Измерение цветовых различий на основе модели цветовосприятия Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 535.646

И.А. Со, Г.Ф. Малыхина

ИЗМЕРЕНИЕ ЦВЕТОВЫХ РАЗЛИЧИИ НА ОСНОВЕ МОДЕЛИ ЦВЕТОВОСПРИЯТИЯ

Измерение цветовых различий необходимо в различных областях, например, в полиграфии, лакокрасочной промышленности, при обработке цифровых изображений, в задачах телевизионной метрологии, связанных с измерением цветовых искажений в цифровом телевидении.

В основном существующие методы измерения цветовых различий основаны на преобразовании цветового пространства ХУ2, рекомендованного Международной комиссией по освещению (МКО) в качестве стандартного, в другое пространство, которое в идеальном случае должно быть равноконтрастным. В равноконтрастном пространстве визуальное цветовое различие соответствует евклидову расстоянию между точками цветов. Однако известно, что «проблема построения равноконтрастного пространства на основе преобразования колориметрического трехмерного пространства была поставлена еще Гельмголь-цем, показавшим, что пространство, в котором сочетаются метрические свойства цветовых различий и свойства сложения цветов, должно быть

неевклидовым» [2]. Такое заключение отчасти подтверждается неравномерностью и анизотропией пространства МКО ХУ2. Наряду с недостаточной точностью, для существующих методов измерения на базе равноконтрастных пространств характерен недостаток, заключающийся в чисто геометрическом характере преобразований, не отражающем психофизиологические процессы зрения.

В [1] была предложена модель цветовосприя-тия зрительной системы человека. Эта модель, полученная аппроксимацией психофизических данных о порогах цветоразличения, позволяет определить для любой точки цветового пространства МКО ХУ2 порог цветоразличения в виде эллипса со следующими параметрами: большой полуосью а(х, у), малой полуосью Ь(х, у) и углом поворота 9 (х, у) (рис. 1).

В данной статье предложен новый подход к измерению цветовых различий, отличающийся отсутствием преобразования пространства МКО ХУ2 в равноконтрастное пространство. На базе

Рис.1. К вопросу об измерении цветовых различий в неравноконтрастном пространстве

этого подхода разработаны прикладные методы измерения цветовых различий в неравнокон-трастном пространстве.

Основы измерения цветовых различий в неравноконтрастном пространстве. Под цветовым различием двух точек в неравноконтрастном пространстве МКО XYZ будем понимать расстояние вдоль некоторой кривой у = fx), измеренное в единицах порога цветовосприятия (см. рис. 1).

Пространство МКО XYZ является анизотропным, поскольку величина порога цветоразличе-ния, принятого за единицу измерения, зависит от угла ф (x, у) между кривой y = fx) и осью эллипса. Кроме того, пространство МКО XYZ является неравномерным, поскольку величина порога цве-торазличения зависит от координат точки цвета. Выразим величину порога цветоразличения через параметры a(xy) и b(xy) эллипса цветоразличения и угол ф (x, у).

Уравнение эллипса bтxт+етут =е2bт, характеризующего одинаковое восприятие цвета с координатами [x, у], запишем в виде

тт

е b

bT + ет У- =

С учетом того, что У = tg9,

уравнение эллипса примет вид bT + е2 tg2cp =

тт

е b

Используя соотношения для координат эллип-

са х =

a b

b2 + a2 tg2cp

у = x tgT9, определим порог

цветоразличения с координатами [ x, у] в направлении, заданном углом ф : ц (x, у, ф) = д/x2 + у2 = = ^х2 + х\\ =yjx2(l + tg29) или м.(х,у,ф) =

1

a2b2(l + tg2(p)

Ъ2 ' -2*~2"

+ ф

Расстояние между двумя точками в цветовом пространстве, измеренное в единицах порога цветоразличения вдоль кривой L, которая характеризуется однозначной функцией у=/(х),

определяется в виде интеграла М/ или

л _ Г( Ъ2 + а\\ д L Ц

1 ¿р2Ь2( 1 + 1§2ф) ' Учитывая, что 1 + tg2ф =

1

стояние между точками:

cos2 ф

dL=J.

1 т 1т

—^cos ф + —TSin ф • dl. е b

получим рас-(1)

Заменив ф = 9 - а в выражении (1), получим расстояние в виде:

со82(е-а) + ^-8ш2(е-а>Я. (2)

Для численного определения расстояния между точками, заменим интеграл в выражении (2) суммой:

dL =]-—А \ "Т^2^ ~а.) + ТТ^п2(0г ~а.),

i=0

где N - число разбиений кривой L; аг — а(/А/); Ъг — ¿(/А/); 01 — 0(/А/) и аг — а (/А/).

Выразиъ(Л = Мх /со8(ах), где ах - угол наклона кривой Ь, выражение (2) можно записать как

М (X—, Х2) — х2 П — = !л "2СО82(0х - ах) + ^п2^х - ах)

1

¿2 Мх.

СОв(а х )

В простом случае интегрирование выполняем вдоль прямой, соединяющей точки цветов в пространстве. При интегрировании вдоль прямой угол а — аг^(/ (х) не зависит от х.

Для численного определения интеграла вдоль прямой используем выражения:

dL = ]ТAl• IJTcosT(9i -а) + -^тт(9г -а), (3)

i=o Vе bi

где a, = е(/А1); bt = b(iAl); 9г = 9(iAl)

или

N -1

d (x1, xT) = ^Ax x

(4)

1 cosT(9(xi., уt)-а) + 1 sinT(9(xi, у1)-а)

I а2(хг,у1) соз2(а) Ъ2(хг,у) соз2(а) где а( хг, Уг) — а( х— + /Ах, у/, у— + /Ах • tgа); Ъ(хг, уг) — Ъ(х— + /Ах, уг, у— + /Ах •tgа); 0( хг, у г) — 0( х— + г Ах, у г, у— + /Ах • tgа). Вычислительная сложность определения расстояния в цветовом пространстве зависит от количества N слагаемых, используемых для приближенного вычисления. В качестве примера возьмем две точки в цветовом пространстве МКО ХУ2, характеристики которых приведены в табл. —

Вычислим по формуле (3) расстояние М—-2 между точками — и 2 в направлении от точки — до точки 2 и расстояние М2-— в обратном направлении при различных значениях числа N. На рис. 2 даны зависимости расстояний М—-2( N) и М2-—( N), измеренных в единицах порогов различения цвета, от числа N, представленного в логарифмиче-

т

x

x

т

i=0

4

Таблица 1

Характеристики выбранных точек

X У а Ь 8, град

Точка 1 0,220 0,320 0,006 0,0029 79,780

Точка 2 0,190 0,150 0,0045 0,0012 83,553

ском масштабе. Из рис. 2 можно заключить, что значения расстояний й1-2 (N) и й2-1 (Ы), вычисленных в двух направлениях, сходятся при достаточно малом участке разбиения и практически не различаются при N > 2 .

При N = 28 длина участка разбиения равна

^(х2-х])2 +{у2-у] )2

Ы--

~ 0,00067, при этом

расстояние между точками 1 и 2 й1-2 = й2-1 = 32,51 порогов, и разность |й1-2 (И) - й2-1 (И)| не превышает 0,04 порога. При дальнейшем увеличении числа до N = 29 величина Ц-2(И) - ^2-1(И)| не превышает 0,02 порога. Таким образом, при вычислении расстояния между двумя точками цветового пространства необходимо учитывать порядка 250 слагаемых. Поэтому для некоторых применений, в которых количество операций вычисления по формуле (3) велико, например, в телевидении при расчете цветовых искажений каждого пикселя кадра изображения, вычисление становится трудоемким, занимает много времени,

Пороги

не отвечает требованиям работы в реальном времени и, следовательно, требуется введение упрощений.

Приближенные методы измерения цветовых различий в неравноконтрастном пространстве. Для обеспечения возможности измерений в реальном времени необходимо разработать приближенные методы измерения цветовых различий, работающие с приемлемой для практики точностью.

Метод 1, использующий предположение о локальной равномерности цветового пространства. При вычислении расстояний между точками, расположенными недалеко в пространстве цветов можно сделать допущение о локальной равномерности цветового пространства вдоль определенного направления. Для равномерного пространства порог ц цветоразличения вдоль отрезка прямой между точками 1 и 2 не зависит от координат х, у, а расстояние между точками 1 и 2 й1-2 = d2-l = й определяется по формуле:

1

7 8 9 10 11 12 13 14 1од2(М)

Рис. 2. Зависимость числа порогов от числа участков разбиения отрезка й 1-2; й 2-1; оптим

Таблица 2

Характеристики относительной погрешности приближенных методов

Приближенные методы

Метод 1 Метод 2 Метод 3 Метод 4

Среднее относительной погрешности 0,0043 0,0019 -0,0015 -0,0016

Среднеквадратическое отклонение 0,0736 0,0202 0,0131 0,0106

^(х2-х1)2 + {у2-у1)2

(5)

Предположение о локальной равномерности пространства цветов справедливо, например, при вычислении небольших по величине цветовых различий.

В противном случае, результаты измерения, вычисленные в прямом и в обратном направлении, не равны между собой й1-2 ф й2-1.

Метод 2, позволяющий в упрощенном виде учитывать неравномерность цветового пространства. Расстояния й(1)1-2 и й (1)2-1 вычисляются по методу 1 и имеют разные начальные единицы измерения ц и ц2. В методе 2 расстояние й между точками цветового пространства предлагается вы, й (1)1-2 + й (1)2-1 числять как среднее значение й =-

расстояний й(1)1-2 и й(1)2-1, полученных методом 1 в обоих направлениях.

Метод 3, учитывающий неравномерность цветового пространства с помощью усреднения порога цветоразличения. В этом методе предлагается вычислять расстояние в соответствии с выражением (5), принимая порог ц цветоразличения независящим от координат [ х, у] и равным среднему значению порогов ц и ц2, полученных, соЦ + Ц 2

ответственно, в точках 1 и 2: ц = —-—.

2

Метод 4, учитывающий неравномерность цветового пространства с помощью усреднения параметров эллипсов цветоразличения. В этом методе предлагается использовать эллипс с усред-

ненными параметрами а =

0 = 01+02, где а1,Ы,01

а1 + а

2

Ь = -

22 параметры эллипса в

точке 1; а2, Ь2,02 - параметры эллипса в точке 2. Характеристики полученного эллипса используют для определения порога ц цветоразличения для вычисления расстояния в соответствии с выражением (5).

Предложенные методы были использованы при вычислении цветовых искажений видео-

изображений, возникающих из-за сжатия кодером MPEG2 с битовой скоростью видеопотока 2 Мбит/с, для кадра N° 220 видеопоследовательности «Арфа», рекомендованной Международным союзом электросвязи (МСЭ) в числе тестовых видеосюжетов. При расчете относительной погрешности приближенных методов 1-4 в качестве истинной величины цветовых искажений принималось значение, рассчитанное по формуле (3) с длиной участка разбиения Д/ =0,0001. Характеристики относительной погрешности приближенных методов 1-4 приведены в табл. 2.

Из табл. 2 видно, что среди всех приближенных методов метод 4 имеет наименьшее значение среднеквадратического отклонения, а метод 1 -наибольшее.

Иллюстрацией этого служат зависимости абсолютной погрешности вычисления цветовых искажений от величины цветовых искажений, представленные на рис. 3 для метода 1 и на рис. 4 - для метода 4.

Ввиду более простого вычисления величины цветовых различий приближенным методом 4 по сравнению с вычислением по формуле (3) и сравнительно небольшого среднеквадратическо-го отклонения его результатов, целесообразно использовать метод 4, или методы на его основе, для оценки искажений в телевидении, особенно при реализации вычислений в реальном масштабе времени.

Оптимальный метод измерения цветовых различий. Если в выражении (3) вместо использования эллипса цветоразличения в начальной точке каждого участка Д/ разбиения использовать эллипс с усредненными параметрами, тогда

йь =ЕД/\ ^со§2(0г-а) + ^ш2(0,.-а) , (6)

г =0

при этом аг =

- = аг1 +02. Ь = Ь1 + Ь2 0 = 0г1 + 0г2

2 ' г 2 ' г 2

где аг1, Ьг1,0г1- параметры эллипса цветоразличения в начале каждого участка разбиения Д/ и аг2,

2

и

Рис. 3. Значения абсолютной погрешности метода — для каждого пикселя кадра

Рис. 4. Значения абсолютной погрешности метода 4 для каждого пикселя кадра

Ъ2,0г параметры эллипса цветоразличения в конце каждого участка разбиения А/.

На рис. 2 представлена зависимость вычисленных по формуле (6) значений величины отрезка в порогах от числа N участков его разбиения. Как видим, для достижения конечного значения длины отрезка —-2 М« 32,5— порогов требуется значительно меньшее число участков разбиения N=2*, чем при вычислении по формуле (3).

В приложениях, в которых точность измерений более важна, чем скорость вычисления, можно использовать метод по формуле (6), который является оптимальным по соотношению точности и объема вычислений.

Сравнение результатов измерения предложенных методов и стандартных методов. В настоящее время для оценки цветовых различий используются стандартные цветовые пространства СШЬ^и СШЬЛБ, рекомендованные МКО в качестве равноконтрастных пространств. Пространство С1ЕЬ^ получено линейным преобразованием

цветового пространства МКО ХУ2, а пространство С1ЕЬЛБ - нелинейным преобразованием.

В табл. 3 представлены вычисленные значения цветового различия между точками — и 2 (см. табл.—) и относительные погрешности предложенных приближенных методов и стандартных методов СШЬ^ и СШЬЛБ, при этом в качестве истинной величины цветовых искажений принималось значение, рассчитанное по формуле (3) с длиной участка разбиения А/ =0,000—.

Предложен новый подход к измерению цветовых различий, применяемый непосредственно в неравноконтрастном пространстве и отличающийся отсутствием преобразования этого пространства в равноконтрастное.

В рамках нового подхода предложены прикладные методы измерения цветовых различий, основанные на модели цветовосприятия зрительной системой человека и учитывающие неравномерность цветового пространства.

Таблица 3

Значения цветового различия между точками 1 и 2. Относительная погрешность методов

Приближенные методы Метод С1ЕШУ Метод С1Е1ЛВ

1 2 3 4

Цветовое различие, порог 28,62 или 39,09 33,85 33,04 32,78 44,74 34,62

Относительная погрешность -0,12 или 0,20 0,04 0,02 0,008 0,38 0,06

Рассчитаны характеристики относительной погрешности предложенных методов.

Согласно результатам расчета цветовых искажений кадра тестовой видеопоследовательности, для реализации вычислений в реальном времени целесообразно использовать приближенный метод 4 с усреднением параметров эллипсов цвето-различения, или методы на его основе.

В приложениях с менее жесткими требованиями к скорости вычисления рекомендуется использовать метод по формуле (6), который является оптимальным по соотношению точности и объема вычислений.

Необходимо дальнейшее исследование влияния анизотропии пространства МКО ХУ2 на измерение цветовых различий.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Малыхина, Г.Ф Разработка новых моделей цве-товосприятия зрительной системой человека[Текст]/ Г.Ф. Малыхина, И.А. Со//Научно-технические ведомости СПбГПУ. Сер. Информатика. Телекоммуникации.

Управление.-2007.-№ 5.-С. 145-151.

2. Мешков, В.В. Основы светотехники. Ч. 2. Физиологическая оптика и колориметрия [Текст]/В.В. Мешков, А.Б. Матвеев.-М.: Энергоатомиздат, 1989.

УДК 681.3

В.Г. Чередниченко, А.А. Цуприков

ВОЗНИКНОВЕНИЕ КРУТИЛЬНЫХ АВТОКОЛЕБАНИЙ В БУРИЛЬНОЙ КОЛОННЕ

Как показывает практика, при бурении скважин в определенных случаях возникает вибрация бурильной колонны, которая отрицательно сказывается на износе бурильного оборудования. Самоподдерживающийся тип вибрации указывает на автоколебательный характер этого процесса, при котором потери энергии крутильных колебаний на диссипацию восполняются за счет взаимодействия долота с забоем скважины.

Представим колонну как однородный вращающийся полый стержень, верхний конец которого х = L вращается с постоянной угловой скоростью г0, а нижний конец (х = 0) взаимодействует с забоем посредством массивного долота. В результате этого взаимодействия в колонне возникают крутильные деформации, носящие колебательный характер. В дальнейшем колонну удобно рассматривать в системе отсчета неподвижной относительно ее верхнего конца. В этой системе верхний конец колонны неподвижен, а на нижний конец (долото) действует вращающая сила со скоростью у0 в направлении, обратном поверхности контакта (забой). Момент силы взаимодействия долота с горной породой имеет сложный характер, зависящий от

V - у0 - относительной скорости скольжения долота по забою. Качественно эту зависимость можно считать аналогичной сухому трению (рис. 1). Наибольшего по модулю значения / силы трения достигают при относительной скорости равной нулю. С началом скольжения силы трения убывают до постоянного значения / Это убывание, играющее в описываемом явлении главную роль, можно объяснить разрыхлением породы при увеличении относительной скорости скольжения зубьев долота по забою. В момент, когда относительная скорость V - V меняет знак, сила

у]

/о Л

Г

—4 —2 0 2 4

Относительная угловая скорость

Рис. 1. Зависимость момента силы от относительной скорости