CC BY
64
Уланов А.В., Загребин Л.Д. ТЕМПЕРАТУРНОЕ ПОЛЕ НА ПОВЕРХНОСТИ СФЕРИЧЕСКОГО КОНТАКТНОГО УСТРОЙСТВА
В статье рассматривается распределение температурного поля на поверхности полушара (полусферы) сферического контактного устройства, а также температурное поле на поверхности шара сферического контактного устройства.
Температурное поле на поверхности полушара (полусферы) сферического контактного устройства. Теоретическое решение уравнения теплопроводности для полушара (полусферы) в общем виде достаточно сложно, поэтому в первом приближении рассмотрим теплоизолированную полусферу [1]. Пусть в полусфере 0<г^ в момент времени t=0 в точке с координатами (0,0,0) происходит мгновенное выделение тепла q.
дТ \-i2-r
Решая уравнение теплопроводности --------= ЗУ I [2] в сферических координатах
mt
8[rT(r, t)]_a 8 [rT(r, t)] ^ (i)
dt
8r2
с начальными t=0; T (r,0)=0 и граничными условиями
8T_
8r
0 ; dl dr
■ 0 (условие тепловой
ции боковой поверхности);
8T_
86
■ 0 (условие отсутствия теплового потока на плоской поверхности)
получим в безразмерных координатах относительную температуру [1]:
„ 1 1 + . 2г \ 3
в = ~Ь------------—9П(/у-)е>ф(-^Го)+-, (2)
Г ¿Ґ0 Мп 2
Т 3
где 0 =—рСрЖИ - относительная температура, Ро--
я р
at
■- число Фурье, Г
r
безразмерная коорди-
ната, t - время, jUn -
-1 = о.
положительные корни характеристического уравнения:
(3)
Если источник тепла полусферический радиусом Гх^, то решение уравнения (1) в безразмерных координатах будет:
^ 00 ^ _|_ ц^~ 0 У“
%= — '£-----Т]-^(МпГ)^(Мп^)ехр{-М2пРо)+- , где Г^=^. (4)
ГГ1 п=0 Ип ¿К
На рис. 1 показаны распределения относительных температур в зависимости от времени (Го) для различных координат (г^) точечного и полусферического источников. Если относительный размер источника д- < 0.1 , то в рассматриваемых задачах полусферический тепловой импульс можно принять за точечный источник.
Рис. 1. Распределение относительных температур 0 и 01 в зависимости от Ео для полусферического образца: сплошная кривая (0) - точечный источник; штриховая и точки (01) - полусферический источ-
ник.
Исходя из выражений (2), (4) можно ТФС (а, Ср, Л) представить:
r =0
п
О
2
R 2
Cn - ■
^max^Q
Я :
^maxaqQ
^1/2 p TmaxuR p T max
7tR 3p
(5)
В выражениях (3.110) входящие параметры {¥о1/2, бтах) зависят от размера теплового источника ( ^ )
и координаты (г) . На этом же рис. 1 (вставка) представлены зависимости ¥о1/2=£ ( [" ) для точечного и полусферического источников. Отметим,
ï2
что для
0.35^0.60.
точечного
источника
Foi
выразить
¥о1/2=0 . 0126 Г в интервале координат р
В данной задаче длительность импульса не является бесконечно малой. Более точное решение уравнения теплопроводности в этом случае можно получить в виде разности решений для двух непрерывных точечных источников постоянной мощности, действующих с моментов 1=0 и 1=т в соответственно в точке г=0 (г - длительность импульса). Для решения этой задачи положим, что поток подводимого тепла определяется разностью двух ступенчатых функций Цг(^ и ^2^-т) [3] .
д(1) = до[Ц1(С) - V2(t-т)]. (6)
В случае, когда теплообменом на поверхности можно пренебречь (что достаточно легко достигается в экспериментальных условиях [4]), выражение, описывающее температурное поле от мгновенного полусферического источника радиусом гх и энергией до действующего в полушаре (полусфере) радиуса Я, имеет вид [5]
T(Г, t) - -q°-
Pcp
1
uRrr.,
» 1 + //2r2
2 —/^Sn(/„r )an(/„ri)exp( -rfat )
1 n-Q
2xR 3
Интегрируя выражение (7) по времени получим [3, 6]
T(r,t) -
I / ?
pCpuRrr1
{1
1 Q
2 1 +/2r2s ,,2р2
n-Q M„R
П/) 9^/1) exp [-/А?! - t)] +
2U3
(7)
n(t)dt -
-1
21 + /nR sn/„r) sn(/nr1) exp [-/„2a(?/ -1)] ■
V„R
n-Q n / ?
2kR
n(t -?)dt} -
(8)
— 21+/n-R s
pcpuR [ ГГ1 П-1 /„"R2
n(/„r) Sn(/„r,) {exp[-/„a(t - ?)] - exp[-/>]j + ^
где цп - положительные корни характеристического уравнения:
¿ипЯс*д/ипЯ -1 = 0 . (9)
Первые шесть корней уравнения (9) табулированы [7,8], а остальные 30 корней вычислены при помощи специальной программы на ЭВМ РС. При г^0 решения (8) для распределения температуры при использовании импульса конечной длительности переходит в (7). Для точечного источника (г^0) выражение (8) запи-
... qQ / т ¡RR 1 + /R2 ■
шется в следующем виде [6] I --------------------—— 2 --------Т—- s
pCpuRa [r [ [
n(/„r) {exp[-/2„a(t - ?)] - exp\~/2„at]} + Ц-
(i0)
Расчет зависимости температуры от времени в соответствии (8), (10) представлены на рис. 2. При
расчете полагалось: т=0.2 с; ri=4 мм; r/R=0,5; а=0,15см2/с; Я=25мм (рис. 2а). Сравнение данной зависимости с соответствующей зависимостью для случая мгновенного источника показало, что использование последней приводит к ошибке примерно в 5% при значениях температуропроводности, не превышающих 0.07см2/с. На рис. 26 представлены результаты для т=0; 0,001; 0,01с; R=7,000мм, Г=0,382;
а=0,18см2/с. Отметим, что при значениях 0=О,50тах и Г =0,382 измеряемое значение времени (10) отличаются не более чем на 2%, а увеличение длительности импульса до 0.01с приводит к поправке, превышающий 15% измеряемой величины.
г
Рис. 2. Зависимость температуры от времени полусферического образца для случая, когда опорный сигнал имеет форму импульса конечной длительности
Для удобства вычисления ТФС по формуле (5) выразим (8) и (10) в относительных координатах и получим:
в(г,гь Го)
А А 00 А +
— {— X------------їтЬг-эп(,ыпЯП эп(,ыпЯг~)[ехр(-,ы2Я2(Го - Гог)) -
'^г ^1 п 1 Ип
- ехр(-ц2пР2Ра)] + 3 Рот} ,
^ ро) = ^-{1у 1 + ^ ■■ "2°2/с" 3,
(її)
-эп(^„Ял)[ехр(-,ыпЯ (Ро-Рог)) -ехр(-,ыпЯ Яо)] + -Яог} , (1-)
где
Го =
аг
2
Я
число Фурье теплового импульса.
На рис. 2 а,б (вставки) показаны изменения Еох/2 от соотношения т/^/2 при выше указанных параметрах мгновенного и сферического источников, исходящие из выражений (11), (12). Отметим, 0тах при
этом не изменяется, а происходит только временное смещение его величины.
Таким образом, температурные поля в полусферических образцах существенно отличаются как для мгновенного, так и для полусферического источников и не могут быть рассмотрены как для полуограниченного (полубесконечного) тела.
Рис.3. Схема сферического образца с точечным источником в полюсе
Температурное поле на поверхности шара сферического контактного устройства.
Для исследования ТФС в малом объеме в твердом и жидком состояниях наиболее удобной формой образца является шар. Сложность введения поправок на теплообмен в случае полусферических (полушаровых) образцов особенно для плоской поверхности затрудняет использование этого варианта метода при высоких температурах.
Поэтому целесообразнее использовать образец в форме капли (рис. 3) малого диаметра, которую при расчете можно аппроксимировать сферой (шаром) радиуса Я с точечным источником в полюсе (Я,0,0) Температурное поле на поверхности шара (сферы) с координатами (г,0,ф) определяется решением уравнения
дТ
т
аУ2Т
дт (г;в;і) ді
- а
д2Т (г; в; і) 2 дТ (г;в; і)
дгГ г дг
(ЭПв
дТ (г; в; і) дв
для осесимметричной задачи в виде [2,5]
т ) - ехр( - £), (14)
где б2 = Я2 + г2 - 2Яг СОБ0 , и является решением задачи о распределении температуры в неограниченной среде. Используя метод изображений, с учетом краевых условий:
Т (г ;6;0) = 0 ; -ЯШ = аТ ; 0 < г < Я ; 0 <6<к
V > > > а- \г=Я
и выражения (14) можно получить распределение температурного поля в шаре [9]
Т (г; 61)=¡^0^ ехр< - ^^Р®6) [1 -ак *
„ ___ (15)
х ехр(а/ (2Я - 2-гСОі6 + у)2) єгіс(4аі (2Я - 2-гСОі6 + 7)) ]
или в безразмерных координатах:
3(1; 6;ро)=ехр( -1+; 2 -2осовв) [і - віко *
* о ______________ -, , (16)
х ехр(Го(1-Ц + )2) ЄГ/С^уГо(^^СО^6 +
где 3=2кВ3рОрТ/0- относительная температура; Го=а1/Е2 - число Фурье, имеющий смысл безразмерного времени; Ві=аВ/Я -число Био; 1=г/В.
Если 1=1 (r=R), то выражение (16), соответствующее распределению температурного поля на поверхно-
сти шара, в относительных величинах 3(6, Fo, Bi) запишется в виде [9]
3 = 2^)3 2 ехр(-т) [1 - Ві'Кк° х х ехр(Ро(М + ВІ)2) [+ ВІ))] . (17)
£ -----1---1----1---1----1---1----1----1---1----
Рис. 4. Распределение относительной температуры в зависимости от времени в различных точках поверхности сферы (шара): цифры у кривых- значения угла 0, сплошная кривая Bi=0, штриховая Bi=0.1
На рис. 4 приводятся расчеты температурных полей в соответствии с уравнением (17). Временная зависимость относительной избыточной температуры Я=В(Го) наших результатов [9] совпадает с результатами авторов [10], полученные с использованием преобразования Лапласа. Расхождения имеются по абсолютной величине &Шахг связанные с постановкой задачи и, вероятно, тепловой импульс в работе [11] рассматривается не на полюсе шара, а в центре, как в [2]. Расчеты, проведенные численным методом для 900 находятся в удовлетворительном согласии с результатами полученными аналитически (рис. 5). Результаты сравнения показаны (рис. 4) для случая Б1=0 (на поверхности отсутствует теплообмен) и Б1=0.1. Отметим, что формулы (5) для вычисления Ср, X, при неизменной а, отличаются с коэффициентом 1/2 и имеют вид [12]:
р _ 'Ялах % X — ^°1/2 Ятах Яо
р ттах 2лрЯ3 ' ^/2 Ттах 2я^ . (18)
Однако, анализ (17) показывает, что ¥01/2 и &ж&х существенно зависят от угла 0, определяющие координаты поверхности шара (рис. 5, рис. 6), и поэтому при определении ТФС по формулам (5) и (18) следует ввести поправки к выше указанным параметрам.
Как уже отмечалось, характеристики теплового импульса оказывают влияние на температурное поле.
О 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 Fo
Рис. 5. Тестовые численные и аналитические расчеты в шаре
0 20 40 60 80 100 120 140 160 Ö
Рис. 6. Значения критерия Fo1/2 и ln(ömax) как функция угла 0
ЛИТЕРАТУРА
1. Зиновьев В.Е., Баскакова А.А., Загребин Л.Д .и др. Температуро-проводность и теплопроводность твердого и жидкого олова // ИФЖ. - 1973. - Т.25, №3 - С. 490 - 494.
2. Лыков А.В. Теория теплопроводности -М.:Высшая школа, 1967.-599 с. Лыков А.В. Тепломассообмен: (Справочник).- М.: Энергия, 1978.- 480 с.
3. Баскакова А.А., Зиновьев В.Е., Загребин Л.Д. Измерение температуропроводности полусферических образцов (висмут). // ИФЖ. - 1974.- т. 26, № 6. - С. 1058-1061.
4. Филиппов Л.П. Измерение тепловых свойств твердых и жидких металлов при высоких температурах. М.: Изд-во МГУ,1967.-325 с.
5. Карслоу Г., Егер Д. Теплопроводность твердых тел.М.Наука.-1964.-488 с
6. Загребин Л.Д., Зиновьев В.Е., Сипайлов В.А. Определение импульсным методом температуропроводности и теплопроводности полусферических образцов. Никель. // ИФЖ. - 1981. - т. 40, № 5. - С. 8 64-
869.
7. Бозорот Р. Ферромагнетизм. - М.: ИЛ. - 1956. - 874 с.
8. Вонсовский С.В. Магнетизм. - М.: Наука. - 1971. - 1032 с.
9. Бузилов С.В., Загребин Л.Д. Импульсный метод измерения температуропроводности сферических образцов. // ИФЖ. - 1999. - Т. 72, № 2.
- С. 234-237.
10. Анисимов С.И., Имас Я.А., Романов Г.С., Ходыко Ю.В. Действие излучения большой мощности на металлы. / М.: Наука. -1970. - 272 с.
11. Волкова А.А., Костогрыз В.Н., Гальперин Л.Г., Зиновьев В.Е. Импульсный метод определения температуропроводности для сферических и цилиндрических образцов. // Сб. "Физические свойства металлов и сплавов". Свердловск. - 1976. - вып.1. - С. 102-107.
12. Загребин Л.Д., Бузилов С.В. Измерение температуропроводности металлов и сплавов вблизи точки фазового перехода первого рода. // ПТЭ. - 2003. - № 1. - С. 153-157.
