Обратная задача определения коэффициента в эллиптическом уравнении Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математика

УДК 517.946

ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА ОПРЕДЕЛЕНИЯ КОЭФФИЦИЕНТА В ЭЛЛИПТИЧЕСКОМ УРАВНЕНИИ

Р.А. Алиевл

Рассмотрена обратная задача определения коэффициента в эллиптическом уравнении в прямоугольнике. Задачи идентификации неизвестных плотностей источников и коэффициентов приводят к подобным обратным задачам. Использованием метода оценок типа Карлемана доказывается теорема единственности поставленной обратной задачи.

Ключевые слова: обратная задача; эллиптическое уравнение.

Обратные задачи для линейных и нелинейных уравнений эллиптического типа рассмотрены в работах [1-9]. В работах [2, 10] используя метод оценок типа Карлемана [11-12] получена теорема единственности для широкого класса обратных задач. В работе с использованием этой идеи получена теорема единственности для уравнения эллиптического типа.

Рассмотрим задачу об определении {q(u), u(x, y),f2(y)} из следующих условий

-Du + u = h (x, y)q(u) + h (x, y), (x, y) e D, (1)

ux(0, y) = f (y), ux(1, y) = f (y), 0 < y< ¡2, (2)

u(x, 0) = j (x), uy (x, ¡2) = j (x), 0 < x < ¡1, (3)

u(do,y) =C(y),0 < d0 < ¡1,0 < y< 4, (4)

Uy|y=0 = g(x), 0 < x < ¡1, (5)

удовлетворяющих условиям jx (0) = f (0), jx Ц) =fz(0), j2x (0) = fy (¡2), j (¡1) =f y (¡2),

fy(0) = gx(0),f2y(0) = gx(¡1), j(d0) =X(0),j(d0) =Xy(h)- Здесь D = {(x,y)|0<x< 0 < y< h},hi(x,y), j(x), i = 1,2,f (y),c(y), g(x) - известные функции, h,(x,y)e C3+a(D),i = 1,2, j(x)e C4+a[0,¡1], jx)e C^a[0, f y)e C3+a[0,4], c(y)e C4+a[0,¡2],

g(x)e С3+a[0,¡1], R = j(0),R2 =x(k\ 0 < a< 1.

Определение. Функции {q(u), u(x,y),f2(y)} назовем решением задачи (1)-(5), если функции q(u),f2(y) принадлежат соответственно классам M[R1, R2] и N[0,¡2], в которых 0 < m1 < < q(u) <m2yx < q'(u) <v2 < 0, q(u) e C2[ R, RJ,f( y) >ß> 0f (y) > 0,f( y) e C3[0, ¡2], u(x, y) e

C4 (D) и удовлетворяют соотношениям (1)-(5).

Обозначим через a0 = j(0),a = j(4),a2 = c(4). Пусть a <a2. Для каждого ze[«j,a2] через sz (x) обозначим функцию y = sz (x), являющуюся решением уравнения u(x, sz (x)) = z, (x,sz(x))e D. Введем обозначение: Dz = {(x,y)e D, u(x,y) < z}. Для каждого ze[a,a2] обозначим u(x,sz(d0)) = fz(x) . Очевидно, что fz(d0) = z. Пусть C(y) > 0 и g(z) обратная функция C( y), тогда g( z) = Sz (d0).

_ 2 2

Теорема 1. Пусть ajy (x, y) e C2( D), 2 a^^. >Ä1ZXf,A> 0 и функция u(x, y) e C2(D) n

i,j=1 i=1

nC(D) и удовлетворяет в области D условию

an(x,y)Uxx + 2a^(x,y)u + a22(x,y)u = b (x,y)ux + fr>(x,y)u + Ьз(x, y)u,

1 Алиев Рамиз Аташ оглы - кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра информатики и информационных систем, Азер-

байджанский университет кооперации, г. Баку, Азербайджан.

E-mail: [email protected]

где Ь (х, у), 1 = 1,2,3 - ограниченные функции на О. Если в области О

а11иш + + а22иуу| £ М[|их\ + |иу| + |и|] , М> 0, (х,у)е О,

и(1х, у) = 0, их(1, у) = 0, уе [0,12 ]

тогда и(х,у) ° 0 в О [11, с. 99].

Лемма 1. Пусть решение задачи (1)-(5) существует и выполнены следующие условия А (х, у) > 0, Ах (х, у) > 0, Ау (х, у) > 0,1=1,2, ( (х) > т,

(р2 (х) > тЖ (у) > т, я( х) > тЖу (у) £ 0.

Тогда верны следующие оценки

их (х, у), иу (х, у) >¿2 > 0, (6)

где

т = шт{шт g( х),шт (\х (х),ш1п(2( х),штЖ( у)},

у

, . тАх(х,у) + А2х(х,у) . тАу(x,у) + Агу(x,у),

12 = шш{т,шшГ| 1х -2х , Ш1П-----}.

О 1 — пА(х, у) О 1 -пА(х, у)

Доказательство. Задачу (1) — (3) продифференцируем соответственно по х и у, учитывая условия леммы и используя принцип максимума, получим оценки (6) . Лемма доказана.

В силу (6) функция 5г(х) корректно определена для всех х, таких, что и(х, 12) > г и в частности, для всех хе [С0,1Х].

Теорема. Пусть ах <а2 и функция д(г) известна при ге (а0,а1). Тогда найдется не более одной вектор-функции (и, ц,ф2(у)) е С4()X М[а0,а2] х^[0, 5^ (С0)] удовлетворяющей (1)-

(5), (6) и такой, что и(х, у) е С4(О). Сначала докажем несколько лемм.

Лемма 2. Пусть числа се [щ,а2], д(г) известны при ге [а0, с]. Тогда функция и(х, у) в области Ос определяется единственным образом.

Доказательство. В силу (6) 5С (С0) е (0,12),С(зс (С0)) = с и число 5с (С0) известно, так как функция с известна. Обозначим Сц = (0, С0)X(0, 5^ (С0)), Сс = (0, С0)X (з^ (С0), 5с(С0)) при с>ах и С = (0, сС0)X (0,5с(С0)) . Очевидно, что С = и Сс. Введем функцию

г/ . \((х)),(ху)е

Ь( х, у) = \ ^

[ч(Х(у)),(х,у)е Сс.

В области С = (0, сС0) X (0, 5с (С0)) рассмотрим обратную задачу об определении функции { / (х), и( х, у)} из следующих условий

—Ди + и = А (х, у)Дх, у) + А2 (х, у), (х, у) е С, (7)

их(0,у) = Ж(у),и(С0,у)) =с(у), уе (0,5с(^)), (8)

и(х,0) = ((х),и(х,5сК)) = (х), хе (0,ё0), (9)

иу|у= 0 = g(х), хе (0,с,), (10)

удовлетворяющих условиям ((0) =ф1(0),((ё()) =с(0), 4х(0) = Ж(5сЮ), О = с5Ю), Су (0) = g(С0), Ж (0) = gx (0).

Предположим, что существуют два решения:{их(х, у), £1с(х)} и {и2(х, у), /2с(х)}. Обозначим и(х, у) = и2 (х, у) — п (х, у), ?с(х) = /2с(х) — 4(х). Тогда получим

Ди + и = 0, (11)

их (0, у) = 0, и(С0, у) = 0, (12)

Алиев Р.А. Обратная задача определения коэффициента

в эллиптическом уравнении

U(x,0) = 0, U(x,sc(d0)) = f(x) (13)

uy\y=0 = 0- (14)

С помощью метода разделения переменных решение задачи (11)—(13) ищем, как обычно, в виде ряда

f x,y) = £ 4{sh[(f^)2 +1]1/2y}cospx.

л=1 0 2d0

Условие при y = d ° sc (d0) дает

где

A = ,

Тогда получим

sh[(^ p)2 +1]1/2 d

d0 „

pn=2г I fc (^)cosi2dtip^d^.

d0 0 c 2d0

, г/ 2n+1 42 , n1/2

¥ sh[(—- p) +1] y

ч ¥ ~ 2d0 2n+1

f(x,y) = £ Pn-^—2-px.

n=1 sh[(^n+1p)2 +1]1/2 d 2d0

Отсюда, учитывая условия (14), получим

У[(^р)2 +1]1/2-—^-cos^+Px = 0.

^ 2d0 j sh[(—p)2 +1]1/2 d 2d0

n=1

sh[(^ p)2 + 1f2 d

0

В силу единственности разложения рп = 0 для любого п, так как система {со82п+1Рх} замкнута, /с(х) = 0 . Значит решение единственно. Лемма доказана.

Сделаем преобразование годографа в области [ё0,их[0,12] по формулам и(о(г,у),у) = г.

Тогда вместо (1)-(4) получим

2

1 «2 «у 1

(— + - 2^2согу + —«уу = Я(г) А («,у) + Л2(«,у), р^) < г<с(12),0 < У< у(г), (15)

«г «2 «г

« г,у( г)) = (16)

При условии (6) уравнение (15) сохраняет условие равномерной эллиптичности. Обозначим Вс(ё0) = Вс п{уе (0,у(с))} . Рассмотрим теперь область Ис = {(г,у):р(ё0) < г< с, 0 < у< у(г)} - образ области Вс(ё0) \ С при преобразовании годографа. Отрезок прямой {х = д0, 0 < у< у(г)} перешел при преобразовании годографа в кривую{у = у(г), р(^) < г< с}. Предположим, что существуют два решения «(г, у) и «(г, у) задачи (15)-(16). Обозначим «(г, у) = = «(г,у)-«(г,у). Так как функции й(ё0,у),их(ё0,у) известны при уе (0,у(г)), то известны и

функции о(г,у( г)), бзг (г, у( г)). Действительно, учитывая что (Ог (г, у( г)) =-1-, получим

их К,у( г))

б(г,у(г)) = ((г,у(г)) = 0. Кроме того, функция ц(г) также известна в Вс. Тогда (г,у) в Юс определяется единственным образом. Действительно, для б( г, у) получим следующую задачу

« + 2к2бу + к(у + к4« + к56у + кб« = 0, р(^) < г< с,0 < у< у(г), (17)

( г, у( г)) = ( (г, у( г)) = 0, (18)

где

1л 1 1 к л л 1

кДг,у) =—(1 + бгу),кг(г,у) =---«2у,к3(г,у) =-, к4(г,у) =^[-«уу-(1 + ( )(к2 +-к3 +

бг б2г б2 г «г «

1 1 2

+—)( + 2((к +-)(],к^(г,у) = къ[кз((у + (у)( - 2(], к6(г,У) = ~Я(г)!\а-^

(г (г

Из (17)-(18) получим

\кхб)гг + 2к2й)у + кз&уу\£ М[|(г| + ( + (], (г, у) е Ис, (19)

(( г,7( г)) = ( (г,у( г)) = 0. (20)

Отсюда по теореме 1 нетрудно вывести, что (( г, у) ° 0,( г, у) е Ис. В силу взаимной однозначности преобразования функции и(х, у) определяется единственным образом в Д,. Лемма доказана. Из леммы 2 очевидно вытекает

Лемма 3. Функция и(х, у) в области определяется единственным образом. В частности,

функция и( х, у) определяется единственным образом в области {(х, у): |х - ё0 \ <(, уе (0, (х))}

для некоторого малого (> 0.

Пусть е > 0 - достаточно малое число. Обозначим

°е = {(г,у)|ге (а -е,ц),|у-У(г)| <е}, Бе = {(г,у)|ге (ах,щ +е,),|у-у(г)| <е}. Из леммы 2 вытекает, что функция и(х, у) определяется единственным образом в Се. Предположим, что есть два решения задачи (1)-(5). Тогда имеются две функции ( (г, у), о (г), 1 = 1,2. Пусть ((г, у) = (2 (г, у) - ((г, у), д(г) = ц2 (г) - о (г). Используя (14)-(15) и леммы 3 для функции {((г, у), д(г)} , имеем

( + 2к(у + кз( + к46)г + к5&у + кб& = Д((,у)д(г),(г,у)е 5е, (21)

со( г,у( г)) = 0, (22)

&(а!, у) = &г (а!, у) = 0,( г, у) е 5е. (23)

Заменим переменные в (21) - (23), положив г = г -а, у = у.

Для краткости записи сохраним прежние обозначения для новых переменных и функций. При замене функция у(г) перейдет в функцию вида /3(г) = у(а1 + г),|г) £ К1, К1 > 0.

Обозначим Бе = {(г, у)| г е (0, е),| у - Ь( г) <е}. Тогда получим

( + 2к2&у + кз( + к(г + к5&у + кб& = Д((,у)д(г),(г,у)е Бе, (24)

( г,Ь( г)) = 0, (25)

((0, у) = ( (0, у) = 0. (26)

Для д( г) из (24) получим

д(г) = ((г, у)((гг + 2к(у + кз&у) + а(г + а^йу + Нз& , (27)

(0, у) = ( (0, у) = 0, (28)

где

1 — к — к 1 1 о

((г,у) =-—,к2(г,у) = -2,кз(г,у) = -3, а1 (г,у) = -—к4,а2(г,у) = -—^5, аз(г,у) = -2. / к1 к1 / / /

Продифференцируем равенство (27) по у. Слева получим нуль. Введем обозначения Тогда получим

Рж + +2\ Руг + кз Руу = 4( г, у) Рг (г, у) + Т2( г, у) Ру (г, у) + г, у) Р( г, у) +

+14(г,у)((г,у) +15(г,у)((г,у), (г,у)е Бе, (29)

Р(0, у) = Р2 (0, у) = 0, (з0)

где

Р( г, у) = ((у + [— (1п | ()](.

к4 Г тд _ к5

0( г, у) = ($у / $, к4 (г, у) = к5 (г, у) = 1 (г, у) = -2к2у - кА,

к, к1

/2(z, y)=-2кзy - k5, 3 (х, y) = Ik2ez + 2kqy - iq- Q,

l4(x,y) = 20z - (l -2k2)d-^, l5(x,y) =dzZ + 2k20y + кзв- \вг - Щ-Q.

Ъу_ -Q

Отсюда получаем

\PZZ + 2k2 Pyz + | < M [| + | Py\ + |p + \&y\ + Щ ], M > 0, P(0, y) = Pz (0, y) = 0.

Здесь и всюду через M и C будем обозначать, вообще говоря, различные константы. Лемма 4. Справедливо следующее интегральное представление

у 1

w(z,y) = p(z,y) J r(z,t)P(z,t)dt, p(z,y)e C (SE),i = 1,2,

и неравенство

\5)г (z, y)| < M [

b( z)

y \P\dt

b( z)

+ J \P (z,t) dt +

b( z)

J IP dt

b( z)

+ IP ], M > 0.

Доказательство. Рассмотрим следующую задачу

w + Q 5 = P( z, y),

Q

5 z,b( z)) = 0.

Решая задачу (35)-(36), получим (33). Дифференцируя (33) по z и учитывая, что

P(z,b(z)) = P(z,y) - y ^(z,t)dt.

b( z) dy

Тогда получим

5z(z,y) = plz(z,y) y p2(z,t)P(z,t)dt + p(z,y){-[P(z,y) + y Py(z,T)dT]b(z) +

b( z) b( z)

+ y P2z(z,t)P(z,t)dt+ y p2(z,t)P2(z,t)dt}.

b( z) b( z)

Учитывая это, получим (34). Лемма доказана.

Пусть Л,У = const > 0, ее (0,4),de (0,е2). Введем обозначения:

ч2 1

Hs= {(z, y)

f z, y) = z+(y-b( z))2 + z, y) = exp(2f),

fz,y)<d + 4,z>0}^ Hs<z Se, 4 = {(z,y)e Hs

Пусть дИ8 - граница области Н3. Очевидно, что

дИ3 = Ази{ |(г,у)е Ие : г = 0}. Лемма 5. Для любой функции Н(г, у) е С(И8) справедливо неравенство

(31)

(32)

(33)

(34)

(35)

(36)

f( z, y) = d + 4}. (37)

(38)

y 1 1

J j[ J H( z,r)dr]2 dzdy < (- + e)n+1(4ln)-1{ J Hjdzdy+ exp[2l(- + d)-n] J H2dzdy}. (39)

H

d

4

Hd

\i/ 2

НУ Ь( г) 4

Доказательство. Введем обозначения:

Н3,+ = Н3п {у > Ь(г)}, Н-8 = Н3п {у< Ь(г)}, d(г) = /3(г) + (3- г) Применяя неравенство Коши-Буняковского, теорему Фубини и учитывая (38)-(39), получим

У 3 г) г) 1

I р[ I Н( г,т)dт]2 dгdy £ | Лг | Н2( г,т^т | р[ у -Д г)] dy £ (- + е)п+1(4Лу)~1 х

Н+ в( г) 0 в( г) г 4

8 С( г) С( г) Эр 1 1с

хIсЪ[ I Н2(г,т)Т I (-Ру] = (- + е)п+1(41п)-1{ | Н2рёгёу + ехр[21(- + 8)-п] \ Н2СгСу}.

О Ь(г) т Эу 4 И + 4 Н +

8+ 8+

Поступая аналогично в случае Н , приходим к утверждению леммы.

Лемма 6. Найдутся достаточно большие положительные числа 1, V , зависящие от коэффициентов к2,к3, и константа С, такие, что справедлива следующая оценка типа Карлемана [11, с. 93].

1р\УР2 + 13п4р"2п-2рР2 < С1\(Ргг + 2к2Руг + к3Ру)Р+

+ СфП+ \( Ргг + 2к2 Руг + кз Руу )2 + ^У^ ( г, у)е Нд, 1>1,П>По,

(40)

где

|и| < Сп313ф-2п-2р[Р? + ру + Р2]. (41)

Доказательство теоремы (подробности [11, с. 93-99]). Из неравенства (40), учитывая (33) и (34) , получим

1\\Ур2 + Л3п4ф~2п-2рР2 < ЫСЛ(п\\р\Рг\ + \\Р|Ру| +прР) +

I \Pz\dt

Р( г)

+С(М1п + М2фп+2 )р{

+СМ2фп+2р( Р2 +1 ур2) + Шу и.

I |Ру| Т

(г) у

+

у |Р| ст

Ь( г)

} +

Отсюда имеем

1п\\УР2 + Л3п4ф~2п-2рР2 < (М + М2)СЛ<р (И/2 УР2 +п3/2Р2) +

1/2 п|2 ,,3/2 ;

+С (М1п + М 2фп+2 )р{

Ь(г)

+

I 1Ру|т

Ь(г)

+

I |Р|с/т

Ь(г)

}+а^и,

с некоторой новой постоянной С . Из последнего неравенства имеем

IV

1 - (М + М2)п"1/2С]рУР2 + 1\4ф~2п-2 [1 - (М + М2)п~5'2С]рР <

<

(М + М 2)С1р{

Ь( г)

+

+

I |Р|с/т

Ь( г)

} + йуи,

I \Ру\Ст

_Ь(г) _

с некоторой новой постоянной С. Интегрируя получающееся при этом неравенство по области Нд и учитывая (37)-(39) и (41), имеем

1 -(М + М2)п_1/2С_ I рУР2 СгСу+1п4 [1 -(М + М2)п"5/2С

Нд

х

х I ф~2п~2 рР2 СгСу < (М + М2)С(- + е)"+1{ I (ф"2п-2Р2 +|УР2\с1гс1у+

Нд 4 Нд

+ехр

1

21(- + 8)-п 4

I (Р2 +|УР2)СгСу} + С ехр

Нд

Отсюда получаем

2ч -1/2

21(1 + 8)-п 4

13п4(1 + 8)-2п-2 I (Р2 +|УР2)дз.

Л?

1 - (М + М 2)П 1/2С - (М + М 2)п_1С (1 + е)

п+1

I рУР2 ёгёу+

Нд

+13п4[1 -(М + М2)п_5/2С(1 + е)п+1 -(М + М2)Сп~4(1 + е)"+1] I ф~21'-2рР2СгСу<

А А

Нд

2

2

2

2

2

2

2

2

2

£ С ехр

1

21(- + ЯУ]п 4

1

21(— + ЯУ]п 4

| (Р2 +|Ур 2)СгСу} + С ехр

Если п достаточно велико, то можно считать

(М + М2) Сп~1/2 + (М + М2) Сп"1(1 + е)п+1 £ -

13п4(1 + 3)—2v—2 | (Р2 +|Ур2)с1з.

4 Л?

4

2'

(М + М2) Сп"5 /2 + (М + М2) Сп"4 (1 + е)п+х £1.

Учитывая, что п выбрано таким образом, получим

•>2 , , . о3„4 Г Л*—2п—2

| (Ур2 сСгсСу + 13п4 | ф~2п~2(Р2 сСгсСу£Сехр

Щ Щ

21(1 + 8)~п 4

X

1

21(— + 8)~п 4

X | (Р2 +|Ур 2) СгСу + С ехр

Щ

Отсюда получим, что при достаточно большом 1

.4 Г А—-2п—2_С,2 , , ^

13п4(1 + 3)—2v—2 | (Р2 +|ур2)С5.

13п4 | ф~2п~2(Р2 сСгсСу £ С13п4(1 + ?)

Н?

- + д)—2п—2ехр

Л?

21(1 + ?)—п 4

Пусть 81 е (0,?) - произвольное число. Из (37) следует, что

Ф(г,у) <4 + ?,(г,у)е Н? .

Тогда получим

IV | ф-2п~2(Р2ёгёу£ С13п4(1 + ?)—2п—2ехр Н?1 4

21(1 + ?)—п

Отсюда имеем

21(1 + ?1)—п | Р2 СгСу £ С13п4(1 + ?)—2п—2ехр " 4 ] Н?1 4 Отсюда разделим обе части неравенства на выражения

41

ехр

21(- + д)~

Тогда получим

Л3п4(1 + 2п—2

| Р^ёгёу £ С ехр21

ехр

21(1 + Д)" 41

н?

(4+?)—п— (-4+?1)—п

Устремив 1 ® ¥ , получим, что

| Р*2 сСгсСу = 0.

Н?

Отсюда получаем, что Р( г, у) = 0 на Н? . Следовательно, в силу произвольности ? е (0,?) получаем Р(г, у) = 0, (г, у) е Н5. Тогда из (33) получаем й)(г, у) ° 0, (г, у) е Н5, а из (27) получим ц(г) ° 0, ге (0,?). Пусть /3 = ах +3. Согласно лемме 2 функция и(х, у) в области Ор определяется единственным образом. Всю область О^ можно исчерпать после конечного числа вышеописанных шагов. Таким образом, теорема доказана.

Литература

1. Искендеров, А. Д. Обратная задача об определении коэффициентов квазилинейного эллиптического уравнения / А.Д. Искендеров // Изв. АН Аз.ССР. — 1978. - № 2. — С. 80—85.

2. Клибанов, М.В. Единственность в целом обратных задач для одного класса дифференциальных уравнений / М.В. Клибанов // Дифференциальные уравнения. — 1984. - Т. 20, № 11. — С. 1947—1953.

V

V

3. Sylvester, J. A Global uniqueness theorem for an inverse boundary value problem / J. Sylvester, G. Uhlmann // Annals of Mathematics. - 1987. - Vol. 125. - P. 153-169.

4. Вабищевич, П.Н. О единственности некоторых обратных задач для эллиптических уравнений / П.Н. Вабищевич // Дифференциальные уравнения. - 1988. - Т. 24, № 12. - С. 2125-2129.

5. Соловьев, В.В. Обратные задачи определения источника и коэффициента в эллиптическом уравнении в прямоугольнике / В.В. Соловьев // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2007. - Т. 47, № 8. - С. 1365-1377.

6. Yang, R. Inverse coefficient problems for nonlinear elliptic equations / R. Yang, Y. Ou // ANZIAM. - 2007. - Vol. 49, no. 2. - P. 271-279.

7. Вахитов, И.С. Обратная задача идентификации старшего коэффициента в уравнении диффузии-реакции / И.С. Вахитов // Дальневосточный математический журнал. - 2010. - Т. 10, № 2. - С. 93-105.

8. Денисов, А.М. Введение в теорию обратных задач / А.М. Денисов. - М.: Наука, 1995. -206 с.

9. Алиев, Р.А. Об одной обратной задаче для квазилинейного уравнения эллиптического типа / Р.А. Алиев // Известия Саратовского университета. Новая Серия. Серия Математика. Механика. Информатика. - 2011. - Т. 11. - Вып. 1. - С. 3-9.

10. Клибанов, М.В. Об одном классе обратных задач для нелинейных параболических уравнений / М.В. Клибанов // Сибирский математический журнал. - 1986. - Т. 27, № 5. - С. 83-94.

11. Лаврентьев, М.М. Некорректные задачи математической физики и анализа / М.М. Лаврентьев, В.Г. Романов, С.П. Шишатский. - М.: Наука, 1980. - 288 с.

12. Хермандер, Л. Линейные дифференциальные операторы с частными производными / Л. Хермандер. - М.: Мир, 1965. - 379 с.

Поступила в редакцию 19 декабря 2012 г.

Bulletin of the South Ural State University Series "Mathematics. Mechanics. Physics" _2015, vol. 7, no. 2, pp. 5-13

INVERSE PROBLEM OF DETERMINATION OF COEFFICIENT IN THE ELLIPTIC EQUATION

R.A. Aliyev1

The inverse problem of determination of coefficient in the elliptic equation in a rectangle is considered. Identification problem of unknown denseness of sources and coefficients lead to similar inverse problems. The theorem of uniqueness of the formulated inverse problem is proved using Karleman's evaluation method. Researches are carried out in a class of continuously differentiable functions derivatives of which satisfy the Holder condition.

Keywords: inverse problem; elliptic equation.

References

1. Iskenderov A.D. Izvestiya ANAz.SSR. 1978. no. 2. pp. 80-85. (in Russ.).

2. Klibanov M.V. Differentsialnye uravneniya. 1984. Vol. 20, no. 11. pp. 1947-1953. (in Russ.).

3. Sylvester J., Uhlmann G. A global uniqueness theorem for an inverse boundary value problem // Annals of Mathematics. 1987. Vol. 125. pp. 153-169.

4. Vabishchevich P.N. Differentsialnye uravneniya. 1988. Vol. 24, no. 12. pp. 2125-2129. (in Russ).

5. Solov'ev V.V. Zhurnal vychislitel'noy matematiki i matematicheskoy fiziki. 2007. Vol. 47, no. 8. pp. 1365-1377. (in Russ.).

6. Runsheng Yang and Yunhua Ou Inverse coefficient problems for nonlinear elliptic equations. ANZIAM. 2007. Vol. 49, no. 2. pp. 271-279. http://dx.doi.org/10.1017/S1446181100012839

7. Vakhitov I.S. Dalnevostochnyy matematicheskiy zhurnal. 2010. Vol. 10, no. 2. pp. 93-105. (in Russ).

8. Denisov A.M. Vvedenie v teoriyu obratnykh zadach (Introduction into inverse problems theory). Moscow, Nauka Publ., 1995. 206 p. (in Russ.).

9. Aliev R.A. An Inverse Problem for Quasilinear Elliptic Equations. Izvestiya of Saratov University. New Series. Series: Mathematics. Mechanics. Informatics. 2011. Vol. 11. Issue 1. pp. 3-9.

10. Klibanov M.V. Sibirskiy matematicheskiy zhurnal. 1986. Vol. 27, no. 5. pp. 83-94.

11. Lavrent'ev M.M., Romanov V.G., Shishatskiy S.P. Nekorrektnye zadachi matematicheskoy fiziki i analiza (Illposed problems of mathematical physics and analysis). Moscow, Nauka Publ., 1980. 286 c. (in Russ.).

12. Khermander L. Lineynye differentsialnye operatory s chastnymiproizvodnymi (Linear differential operators with partial derivatives). Moscow, Mir Publ., 1965. 379 p. (in Russ.). [Hormander L. Linear partial differential operators. Academic Press and Springer-Verlag, New York, 1963.]

Received 19 December 2012

1 Aliyev Ramiz Atash oqli is Cand. Sc. (Physics and Mathematics), Associate Professor, Information and Information System Department, Azerbaijan University of Cooperation, Baku, Azerbaijan. E-mail: [email protected]