TENGSIZLIKLARNI ISBOTLASHNING TURLI USULLARI Текст научной статьи по специальности «Математика»

TENGSIZLIKLARNIISBOTLASHNING TURLI USULLARI

1Maxmudova Ozoda Yuldashevna, 2Maxmudov Jamshid Shuxratovich

1Qo'qon davlat pedagogika institute, 2Qo'qon davlat pedagogika instituti talabasi https://doi.org/10.5281/zenodo.13895017

Annotatsiya. Ushbu maqolada tengsizliklarni isbotlashning turli usullari keltirilgan bo'lib, tengsizliklarni yechishda ta'rifdan foydalanib isbotlash, tengsizliklarni isbotlashning sun'iy usullari va teskaridan faraz qilish usuli yordamida tengsizliklarni isbotlash haqida yozilgan va misollar keltirilgan.

Аннотация. В статье представлены различные методы доказательства неравенств, а также приведены примеры доказательства неравенств по определению, искусственных методов доказательства неравенств и доказательства неравенств по обратной гипотезе.

Annotation. In this article, various methods of proving inequalities are presented, and examples are given of proving inequalities by definition, artificial methods of proving inequalities, and proving inequalities by inverse hypothesis.

Kalit so'zlar: tengsizlik, tayanch tengsizlik, o'rta garmonik, o'rta geometrik, o'rta arifmetik, sonlarning o'rta kvadrati.

Ta'lim turlari orasida o'zaro aloqadorlik, bog'liqlik va izchillikni o'rnatish fanlar, boblar, mavzular, o'quv materiallari orasida uzviylikni ta'minlash asosida amalga oshiriladi. Shunday ekan matematika fani asoslarini yorituvchi kurslar o'rtasida uzviylikni ta'minlash, o'quv materiallarini turli bosqich ta'lim muassasalari o'quvchilarining yosh xususiyatlariga mos holda tanlash, ularning muayyan mantiqiy ketma-ketlik, fanlararo uzviylik hamda izchillik asosida joylashtirish, o'quv jarayonida uzviylik tamoyilining yetakchi o'rin tutishiga erishish va bu holatni pedagogik jihatdan asoslash muammosini yuzaga keltiradi. Matematikada tengsizliklarni isbotlashga doir misol va masalalar tez-tez uchrab turadi. Shunday ekan ularni isbotlashning usullarini bilish juda muhimdir.

LTengsizliklarni ta'rifdan foydalanib isbotlash.

Ta'rifga ko'ra a > b bo'lishi uchun a -b musbat son bo'lishi kerak. Shuning uchun berilgan a,b,..., k qiymatlar to'plamida f (a,b,..., k) > g(a,b,..., k) tengsizlikni isbotlash uchun f (a,b,...,k) -g(a,b,...,k) ayirmani quramiz va u a,b,..., k larning berilgan qiymatlarida musbat ekanligiga ishonch hosil qilamiz. Xuddi shuningdek bu usuldan f < g, f > g, f < g tengsizliklarni isbotlashda ham foydalaniladi.

1-misol. a > 0, b > 0 bo'lsa, >4ab (Koshi tengsizligi)ni isbotlang.

Isbot. a + b -Jab ayirmani quramiz va uning ishorasini aniqlaymiz.

a + b a - 2y[ab + b _

2 2

Ш -4b )2

- ifoda ixtiyoriy manfiy bo'lmagan a va b qiymatlarida manfiy bo'lmaydi.

2

Demak, a + b >yfab . Tenglik belgisi a = b da o'rinli. 2

2

a b

2-misol. Agar ab > 0 bo'lsa, — + — > 2 bo'lishini isbotlang.

b a

Isbot.

a b —+ —

b a

a2

+b 2ab — ( ) j ... u 5i ( )

- 2 =-= --— . ab > 0 bo'lganligi uchun --— > 0.

ab ab ab

f a b \

Tenglik belgisi a = b da o'rinli. Demak, — + — - 2 ayirma manfiy emas. Isbotlandi.

V b a J

3-misol. Ushbu a2 + 4b2 + 3c2 +14 > 2a + 12b + 6c tengsizlikni isbotlang. Isbot. (a2 + 4b2 + 3c2 +14)-(2a + 12b + 6c ) ayirmani quramiz. Uning hadlarini

gruppalaymiz.

(a2 -2a +1) + (4b2 - 12b + 9) + (3c2 -6c + 3)-1 = (a-1)2 +(2b-3)2 + 3(c-1)2 +1. Oxirgi ifoda ixtiyoriy a,b,c da o'rinli. Isbotlandi.

4-misol. Agar a + b + c > 0 bo'lsa, a3 + b3 + c3 > 3abc bo'lishini isbotlang.

" Isbot. a3 + b3 + c3 -3abc ayirmani qaraymiz. a3 + b3 ifodani yig'indining kubiga to'ldiramiz.

a3 + b3 + c3 - 3abc = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 + c3 - 3a2b - 3ab2 - 3abc = (a + b)3 - 3ab (a + b + c) + c3 Endi (a + b)3 + c3 ni ko'paytuvchilarga ajratamiz.

(a + b)3 + c3 -3ab(a + b + c) = ((a + b) + c)((a + b)2 -(a + b)c + c2)-3ab(a + b + c) = = (a + b + c)(a2 + 2ab + b2 - ac - bc + c2 - 3ab) = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 - ab - bc - ac) =

= ^(a + b + c)(2a2 + 2b2 + 2c2 - 2ab - 2bc - 2ac) = ^(a + b + c)((a - b)2 + (a - c)2 + (b - c)2)

Shartga ko'ra a + b + c > 0. Ikkinchi qavs ichi ham manfiy emas. Demak, ifoda manfiy emas. Tengsizlikda tenglik belgisi a + b + c = 0 yoki a = b = c da o'rinli bo'ladi.

II. Tengsizliklarni isbotlashning sun'iy usullari. Bu metodning mohiyati quyidagicha:

Isbotlanayotgan tengsizlik bir qator shakl almashtirishlardan so'ng ma'lum (tayanch) tengsizliklardan biriga keltiriladi. Tayanch tengsizliklar sifatida masalan quyidagi tengsizliklardan foydalaniladi.

a) a2 > 0 b) >4ab , bunda a > 0, b > 0 d) a + b > 0 , bunda ab > 0

2 b a

e) ax2 + bx + c > 0, bunda a > 0,b2 - 4ac < 0 .

5-misol. Agar a > 0, b > 0, c > 0, d > 0 bo'lsa, a + b + c + d > 4abcd ekanligini isbotlang.

4

Isbot. Tayanch tengsizlik sifatida Koshi tengsizligini olamiz.

a + b c + d _

2 2 > /a + bc + d

2 V 2 2

O'z navbatida a + b >4ab va c+d >yjcd bo'lganligi uchun

f + b •c + d y/ab-4cd = 4abcd .

a + b c + d +

a + b c + d

- + -

Demak, —---— > 4abcd . Ammo —---— = a + b + c + d .

2 2 4

Shunday qilib a + b + c + d > 4abcd . Isbotni tahlil qilib quyidagi xulosaga kelamiz. Tengsizlikda 4

tenglik belgisi a = b,c = d va a + b = c + d bo'lganda o'rinli.

6-misol. Ushbu

n +1

> n!, bunda n e N, n > 1 tengsizlikni isbotlang.

V 2 J

Isbot.Tayanch tengsizliklar sifatida quyidagi tengsizliklarni olamiz.

n +1 1- (n -1) + 2 n-t— (n - 2) + 3 r.--—

2

Bu n ta tengsizliklarni ko'paytirib,

2

2 + (n -1) m-7T 1 + n P,—

n + 1

(n (n -1)( n - 2).... • 2 •1) (1 • 2 • 3 •... •( n -1) n) =4_T_\ =-s[(_!)

n - 1)n )=^Jn!• n! =J( n!) = n!

ni hosil qilamiz. Demak,

'n +1

V 2 J

> n!.

Shartga ko'ra n ^ 1 bo'lganligi uchun Koshining tayanch tengsizliklaridan birinchisi faqat qat'iy bo'lishi mumkin. U holda tayanch tengsizliklarni ko'paytirish natijasida hosil bo'lgan oxirgi tengsizlik qat'iy bo'ladi. Shunday qilib,

'n +1

V 2 J

> n! .

f 1 1 1}

7-misol. Agar a > 0,b > 0,c > 0 bo'lsa, (a + b + c)l — +---> 9 ekanligini isbotlang.

V a b c J

Isbot. Tayanch tengsizliklar sifatida quyidagi tengsizliklarni olamiz.

a b a c b c _

- + -> 2; - + ->2; - + ->2 . b a c a c b

Bu tengsizliklar a = b,a = c va b = c bo'lganda o'rinli bo'ladi. Ularni qo'shib

a b a c b c

— +---1---1---1---+ — > 6

bacacb

yoki

ni hosil qilamiz.

b + c a + c a + b

-+-+-> 6

a b c

' a + ^ ' 1 +- 1 +

b + c

1 +

V a

i

+

a+b

1 +

Vc

Vb

a + b + c a + b + c a + b + c

> 9,

b

■ + -

- + -

> 9.

a

c

Tenglik belgisi a = b = c da o'rinli.

n

2

n

n

8-misol. Agar n e N,n > 1 bo'lsa, — + — + — +... + -1 < 1 bo'lishini isbotlang.

4 9 16 n

1 1 1 1 1 1 111 11 1

Isbot. - =-< — ; - =-<-; — =-<-;...; —T =-< --—.

4 2 • 2 1-2 9 3 • 3 2 • 3 16 4 • 4 3 • 4 n2 n • n (n -1) n

Bu ( n -1) ta tengsizliklarni qo'shib,

111 111 12 -1 3 -2 4 -3 n-in -1)

- + - + — +... + — <-+-+... + --— =-+-+-+... + , ч

4 9 16 n2 1 • 2 2 • 3 (n -1)n 1 • 2 2 • 3 3 • 4 (n - 1)n

1 — | + 2

1 1 if 1 1

---1 + 1---1 +... +

2 3 M 3 4

1 1 I . 1

n -1 n J n

-- = 1 --< 1

ni hosil qilamiz. Demak, 1 +1 + — +...+ ^ < 1.

4 9 16 n

III. Teskaridan faraz qilish usuli yordamida tengsizliklarni isbotlash.

9-misol. Agar a > 0,b > 0,c > 0,d > 0 bo'lsa, yj(a + c)(b + d) >4ab +4cd ekanligini isbotlang.

Isbot. Ixtiyoriy manfiy bo'lmagan a,b,c,d sonlari uchun berilgan tengsizlik o'rinli ekanligini isbotlashimiz kerak. Teskaridan faraz qilamiz. Manfiy bo'lmagan a,b,c,d qiymatlar

uchun ^(a + c)(b + d) <y[ab +\[cd tengsizlik o'rinli bo'lsin. Bu tengsizlikning har ikki qismi manfiy bo'lmaganligi uchun uning har ikki qismini kvadratga ko'tarib,

( a + b )(b + d )< ab + cd + 2л/ abcd tengsizlikni hosil qilamiz. Bundan

bc + ad < 2yjabcd ; + a<d <*J(bc)(ad) .

Ammo bu Koshi tengsizligiga ziddir. Demak, bizning farazimiz noto'g'ri. Shuning uchun berilgan tengsizlik to'g'ridir.

\q2 ¿,2 2

10-misol. Agar a > 0, b > 0, c > 0 bo'lsa, -^-< J--- ekanligini isbotlang.

Isbot. a,b va clarning quyidagi tengsizliklarni qanoatlantiradigan manfiy bo'lmagan qiymatlari mavjud deb faraz qilamiz.

a + b + c la2 + b2 + c2

—T~ 4 3 •

Har ikki qismini kvadratga ko'tarib,

f a + b + c ^2 a2 + b2 + c2

ni hosil qilamiz.

(a + b + c)2 > 3 (a2 + b2 + c2 ), 3(a2 + b2 + c2)-(a + b + c)2 <0, 3(a2 + b2 + c2)-(a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc)< 0, 2a2 + 2b2 + 2c2 - 2ab - 2ac - 2bc < 0,

(a - b )2 +(b - c)2 +(a - c)2 < 0.

Oxirgi tengsizlik o'rinli emas, chunki kvadratlar yig'indisi manfiy son bo'lmaydi. Demak, farazimiz o'rinli emas. Shuning uchun berilgan tengsizlik o'rinli bo'ladi.

Ko'rsatma. nta ax,a2,...,an manfiy bo'lmagan sonlar uchun quyidagi kattaliklar o'rinli:

n , Hn = —---—, o rta garmonik.

—I---+... +--

ai a a„

Gn = ' a '...' a , o'rta geometrik.

a, + a +... + a„ ,

A = -2--, o rta arifmetik.

n

12, 2 , . 2 _ а + а2 +... + С12 . . .

О =А —-2-- ,а,а2,...,ап sonlaming о г!а kvadrati.

V п

Ви kattaliklar o'rtasida quyidagi munosabat о'ппН

Н < в < А < О .

п п п

Ви munosabatlaming xususiy ba'zi Ьо11аг1 уидопёа 1вЬо1;1апё1. 1-5 ш1во11агёа в2 < А уа в < А4 1аг, 7-ш1воЫа Н3 < А3, 10-ш1воЫа А3 < 01аг ¡БЬойапй.

FOYDALANILGAN АВЛБХУОТЬЛК.

1. 1.Олехник С. Н. и др. Уравнения и неравенства. Нестандартные решения. 10 -11 классы. Учебно - метод. пособие. Москва. 2001.

2. 2.П.Ф.Севрюков, А.Н.Смоляков "Тригонометрические, показательные и логарифмические уравнения и неравенства" Москва. 2008

3. З.О.А.Иванов. "Практикум по элементарной математике" Алгебро-аналитические методы. Мцнмо 2001.