CC BY
35
Литература
1. Раднаев, Д.Н. Обоснование технологий и параметров рабочего органа для посева зерновых в условиях сухостепной зоны Забайкалья: автореф. дис. ... канд. техн. наук / Д.Н. Раднаев. - Новосибирск, 2002.
- 20 с.
2. Раднаев, Д.Н. Лабораторные исследования образования борозды перемещающейся струей жидкости: мат-лы регион. науч.-практ. конф. / Д.Н. Раднаев, Ю.А. Сергеев. - Улан-Удэ: Изд-во БГСХА, 2001.
- С. 88-90.
--------♦'-----------
УДК 665.1/3 В.А. Арет, Б.К. Гусев, В.В. Пеленко, Ф.В. Пеленко
ТЕЧЕНИЯ ВЯЗКОПЛАСТИЧЕСКИХ НЕЛИНЕЙНЫХ СРЕД С ПОГРАНИЧНЫМ ПРОСКАЛЬЗЫВАНИЕМ
В статье рассмотрены постановка задачи ламинарного течения вязкопластических нелинейных сред в круглых прямых трубах с формированием в потоке центрального ядра и при наличии явления проскальзывания (несоблюдение условия прилипания на стенке) и ее решение в общем виде. Данное решение позволяет определить окончательное значение полного суммарного расхода, что дает возможность осуществить гидродинамические расчеты существенно нелинейных вязко-пластических материалов, а также конструктивные расчеты аппаратов.
В работе [1] рассмотрен общий подход при выводе универсальных уравнений ламинарного движения для любых неньютоновских жидкостей. Однако уравнения течения в окончательном виде получены в одном случае для степенной неньютоновской жидкости без учета возможных пластических свойств, а в другом -для линейной вязкопластической среды (жидкости Шведова-Бингама). Задача, подобная последним условиям, решена в работе [2]. Аналогично источнику [1], в работе [3] рассмотрены случаи течения бингамовских пластичных жидкостей, а также чисто-вязких псевдопластичных и дилатантных жидкостей. Наиболее общий подход к решению подобной задачи реализован в работе [4], где использован фундаментальный принцип
определения поля скоростей течения, основанный на вариационных методах. Полученные автором [4] ре-
зультаты охватывают все вышерассмотренные условия как частные случаи течения обобщенной вязкопластичной степенной жидкости, однако принятые им граничные условия носят частный характер и базируются на гипотезе прилипания.
Из общего принципа виртуальных работ для произвольной сплошной среды П.П. Мосолов и Е.Ш. Мясников [5] получили следующий функционал J (1) - задачу поиска экстремума, которая соответствует принципу виртуальных работ (точнее - мощностей) для голономных диссипативных сплошных сред :
J = Jp(e..) • dV - J pF • vdV - J G•vdS , (1)
V V S
где V - объем выделенной сплошной среды;
S - площадь выделенного объема; p - плотность среды;
F - внешние массовые силы;
G - внешние поверхностные силы;
v - кинематически допустимые скорости;
т(в..) „
Т 1] - диссипативный потенциал;
e
lJ - тензор скоростей деформации;
йЛ
Л '
в(еп) = &иеи -
(2)
D = 0 только тогда, когда все ец равны нулю, что соответствует движению среды как твердого тела. 0{е^) - функция диссипации; а{] - тензор напряжений.
Здесь были сделаны следующие, достаточно естественные для многих задач реологии, предположения:
1. Рассматриваются медленные движения, что позволяет пренебречь инерционными силами.
2. Внешние кинематические связи полагают стационарными.
3. Тензор напряжений полагают симметричным.
4. Среда несжимаема дыду = о.
Тогда поле возможных перемещений с точностью до масштабного множителя можно отождествить с кинематически допустимым полем скоростей. Экстремум функционала находим по условию Эйлера-Лагранжа.
Для определения профиля скоростей в области сдвигового течения воспользуемся известным степенным реологическим уравнением (Гершеля-Балкли) нелинейного вязкопластического материала:
Т = То + МоГ Это уравнение можно записать в виде
(3)
йу
г= — = / К ^
йг
(4)
откуда
тогда
йУ = / (т(г ))йг,
У(г) = | / (Т(г ))йг + С-
(5)
(6)
В рассматриваемом случае
/ (г )■
— (Т~Т0)
ир
(7)
Для течения в круглой трубе из уравнения равновесия следует:
т = гАР /21 ,
(8)
тогда
/ К))
1 гАР ,
— (^Т-то) ир 21
(9)
С учетом (7), получим из уравнения (6) условие стационарности функционала (1), которое примет
вид:
1 гАР — ^—т) и 2
йг + С =
V 21 и р ,
п
п+1
п +1
АР
+ С.
(10)
о
1
п
п
п
При г = R постоянная интегрирования запишется:
C = V (Я)
п п ґ
п+1
п +1
R ^ 2Т0 I
АP
(11)
Не останавливаясь на простейшем случае течения картофельной мезги в условиях нулевой скорости на стенке (условие прилипания), рассмотрим более сложный вариант с учетом явления проскальзывания потока на стенке трубы обобщающего результаты работы [4].
Условие проскальзывания запишем в виде:
V т = V (г )г=я = (1 -Лах. (12)
0 <ф< 1 - коэффициент прилипания.
С учетом соотношения (12), уравнение (10) примет вид:
п+1
(1 “Л
2І п
ип АР
п +1
R
АР
■ — тп
+ N;
(13)
п+1
С = (1 — о)У
21 п
тах 1
ип АР
п +1
R
АР
Тп
Подставляя найденное значение «С» в (10), получим:
п+1
п+1
V (г) = —
2І п
ип АР
п +1
Я
АР
2І
2І п
ип АР
п +1
Я
АР
2І
(14)
+ (1 -^)Ушах;
(15)
п+1
У (Я0 ) = Vстержня = (1 - °)Уш
2І п
ип АР
п +1
Я
АР
тп
(16)
ТаК КаК Утак = Устержня , Т0
Тогда
V.
стержня
У (г):
21
п+1
1 21
п
О - п +1 г ипАР
Я-
АР
п
ип АР
п +1
( АР
п+1
XV
п+1
1 ( АР Л
О
Я-
21
• — ТЛ
(17)
(18)
Полный суммарный расход составит величину:
а = асд,+йсрж..
1
п
п
п
п
п
1
п
1
п
С 2
йсде = 2л] У (г)гйг = 2п—1
21
п
ип АР
п +1
АР
п+1 п+1
Л п 1 ( АР Л п
Р
Я-------------------Т0
21 0
гйг.
(20)
После преобразований получим:
О-сьв = 1— Ар
Пп
ип (п +1)
п+1
Я
АР
~Л
3п — 2рп +1 р(п +1)
2 п +1
АР
+ 2Т0І Я^Г-Т0
2п — рп +1 р(2п +1)
; (21)
Я Я 1 2І
О = 2п\У гйг = —2пї-------г-
стерж стерж 1
п+1
п
Яо Р
ип АР
п +1
Я
АР
2І
гйг
(22)
или
п+1
= 2 1
Остерж ПЯ0
Р
_т_
АР
1 п
Я
АР
и
тп
(23)
С учетом т0 = (21 / Б)т0, окончательное значение полного суммарного расхода приобретает следующий вид, позволяющий осуществлять гидродинамические расчеты существенно нелинейных вязкопластических материалов, а также конструктивные расчеты аппаратов:
О =
2Л_ Л АР
пп
рип (п +1)
(„ АР
3п+1
Х1Т
Я-
2т
2І
(
Я —
V 2І
2п+1
3п — 2рп +1 р(3п +1)
2п — рп +1 р(2п +1)
(
АР
Я
V 2І
п+1
XV
(24)
Я
Я
о
3
п
п
п
г
п
3
Литература
1. Артюшков, Л.С. Динамика неньютоновских жидкостей / Л.С. Артюшков. - Л.: Изд-во ЛКИ, 1979. - 228 с.
2. Гноевой, А.В. Основы теории Бингамовских сред / А.В. Гноевой, Д.М. Климов, В.М. Чесноков. - М.:
ФИЗМАТЛИТ, 2004. - 272 с.
3. Романков, П.Г. Гидромеханические процессы химической технологии / П.Г. Романков, М.Н. Курочкина. -Л.: ХИМИЯ, 1982. - 288 с.
4. Арет, В.А. Имитационная и инвариантная реометрия в процессах переработки пищевых масс:
дис. ... д-ра техн. наук / В.А. Арет. - Кемерово: КемТИПП, 1981.
5. Масолов, П.П. Вариационные методы теории течения жестко-вязко-пластичных суспензий / П.П. Масо-
лов, Е.Ш. Мясников. - М.: Изд-во МГУ, 1991. - 114 с.
