всех х таких, что и(х,1) > 7, и, в частности, для всех х е[^0,1]-

Единственность обратной задачи (1)-(3) в предположении существования решения устанавливается теоремой.

Теорема 2. Пусть а,1 < а,2 и функция д(г) известна при 7 е (ао, а1). Тогда найдется не более одной вектор-функции

(и,д,ф2(у)) е С4(Б ) х м[ао,а2]х N[0,5а (1)],

удовлетворяющей (1)-(4) и такой, что и(х, у) е С 4(В).

Сначала докажем несколько лемм.

Лемма 2. Пусть числа се[а1,а2]; д(г) известна при 7 е[ао, с] .Тогда и(х,у) в области Бс определяется единственным образом.

Доказательство. В силу (4) sc (¿о) е (0,1), х(5с (¿о)) = с и число sc(¿о) известно, так как функция х известна. Обозначим Оа = (о,¿о) х (о,(¿о)),

Ос = (о,¿о)х (^ (¿о),(¿о)) при с >а1 и О = (0,¿о)х х (о,5с(¿о)). Очевидно, что О = Оа ^ Ос. Введем функцию

Т лЛ _ /д(Ф1(x)), (x, У) е Оа, , у) = |д(х( У)),( х, У) е Ос.

В области О рассмотрим обратную задачу об определении функции {/с (х), и(х, у)}

- Дм + u =

h( x, y) L( x, y)

( x,y) e G, u(x,0) = Ф1 (x),u(x,sc(d0)) = fc(x), 0 < x < do, u(0, y) = Ф1 (y), u(do, y)) = x( y), 0 < y < Sc (do), (6)

y\y-

=0 = g(x), 0 < x < d0,

удовлетворяющих условиям: Ф1(о) = Ф1 (о);

/с (¿о) = х(5с (¿о)) = с; Ф1 (5с (¿о)) = /с (о); Ф1 (¿о) = х(о).

Решение задачи (6) единственно. Действительно, предположим, что существует два решения: {и1(х, у), /Хс (х)} и {и2(х, у), /2с (х)}. Обозначим

~(х, у) = и2 (х, у) - и (х, у); ,7с (х) = /2с (х) - /\с (х). Тогда получим

А~ + и = о, (7)

7(х,о) = 7(о, у) = , у) = о, и(х, 5с (¿о)) = ~с (х),

(8)

Решение задачи (7), (8) ищем в виде ряда

uy|y=0 = 0 .

u(x,y) = 2 ^n{sh[(-H)2 +1]1/2y}sin —x . (9)

Н=1 d0 d0

При y = d = sc(d0) имеем A =-

Рн

2 ,-,1/2 1 sh[(—)2 +1] d

2 d0

гДе Рн j f (^)si^—- ^ .

d,

0 0

d

1

1

Подставляя в (9), получим

h ^ )2 +1]1/2 У ~ ^ d0 . nn u(x, у) = ZPn-0-sin— x.

rnn42 , 1-.1/2 J dn

«=l sh[( —)2 +1]1/2 d

d0

Отсюда, учитывая (8), будем иметь Pn

IQ

z [(nn )2 +1]1/2

n=1 d0

sh[(ПП )2 +1]1/2 d

d0

■ nn

sin—x = 0 .

d0

В силу единственности разложения pn = 0 для любого n; так как система {sin — х} замкнута, то

d0

fc (х) = 0 . Отсюда получим, что

~(do, y) = ~х (do, У) = 0.

Сделаем преобразование годографа в области [do,1]x[0,1] по формуле u(ro(z,y),y) = z . Тогда вместо (1), (2) получим 2

1 Ю Ю y 1 1

(— )®zz - 2 — ®zy +—Юуу =—т И(ю, y) - z,

ю.

4( г)

ф1(^0) < г < Ф2(1),0 < у < у(г),

ю(г, у (г)) = А0 . (10) Обозначим Фс (А0) = Фс П|{у е (0, у (с))}. Рассмотрим область Нс = {(г,у):ф1(А0)<г<с,0<у<у(г)} - образ области Фс (А0)\ О при преобразовании годографа. Отрезок прямой {х = А0,0 < у < у(г)} перешел при преобразовании годографа в кривую {у = у(г), Ф1(^0) <г <с}. Предположим, что существует два решения ю^г, у) и ю2(г, у) задачи (10). Обозначим ю( г, у) = ю 2 (г, у) - ю 1(г, у). Так как функции u^(do, у), ~х (¿0, у) известны при у е (0, у(г)), то известны и функции ю(г, у(г)), ю г (г, у(г)). Действительно, учитывая, что юг (г, у(г)) =-1-, по-

ux (А0> у(г))

лучим ю(г, у(г)) =ю г (г, у(г)) = 0. Функция q(г) известна в Фс. Тогда ю(г, у) в Фс определяется единственным образом. Действительно, для ю(г,у) получим задачу

кЦю ш + 2к2~ ¡у + кз"ю уу + ¿4(5 г + к5ю у + £6ю = 0,

ф1(^0) < г < с,0 < у <у(г),

ю(г, у (г)) = ю г (г, у(г)) = 0, (11)

где

1

1

1

ro2z

J2z

J2z

к4(z,у) = -^Ц-ю!уу - (1 + ю2у)(k2 +

+ — к3 + ^)ю 1гг + 2ю1у (к1 + 1 )ю1гу ] > ю1г rofz ю1г

2

k5(z,У) = кз [кз(ю1у +ю2у)ю1гг - 2ю1гуL k6(z,у) =

■hюю(z, У)-

|к1ю z

< М[|ю z| + юу + |ю|],

q( г) Из (11)

— + 2к2ю гу + к3ю уу|

(г, у) е Нс ,

ю(г, у (г)) = ю г (г, у(г)) = 0.

Отсюда, используя теорему 1, нетрудно вывести, что ю(г, у) = 0,(г, у) е Нс . В силу взаимной однозначности преобразования функция ^ х, у) определяется единственным образом в Фс. Лемма доказана. Из леммы 2 очевидно вытекает

Лемма 3. Функция ^х, у) в области Фа определяется единственным образом. В частности, ^х, у) определяется единственным образом в области {(х,у):|х-<ст,уе(0,5а1 (х))} для некоторого малого ст > 0.

Пусть е > 0 - достаточно малое число. Обозначим

ОЕ = {(г, у)г е (а1 -е,а^,|у - у(г) < е},

^е = {(г, у)г е (аьа1 +е,),|у -у(г) <е} .

Из леммы 2 вытекает, что функция ^х, у) определяется единственным образом в Ое. Предположим, что есть два решения задачи (1)-(4). Тогда имеются две функции: юг (г, у), qi (г), г = 1,2. Пусть ю (г, у) = ю 2 (г, у) -ю 1(г, у), ~(г) = q2 (г) - q1 (г).

Используя (10) и лемму 3 для функции {ю(г,у), ~(г)} , имеем

к1ю гг + 2к2ю гу + к3ю уу + к4ю г + к5~ у + к6ю =

^(Ю1, у) 41 (z)?2(z)

z), (г, у) е Ss

(12)

к1( z, у) = — (1 + ю 2 у ), к2 (z у) =--— ю 2 у, к3 (z, у) =-,

ю(г, у(г)) = 0 , ю(а1, у) = юг (ах, у) = 0, (г, у) е ^.

Заменим переменные в (12), положив г' = г - а, у' = у .

Для краткости записи сохраним прежние обозначения для новых переменных и функций. При замене у(г) перейдет в функцию вида

Р(г) = у(а1 + г),|р'(г) < ^1,К > 0. Обозначим

^е= {(г,у)г е (0,е),|у-р(г)| <е}. Тогда получим

кЦю гг + 2к2~ у + кзю уу + к45 г + кз5 у + к^ю =

= -г),(г,у) е^е, ql( г)q2(г)

ю(г,Р(г)) = 0 , ю(0,у) = юг(0,у) = 0 . Для ~(г) из (13) получим

q(г) = _ _

= б(г= у)(ю гг + 2к2ю гу + к3~ уу) + «1ю г + «2ю у + а3ю

ю(0, у) = юг(0, у) = 0 ,

(13)

z

где

Q( ^ у) = - V д^ к2(2 у) = т2, kз(z, у)=кг ,

П К1 К1

4(2, у)=-»Т4, ^ у)=-»т5, п п

аз( 2 у) = Т" К.

п

Продифференцируем равенство (14) по у . Слева получим нуль. Введем обозначения:

д

Р(2,у) = 5у + [— (1п|Q)]5 . Тогда

Р22_ + 2к2 Ру2 + Тз Руу = ¡1 (2, у)Р2 (2, у) +

+ ¡2 (г, у)Ру (2, у) + ¡3 (2, у)Р(2, у) + + ¡4 (2, у)52 (2, у) + ¡5 (2, у)5(2, у), (2, у) е Б' , (15)

Р(о, у) = Р2 (о, у) = о ,

- к л - к ч,

где 9(2, у) = Qv / Q, к4(2, у) = к4, к5(2, у) = -5

_

h(z,y) = -2^2y -к4, Тг(z,y) = -2^3y -k5,l3(x,y) =

= 2k29z + 2£39 y - 7,9 - a2y, 2 z 3 y 2 e ,

74(x,y) = 29z -(71 -2k2)9--O-y,75(x,y) = 9zz + 2k29zy + k39yy -

k

-119z -129 y -

a3 y

y ^ ß

Отсюда

+ 2к2 Ру2 + кзРуу| < М Р + |Ру| + Р + |5 у| + |5|],

М > о,

Р(о, у) = Р (о, у) = о . (16)

Здесь и всюду через М и С будем обозначать, вообще говоря, различные константы.

Лемма 4. Справедливо следующее интегральное представление:

у

5(2, у) = Р1 (2, у) | Р2 (2, т)Р(2, Т^Т, Р( 2)

р1 (2, у) е С1^ ), / = 1,2 и неравенство

|5 z (z, y)| < M [

J| Pz\d1-

ß(z)

л Pd

ß(z)

(17)

+ PI ], (18)

5у + 5 = P(z,y),

+ / Ру (2, т) ¿Т + р(2)

М > о.

Доказательство. Рассмотрим задачу

Оу

Q

5(2, Р(2)) = о . (19)

Решая ее, получим (17). Дифференцируя (17) по 2 и учитывая, что

у ЯР

Р(2, Р(2)) = Р(2, у) - / — (2, Т^Т ,

Р(2) ^

получим

5 z (z, У) =P1z У) х

у г У

J P2 (z, x)P(z, T)dx + P1(z, y){-[P(z, y) + J Py (z, T)A]ß'(z)

P( z)

ß( z)

y y

+ JP2z(z, T)P(z, t)dx + Jp2(z, x)Pz (z, x)dx}, а следо-

p(z) P(z)

вательно, (18). Лемма доказана.

l 2

Пусть X, v = const > 0, ее (0,—), 8 е (0, e ) . Введем

обозначения:

Ф( z, y) = z + (y - P( z))2 +1, q>(z, y) = ехр(2ХФ -v), 4

H8 = {(z,y)Ф(z,y) <8 +1,z >0}^ H5 сS'B,

A8= {(z,y) e Hг

ф( z, y) =8^— }.

(20)

Пусть дИ§ - граница области И 8 . Очевидно, что ЯЯ5= { |(2,у) еИд : 2 = о}. (21)

Лемма 5. Для любой функции И(2, у) еС(Ид) справедливо неравенство

у 1

ф[ |И(2,т)й?т]2 й2йу < (- + е)''+1 (4Ху )-1 х

| Р(2) 4 (22)

И5х{ |И2фCzCy + ехр[2Х(1 + 8)] |И2CzCy}. и5 4 И 8

Доказательство. Введем обозначения: И 8'+ = И 5^ {у >Р(2)}, И8 = И 5^ {у <р(2)}, ё (2) =Р( 2) + (8-2)1/2.

Применяя неравенство Коши-Буняковского, теорему Фубини и учитывая (20), (21), получим

у 2

|ф[ | И(2, т)а?т] ¿2с1у <

И+ Р(2)

C (2) C (2)

¿2 I И2(2, Т^Т |ф[у -Р(2)]сy < о Р(2) Т

1 м 18 с (2) с (2) я^п

< (- + б)'+1(4Х')-1 | ¿2[ } И (2, т)Cт } (-дФ)CУ] = 4 о Р(2) Т ду

= (1 + е)'+1(4Ху )-1 х

х{ \ И2фCzCy + ехр[2Х(1 + 8)] |И2CzCy}. И 8+ 4 И 8+ Поступая аналогично в случае И - , приходим к

утверждению леммы.

Лемма 6. Найдутся достаточно большие положительные числа X, V, зависящая от коэффициентов

к2, кз , и константа С такие, что справедливо следующая оценка типа Карлемана [9, с. 93]: Х'ф|УР|2 +х3' у2'-2фР2 <

< СХ'ф(Р22 + 2к2 Ру2 + кз Руу )Р + + Сф'+ 2ф(Р22 + 2к2 Ру2 + кзРуу)2 + Луи,

(2,у)еИ8, Х>Хо,V > 'о, (23)

+

где

|и| < ^3Х3ф-2^2ф[Р2 + Р2 + Р2]. (24)

Доказательство теоремы 2. Преобразовав (16) с

учетом (17), (18), получим

<

Pzz + 2k2 Pyz + k3Pyy

< M

|Pz| + |py| + PI +

л pzd

P( z)

y \py\dz P( z)

Л P|d

P( z)

(25)

Р(0, у) = Гг (0, у) = 0 .

Подставляя (25) в неравенство (24), получим

2+хМф-^-2фР2 < 1 + ^ ' '

< MC x(vp| ppz | + vp| Pp | + vpP 2 )

(mx

+ C (MXv + M 2фv+2 )ф{

+ vpP )+ 2

Л Pz\dx

ß( z)

1- -| 2 Г- -|

у 1 1 У 1 1

+ J Py dx _ß(z) _ + J P dx

_ß(z) _

} +

+ CM2фV +2ф{ Р2 + |УГ|2 ^ + сНуи.

Отсюда имеем Хуф|УР|2 +X3v4ф"2v"2фP2 < М +.

(мХ

(M + M 2)CXp]x (v1/2 |VP|2 +v3/2P 2) +

+ С (MXv + M 2фv+2 )ф{

Ц Pz\dx

ß( z)

2

У 1 i У 1 i

+ J Py dx _ß(z) _ + J P dx

_ß(z) _

}

+ divU

с некоторой новой постоянной С . Из последнего неравенства

Xv

1 - (M + M 2)v-1/2c]p|VP|

2

+ X3vV2v-21 - (M + M2)v-5/2c]pP2 <

< (M + M 2)CXvp x

t2

{

] iPyldT

ß( z)

у i i

J P dx

ß( z)

}

+ divU

Xv[1 - (M + M 2)v-1/2c]

JpVP|2 dzdy + X3v4

1 - (M + M 2)v-5/2C

H5

x Jф"2v"2фP2dzdy <

<(M + M2)C(1 + e)v+1{ J (V2v-2P2 +|VP|2Ipdzdy +

4 и* ^ )

+ exp

2X(— + 5)-v 4

J (P2 +|VP 2)dzdy}-

ия

,1

2X(1 + 5)-v 4

+ С ехр

х | (Р2 +|УР|2)СУ .

А

Отсюда получаем

X3v4(1 + 5)-2v-2 х 4

Xv

1 - (M + M 2)v-1/2C - (M + M 2)v-1C(1 + s)v+1

Jp|VP|2 dzdy

+

И

+ X3 v4[1 - (M + M 2)v-5 / 2C(1 + + e)v+1 -(M + M2)Cv-4(1 + e)v+1] Jф"2v"2фP2dzdy <

4

ия

< C exp

2X(— + 5)-v 4

+ C exp

2X(1 + 5)-v 4

J(P2 +|VP| )dzdy} +

И 5

ч-2v-2 t,n2 ,\ч-,тА2\

X3v4(1 +5)"2v"2 J(P2 +|VP|2)ds .

4 A,

Если V достаточно велико, то можно считать

(М + М 2)^-1/2 + (М + М + е)^1 <1,

4 2

(М + М 2)^"5/2 + (М + М 2)^"4(1 + е)^1 < 1. Учитывая, что V выбрано таким образом, получим

Xv J pVP|2 dzdy + X3v4 J ф v фP dzdy <C exp

И 5 И5

2X(1 + 5)-v

x

J (P2 +\VP\2 ) dzdy + C

И 5

x exp

+ C x

2X(— + 5)-4

X3v4(1 + 5)-2v-2 J(P2 +|VP|2)ds.

Отсюда при достаточно большом Х

Х^ 4 х

х | ф-2v"2фР2СгСу < CХ3v4(^ + 5)"2v"2exp Ь 4

2X(1 + 5)-4

Л Р-|Сх _Р( г)

с некоторой новой постоянной С. Интегрируя получающееся при этом неравенство по области Н5, учитывая (20) - (22) и (24), имеем

Н 5

Пусть 51 е (0,5) - произвольное число. Из (20) следует, что ф(г, у) <1 + 51, (г,у) е Н5 . Тогда

4 х

х | ф-2фР2СгСу < СХ\4(^ + 5)-2v-2 ехр

Н51 4

Отсюда имеем

Х3v4(1 + 51)-2 ехр 2Х(1 + 51)-х | Р2СгСу < CХ3v4(1 +5)-2v-2 ехр

2X(1■ + 5)-v

И

2X(- + 5)-

51

Разделим обе части неравенства на выражение XV (-1 + 51)"2v"2 ехр 2Х(1 + 51)-Тогда

1

+

+

x

х

х

+

5

v

2

x

х

х

J P2dzdy < C exp2X

H

(1 + 8)"v- (1+ 81Г 4 4 1

При

получим

J P2dzdy = 0;

т.е.

H

Р(2, у) = о на И^ . Следовательно, в силу произвольности 81 е (о, 8) Р(2, у) = о, (2, у) е И8. Тогда из (17) получаем 5(2, у) = о, (2, у) е И8, а из (14) -д(2) = о, 2 е (о, 8). Пусть Р = а1 +8. Согласно лемме 2, функция и(х,у) в области £>р определяется единственным образом. Всю область Б можно исчерпать после конечного числа вышеописанных шагов. Таким образом, теорема доказана.

Литература

1. Искендеров А.Д. Обратная задача об определении коэф-

фициентов квазилинейного эллиптического уравнений // Изв. АН Аз. ССР. 1978. № 2. С. 80-85.

2. Клибанов М.В. Единственность в целом обратных задач

для одного класса дифференциальных уравнений // Диф. уравнения. 1984. Т. 20, № 11. С. 1947-1953.

3. Sylvester J., Uhlmann G. A qlobal uniqueness theorem for

an inverse boundary value problem // Annals of Mathematics. 1987. Vol. 125. P. 153-169.

4. Вабищевич П.Н. О единственности некоторых обратных

задач для эллиптических уравнений // Диф. уравнения. 1988. Т. 24, № 12. С. 2125-2129.

5. Соловьев В.В. Обратные задачи определения источника

и коэффициента в эллиптическом уравнении в прямоугольнике // Журн. вычисл. мат. и мат. физики. 2007. Т. 47, № 8. С. 1365-1377.

6. Runsheng Yang Yunhua Ou. Inverse coefficient problems for

nonlinear elliptic equations // ANZIAM. 2007. № 2, vol. 1149. P. 271-279.

7. Вахитов И.С. Обратная задача идентификации старшего

коэффициента в уравнении диффузии-реакции // Дальневосточный мат. журн. 2010. Т. 10, № 2. С. 93-105.

8. Алиев Р.А. Об одной обратной задаче для квазилинейно-

го уравнения эллиптического типа // Изв. Сарат. ун-та. Нов. Сер. 2011. Т. 11. Сер. Математика. Механика. Информатика. Вып. 1. С. 3-9.

9. Лаврентьев М.М., Романов В.Г., Шишатский С.П. Не-

корректные задачи математической физики и анализа. М., 1980.

10. Хермандер Л. Линейные дифференциальные операторы

с частными производными. М., 1965.

11. Клибанов М.В. Об одном классе обратных задач для

нелинейных параболических уравнений // Сиб. мат. журн. 1986. Т. 27, № 5. С. 83-94.

Поступила в редакцию

22 апреля 2012 г.