CC BY
21
УДК 536.25
Профессор В.И. Ряжских, доцент В.А. Сумин, доцент А. А. Богер
(Воронеж. гос. ун-т. инж. технол.) кафедра высшей математики, тел. (473) 255-35-54
Температурное поле тепловыделяющей жидкости в квадратной области с неоднородными граничными условиями первого рода
На основе применения интегрального преобразования Фурье аналитически решена задача о стационарном распределении температурных полей тепловыделяющей жидкости в квадратной области при неоднородных граничных условиях первого рода для кондуктивного режима переноса теплоты.
Based on the of the integral Fourier transforms the problem of stationary temperature fields distribution of heat-generating fluid in a square area is analytically solved under non-uniform first kind boundary conditions for the conductive heat transfer mode.
Ключевые слова: неоднородные граничные условия первого рода, преобразование Фурье, стационарное распределение температурных полей.
В связи с проблемой хранения радиоактивных отходов пристальный интерес исследователей вызывает изучение поведения тепловыделяющих жидкостей в замкнутых объемах при различных граничных условиях на смоченной поверхности [1, 2]. Для решения этой задачи необходимо рассмотрение тепловой обстановки не только в турбулентном и ламинарном режимах, но и в кондуктивном, когда вязкость среды высока из-за присутствия твердой дисперсной фазы. Это дает основание использовать в качестве модельного представления о механизме переноса теплоты только молекулярную теплопроводность [3]. В такой постановке задачи можно идентифицировать структуру температурного поля и определить ряд характеристик, среди которых локализация и величина максимальной температуры имеет наиболее важное прикладное значение.
Рассматривается квадратная область со стороной И, м, содержащая теплопроводную среду с однородной мощностью тепловыделения q, Вт/м3, и известными теплофизическими характеристиками - плотностью р , кг/м3; теплопроводностью Я, Вт/(мК); теплоемкостью ср, Дж/ (кг-К), одна сторона которой поддерживается при температуре г1, К, а остальные -при температуре г0, К. Математическая формулировка задачи в этом случае будет:
© Ряжских В.И., Сумин В.А., Богер А.А., 2012
dt .
pc' = i
г£±+І2'
dx 2 dy 2
+q ;
t(x, h) = ti ;
t(h, y) = t(x,0) =t( y)= tо ;
(1)
(2)
(3)
где т - текущее время, с; г - локальная температура, К.
Пусть для определенности г1 > г0, тогда система (1)—(3) в безразмерном виде такова:
dt 1
дв Pr
2
д2Т д T +
удХ 2 dY2 ,
1
Pr
(4)
T (X ,1) = Т ; (5)
Т (о, Y ) = T (X ,0)= Т (1, Y )= 0; (6)
(ti -1 о .
xy TV
где X = - ; Y = f ; в = —; Тх =
h
h
qh
Pr = -
a - кинематическая вязкость и
теплопроводность среды, м2/с.
Будем рассматривать стационарный случай, тогда система
трансформируется в систему
д 2Т д 2Т
дХ2 дY2
= -i;
Т (X ,1) = Ті ;
(4)-(6)
(7)
(8)
V
V
a
T(0, Y) = T(X,0) = T(1, Y) = 0 .
(9)
Данная задача является задачей Дирихле для эллиптического уравнения в прямоугольнике. Ее решение имеет вид [5]
Ti( X ,Y) = Z
-2
11 sh (цп )
T0 (cos tn - 1)
tn
xsh(t)+ Z 2(C0S1)ich(t) + i-^x
m=1
sht
x sh(/umX)}sin(m Y)+ 0.5Y - 0.5Y2 . (10)
Однако решение задачи (7) - (9) можно получить в другой форме, используя конечное интегральное преобразование.
Применим конечное интегральное синус-преобразование [4] по переменной X:
d TjX -22TX = — (cos 2-1); (11)
dY2 X 2
Tx (0) = 0;
TX(1) = - — (cos2-1),
(12)
(13)
где TX - изображение T; 2 - корни характеристического уравнения sin 2 = 0 . Решение уравнения (11) с граничными условиями (12) -(13) имеет вид
cos 2-1
sh2
.(14)
Используя формулу обращения интегрального синус-преобразования [4], получим
T = 2 Z COsAn -1
n=1 2n
sh[n (1 - y)]
(
1
-----T
22
sh(2nY )
sh2n
2n
где 2n = nn, n = 1, да .
sin(2nX ),
(15)
Для двух методов решения получим следующие графические зависимости для х = 0.5 . Исходя из рис.1 можно заключить, что решение, полученное при помощи конечных интегральных преобразований и методом разделения переменных, одинаково.
Рис. 1. Сравнение профилей температур в срединном сечении области решения
Решение (15) может быть обощено для различных вариантов граничных условий
Т(о, Y) = Т1; Т (1, Y) = Т (X,0) = Т(X,1) = 0 ; (16)
Т(1, Y) = Тх; Т(0, Y) = Т(X,1) = Т(X,0) = 0 ; (17)
Т(X,0) = Т1; Т(0, Y) = Т(X,1) = Т(1, Y) = 0 ; (18)
Т(0, Y) = Т(X,1) = Т1; Т(1, Y) = Т(X,0) = 0 ; (19)
Т(0, Y) = Т(1, Y) = Т1; Т(X,1) = Т(X,0) = 0 ; (20)
Т (0, Y)= Т(X,0)= Т (1, Y) = Т1; Т (X,1) = 0 . (21)
Для граничных условий (16)-(18)
решения по структуре аналогичны (15), а для граничных условий (19)-(21) решения
получены с использованием принципа суперпозиции в силу линейности задачи:
T = 2 Z
m=1
COs tm - 1
tm
sh(tmX )
2
rm
T1 -
1
sh[m(1 - X)]
sht
tm
Mr/ ) + 2 Z ^2^ x
n=1 2n
sh[n (1 - Y)]
2n
sh2n
T1 --
2n
h(2nY)
sh2n
2n
[sin(2nX); (22)
n
y
1
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
T = 2 2
m=1
eos — -1
—
Sh[m (1 - X)]
—
( 2 Л —2 - T1 V —m
¡h—x)
—
s—
SÍn(— mY );
(23)
eos— m - 1
m=1 —n.
Sh\—m(1 - X)] _
—
— - T1
V m J
h—X ]
sh—
—m
srn(—mY)+2 2 x
n=1 Яп
sh(KY)
^n2 .
shXn
T -
sh[ (1 - Y)]
shl„
Я.n
\sin(nX), (24)
где Я и — - корни уравнений sin Я = 0 и sin — = 0 .
Структура температурных полей при различных граничных условиях показана на рис. 2. Видно, что увеличение T приводит к
пропорционально-эквидистантному увеличению значений температур в области решения.
1
2
2
1
2
2
2
2
2
2
Рис. 2. Температурные поля при T = 1, соответствующие решениям (15), (22)-(24)
Анализ рядов, проведенный численно, позволяет сделать вывод о быстрой их сходимости. Например, представленные температурные поля на рис. 2, получены при п = 25, что вполне по точности удовлетворяет инженерной практике. Отметим, что в случае нагрева противоположных сторон, температурное поле имеет структуру “седла”. Таким образом, неоднородность температурного поля определяется неоднородностью граничных условий, которую необходимо учитывать в задачах переноса теплоты в тепловыводящих жидкостях в кондуктивном режиме.
ЛИТЕРАТУРА
1. Никифоров, А.С. Обезвреживание жидких радиоактивных отходов [Текст] / А. С. Никифоров, В.В. Куличенко, М.И. Жихарев. -М.: Энергостомиздат, 1985. -184 с.
2. Большов, Л.А. Свободная конвекция тепловыделяющей жидкости [Текст] / Л.А. Большов, П. С. Кондратенко, В.Ф. Стрижов // Успехи физических наук. -2001. -Т. 171. -№ 10. -С. 1051-1070.
3. Лыков, А.В. Тепломассообмен [Текст] : справочник / А.В. Лыков. -М.: Энергия, 1978. -480 с.
4. Корн, Г. Справочник по математике для научных работников и инженеров [Текст] / Г. Корн, Т. Корн. -М.: Наука, 1973. -832 с.
5. Беляев, Н.М. Методы теории теплопроводности [Текст] / Н.М. Беляев. В 2 частях. Ч. 1. - М.: Высшая школа, 1982. - 327 с.
