Математическое моделирование распределенного объекта управления с подвижным источником воздействия Текст научной статьи по специальности «Математика»

10. Ли, Э.Б. Основы теории оптимального управления [Текст]/Э.Б. Ли, Л. Маркус.-М.: Наука, 1972.

11. Forsythe, G.E. Computer Methods ofMathematical Computations [TeKCT]/G.E. Forsythe, M.A. Malcolm, C.B. Moler.-New Jersey: Prentice Hall, 1977.

УДК 28.50

А.Л. Ляшенко, О.И. Золотов

математическое моделирование распределенного объекта

управления с подвижным источником воздействия

Системы с подвижным воздействием - новый класс систем с распределенными параметрами. Это требует разработки специальных методов анализа и синтеза этих систем. Рассмотрим один из таких методов на примере защитного термокожуха для видеокамеры охранного телевидения (рис. 1). Это устройство предназначено для защиты видеокамер, установленных на улице, от воздействия неблагоприятных погодных условий и пыли. Для предотвращения обледенения стекол защитных термокожухов в настоящие время предлагается несколько вариантов систем обогрева, например, с использованием в качестве нагревательных элементов терморезисторов или пластинчатых обогревателей, которые устанавливаются непосредственно на стекло.

Рассматриваемая система принципиально отличается от предлагаемых ранее. В данной системе в качестве нагревательного элемента, по отношению к стеклу, предлагается использовать жидкий теплоноситель. С целью последующего синтеза системы терморегулирования стекла, произведем моделирование тепловых полей защитного термокожуха, представленного ниже.

Описание конструктивных параметров объекта управления

Рассматриваемый нами защитный термокожух имеет форму цилиндра и состоит из металлического короба и сборной пластины.

Рис. 1. Защитный термокожух для видеокамеры

Металлический короб состоит из цилиндрического корпуса, задней стенки (на ней расположены гермовыводы, предназначенные для подключения силовых кабелей) и передней стенки, представляющей собой сборную пластину.

При проведении расчетов будем полагать, что боковые стенки объекта управления изготовлены из алюминия, а задняя стенка изготовлена из термоизоляционного материала.

Сборная пластина состоит из трех элементов: металлической рамки круглой формы, в которой крепятся энергоблок и обогреваемое стекло; энергоблока, состоящего из кольца, заполненного жидким теплоносителем, и нагревательного элемента (в энергоблоке осуществляется процесс получения тепловой энергии, которая передается обогреваемому стеклу с помощью жидкого теплоносителя) и обогреваемого стекла.

Обогреваемое стекло имеет форму круга. По периметру оно окружено полым кольцом (энергоблоком). Кольцо заполнено жидким теплоносителем. Нагрев теплоносителя осуществляется с помощью нагревательного элемента, расположенного внутри кольца. Теплоноситель циркулирует вдоль кольца, обогревая стекло. В проектируемой системе в качестве жидкого теплоносителя предлагается использовать трансформаторное масло.

Математическая модель объекта управления

На рис. 2 представлен термокожух, ориентируемый в цилиндрической системе координат, и три основных вида: спереди, сверху и справа.

На рис. 3. представлены разрезы А-А и В-В защитного термокожуха (см. рис. 2), ориентированные в цилиндрической системе координат.

Запишем дифференциальное уравнение теплопроводности применительно к внутреннему

Рис. 2. Защитный термокожух, ориентируемый в цилиндрической системе координат

объему защитного термокожуха, в цилиндрической системе координат [4]:

= е.

д 2Т1(х, ф, Я, X) + 1 дТ1(х, ф, Я, X) +

дЯ2

Я

дЯ

дТ1 (х, ф, Я, X)

И

2 " 2 1 (1) 1 д Т1 (х, ф,Я, X) д Т1 (х, ф, Я, X)

Я2 дф2 дх (

Начальные и гр аничные у словил для дифф е-ренциального уравнения (1) зададим соотношениями:

ГД^ф.ДД))^; (2)

Г1(*,Ф,Л10 = 7'5(ДС,Ф,Л1,0; (3) г1(х2,ф,/г,0 = :г4(л2,ф,л,0; (4)

г1(х2,ф,/г,0 = г2(х2,ф,/г,0; (5) ^-э^-= ^-э^-'(6)

. Э7;(х2,ф,/г,0 . ЭГ4(х2,ф,/?,0 (7)

л1-з- 4-5-; (7)

ох ох

, Э7\(д;2,ф,/г,Г) _ ЭГ2(х2,ф,Я,0

Л.1-г--Л,2---, (8)

ОХ ох

где Хх - теплопроводность воздуха внутри корпуса термокожуха; X2 - теплопроводность ма-

териала, из которого изготовлена металлическая рамка; X4 - теплопроводность обогреваемого стекла; Х5 - теплопроводность материала, из которого изготовлен корпус термокожуха; Т1(х, ф, Я, X) - температурное поле во внутреннем объеме корпуса защитного термокожуха; Т2(х, ф, Я, 0 - температурное поле в металлической рамке; Т4(х, ф, Я, 0 - температурное поле обогреваемого стекла; Т5(х, ф, Я, ?) - температурное поле в корпусе защитного термокожуха.

Запишем дифференциальное уравнение теплопроводности применительно к корпусу защитного термокожуха:

дТ5(ф, ф, Я, X)

и

= е.

д2Т5(х,ф,Я,X) + дТ5(х,ф,Я,X) +

дЯ2

Я

дЯ

+ 1 д 2Т5 (х, ф, Я, X) + д 2Т5( х, ф, Я, X)

(9)

Я2 дф2 Их2

На границах соприкосновения слоев выполняется условие равенства температур и тепловых

потоков:

Г5(л,ф,Д,0) = 0;

т5(х, ф,/г2,0 = гв(^,ф,/г2,0;

(10) (11)

ГдСх^,/?!,?) = тг( дг,ф,/г150; х Эг5(*,ф,я2,р ^ д^хлм^л _(12)

Э/г

Э/г

. дт^ллрЛЛ.л ф,/ег,0 (13)

-г-— Л1 -г-,

5 э/г 1 э/г

где - теплопроводность воздуха; Г(х, ф, Я, X) -температурное поле воздуха, окружающего корпус защитного термокожуха.

Запишем дифференциальное уравнение теплопроводности применительно к металлической рамке:

Рис. 3. Устройство защитного кожуха 1 - внутреннее пространство термокожуха; 2 - металлическая рамка; 3 - теплонесущая жидкость; 4 - обогреваемое стекло; 5 - стенка корпуса термокожуха; 6 - теплоизоляция вокруг кольца, заполненного жидким теплоносителем; 7 - задняя стенка термокожуха; R1 - внутренний радиус корпуса термокожуха; R2 - внешний радиус корпуса термокожуха

дТ2( х, ф, Я, С)

д/

= а-

д 2Т2( х, ф, Я, С)

дЯ2

1 дТ2( х, ф, Я, С) 1 д 2Т2( х, ф, Я, С)

Я дЯ

Я2

дф2

+ (14)

д 2Т2( х, ф, Я, С)

дх2

Начальные и граничные условия для дифференциального уравнения (14) зададим следующими соотношениями:

Г2(х,ф,/?,0) = 0; (15)

т2(х3, ф,Д,г) = гв(*3,ф,д, О; (16)

т2(х,ц>,я2,о = тв и,ф, /?2 а); (17)

Г2(* ^ф, +1 ) = Г((Л; 2,Т О Я (18) ^ Эг2о2,ф,/г,о Эт\(.х2,ф,/г,о _

дх 1 дх

^ дТ2(х3,ср,Я,р дТв(х3,(р,Л,р^ (20) Эх: в Эх

^ ЭГ2(л:,ф,/г2,0 ^^ дГв(х,(р,Х2,0 (21)

2 э/г 8 э/г

ЭГ2(*,Ф,Д3,О _0

(22)

Запишем дифференциальное уравнение теплопроводности применительно к обогреваемому стеклу:

дТ4( х, ф, Я, С) дС

= а.

д 2Т4( х, ф, Я, С)

дЯ 2

- +

+

1 дТ4( х, ф, Я, С) 1 д 2Т4( х, ф, Я, С)

Я дЯ

- +

Я2

дф2

+

(23)

+

д 2Т4( х, ф, Я, С)

дх

2

На границах соприкосновения слоев выполняется условие равенства температур и тепловых потоков:

Г4(*,ф,Д,0) = 0; (24)

Г4(*2,ф,Л,0 = Г1(л2.ф,Л,0; (25) Г4(лсз,ф,Л,0 = 2;(дсз>ф,Л,0; (26) г4(.х,ф,/г4,0 = г3(.х;,ф,/г4,0; (27)

1 ЭГ4(х,ф,Я?,0 ЭГх(ф,(28)

А4----к^---, (28)

ф2 ах

а4-^--Ав--> (29)

4 э/г ^ э/г

Запишем дифференциальное уравнение теплопроводности применительно к жидкому теплоносителю:

дТ3( х, ф, Я, С) дС

= а-

д 2Т3( х, ф, Я, С)

дЯ 2

+

+

1 дТ3( х, ф, Я, С) 1 д2Т3(х, ф, Я, С)

Я

дЯ

- +

+

д 2Т3( х, ф, Я, С) дх2

Я2 дф2

дТ3( х, ф, Я, С)

+ (31)

-3( Я, С) •

дф

где Т3(х, ф, Я, С) - температурное поле теплоне-сущей жидкости; $(Я, С) — скорость движения те-плонесущей жидкости.

На границах соприкосновения слоев выполняются условия равенства температур и тепловых потоков.

г3(х,ф,/г,0) = 0; (32)

Г3(ДС,Ф,Д4,О = Г4(Я,Ф,Д4,О; (33) ^ Эг3(х,ф,/г4,о _ эг4(^,ф,/г4,о (34)

3 э/г 4 э/г '

Эг3(х,ф,/г5,р = дЯ '

Эл;

ЭГ3(дс3,ф,^,0 = 0 Эдс

(35)

(36)

(37)

где Х3 — теплопроводность жидкого теплоносителя.

Как уже говорилось, энергоблок представляет собой кольцо, заполненное теплоносителем. Внутри кольца находится нагревательный элемент, с помощью которого осуществляется нагрев теплоносителя.

Область, расположенную внутри кольца над нагревательным элементом, условно назовем входом в канал, по которому течет теплоноситель, а область под нагревательным элементом - выходом.

+

Р^.Ттн _

Ттн Т*тн Т

Рис. 4. Энергоблок и график изменения температуры теплоносителя

Вследствие разности давлений теплонесущей жидкости (возникающей в результате ее нагрева) на входе и на выходе канала (Р - Р2 = АР) она движется со скоростью 3( Я, X).

Определим скорость 3( Я, X), с которой движется теплонесущая жидкость. Скорость движения определяется из следующего соотношения [1]:

3 =

2 АР

(38)

где р - плотность теплоносителя; АР - разность давлений на входе и на выходе канала; пт - потеря напора в канале.

Потеря напора в канале определяется из следующего соотношения:

птр = 1 + м, (39)

где <М = 0,15 [1] - потеря напора при повороте потока в канале.

Теплонесущая жидкость, проходя по каналу, соприкасается с нагревательным элементом. При этом будем полагать, что изменение температуры жидкого теплоносителя соответствует графику, приведенному на рис. 4.

Вследствие нагрева теплоносителя увеличивается его объем на величину:

АУ = (у2 -У1)АТ^

(40)

где АТ 2

-

площадь поперечного сечения канала;

средняя температура нагрева жидкости по

длине (у2 - у1); ц - коэффициент объемного расширения теплоносителя; у2 - у1 = I - длина дуги, равная длине нагревательного элемента.

Длина дуги I определяется с использованием следующего уравнения:

I =

п • Я -а 180

(41)

Величина ДТ определяется из следующего соотношения:

ДТ = Т* - Т

ТН ТН :

(42)

где ТТН - температура теплоносителя на выходе из канала; Т*ТН - температура теплоносителя на входе в канал.

В результате нагрева теплонесущей жидкости, производимого нагревательным элементом, наблюдается объемное расширение теплоносителя на входе в канал. Вследствие объемного расширения возникает выталкивающая сила F, которая выталкивает более холодные слои теплоносителя по направлению к выходу из каналу. Величину F определим с помощью следующего уравнения:

F = ДУ ■ р ■

(43)

где р - плотность теплоносителя; g = 9,81 м/с2. Избыточное давление ДР может быть опреде-

лено из следующего соотношения:

Д

5„

(44)

Подставляя в соотношение (44) уравнения

(40), (41) и (43) получим:

, . АТ л-Я-а АТ ^=(72-71)—= ---—Р-8-Р. (45)

Подставляя полученное выражение (45) в уравнение скорости (38), получим:

я /г • а АТ

I 2---ц,-е • р

180 2 к

V (1 + £М)р \ (1+0,15)180 '(46)

В полученной формуле установлена зависимость скорости движения теплонесущей жидкость 3 от изменения температуры ДТ.

Рис. 5. Графики переходных процессов 1 - график, полученный в результате численного эксперимента; 2 - график, полученный экспериментальным путем

Для определения адекватности полученной математической модели реальному объекту были проведены экспериментальные исследования и произведено сравнение полученных результатов.

Для проведения экспериментальных исследований тепловых процессов, рассчитанных с помощью модели, была создана лабораторная установка. Данная установка представляет собой физическую модель исследуемого объекта управления. Было проведено семь экспериментов. При проведении экспериментов производились замеры температуры в контрольной точке. По результатам измерений было рассчитано математическое ожидание МТ и построен усредненный график переходных процессов, который представлен на рис. 5. Математическое ожидание МТ было рассчитано по формуле:

(47)

¡=1

где Т — значение температуры в контрольной точке в г-м эксперименте; п - количество экспериментов.

На рис. 5 изображен усредненный график переходных процессов, полученный экспериментальным путем, и график, полученный в резуль-

тате численного эксперимента, проводимого с помощью ЭВМ.

Данная математическая модель получилась достаточно сложной, и решить полученную систему дифференциальных уравнений в частных производных аналитически (выделить передаточную функцию) не представляется возможным.

Для численного анализа рассматриваемого объекта управления были составлены дискретная модель уравнений (1)-(37), (46) и вычислительный алгоритм. В процессе составления дискретных моделей были решены задачи «стыковки» граничных условий, обеспечения устойчивости вычислительной схемы и выбраны шаги дискретизации по пространственным переменным. Верификацию полученных алгоритмов осуществляли с помощью лабораторной установки, на которой были проверены экспериментальные исследования.

По результатам компьютерного моделирования и экспериментальных исследований можно сделать вывод, что разработанная математическая модель позволяет в полном объеме и с высокой точностью описывать тепловые процессы, протекающие в устройствах рассмотренного класса.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Першим, И.М. Анализ и синтез систем с рас- 3. Лыков, А.В. Теория теплопроводности[Текст]/ пределенными параметрами [Текст]/И.М. Першин. А.В. Лыков.-М.: Высш. шк., 1967.-599 с. -Пятигорск, РИА на КМВ, 2002.-212 с. 4. Шипачев, В.С. Высшая математика: Учеб-

2. Цветков, Ф.Ф. Тепломассообмен [Текст]/ ник для вузов [Текст]/В.С. Шипачев.-М.: Высш. шк., Ф.Ф. Цветков, Б.А. Гигорьев.-М.: Изд-во МЭИ, 2002.-479 с.

2005.-550 с.

УДК 535.646

И.А. Со, Г.Ф. Малыхина

измерение цветовых различии на основе модели цветовосприятия

Измерение цветовых различий необходимо в различных областях, например, в полиграфии, лакокрасочной промышленности, при обработке цифровых изображений, в задачах телевизионной метрологии, связанных с измерением цветовых искажений в цифровом телевидении.

В основном существующие методы измерения цветовых различий основаны на преобразовании цветового пространства ХУ2, рекомендованного Международной комиссией по освещению (МКО) в качестве стандартного, в другое пространство, которое в идеальном случае должно быть равноконтрастным. В равноконтрастном пространстве визуальное цветовое различие соответствует евклидову расстоянию между точками цветов. Однако известно, что «проблема построения равноконтрастного пространства на основе преобразования колориметрического трехмерного пространства была поставлена еще Гельмголь-цем, показавшим, что пространство, в котором сочетаются метрические свойства цветовых различий и свойства сложения цветов, должно быть

неевклидовым» [2]. Такое заключение отчасти подтверждается неравномерностью и анизотропией пространства МКО ХУ2. Наряду с недостаточной точностью, для существующих методов измерения на базе равноконтрастных пространств характерен недостаток, заключающийся в чисто геометрическом характере преобразований, не отражающем психофизиологические процессы зрения.

В [1] была предложена модель цветовосприя-тия зрительной системы человека. Эта модель, полученная аппроксимацией психофизических данных о порогах цветоразличения, позволяет определить для любой точки цветового пространства МКО ХУ2 порог цветоразличения в виде эллипса со следующими параметрами: большой полуосью а(х, у), малой полуосью Ь(х, у) и углом поворота 9 (х, у) (рис. 1).

В данной статье предложен новый подход к измерению цветовых различий, отличающийся отсутствием преобразования пространства МКО ХУ2 в равноконтрастное пространство. На базе

Рис.1. К вопросу об измерении цветовых различий в неравноконтрастном пространстве