CC BY
11УДК 533.6.011.8 DOI: 10.34759/TRD-2020-113-04
Тело вращения минимального аэродинамического сопротивления в гиперзвуковом потоке разреженного газа
Горелов С.Л.1'2*, Нгуен Ван Лам2**
1 Центральный аэрогидродинамический институт имени профессора Н.Е. Жуковского, ЦАГИ, ул. Жуковского, 1, Жуковский, Московская область,
140180, Россия
Московский физико-технический институт, МФТИ, Институтский переулок, 9, Долгопрудный, Московская область, 141701, Россия *e-mail: gorelovsl@yandex. ru ""e-mail: lamvqtc1990@gmail. ru
Статья поступила 05.07.2020
Аннотация
Для тела вращения со степенной образующей вычисляется сила сопротивления в гиперзвуковом потоке разреженного газа на основе нескольких локальных моделей.
Решением вариационной задачи определяется степень в образующей тела минимального сопротивления в зависимости от удлинения в широком диапазоне чисел Рейнольдса.
Ключевые слова: гиперзвуковой поток, локальные модели, аэродинамическая сопротивление тела вращения, вариационная задача.
Введение
Для оценочных расчетов сил, действующих на тело при его высокоскоростном движении в газе широкое распространение получили формулы, найденные из
локальных моделей. В основе этих моделей лежит предположение, что каждый элемент поверхности тела взаимодействует с потоком газа независимо от других участков тела и сила, действующая на него, зависит лишь от ориентации элемента относительно направления движения. Примером такой зависимости является формула Ньютона, широко используемая в гиперзвуковой аэродинамике для оценочных расчетов распределения давления на поверхности тела. Такое представление сил, действующих на тела в гиперзвуковом потоке позволяет достаточно просто решать задачу вариационную задачу о поиске форм тел минимального сопротивления. Такая задача решалась многими авторами (например, [1-14]). В данной работе решается аналогичная задача с использованием приближенной локальной модели [15, 16]. Найдены тела вращения минимального сопротивления (образующая - степенная функция) произвольного удлинения в широком диапазоне чисел Рейнольдса.
1. Тело вращения минимального сопротивления в гиперзвуковом потоке
(большое удлинение)
Задано тело вращения длиной Ь и радиусом основания Я. Требуется
определить форму образующей у (х) такую при которой это тело имеет
минимальное сопротивления в гиперзвуковом потоке газа. Причем, давление на элемент поверхности определяется формулой Ньютона.
Рис. 1. Схема обтекания тела вращения. Ось вращения ОУ. Радиус основания Я, длина Ь.
Длина тела равна Ь, радиус основания Я ^ 0 < X < Я, у (Я) = Ь ^,
удлинение Я = Ь / Я. Сила давления, действующая на элемент поверхности, отнесенная к скоростному напору и площади элемента в гиперзвуковом потоке равна по Ньютону [1 - 5]
Ср = 2со82 в, Ст = 0
(1.1)
в-
угол между внутренней нормалью к поверхности и направлением скорости
газа.
Площадь элемента поверхности равна
= хС^^Сх^+Су = х
V
1+
^2 у Сх J
СхС(, со$>в =
(1.2)
Коэффициент сопротивления равен (отнесен к площади основания)
Сха
—1 \С(р\СрсоБвхА 1 + 1 Сх --^Гсов^х. 1 + {—
тгЯ2 { ( Р \ I Сх J Я2 V I Сх J
Сх
(1.3)
1
3
Имея в виду cos в =
л R
4 с х
2п3/2
1 + ( dy / dx )
, получаем
Cxa = — f-x--dx (1.4)
R о 1 + (dy / dx)2
Или в безразмерном виде (линейные размеры отнесены к R)
Cxa=4J-
П 1
1 x „ „ L
dx, Я = — (1.5)
+ Я2 ( dy / dx )2 R
Когда удлинение Я велико, то есть Л >> 1 уравнение (1.5) упрощается
4 г X
Cxa = — \-J" dx (16)
Я о ( dy / dx)
Уравнение Эйлера [3] в этом случае запишется 2 x
—7 = const (1.7)
y'3 (
Это уравнение имеет решение при y (0) = 0, y (1) = 1
y (x ) = x4/3 (1.8)
Подставляя (1.8) в (1.6), получаем
27
Cxa =-^ (1.9)
16Я2
2. Произвольное удлинение
Поскольку в случае больших удлинений образующая тела вращения минимального сопротивления есть степенная функция (1.8), то естественно искать эту образующую в классе степенных функций и в случае произвольных значений
величины Я. В такой же постановке, как и в пункте 1 будем искать образующую в виде: у = ЬгР, 7 = х/Я, Я = Ь/г . Тогда уравнение (1.5) запишется
Сха = 4 Г-7-^ (2.1)
+(я^~1 )2
Интеграл (2.1) выражается через гипергеометрическую функцию
Сха=2•^
' 1 . Р . - -2Л
(2.2)
1,—-(ЯР)' Р-1 р-1 1 '
Задавая различные величины Я, не трудно вычислить значения Р, исходя из уравнения (2.2), , при которых функция Сха (Р) минимальна.
Эта задача решалась в системе координат такой же как и в классической задаче Ньютона [1], то есть ось вращения тела это ось ОУ и скорость газа направлена вдоль этой оси. В более поздних работах [2 - 5] такая же задача решается в системе
координат ХхОУ\ повернутой на 90°, то есть ось тела вращения направлена вдоль
оси ОХх. В этом случае уравнение образующей имеет вид
У1 = Я (V Ь )х (2.3)
Не трудно заметить, что в этом случае X = Р 1, то есть для тела с большим
удлинением X = 3/4, что соответствует известным решениям [2 - 5].
На Рис. 2 нанесены величины степени X в уравнении образующей (2.3) в зависимости от Я в случае формулы Ньютона силы давления на элемент поверхности тела вращения при которых сопротивление тела в гиперзвуковом потоке минимальна.
Рис. 2. Зависимость степени X от удлинения тела Я (точки), пунктир - X = 3/4 -приближение тела большого удлинения (Я >> 1)
3. Свободномолекулярная модель
В случае свободномолекулярного приближения в гиперзвуковом потоке газа
можно записать [17 - 20]
Ср = 2соБ2в + соъв^ж^ (у-1) /у, Ст = 2со$>в$>тв
(3.1)
Здесь / - температурный фактор, у- показатель адиабаты, в- угол между
внутренней нормалью к поверхности и направлением скорости газа.
Задача ставится также как и в п. 1. Используя формулу (1.2) , коэффициент сопротивления равен (отнесен к площади основания)
^ 2г Я
Сха =-- { Срсовв + Стътв} • йз =
ГЯ 0 0
4 Я I-
= — |соб3 в •х •у] 1 + (йу/йх)'йх +
Я °
2 Я
(у-1)/У{соб2 в •х•у! 1 + (йу/йх)2йх +
Я 2\ *
0 Я
+ -4-1 СОБ в БШ2 в • х •у! 1 + ( йу / йх )2 йх = Я 0
_ 2 \ у-1Я х ,
2 + А Г ^-К
Я V У 0^1 + (йу / йх)2
(3.2)
Пусть образующая - степенная функция: у = ЬгР, г = х / Я, Я = Ь / г Тогда уравнение (3.2) запишется
Сха = 2 + 2.1 (у-1)/у Г . 7 (3.3)
(1 + (ЯРгР-1 )2
0
Для тела большого удлинения Я» 1 интеграл в (2.3) равен
Г—^Г^г = 1
ЯРгР-1 ЯР( 3 -Р)
Эта функция имеет минимум при Р = 3/2 и образующая равна у = Ьг3/2 При произвольном удлинении можно записать
Сха = 2 + (у-1)/у • ^
11 . Р . .2.2
Л
V2 Р-1 Р-1 у
-ЯР1
(3.4)
Степень / вычисляется так же как и в п.1 при £ = 0.1, у = 1.4. На Рис. 3
нанесена зависимость х(Я) = / 1 в свободномолекулярном случае.
0.661— — — — — — — — — — — — —
Рис. 3. Зависимость степени X от удлинения тела Я (точки) в свободно-молекулярном случае, пунктир - X = 2/3 - приближение тела большого
удлинения (Я >> 1)
Величина X меняется от X = 0.535 при Я = 1 до X = 2/3 при Я>> 1 , что соответствует известному решению [5].
4. Локальная модель Не смотря на то что в вычислительной гиперзвуковой аэродинамике разреженного газа широко используются как статистические методы (Монте -Карло), так и методы, основанные на сплошносредних моделях [20 - 26] для оценочных расчетов сил, действующих на тело при его высокоскоростном движении в газе распространение получили формулы, найденные из локальных моделей. В основе этих моделей лежит предположение, что каждый элемент поверхности тела взаимодействует со средой независимо от других участков тела и сила, действующая на него, зависит лишь от ориентации элемента относительно направления движения.
Эта зависимость может включать в себя скорость движения и характеристики среды (величина плотности, температура и др.), которые считаются постоянными. Наибольшего распространения получила локальная модель из [15 - 16], в которой eкоэффициенты давления и трения равны
Ср = р0 соб2 в + р соБв; Ст = т СОБвБтв (4.1)
Функции р0, р ,т0 зависят от числа Ке0, температурного фактора ^ и
показателя степени адиабаты у.
р0 = 2, р ехр[-(0.125 + 0.078^)Яе0
5.23 „ „ (3 0-2/3
(4.2)
т0 = г- / \ п1/2 , Я = ^е0
Я + 6.88ехр(0.0072Я - 0.000016Я2)
С +
V 4 4 у
Задача ставится также, как и в п. 1. Используя формулы (1.2) и (3.1), коэффициент сопротивления равен (отнесен к площади основания)
о Я
2 / \ г х
Сха = -2-(р0 -т0)/-х--Сх +
П 1
Я 0 1 + (Су / Сх) (43)
2 я 2 Я
+ ^ р I I х ч2 Сх + '^ т0 IхСх
Я 0^1 + (Су / Сх )2 Я 0
В случае, когда образующая тела вращения - степенная функция, имеем
Сха = 2(р0 -т0) [-2 + 2р [ / + т0
11 + (Я/23-1) + [Я/23-1 )2 (4.4)
у = Ь23, 7 = х / Я, Я = Ь / г
Интегралы, входящие в это выражение - суть гипергеометрические функции,
тогда
Сха = ( Р0 "^0 )'
1,
1 . Р
2 г>2
Р- 1 Р-1
-ЯР
к
(4.5)
+ Р
1 1
Р
2 п2
2 Р-1 Р-1
;-ЯР
} + тп
На Рис.4. представлены зависимости показателей степеней степенных тел от удлинений для разных чисел Яе0
Рис. 4. Зависимость показателей степеней X тел вращения минимального сопротивления от удлинения Я для разных чисел Ке0, ^ = 0.1, у = 1.4. Пунктиром обозначены значения X = 2/3 и X = 3/4.
Отметим, что при больших удлинениях (больших Л) показатели степеней стремятся к своим классическим значениям, либо а = 2/3 при малых числах Ке0,
либо к а = 3/4 при больших числах Ке0 . Отметим также, что начиная с Яе0 = 100
результаты не меняются.
На Рис.5. нанесены значения показателей степеней степенных тел вращения минимального сопротивления в зависимости от чисел Яе0 при больших значениях Л
Рис. 5. Значения показателей степени в зависимости от чисел при больших Л, ^ = 0.1, у = 1.4. Пунктиром обозначены предельные значения а: а = 2/3 при
Яе0 - > 0 и а = 3/4 при Яе0 ->ю.
Заключение
Для тела вращения со степенной образующей вычислена сила сопротивления в гиперзвуковом потоке разреженного газа на основе трех локальных моделей: ньютоновская модель, свободномолекулярная модель, локальная гиперзвуковая
модель.
Для всех этих моделей решение представлено в виде гипергеометрической функции.
Решением вариационной задачи определяется степень в образующей тела минимального сопротивления в зависимости от удлинения в широком диапазоне чисел Рейнольдса.
При числах Рейнольдса стремящихся к нулю и для больших удлинений степень в образующей тела вращения минимального сопротивления стремится к 2/3, а при числах Рейнольдса стремящихся к бесконечности - к 3/4, что соответствует свободномолекулярному режиму течения и режиму сплошной среды, соответственно.
Работа поддержена РФФИ, Грант № 20-08-00790
Библиографический список
1. Ньютон И. Математические начала натуральной философии. - М: Наука, 1989. -688 с.
2. Черный Г.Г. Течение газа с большой сверхзвуковой скоростью. - М: Физматгиз, 1959. - 220 с.
3. Крайко А.Н., Пудовкин Д.Е., Якунина Г.Е. Теория аэродинамических форм, близких к оптимальным. - М: Янус-К, 2001. - 132 с.
4. Ванько В.И., Ермошина О.В., Кувыркин Г.Н. Вариационное исчисление и оптимальное управление. - М: Изд-во МГТУ, 2006. - 488 с.
5. Миеле А. Теория оптимальных аэродинамических форм. - М: Мир, 1969. - 508 с.
6. Лунев В.В. Гиперзвуковая аэродинамика. - М.: Машиностроение, 1975. - 328 с.
7. Остапенко Н.А., Якунина Г.Е. О телах наименьшего сопротивления, двигающихся в средах при наличии закона локальности // Известия РАН. Механика жидкости и газа. 1992. № 1. С. 95 - 106.
8. Бунимович А.И., Якунина Г.Е. Исследование форм поперечного контура конического пространственного тела минимального сопротивления, движущегося в разреженном газе // Известия АН СССР. Механика жидкости и газа. 1986. № 5. С. 112 - 117.
9. Благосклонов В.И., Гродзовский Г.Л. Осесимметричное обтекание тел вращения степенной формы при сверхзвуковых скоростях набегающего потока // Ученые записки ЦАГИ. 1974. Т. V. № 6. С. 6 - 22.
10. Таковицкий С.А. Аналитическое решение в задаче построения осесимметричных носовых частей минимального волнового сопротивления // Механика жидкости и газа. 2006. № 2. С. 157 - 162.
11. Якунина Г.Е. К построению оптимальных пространственных форм в рамках модели локального взаимодействия // Прикладная математика и механика. 2000. Т. 64. № 2. С. 199 - 310.
12. Голубкин В.Н., Сысоев В.В. Влияние затупления передней кромки на оптимальные параметры крыла при гиперзвуковых скоростях // Ученые записки ЦАГИ. 2003. Т. XXXIV. № 3-4. С. 15 - 24.
13. Голубкин В.Н., Сысоев В.В. Оптимальные по сопротивлению формы носовых частей профилей и тел вращения в гиперзвуковом потоке под углом атаки // Ученые записки ЦАГИ. 2008. Т. XXXIX. № 3. С. 14 - 20.
14. Таковицкий С.А. Аналитическое решение задачи минимизации волнового сопротивления осесимметричной носовой части в рамках локальной линеаризации // Прикладная математика и механика. 2018. Т. 82. № 6. С. 775 - 782.
15. Галкин В.С., Ерофеев А.И., Толстых А.И. Приближенный метод расчета аэродинамических характеристик тел в гиперзвуковом потоке разреженного газа // Труды ЦАГИ. 1977. Вып. 1833. С. 6 - 10.
16. Николаев В.С. Аппроксимационные формулы для локальных аэродинамических характеристик тел типа крыла в вязком гиперзвуковом потоке в широком диапазоне параметров подобия // Ученые записки ЦАГИ. 1981. Т. XII. № 4. С. 143 - 150.
17. Коган М.Н. Динамика разреженного газа. - М: Наука, 1967. - 440 с.
18. Кошмаров Ю.А., Рыжов Ю.А. Прикладная динамика разреженного газа. - М.: Машиностроение, 1977. - 184 с.
19. Гусев В.Н., Ерофеев А.И., Климова Т.В., Перепухов В.А., Рябов В.В., Толстых А.И. Теоретические и экспериментальные исследования обтекания тел простой формы гиперзвуковым потоком разреженного газа // Труды ЦАГИ. 1977. Вып. 1855. С. 43.
20. Егоров И.В., Ерофеев А.И. Исследование гиперзвукового обтекания плоской пластины на основе сплошносредного и кинетического подходов // Ученые записки ЦАГИ. 1997. Т. XXVIII. № 2. С. 23 - 40.
21. Выонг Ван Тьен, Горелов С.Л. Нелинейные явления в разреженном газе в задаче Куэтта // Труды МАИ. 2018. № 100. URL: http://trudymai.ru/published.php?ID=93327
22. Березко М.Э., Никитченко Ю.А., Тихоновец А.В. Сшивание кинетической и гидродинамической моделей на примере течения Куэтта // Труды МАИ. 2017. № 94. URL: http://trudymai.ru/published.php?ID=80922
23. Рыжов Ю.А., Никитченко Ю.А., Парамонов И.В. Численное исследование гиперзвукового обтекания острой кромки на основе модели Навье - Стокса - Фурье // Труды МАИ. 2012. № 55. URL: http://trudymai.ru/published.php?ID=30027
24. Быков Л.В., Никитин П.В., Пашков О.А. Математическое моделирование процессов обтекания затупленного тела высокоскоростным потоком // Труды МАИ. 2014. № 78. URL: http://trudymai.ru/published.php?ID=53445
25. Никитченко Ю.А. Модели первого приближения для неравновесных течений многоатомных газов // Труды МАИ. 2014. № 77. URL: http://trudymai.ru/published.php?ID=52938
26. Выонг Ван Тьен, Горелов С.Л., Русаков С.В. Эффекты немонотонности аэродинамических характеристик пластины в гиперзвуковом потоке разреженного газа // Труды МАИ. 2020. № 110. URL: http ://trudymai.ru/published.php?ID=112844. DOI: 10.34759/trd-2020-110-9
