ТЕНЗОРНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЦВЕТОВОГО ПРОСТРАНСТВА КОЛОРИМЕТРИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ МКО В СТРОГО РАВНОКОНТРАСТНОЕ Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 535.645.646

Ермакова В.Д. магистрант специальность «Радиотехника» Ложкин Л.Д., доктор технических наук научный руководитель, профессор Поволжский государственный университет телекоммуникаций и информатики

Россия, г. Самара

ТЕНЗОРНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЦВЕТОВОГО ПРОСТРАНСТВА КОЛОРИМЕТРИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ МКО В СТРОГО РАВНОКОНТРАСТНОЕ

В данной статье рассматриваются вопросы разработки равноконтрастного цветового пространства. В этом новом цветовом пространстве известные эллипсы (для двухмерного пространства) или эллипсоиды в трехмерном пространстве трансформируются в равные окружности или сферы (шары), соответственно. Важно иметь равноконтрастную цветовую систему, в которой геометрическая разница цветовых различий не зависела бы от сравниваемых цветов (цветностей) на цветовой диаграмме.

Ключевые слова: пороги цветоразличения, цветовой тензор, тензор кривизны, колориметрическая система координат, МКО, эллипсы Мак Адама.

Коды OCIS: 330.1690, 330.1710

Ermakova V. D.

Undergraduate Specialty "Radio engineering" Lozhkin L.D. doctor of technical Sciences scientific head, Professor Volga state University of telecommunications and Informatics

In this paper, we consider the development of an equally contrasting color space. In this new color space, known ellipses (for two-dimensional space) or ellipsoids in three-dimensional space are transformed into equal circles or spheres (spheres), respectively. It is important to have an equally contrasting color system in which the geometric difference of the color differences does not depend on the colors (colors) being compared on the color chart

Keywords: thresholds of color determination, color tensor, curvature tensor, colorimetric coordinate system, MCE, ellipses of MacAdam.

Введение

В работе [1] приведен анализ колориметрических систем МКО, из которого видно, что в настоящее время не существует колориметрических

систем, в которых бы эллиптичность цветовой поверхности равнялась бы единице. В данной работе показан метод и приведен математический аппарат разработки строго равноконтрастного цветового пространства, представляемого в геометрии Римана в подвижных системах координат. Сразу сделаем одно замечание. Ввиду сложности и большого объема математические выкладки преобразования будут сокращены.

1. Постановка задачи и цветовой тензор

Необходимо отметить, что Мак Адам проводил эксперименты по определению порогов цветоразличения при постоянной яркости излучения стимула. Поэтому, его результаты интерпретировались в двумерном цветовом пространстве, в частности на цветовом локусе МКО 1931 г. (х,у). Автором данной статьи был разработан программный комплекс по измерению порогов цветоразличения [2, 3, 4]. Впоследствии этот программный комплекс был изменен и дополнен с учетом зависимости порога цветоразличения от значения яркости стимула. Интерпретация результатов измерений может быть представлена, как это показано на рисунке 1. Однополостный гиперболоид (рисунок 1) сильно похож на результат решения уравнения Эйнштейна, описывающего состояния пространства-времени, решенное Шварцшильдом [5], приведенный на рисунке 2.

Рисунок 1. Зависимость величины порогов цветоразличения от яркости стимула

Рисунок 2. Сечение пространства Шварцшильда при Т=0

Известно, что уравнение Эйнштейна имеет вид [5]:

Rab ~ Sab +I^Sab ~ 4 Tab, . „ .

2 C (1)

R

где ab — тензор кривизны Риччи, получающийся из тензора кривизны

R

пространства-времени abcd посредством свёртки его по паре индексов,

R — скалярная кривизна, то есть свёрнутый тензор Риччи, Sab—

T

метрический тензор, Л — космологическая постоянная, ab представляет собой тензор энергии-импульса материи, (л — число, с— скорость света в вакууме, G — гравитационная постоянная Ньютона). Так как все входящие в уравнения тензоры симметричны, то в четырёхмерном пространстве-времени эти уравнения равносильны скалярным уравнениям.

Уравнения А. Эйнштейна не налагают никаких ограничений на используемые для описания пространства-времени координаты, т.е. обладают свойством общей ковариантности, но они ограничивают выбор лишь 6 из 10 независимых компонент симметричного метрического тензора. Поэтому их решение неоднозначно без введения некоторых ограничений на компоненты метрики, соответствующих однозначному заданию координат в рассматриваемой области пространства-времени, и обычно называемых координатными условиями.

Как видно в (1), в правой части используются такие физические константы, как гравитационная постоянная Ньютона G, скорость света с, и

T

тензор энергии-импульса материи ab значения, компонент которого равно нулю для момента наступления статического режима состояния материи в замкнутом пространстве-времени, т.е. движение материи будет отсутствовать. Космологическая постоянная Л также (для нашего случая цветового пространства) равна нулю, тогда уравнение (1) примет следующий вид:

R

Rab - Rgab = 0,

2 (2)

Введем понятие цветовой тензор.

Любой точке на цветовом локусе можно сопоставить некий цветовой вектор. Для начала, свяжем такие понятия как цветовая насыщенность и цветовой тон с системой координат МКО 1931(х,^). Для чего сделаем

параллельный перенос осей х, у так, что бы начало координат совпадало с координатами «белого» цвета. Очевидно, для системы МКО 1931(х,у) это будет цветность равно энергетического источника Е с координатами хЕ = 0,333 и уЕ = 0,333. Тогда цветовой локус будет иметь вид, как это изображено на рисунок 3.

Рисунок 3. Пороги Мак Адама в системе координат х' у'

На рисунке 3 длина вектора ОБ отображает цветовую насыщенность

центра эллипса Мак Адама, а угол - цветовой тон.

Поскольку все вектора типа 0Б (рисунок 3) начинаются из нулевой точки, то длина этих векторов (цветовая насыщенность) определяется

В = Л/ х2 + у2 + Ь2,

простым выражением типа: v ^ где х, у - координаты конца

вектора в системе координат х' у', Ь - яркость точки конца вектора.

Согласно закону Бугера-Фехнера порог по яркости равен 0,01 от текущей яркости.

Цветовой вектор может быть представлен следующей матрицей:

С =

Цт

Цн

ь

аге№

У ц

V хц у

,2 ,2 ,2 хц + Уц + Ьц

2 2 2 Х а + Уа + Ьа

ь

(3)

Разложив вектор (3) по ортам базиса б1'в2'получим двух валентный

с

симметричный цветовой тензор аЪ. Суть этого тензора заключается в

задании координат для метрического тензора в (2) конкретной точки на цветовой диаграмме. Здесь мы будем рассматривать систему МКО 1931 г. (х, у), причем, с переносом начало координат, как это было сказано выше. Пожалуй, в качестве цветовой диаграммы можно использовать любую из известных систем МКО. С учетом сказанного, перепишем (3):

Ц т 0 0

с = саЬ 0 Цн 0

0 0 Ь

г

аге1п

Уи

V/ хи У

0 0

' 2 '2 , Хи + Уи + Ь

2 2 2 х + у + Ь

а У а а

0 Ь

(4)

Цветотехнические величины Цт, Цн и Ь (или значения координат) можно найти в работе [6].

в

цветовое

2. Преобразование координат перехода криволинейное пространство

Для того чтобы преобразовать цветовое пространство в

криволинейное, необходимо заменить старый базис e2,е на новый

~2' Для этого необходимо использовать матрицу перехода ], которая устанавливает связь между старым и новым базисами [7]:

3

[5 ]

е.

] =1

I = 1,2,3.

Матрица , определяется [7]:

С т С 1 С 1

[С ] =

^ С

2 "3 22

С

2 °3

3

(5)

И называется матрицей прямого перехода от старого базиса е3 к новому ~2' ~3' Каждый столбец матрицы ](5) определяет орты базиса :

С1 С2 С3

с3

с 3

С

с3

И аналогично, матрица [т], которая является обратной матрице

[5 ]

будет являться матрицей обратного перехода от нового базиса старому ех'e2, eз, т.е.

е1, е2 , е3

к

е- = 1 Т/ ~;

[т] = [СГ1, - П ' ' г = 1,2,3. Поскольку изначально вектора, характеризующие размеры эллипсоида

0

0

0

е1 =

е2 =

е3 =

3

взаимно перпендикулярны, притом в обеих координатных системах, матрица Якоби [8] будет сингулярной матрицей, а следовательно определитель (якобиан матрицы) равен нулю.

то ее

У -

ды1 дых дых

дх1 дх2 дх

ды2 ды2 ды2

дх1 дх 2 дх

ды3 ды3 ды3

дх1 дх2 дх

ёе^У) = 0,

где

и1, и2, и3 координаты точки в старом базисе отображенные в новом базисе е1, е2, ез.

Кроме того, известно, что Го = )

е1, е 2 ,

[8], то получается, что в новом

базисе

е1, е2 , ез

радиус сферы Го будет равен нулю, что означает нуль-пространство, т.е. эллипсоид трансформируется в точку. Это можно объяснить следующим образом. Эллипсы, полученные Мак Адамом (рисунок 3) с точки зрения глаза наблюдателя рассматриваются как бы «изнутри эллипса», а «с наружи» эти эллипсы видны как точки, имеющие нулевую протяженность. Таким образом, в данном случае действует закон относительности.

Согласно сказанному, следует, что в качестве матрицы перехода из одного базиса в другой матрицу Якоби с любой внешней функцией

Ж (л^ хг, хъ) в этом случае использовать нельзя.

Обход указанных трудностей, для решения поставленной задачи будет описано ниже.

е

3

3. Тензорное поле цветового локуса

Согласно определению, если вектор или тензор связаны с конкретной точкой, а другая группа векторов либо других тензоров связаны с другими точками некоторой области, то эта область называется либо векторным, либо тензорным полем [7, 8]. В дальнейшем будем говорить только о тензорном поле. Чтобы отметить конкретную точку пространства м, с которой связан конкретный тензор данного тензорного поля, запишем м как

аргумент к = к(м)

Очевидно, что сказанное выше относится и к цветовому локусу с конкретными эллипсами Мак Адама.

Далее, каждый порог цветоразличения (эллипс Мак Адама для порогов по цветности, либо эллипсоид для порогов цветоразличения) - представляют собой замкнутую фигуру и в случае рассмотрения трехмерного цветового пространства - эллипсоид, то в качестве системы координат удобней применять сферическую систему - являющейся, как частным случаем криволинейной системой координат.

В декартовых координатах отображение М °(х> х>х) задается посредством векторов и базисов. В сферических координатах х =г -расстояние от точки м до центра сферы, а х2 и х, соответственно два угла 0 и у (азимут и склонение).

Таким образом, в сферических координатах каждую точку м

г ~ ~ ~

представляем как радиус-вектор 0 в некоторой вспомогательной декартовой

(1 2 3 ^

__________________х ,х ,х ) Сам радиус-

вектор г0 представляется тремя координатами в базисе е1,е2 ,е3 вспомогательной системы координат:

3

I У^г.

г0 =

(1 1 3 \ ( 1 2 3 \

_______________________________г_________ у ,у ,у )^(х ,х ,х ) [8]. Это

числовое отображение и может обрабатываться в числовой форме. Левая стрелка представляется тремя функциями от трех переменных [8]:

у1 = у1 (х1, х2, х3) у2 = у2 (х1, х2, х3), у3 = у3 (х1, х2, х3) (6)

Для правой стрелки имеем:

х1 = х1 (у1, у2, у3) х2 = х2 (у1, у2, у3) х3 = х3 (у1, у2, у3) (7)

Продифференцируем все функции (6), (7). Рассмотрим частные производные (6) и (7). Введем обозначения [8]:

■ г = дх'

^ дх1 ' ^ ду1 (8)

Частные производные (8) являются ни что иное, как матрицы Якоби [8], если их разместить в две квадратные матрицы 5 и Т:

г = 1,2,3; 1 = 1,2,3.

И ]=с; (х1, х2, хз) т ]=т (у1, у2, у3)

С- т-

Подставив в (7) аргументы 1, (или в (6) аргументы 1), можно сделать так, чтобы они имели общий набор аргументов [8]:

= (у\у2, у3) т = т (y1, у2, у3) (9)

И; = И; (х , х , х ); Т; = Т; ^ , х , х ^ ^ ^

Из (9) или (10) видно, что матрицы ] и [т] взаимно обратные, т.е.

[Т ]=И Г.

4. Кривизна пространства цветоразличения

В уравнение Эйнштейна входит тензор кривизны - тензор Риччи.

Я

Рассмотрим структуру данного тензора. Как известно [8], тензор Риччи г

был получен из классического тензора кривизны путем его свертки:

2

Кг] = I ^ .

*=1 (11) где гк; - тензор кривизны.

Формулу (11) для тензора Риччи можно преобразовать к следующему

виду:

2 2

г"***-

Т-1 ] -1

Из тензора Риччи можно построить скаляр R по следующей формуле

[8]:

2 2 * -II

22

г=1 м (12)

я{х\ х2)

Скаляр *\х 'х р определенный (12) - есть скалярная кривизна

1 2

пространства поверхности в точке с координатами х 'х - Скалярная кривизна - это полная свертка тензора кривизны * :

2 2

■укт

* -II *к" -

ч

*-1 ] =1

*кт

Переход от компонент тензора * к скалярной кривизне * - это на первый взгляд потеря информации, т.е. шестнадцать величин заменяются одной. Однако в двумерном случае никакой потери информации не

*кт

происходит. Действительно, компоненты тензора кривизны * кососиметричны как по верхней паре индексов, так и по нижней паре

индексов. При совпадении к=г или /=/, они зануляются. Единственные не

*12 * 21 *12 *21 *12 - *21 - _* 21 - _ *12 нулевые компоненты - это *12' *12' *21' *21, причем *12 *21 *12 *21-

Тогда, в силу сказанного, получаем:

О — р!2 I Е>21 _ п12

Но согласно формуле Гаусса [9] следует: * = 2К (13)

где К - гауссова кривизна.

Средняя кривизна поверхности в точке М, согласно [9], есть величина:

К - К + К --+—,

1 2 Т1 Т2

где Т1 и Т2 - радиусы кривизны взаимно-перпендикулярных кривых в

точке М [9].

В случае сферической поверхности 1 2 0 имеем:

К -1.

т0 (14)

Подставим (14) в (13) получим скалярную кривизну сферы порога

цветоразличения:

(15)

* -±.

Т0

т - 1

Значение г0 можно задать совершенно произвольно, например, 0

Но если оставить координаты тензоров тензорного поля в соответствии с колориметрическими системами МКО 1931 г. (x, y) МКО 1960 г. (u, v), то значения радиуса сферы порога цветоразличения, равного единицы будет не

пропорционально велико. Вполне естественно, принять значение г° равное величине порога цветоразличения для исходной цветовой системы (см. табл. 1), тогда из (15) следует R = 677,966 (для системы МКО 1931 г. (x, y) Уравнение (1) с учетом R=677,966 можно записать:

338,983 gab(M) = 677,966

Проведя упрощение, получим:

gab(M) = 2,

где координаты метрического тензора gab определяется тензором ab для конкретной точки M цветового локуса.

5. Равноконтрастная криволинейная система координат

Повторим задачу. Сам цветовой локус оставляем без изменения, а эллипсоиды отображаем в новом сферической системе координат, что дает трансформацию их в сферы одинаковых радиусов.

На основе приведенного математического аппарата, и учитывая, что уравнения эллипсоида вращения согласно [10] имеет вид:

(¿i=, a2 b2 d2 ' (18)

где a, b, d - длина полуосей эллипсоида,

а уравнение сферы, согласно [10], имеет вид:

)2 +(х 2 )2 +(х 3 )2 = Го2 . (19)

Здесь предполагается, что центры, как эллипсоида и сферы совпадают

1 2 3

x x x

с началом координат, а координаты ' ' - соответствуют привычным x, y, z. Уравнения (18), (19) необходимы для расчетов матрицы перехода (4).

На рисунках 4 и 5 представлены результаты расчетов (трансформации эллипсоидов в шары одинакового диаметра). На этих рисунках показано только пять эллипсоидов, с целью не загромождения рисунков. С этой же целью на рисунках показаны сечения эллипсоидов плоскостями X0L и Y0L.

Рисунок 4. Сечение эллипсойдов плоскростью х '0Ь (левая часть

рисунка) и

их пребразование в равновеликие шары (сечение той же плоскостью правая часть рисунка). Размер эллипсойдов и шаров эллипсов и сфер

приведены в соответствии [2]

Рисунок 5. Сечение эллипсойдов плоскростью у '0Ь (левая часть рисунка) и их пребразование в равновеликие шары (сечение той же плоскостью правая часть рисунка). Размер эллипсойдов и шаров увеличен в 10 раз. Номера эллипсов и сфер приведены в соответствии [2] Заключение

При определении разницы между двумя и более цветами, что является вопросами высшей колориметрии, а также вопросами цветовосприятия человека, а значит цветовоспроизведения, очень важно иметь равноконтрастную цветовую систему, в которой геометрическая разница цветовых различий не зависела бы от сравниваемых цветов (цветностей). Используемые, в настоящее время цветовые системы (МКО 1931 г.(х, у, 2)„

МКО 1960 г. (u,v,w), МКО 1976 г. (L, a, b) и ряд других) не обладают равномерной шкалой, хотя последние из названных систем называются равноконтрастные цветовые системы.

В связи с этим, разработка строго равноконтрастной цветовой системы является весьма актуальной задачей, решив данную задачу можно практически создать эталоны цвета, уточнить механизмы цветовосприятия глаза, нормировать допустимые цветовые искажения цветопередающих и цветовоспроизводящих систем (аппаратуры).

Данная статья посвящена вопросам создания строго равноконтрастных цветовых систем. Попытки разработки строго равноконтрастных цветовых систем, проделанные разными авторами, например Мак Адамом, Стайлсом, Вышецским и другими, не увенчались успехом, хотя были достигнуты определенные результаты. Очевидно, создание такой статической системы не возможно.

Тем не менее, в работе приведены результаты разработки строго равноконтрастных цветовых систем. Основное отличие полученных строго равноконтрастных цветовых систем, заключается в том, что предлагаемая система является динамической системой, т.е. цветовая система представляется в подвижной системе координат с использованием геометрии Римана. В этой системе величина цветового различия между двумя цветами определяется длинной криволинейного отрезка соединяющего две точки, с координатами сравниваемых цветов и расположенных на сферах разного радиуса.

На наш взгляд, удалось создать равноконтрастное цветовое пространство, которое имеет две системы координат. Подложка пространства (цветовой локус) построена на основе евклидового пространства (декартовая система координат), а пространство порогов цветоразличения построено на косоугольной системе координат (сферическая система). В этом цветовом пространстве в качестве исходной цветовой диаграммы может использоваться любая система координат [11].

Использованные источники:

1. Ермакова В.Д., Ложкин Л.Д. Анализ существующих колориметрических систем МКО./ Теория и практика современной науки. -2017. -№4 (22).

2. Ложкин Л.Д. Дифференциальная колориметрия. Под общей редакцией д.т.н., проф. Тяжева А.И. Монография. Самара, 2010. 320 c.

3. Ложкин Л.Д. Web-сайт по информационным технологиям: свидетельство об отраслевой регистрации разработки № ОФАП 12111 / Л.Д. Ложкин. №; ВНТИЦ заявл. 11.01.2009; дата регистр. 16.01.2009. URL: http://ofap.ru/rto files/12111.doc от 16.01.2009.

4. Ложкин Л.Д. Равноконтрастное цветовое пространство и пороги цветоразличения. 7-я международная конференция «Телевидение: передача и обработка изображений». Труды конференции. Санкт-Петербург, 2009. 8590 с.

5. Schwarzschild K. Über das Gravitationsfeld eines Massenpunktes nach der Einsteinschen Theorie // Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften 1 — 1916. — 189—196. Рус. пер.: Шварцшильд К. О гравитационном поле точечной массы в эйнштеновской теории . Альберт Эйнштейн и теория гравитации. М.: Мир, 1979. С. 199—207

6. Ложкин Л.Д., Тяжев А.И. Многоцветный колориметр//Патент на полезную модель № 93977 от 10.05.2010, бюл. № 13. МПК G01J 3/50 (2006.01) Заявка № 2008132343 от 5.08.2008. Приоритет от 5.08.2008.

7. Нинул А. С. Тензорная тригонометрия. Теория и приложения. М.: Мир, 2004, 336 с.

8. Рашевский П. К. Риманова геометрия и тензорный анализ. Издание третье. Издательство «Наука», главная редакция физико-математической литературы. //М.: Наука, 1967, 664 с.

9. Чертов А. Г. Физические величины. Справочное издание. М.: «Высшая школа». -1990. - 336 с.

10. Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. М.: Наука. 1973, 872 с.

11. Ложкин Л.Д., Неганов В.А. Способ преобразования цветового пространства // Патент России на изобретение № 2494461 от 27.09.2013г. Приоритет от 08.07.2011 г. бюл. № 27 от 27.09.2013. МПК J06K 9/68 (2006.01).

УДК 32.2

Жураев Х.Т. преподаватель кафедра «Истории Узбекистана» Наманганский инженерно педагогический институт

Узбекистан, г. Наманган

Jo'rayev X.T.

teacher of department «History of Uzbekistan» Namangan Engineering Pedagogical Institute

Uzbekistan, Namangan city ВЗАИМОСВЯЗЬ ПОЛИТИКИ И РЕЛИГИИ Аннотация: В этой статье мы рассматривается взаимоотношение политики и религии, роль и значение религии в обществе

Ключевые слова: политика, мораль, государство, теория, общество

RELATIONSHIP BETWEEN POLITICS AND RELIGION Abstract: In this article we discuss the relationship between politics and religion, the role and significance of religion in society Keywords: politics, morality, state, theory, society

В разные времена понятие «политики» толковалось по-разному. Ее