CC BY
27
Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2014. № 3(36). С.31—43
ISSN: 2310-7081 (online), 1991-8615 (print) doi: http://dx.doi.org/10.14498/vsgtu1332
УДК 517.956.27
ОБ ОПРЕДЕЛЕНИИ НЕИЗВЕСТНЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ ПРИ СТАРШИХ ПРОИЗВОДНЫХ В ЛИНЕЙНОМ ЭЛЛИПТИЧЕСКОМ УРАВНЕНИИ
Р. А. Алиев
Азербайджанский университет кооперации,
Азербайджан, AZ 1106, Баку, ул. Наджафа Нариманова, 8в.
Аннотация
Исследуется обратная задача нахождения коэффициентов и решения линейного эллиптического уравнения в заданном прямоугольнике. Доказана теорема существования, единственности и устойчивости решения поставленной обратной задачи. С помощью метода последовательных приближений построен регуляризирующий алгоритм для определения нескольких коэффициентов.
Ключевые слова: обратная задача, эллиптическое уравнение, метод последовательных приближений, существование и единственность решения.
doi: http://dx.doi.org/10.14498/vsgtu1332
Введение. Обратные задачи по определению коэффициентов дифференциальных уравнений с частными производными представляют интерес во многих прикладных исследованиях [1,2]. Эти задачи приводят к необходимости приближенного решения обратных задач математической физики, которые некорректны в классическом смысле. К ним относятся задачи идентификации неизвестных плотностей источников и коэффициентов уравнения. Большое значение имеют коэффициентные задачи для эллиптических уравнений, в которых неизвестные коэффициенты не зависят от одной переменной. Такие модели характерны для задач теории фильтрации. В частности, определение теплофизических характеристик сред в стационарном случае приводит к обратным задачам для эллиптических уравнений [3-9]. Отметим также цикл работ [10-22], посвященный теоретическому и численному исследованию обратных задач для линейных и нелинейных уравнений эллиптического типа. Исследование таких задач вызвано как теоретическим интересом, так и практической необходимостью.
Целью данной работы является доказательство единственности и существования решений обратной краевой задачи для эллиптического уравнения второго порядка с дополнительным условием. 31
© 2014 Самарский государственный технический университет.
Образец для цитирования: Алиев Р. А. Об определении неизвестных коэффициентов при старших производных в линейном эллиптическом уравнении // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2014. № 3(36). С. 31-43. doi: 10.14498/vsgtu1332.
Сведения об авторе: Рамиз Аташ оглы Алиев (к.ф.-м.н., доц.; ramizaliyev3@rambler.ru), доцент, каф. информатики.
31
Алиев Р. А.
1. Постановка задачи. Рассмотрим задачу определения функций {ai(x2),
a2(x2), u(xi,x2)} из следующих условий:
-ai(x2)uXlxi - a2(x2)uX2X2 + c(x2)u = h(xi, Х2), (xi,X2) e D; (1)
u(0,X2)= 0l(x2), u(li,x2)= Ф2Ы), 0 ^ x2 ^ W; (2)
u(xi,0) = ^i(xi), u(xi,l2)= ^2(xi), 0 ^ xi ^ li; (3)
ai(x2)uxi(0,x2)= gi(x2), 0 ^ x2 ^ I2; (4)
a2(x2)uxi (li,x2)= g2(x2), 0 ^ xi ^ I2, (5)
причём ^i(0) = Ф^0), ^2(li) = Ф2(12), ^i(li) = Ф2(0), ^2(0) = Ф^). Здесь D = {(xi,x2) | 0_< xi < li,0 < x2 < Z2}; c(x2) e Ca[0,l2], h(xi,x2), hxixi(xi,x2) e Ca(D), gi(x2) e Ca[0, Z2], Ф^2) e C2+a(0,l2) nC[0,l2], ^i(xi) e
C2+a(0, li) П C[0, li] — заданные функции; i = 1, 2; 0 < a < 1.
Определение 1. Функции {ai(x2), a2(x2), u(xi ,x2)} назовём решением задачи (1)—(5), если u(xi,x2) e C2(D) n C(D), 0 < ai(x2) e C[0, l2], i = 1,2, и удовлетворяются соотношения (1)—(5).
Нетрудно проверить, что если решение задачи (1)—(5) существует, то при принятых предположениях о гладкости данных в задаче a^x2) e Ca [0,l2], i = 1, 2, u(xi,x2) e C2+a(D). Действительно, при принятых предположениях из общей теории эллиптических уравнений следует, что u(xi,x2) e Wp(D) С Ci+a(D) при p > 2 [23, c. 283]. Поэтому из дополнительных условий (4) и (5) следует, что a^x2) e Ca[0,l2], i = 1, 2. Поэтому u(xi,x2) e C2+a(D).
2. Единственность и устойчивость решения. Пусть кроме задачи (1)—(5) задана еще задача (1)-(5), где все функции, входящие в (1)-(5), заменены соответствующими функциями с чертой. Положим
Z(xi, x2) = u(xi, x2) - u(xi, x2), Aj(x2) = aj(x2) - aj(x2),
^i(x2) = c(x2) - c(x2), ^2(xi, x2) = h(xi, x2) - h(xi, x2),
й+2^2) = (/>i(x2) - Ф^), ^i+4(xi) = <£i(xi) - <£j(xi),
^i+6(x2) = gi(x2) - gi(x2), i = 1, 2.
Через ^2(xi,x2) обозначим функцию на границе, совпадающую соответственно с 5i+2(x2), ^i+4(xi), i = 1,2, и принадлежащую C2+a(D).
Лемма 1. Пусть решения задачи (1)-(5) существуют. Тогда верны следующие оценки:
|u(xi, x2)| ^ max
max L D
h(xi,x2)
c(x2)
maxmax |^i(xi)|, maxmax ^(x2)| ,
i x i j x 2 J
|uxixi(xi,x2)| ^ max
max
D
hxixi (xi, x2)
c(x2)
max max |^i
i xi
(xi)1,
max |0io(0,x2)|, max |#2o(li,x2)| ,
x2 x2 32
32
Об определении неизвестных коэффициентов ...
\ux2x2(xi,X2)| ^ max
max
\ai(x2)u X1X1 + Ci(X2)u(Xi,X2) - h(Xi,X2)\,
L D a2(X2)
max max \ф*х1 x1 \, max \0ii(xi,0)\, max \02i(xi, k)\
i X1 X1 X1
здесь
6ik (Xi,X2) = y{(1 - k)[-a2(X2)0iX2X2 (X2) + c(X2 )0i(X2)] +
+ k[-ai(X2)^iX1X1 (Xi) + c(X2)^i(Xi)] - h(Xi,X2U, i = 1, 2, k = 0,1.
1
Доказательство. Первое неравенство получается из принципа максимума. Уравнение (1) продифференцируем дважды по Xi, учитывая условия (3) и обозначая u(xi,x2) = uX1X1, получим
-ai(X2)UX1X1 - a2(X2)UX2X2 + c(X2)u = hX1X1 (Xi,X2), (Xi,X2) G D; u(0, X2) = 0io(O, X2), u(1i,X2) = 02o(1i,X2), 0 ^ X2 ^ ^
u(xi,0) = ^ix1X1 (Xi^ u(xi, 12) = <^2*^ (x1), 0 < Xi < h.
Используя принцип максимума, получим вторую оценку. Последнее неравенство получается из уравнения. Лемма 1 доказана. □
Единственность решения обратной задачи (1)—(5) в предположении его существования устанавливает следующая теорема.
Теорема 1. Пусть gi(x2) = 0, g2(x2) = 0, N mes D < 1. Тогда решение
задачи (1)-(5) единственно и верна следующая оценка:
^^||fl'i(x2) ai(x2)|c[0,12] + ||u u||C(D) ^ Ni
i=i
|c(x2) - c(x2)|C[0,l2] +
+ ^h(Xi,X2) - h(Xi,X2)!C(D) + ^(|</>i(X2) - 0i(X2)!C2[0,l2] +
i=i
+ |(^i(xi) - ^i(xi)|C2[0,i1^ + |gi(x2) - gi(x2)|
i=i
C[0,l2]
(6)
где N, Ni — положительные постоянные, зависящие от данных и решения задачи.
Доказательство. Из (1)-(5) соответственно вычтем (1)-(5) и положим Zi(xi,x2) = Z(xi,x2) - ^2(xi,x2). Тогда получим
- ai(x2)Zix1x1 - a2(x2)Zix2x2 =
2
= 5g(xi, X2) - c(X2)$2(Xi, X2) - c(X2)Zi + ^ ai(xi, X2)Ai(X2); (7)
i=i 33
33
Алиев Р. А.
Zi(0, Х2) = 0, Z\(li,x2) = 0; (8)
Zi(xi,0)=0, Zi(xi, I2) = 0; (9)
Ai(x2) = ^i+o(x2) + Yi(x2)Zixi[(i - 1)li,Х2], i = 1,2. (10)
Здесь
2
ai(xi,x2) = UxiXi, ^o(xi,x2) = -^i(x2)u + fc(xi,x2) + ^ CLi(x 2 )'^>2Х.Х. (xi,x2),
i=i
Yi(x2) = Oi(x2){-Uxi [(i - 1)li,x2]}-i,
^i+9(x2) = 7i(x2H[-®i(x2)]-i^i+6(x2) + foxi [(i - 1)li, x2] } , i = 1, 2. Обозначим
t
ijk
Lik (xj )
xj \ k(j-1) (2 - i)lj - (-1)i+i(1/2)k(j-i)xj U lj
Pi(xj) = (-1)(j+i)ilj3-2i)(j-i) xji-i)(j-i), Xj = xj+(-i)j+i,
= (1 - j + k)§6-k[(i - 1)li] + [(-1)k (1 - j) + 1 - k]^(i+2)x2 (kl2),
i,j = 1,2, k = 0,1.
Функция ^2(xi,x2) определяется следующим образом:
2 ( 2
(xi,x2) = EE Li0 (x j ^ ^i+2j (Xj ) + (1 j )Li0(xi)^i+2j (0)} +
i=i ^j=i
+ (-1)i+i ^ - 1)l2 ]} - f *<(0).
При помощи функции Грина [24] из (7)-(9) определим функцию Zi(xi,x2) через правую часть равенства и это выражение подставим в условие (10). Тогда получим
Z(xi,x2)= <^2(xi, x2) + / G(xi,x2,Ci,^2)
Jd
2
+ «ДСъЫМЫ
i=i _
Ai(x2) = ^i+g(x2) + 7i(x2M Gxi[(i - 1)li,x2,6,6]
Jd
2
-C(6)ZСбьЫ + ^ одСбъ'ЫМЫ
i=i
Функция Грина имеет следующие оценки [24]:
Ы6,6) - c(6)Z(6,6) + d6d6, 66b6)-
d6^6, i = 1, 2.
(11)
|G(xi,x2,6,6)| + Mi ln
1
V(xi - 6)2 + (x2 - 6)2 ’
34
Об определении неизвестных коэффициентов ...
\GX1 (Ж1,Ж2,6,6}| ^ M2[(xi — {1)2 + (X2 - 6)2] 1/2, Mi > 0, i = 1,2.
При достаточно малой мере D для указанных интегралов в (11) существуют оценки N-^mes D]1/2, Ni > 0, i = 2, 3, 4. Теперь в системе (11) положим
2
X = max |Z (x1,X2)\ + max\Л-(х2 )\.
X1,X2 ' X2
i=1
Из системы (11) получим
X < N5
|^1(х2) |c[0,12] + 11^1 (х1, X2) Hc^D) + ||^2(х1, х2) |c2(D) +
+ 11 ^i+6 (х2)
i=1
-+6(х2)11 с [о,г2]
+ xN6 [mes D]1/2,
где N5, N6 — некоторые положительные числа. Обозначим N = N2. По условию теоремы N mes D < 1, поэтому N6[mesD]1/2 < 1. Отсюда получим, что при (х1,х2) G D верна оценка устойчивости (6). Единственность решения задачи следует из оценки (6). Теорема 1 доказана. □
3. Метод последовательных приближений. Метод последовательных приближений для решения задачи (1)—(5) применяется по следующей схеме:
(s) —а)'
и
и
(х2)иХ1^11) — а2')(х2)иХ^1) +1 с(х2)и(в+1)=^(х1, х2) , (х1, х2) G D; (12
(s+1) (0, х2) = = Ф1(х2), u(s+1) (11,х2) = ф2(х2 ), 0 /Л ю ^ I2; (13
(s+1) (х1,0) = = ^1(х0, u(s+1) (х1,I2) = ^2(х1), 0 ^ х1 (14
a(1s+1) ( х 2 ) иХ"1+1) (0, х2) = g1 (х2), 0 < х2 < (15
а<‘+1) (х2)иХ1+1) (l1 ,х2) = 02 (х2), 0 < х2 < I2. (16
По схеме (12)—(16) последовательные итерации проводятся следующим образом. Сперва выбираются некоторые а(0)(х2) > 0, i = 1,2, принадлежащие Ca[0,12], и подставляются в уравнение (12). Далее решается задача (12)-(14) и находится и1(х1,х2). По функциям иХ11)(0,х2), иХ11)(11,х2) из условий (15)-(16) находятся а11)(х2), а21)(х2) и эти функции используются для проведения следующего шага итерации.
Теорема 2. Пусть решение задачи (1)-(5) существует и при всех s = 0,1 и т.д. u(s)(х1, х2) G C2(D), а(в)(х2) G Ca[0,l2], i = 1,2, 01(х2)иХ'1)(0,х2) > 0,
g2(х2)иХ1)(11,х2) > 0, N mes D < 1, а производные и(в)(х1,х2) по х1, х2 до второго порядка равномерно ограничены. Тогда функции |а1'5)(х2), а2в)(х2), и(в)(х1, х2)}, полученные методом последовательных приближений (12)-(16), при s ^ +те 'равномерно сходятся к решению задачи (1)-(5) со скоростью геометрической прогрессии. N — положительная постоянная, зависящая от данных задачи. 35
35
Алиев Р. А.
Доказательство. Положим
Z(s)(xi, Х2) = u(x 1,^2) - u(s)(x 1, X2), A(s)(x2) = ai(x2) - a(s)(x2), i = 1,2. Легко проверить, что эти функции удовлетворяют системе
2
a1 (x2)ZXS+11) - a2(x2)ZXS+21} + c(x2)Z(s+1)= E
i=1
A(s+1)(x2) = 7i(s)(x2)zXS+1)[(i - 1)l1,x2], i = 1,2,
(s)
ai0 (X1,
a(s) (x1,x2)A(s)(x2); (17
= 0, (1s;
= 0, (19
i = 1,2, (20
- 1)l1 ,x2]}_1, i = 1, 2.
= uXiXi , 7i (x2) = ai(x2){ uxi 1
С помощью функции Грина из (17)-(19) определим Z(s+1)(x1,x2) через правую часть равенства (17) и подставим это выражение в условия (20). Тогда получим
A(s+1)(x2) = 7(s)(x2) / Gxi [(i - 1)l1 ,x2,6,6]x Jd
2
x E d&, i = 1,2. (21)
i=1
Положим
2
X(s) = E max|A(s)(x2)|.
i=1
Аналогично из системы (21) следует, что x(s+1) ^ x(s)Ne[mes D]1/2. Таким образом, теорема 2 доказана. □
4. Существование решения. Пусть m(x2) е C2[0,12], m(x2) > 0, ш'(0) > 0, ш'(12) < 0, m"(x2) ^ 0. Введём следующие обозначения:
3
n(x1) = 2^0 1(x1 - I1)2, Pi+2n = m(n)(il2 - I2),
£in(x1) = n(x1)^i(l1) + ei+2n1-1(l1 - x1),
Pi(xi) = (2 - i)£1o(x1) + (i - 1)^21(x1),
M1 = maxl—1 [Ф1 (x2) - 02(x2)], Mi+1 = max[M1, max |^ix1 (x1)|],
X2 X1
M = max Mk, i,j = 1, 2, n = 0,1.
k=2,3
Лемма 2. Пусть задача
a1(x2)uxixi a2(x2)uX2X2 + u — 0, (x1,x2) е D;
u(0,x2)= 01(x2), u(l1,x2)= 02(x2), 0 ^ x2 ^ I2;
36
Об определении неизвестных коэффициентов ...
u(x 1,0) = ipi(xi), u(xi,l2) = <f2(xi), 0 Ф Xi Ф 11, удовлетворяющая условиям
^l(0) = ф1(0), ^l(ll) = 02(0), ^2(ll) = Ф2 (I2), Ф1Д) = ^2 (0),
при заданных al(x2), a2(x2) ^ > 0 имеет решение, которое принадлежит
классу C2(D) П C(D), и выполняются условия
0 < ll < 1, ^-lll < 1, m(x2) Ф 1Ф2Ы) Ф 3 [M - l-lm(x2)],
в Ф 1 ^i(ll) Ф 1 (M - вД1), m(x2) + п(0)Ф2^) Ф Ф1 (x2) - Ф2(x2) Ф Mll, xll-lfii Ф Д0) - ^i(xl) Ф Mxl,
Cio(xl) Ф ^i(xl) - ^i(ll) Ф M(ll - xl),
<Pix2X2 (x2) = 0, i = 1, 2
тогда
-M - Фi(x2)(2^o)-lll Ф Ux!(ill - ll,x2) Ф -шДД1, (22)
i = 1, 2, 0 <x2 <l2. ()
Доказательство. Положим
Ui(xl, x2) = u(xi, x2) + m(x2)l-l(xl - ill + ll) - Фi(x2) - (i - 1)n(xl^i(x2),
Vi(xl,x2) = -u(xl,x2) + ФД2) - M(xl - ill + ll) +
+ (-1)i(2^o)_lxl(ll - Xl)фi(x2), i = 1,2.
Нетрудно проверить, что Ul(xl,x2) удовлетворяет условиям задачи
al(x2)ulxixi a2(x2)ulx2X2 + U1 —
= Ф1 (x2) + шДДД1 - a2(x2)m"(x2)xllj_l,
Ul (0, x2) = 0, Ul (ll, x2) = Ф1 (x2) + m(x2) + Ф2(x2),
Ul(xl, 0) = ^l(xl) - ^1(0) + m(0)xll-1,
Ul(xl, l2) = <^2(xl) - ^2(0) + m(l2)xll-1.
Поэтому, по условию леммы, наибольшее положительное значение функции U1(x1, x2) достигается при x1 = 0. Тогда ui (0, x2) Ф 0, другими словами,
Ux1 (0,x2) Ф -m(x2)l-1. (23)
37
Алиев Р. А.
Аналогично прежнему, подставляя Vi(xi,x2) и учитывая условия леммы, получаем, что наибольшее положительное значение функции Vi(xi,x2) достигается при x1 = 0. Поэтому Vi (0, x2) ^ 0 или
-M - фl(x2)(2^o) 1 li ^ Uxi(0,x2). (24)
Объединяя оценки (23) и (24), получим оценку (22) при i = 1. Аналогично прежнему получим оценку (22) при i = 2. Лемма 2 доказана. □
Теорема 3. Пусть
Фг^2) е C2+a(0, I2) П C[0, I2], ^i(xi) е C2+а(0, li) П C[0, li],
0 < li < 1, g-1li < 1, c(x2) = 1, h(xi,x2) = 0, m(x2) < 1 Ф2(x2) < 3 [M - l-im(x2)], Pi < 2^i(li) < 3 (m - fid-1),
m(x2) + п(0)ф2^) ^ Ф1 (x2) - Ф2(x2) ^ Mli, xil-iei ^ ^i(0) - ^i(xi) ^ Mxi, £io(xi) ^ ^i(xi) - <fi(li) ^ M(li - xi),
gi(x2) < 0, go ^ -gi(x2) - 1 Фi(x2)ll,
^ixi (jl1 li) < ° фiж2x2 (x2) — ° ^ j — 1, 2;
m(x2) — неотрицательная функция такая, что gi(x2)[m(x2)]-i, i = 1, 2, ограниченны; g0 — положительное число. Тогда задача (1)-(5) имеет хотя бы одно решение.
Доказательство. Нетрудно видеть, что
aj(il2 - l2) = gj(il2 - l2)[^ixi(jli - li)]-i, i, j = 1,2.
Доказательство проводится методом последовательных приближений. Из утверждения леммы 2 следует, что
-M[1 + фl(x2)(2go)-1ll] ^ uXs1+i)(ili - li,x2) ^ -m(x2) ■ l-1,
i = 1, 2, 0 < x2 < l2, тогда
goM-1 ^ a(s+1)(x2) ^ max{[-gi(x2)] ■ [m(x2)]-1} ■ li, i = 1,2, 0 < x2 < l2.
x2
Таким образом, при всех приближениях ais)(x2s)),
(x2 ;) — строго по-
ложительные, непрерывные и равномерно ограниченные функции. Тогда из общей теории эллиптических уравнений следует, что при условиях теоремы последовательность {u(s)(x1, x2)} равномерно ограничена по норме Wp(D)
Vp > 2. Поэтому {u(s)(x1,x2)} компактна в C 1(D). При этом из условий (15), (16) следует, что {ais)(x2), a2s)(x2)} будет компактна в C[0, l2]. Отсюда и из (12)—(14) вытекает компактность {u(s)(x1, x2)} в C2(D). В системе (4)-(16), переходя к пределу при s ^ +то, получим, что существует пара функции 38
38
Об определении неизвестных коэффициентов ...
{^(x^, a2(x2), u^, x2)}, удовлетворяющая условиям (1)-(5). Теорема 3 доказана. □
Вместо условия (3) можно выбрать одно из следующих условий:
Ux2 (xi,0) = ^i(xi), £ to ,l2) = ^2(xi), 0 ^ xi ^ li; (25
Ux2 (xi,0) = ^i(xi), u(xi, l2) = ^2(xi), 0 ^ xi ^ li; (26;
u(xi,0) = ^i(xi), ux2 (xi, l2) = ^2(xi), 0 ^ x2 ^ li. (27;
Для таких задач $2(xi,x2) определяются соответственно в следующем виде:
2
$2 (xi,x2) = ^ Lii(xj )5i+2j (Xj) + i,j= 1
+ (-l)j+1x2(Ц + j - ^ Lii(xi)5(i+2)x2 [(j - l)l2],
$2(xi,x2)
$2(xi,x2)
Pi (xj )Li0(xj )^i+2j (Xj ) + l2 J tij0Li0 (xi )[Lj0 (x2)]
2j-
i,j=i
2
j L-i0(xjЦ ^ '&+«(Xj)-
E <ri)(j-i)[Li0(xj)]
i,j=i
-lj itijiLio(xi) [Lj0(x2).
1
Аналогично теореме 3 можно доказать следующие теоремы существования для соответствующих задач.
Теорема 4. Пусть
Ф^2) G Ci+a(0, l2) n C[0, J2], ^i(xi) G C2+a(0, li) n C[0, li],
0 < li < l, ^-ili < l, c(x2) = l, h(xi,x2) = 0, ^i(0) ^ 0, ^2(0) ^ 0, m(x2) ^ 2ф2^2) ^ ^[M - l-im(x2)],
-3e*+2li i(2 - i) Ф ^i(li) < -3£i+2li i(i - l),
П(0)ф2(x2) + m(x2) ^ Ф1 (x2) - ф2(X2) ^ Mili, xil-iei+2(2i - 3) ^ ^i(2xi - ixi) - <£i(ixi - xi) ^ 0,
(i - l)Cii(xi) ^ ^i(xi) - ^i(li) ^ (2 - i)^ii(xi),
gi(x2) < 0, go ^ -gi(x2) - ^фi(X2)ll, Ф^2Х2 (x2) = 0, i = l, 2;
m(x2) — неотрицательная функция такая, что gi(x2)[m(x2)]-i, i = l, 2, ограниченны; g0 — положительное число. Тогда задача (1)-(2), (4)-(5) и (25) имеет хотя бы одно решение.
Теорема 5. Пусть
Ф^2) G C2+а(0,l2) n C[0,l2], ^i(xi) G Ci+a(0,li) n C[0,li],
39
Алиев Р. А.
V2(x1) е C2+a(0,h) П C[0,11], 0 <li < 1, < 1,
c(x2) = 1, h(xi,X2) = 0, c(x2) = 1, ^1(0) ^ 0, ^2(0) ^ 0,
m(x2) ^ 1Ф2(X2) ^ 3[Мз - l-1m(x2)],
2 2 -3вг+21Г1(2 - i) < ^i(l1) < -3в [M3 - l-Vi] (i - 1),
П(0)Ф2(Х2) + m(X2) ^ Ф1 (X2) - Ф2(Х2) ^ M3I1, (-1)гв(г+2)/гХ11-1 ^ ^i(2x1 - iX1) - ^i(iX1 - X1) ^ M3X1(i - 1), Cio(x1)(i - 1) ^ ^i(x1) - <£i(l1) ^ Ci1(x1)(2 - i) + Мз(11 - X1)(i - 1),
gi(X2) < 0, go ^ -gi(X2) - 1 фг(X2)ll, ^2xx (il1 - ^) < 0,
фix2X2 (x2) — 0, i — 1 2;
m(x2) — неотрицательная функция такая, что gi(x2)[m(x2)]-1, i = 1, 2, ограниченны; g0 — положительное число. Тогда задача (1)-(2), (4)-(5) и (26) имеет хотя бы одно решение.
Теорема 6. Пусть
ФгЫ е C2+а(0, l2) П C[0, l2], ^1 (X1) е C2+а(0, l1) П C[0, l1],
^2(x1) е C 1+a(0,l1) П C[0,l1], 0 < l1 < 1, g-1l1 < 1,
2
c(X2) = 1, h(X1,X2)=0, 0 ^ ^i(l1) ^ 3[ вг21- 1 + M2(2 - i)],
Pi(x1) ^ ^i(x1) - ^(lO ^ MM2(l 1 - X1)(2 - i), x 1101 вг2 ^ Vi(0) - <£i(X1) ^ (2 - i)M2X1, п(0)Ф2(X2) + m(X1) ^ Ф1 (X2) - Ф2(X2) ^ M2l1,
gi(X1) < 0, go ^ -gi(X2) - 1 фi(X2)ll, V1xi (il1 - l1) < 0,
Фг^2Ж2 (x2) = 0, i = 12;
m(x2) — неотрицательная функция такая, что gi(x1)[m(x2)]-1, i = 1, 2, ограниченны; g0 — положительные числа. Тогда задача (1)-(2), (4)-(5) и (27) имеет хотя бы одно решение.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Лаврентьев М. М., Романов В. Г., Шишатский С. П. Некорректные задачи математической физики и анализа. М.: Наука, 1980. 288 с.
2. Кабанихин С. И. Обратные и некорректные задачи. М.: Наука, 2009. 458 с.
3. Искендеров А. Д. Некоторые обратные задачи об определении правых частей дифференциальных уравнений // Изв. Акад. наук Азерб. ССР, 1976. №2. С. 58-63.
4. Искендеров А. Д. Обратная задача об определении коэффициентов квазилинейного эллиптического уравнения// Изв. Акад. наук Азерб. ССР, 1978. №2. С. 80-85. 40
40
Об определении неизвестных коэффициентов ...
5. Искендеров А. Д. Обратная задача об определении коэффициентов эллиптического уравнения// Диффер. уравн., 1979. Т. 15. С. 858-867.
6. Темирбулатов С. И. Обратные задачи для эллиптических уравнений. Алма-Ата: Казах. ун-т, 1975. 72 с.
7. Клибанов М. В. Двумерная обратная задача для одного эллиптического уравнения // Диффер. уравн., 1983. Т. 19, №6. С. 1072-1074.
8. Клибанов М. В. Обратные задачи в целом и карлемановские оценки// Диффер. уравн., 1984. Т. 20, №6. С. 1035-1041.
9. Клибанов М. В. Единственность в целом обратных задач для одного класса дифференциального уравнения// Диффер. уравн., 1984. Т. 20, №11. С. 1947-1953.
10. Хайдаров А. Один класс обратных задач для эллиптических уравнений // Докл. Акад. наук СССР, 1984. Т. 277, №6. С. 1335-1337.
11. Хайдаров А. Об одной обратной задаче для эллиптических уравнений / Некоторые задачи математической физики и анализа. Новосибирск: Наука. Сибирское отделение, 1984. С. 245-249.
12. Вабищевич П. Н. Обратная задача восстановления правой части эллиптического уравнения и ее численные решения// Диффер. уравн., 1985. Т. 21, №2. С. 277-284.
13. Вабищевич П. Н. О единственности некоторых обратных задач для эллиптических уравнений// Диффер. уравн., 1988. Т. 24, №12. С. 2125-2129.
14. Соловьев В. В. Обратные задачи для эллиптических уравнений на плоскости. I // Диффер. уравн., 2006. Т.42, №8. С. 1106-1114.
15. Соловьев В. В. Обратные задачи определения источника и коэффициента в эллиптическом уравнении в прямоугольнике // Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 2007. Т. 47, №8. С. 1365-1377.
16. Sylvester J., Uhlmann G. A Global Uniqueness Theorem for an Inverse Boundary Value Problem// Annals of Mathematics. vol. 125, no. 1. pp. 153-169. doi: 10.2307/1971291.
17. Yang R., Ou Y. Inverse coefficient problems for nonlinear elliptic equations// ANZIAM Journal, 2008. vol. 49, no. 02. pp. 271-279. doi: 10.1017/s1446181100012839.
18. Вахитов И. С. Обратная задача идентификации старшего коэффициента в уравнении диффузии-реакции// Дальневост. матем. журн., 2010. Т. 10, №2. С. 93-105.
19. Козлов В. А., Мазья В. Г., Фомин А. В. Об одном итерационном методе решения задачи Коши для эллиптических уравнений // Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1991. Т. 31, № 1. С. 64-74.
20. Johansson T. An iterative procedure for solving a Cauchy problem for second order elliptic equations// Mathematische Nachrichten, 2004. vol. 272, no. 1. pp. 46-54. doi: 10.1002/ mana.200310188.
21. Алиев Р. А. Теорема единственности одной обратной задачи для квазилинейного уравнения эллиптического типа // Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки, 2012. №5. С. 5-10.
22. Алиев Р. А. Теорема единственности одной обратной задачи для квазилинейного уравнения эллиптического типа / Труды седьмой Всероссийской научной конференции с международным участием. Часть 3: Дифференциальные уравнения и краевые задачи / Матем. моделирование и краев. задачи. Самара: СамГТУ, 2010. С. 13-15.
23. Ладыженская О. Г., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М.: Наука, 1973. 576 с.
24. Miranda C. Partial differential equations of elliptic type. Berlin, Heidelberg, New York: Springer Verlag, 1970. xii+370 pp.
Поступила в редакцию 16/VI/2014; в окончательном варианте — 11/VII/2014; принята в печать — 27/VIII/2014. 41
41
Алиев Р. А.
Vestn. Samar. Gos. Techn. Un-ta. Ser. Fiz.-mat. nauki. 2014. Issue 3(36). Pp. 31—43 [J. Samara State Tech. Univ., Ser. Phys. & Math. Sci. 2014. Issue 3 (36). Pp. 31—43]
ISSN: 2310-7081 (online), 1991-8615 (print) doi: http://dx.doi.org/10.14498/vsgtu1332
MSC: 35R30, 35J25
ON THE DETERMINATION OF THE UNKNOWN COEFFICIENTS OF THE HIGHEST DERIVATIVES IN A LINEAR ELLIPTIC EQUATION
R. A. Aliyev
Azerbaijan University of Cooperation
8v, Narimanova str., Baku, AZ 1106, Azerbaijan.
Abstract
Inverse problems on restoration of coefficients to the differential equations with partial derivatives are of interest in many applied researches. These problems lead to necessity of the approached decision of inverse problems for the equations of mathematical physics which are incorrect in classical sense. In the article the existence, uniqueness and stability of the solution of the given inversion problem for the elliptic equation are proved.
Keywords: inverse problem, elliptic equation, successive approximations method, existence and uniqueness of solutions.
doi: http://dx.doi.org/10.14498/vsgtu1332
REFERENCES
1. Lavrent’ev M. M., Romanov V. G., Shishatskii S. P. Nekorrektnye zadachi matematicheskoi fiziki i analiza [Ill-posed problems of mathematical physics and analysis]. Moscow, Nauka, 1980, 288 pp. (In Russian)
2. Kabanikhin S. I. Obratnye i nekorrektnye zadachi [Inverse and ill-posed problems]. Moscow, Nauka, 2009, 458 pp. (In Russian)
3. Iskenderov A. D. Some inverse problems on the determination of right-hand parts of differential equations, Izv. Akad. Nauk Az. SSR, 1976, no. 2, pp. 58-63 (In Russian).
4. Iskenderov A. D. Inverse problem about the determination of the coefficients of a quasilinear elliptic equation, Izv. Akad. Nauk Az. SSR, 1978, no. 2, pp. 80-85 (In Russian).
5. Iskenderov A. D. The inverse problem of the determination of the coefficients in an elliptic equation, Differ. Equ., 1979, vol. 15, pp. 605-612.
6. Temirbulatov S. I. Obratnye zadachi dlia ellipticheskikh uravnenii [Inverse problems for elliptic equations]. Alma-Ata, Kazakh. Univ., 1975, 72 pp. (In Russian)
7. Klibanov M. V. A two-dimensional inverse problem for an elliptic equation, Differ. Uravn., 1983, vol. 19, no. 6, pp. 1072-1074 (In Russian). *
© 2014 Samara State Technical University.
How to cite Reference: Aliyev R. A. On the determination of the unknown coefficients of the highest derivatives in a linear elliptic equation, Vestn. Samar. Gos. Tekhn. Univ., Ser. Fiz.-Mat. Nauki [J. Samara State Tech. Univ., Ser. Phys. & Math. Sci.], 2014, no. 3(36), pp. 31-43. doi: 10.14498/vsgtu1332. (In Russian)
Author Details: Ramiz A. Aliyev (Cand. Phys. & Math. Sci.; ramizaliyev3@rambler.ru), Associate Professor, Dept. of Informatics.
42
Об определении неизвестных коэффициентов ...
8. Klibanov M. V. Inverse problems in the “large” and Carleman bounds, Differ. Equ., 1984, vol. 20, no. 6, pp. 755-760.
9. Klibanov M. V. Uniqueness in the large of solutions of inverse problems for a class of differential equations, Differ. Equ., 1984, vol. 20, no. 11, pp. 1390-1395.
10. Khaidarov A. One class of inverse problems for elliptic equations, Dokl. Akad. Nauk SSSR, 1984, Т. 277, №6, С. 1335-1337 (In Russian).
11. Khaidarov A. On an inverse problem for elliptic equations, Nekotorye zadachi matematiches-koi fiziki i analiza [Some Problems of Mathematical Physics and Analysis]. Novosibirsk, Nauka, Siberian Branch, 1984, pp. 245-249 (In Russian).
12. Vabishchevich P. N. An inverse problem for reconstructing the right-hand side of an elliptic equation and its numerical solution, Differ. Equ., 1985, vol. 21, pp. 201-207.
13. Vabishchevich P. N. Uniqueness of solutions of some inverse problems for elliptic equations, Differ. Equ., 1988, vol. 24, no. 12, pp. 1443-1446.
14. Solov’ev V. V. Inverse problems for elliptic equations on the plane. I., Differ. Equ., 2006, vol. 42, no. 8, pp. 1170-1179. doi: 10.1134/s0012266106080118.
15. Solov’ev V. V. Source and coefficient inverse problems for an elliptic equation in a rectangle, Comput. Math. Math. Phys., 2007, vol. 47, no. 8, pp. 1310-1322. doi: 10.1134/ S096554250708009X.
16. Sylvester J., Uhlmann G. A Global Uniqueness Theorem for an Inverse Boundary Value Problem, Annals of Mathematics, vol. 125, no. 1, pp. 153-169. doi: 10.2307/1971291.
17. Yang R., Ou Y. Inverse coefficient problems for nonlinear elliptic equations, ANZIAM Journal, 2008, vol. 49, no. 02, pp. 271-279. doi: 10.1017/s1446181100012839.
18. Vakhitov I. S. Inverse problem of identification of the diffusion coefficient in diffision-reaction equation, Dal’nevost. matem. zhurn., 2010, vol. 10, no. 2, pp. 93-105 (In Russian).
19. Kozlov V. A., Maz’ya V. G., Fomin A. V. An iterative method for solving the Cauchy problem for elliptic equations, U.S.S.R. Comput. Math. Math. Phys., 1991, vol. 31, no. 1, pp. 45-52.
20. Johansson T. An iterative procedure for solving a Cauchy problem for second order elliptic equations, Mathematische Nachrichten, 2004, vol. 272, no. 1, pp. 46-54. doi: 10.1002/mana. 200310188.
21. Aliyev R. A. The uniqueness theorem of an inverse problem for a quasilinear elliptic equation, Izvestiia vuzov. Severo-Kavkazskii region. Estestvennye nauki, 2012, no. 5, pp. 5-10 (In Russian).
22. Aliyev R. A. The uniqueness theorem of an inverse problem for a quasilinear elliptic equation, Matem. modelirovanie i kraev. zadachi. Samara, Samara State Technical Univ., 2010, pp. 13-15 (In Russian).
23. Ladyzhenskaya O. A., Ural’tseva N. N. Lineinye i kvazilineinye uravneniia ellipticheskogo tipa [Linear and quasilinear equations of elliptic type]. Moscow, Nauka, 1973, 576 pp. (In Russian)
24. Miranda C. Partial differential equations of elliptic type. Berlin, Heidelberg, New York, Springer Verlag, 1970, xii+370 pp.
Received 16/VI/2014;
received in revised form 11/VII/2014;
accepted 27/VIII/2014. 43
43
