CC BY
21
Особенности течения вязкопластических нелинейных сред в круглых прямых трубах
В.А. АРЕТ, В.В. ПЕЛЕНКО, А.Г. КРЫСИН, Ф.В. ПЕЛЕНКО, Р.Г. ОЛЬШЕВСКИЙ
СПбГУНиПТ
General decision of task for laminar current of viscoplastic non-linear media in circular straight tubes with forming of central kernel into the flow and in the presence of slippage (absence of adherence to the wall) is given.
В работе 12 ] рассмотрен общий подход при выводе универсальных уравнений ламинарного движения для любых неньютоновских жидкостей. Однако уравнения течения в окончательном виде получены в одном случае для степенной неньютоновской жидкости без учета возможных пластических свойств, а в другом — для линейной вязкопластической среды (жидкости Шведова-Бингама). Задача, подобная последней, решена также в работе [3], в которой рассмотрены случаи течения бинга-мовских пластичных жидкостей, а также чисто вязких псевдопластичных и дилатантныхсред. Наиболее общий подход к решению подобной задачи реализован в работе 111, где использован фундаментальный принцип определения поля скоростей течения, основанный на вариационных методах. Полученные в 111 результаты относятся к течению обобщенной вязкопластичной степенной жидкости, охватывая все вышеперечисленные частные случаи, однако принятые автором |1| граничные условия носят частный характер и базируются на гипотезе прилипания.
Из общего принципа виртуальных работ для произвольной сплошной среды Мосолов и Мясников 14] получили функционал 7(1), задача поиска экстремума которой соответствует принципу виртуальных работ (точнее — мощностей) для голономных диссипативных сплошных сред:
./ = | <р(<?у) с/Г -1 рР ■ МУ -1 (5уЖ ; (1)
V V .$
где V — объем выделенной сплошной среды;
.V — площадь выделенного объема; р — плотность среды;
/ - внешние массовые силы;
(г— внешние поверхностные силы;
V— кинематически допустимые скорости;
ф(е,у) — диссипативный потенциал; e(j— тензор скоростей деформации;
УД.
ФЦ) = \D(Xey)-у-• D(ev)ovev, D> О,
(2)
— функция диссипации, 1) = О только когда все ву равны нулю, что соответствует движению среды как твердого тела; а,у — тензор напряжений.
Здесь были сделаны следующие достаточно естественные для многих задач реологии предположения:
V рассматривают медленные движения, что позволяет пренебречь инерционными силами;
V внешние кинематические связи полагают стационарными;
V тензор напряжений полагают симметричным;
V среда несжимаема (сйуб—= 0).
Тогда поле возможных перемещений с точностью до масштабного множителя можно отождествить с кинематически допустимым полем скоростей. Экстремум функционала находим по условию Эйлера — Лагранжа.
Настоящая работа посвящена постановке и решению в общем виде задачи ламинарного течения вязкопластических нелинейных сред в круглых прямых трубах с формированием в потоке центрального ядра и при наличии явления проскальзывания (несоблюдение условия прилипания на стенке).
Для определения профиля скоростей в области сдвигового течения воспользуемся известным степенным реологическим уравнением Гершеля-Балкли для нелинейного вязкопластического материала:
т = т0 + цру". (3)
Это уравнение можно записать в виде:
откуда
<*V=/(T(r))«/r,
тогда
VM =J/(T(r))c/jr + C В рассматриваемом случае
/(X)-
---(Т - t0)
И»
(4)
(5)
(6)
(7)
Для течения в круглой трубе из уравнения равновесия следует:
г Ар
21
тогда
AV)) =
(8)
(9)
ЦД 2/
С учетом (7), получим из уравнения (6) условие ста-
ционарности функционала (1), которое примет вид
1 ( г Ар
Лг + С--
Ар I" //
Г-1Ы I" +С; » + !1 ДР
(10)
при г = Л постоянная интегрирования запишется:
' п* 1
С = у(/0-
/ \ Ар
2/ц
V V
п +11. А/»
(П)
Не останавливаясь на простейшем случае течения картофельной мезги в условиях нулевой скорости на стенке (условие прилипания), рассмотрим более сложный вариант с учетом явления проскальзывания потока на стенке трубы, обобщающего результаты работы 11 ].
Условие проскальзывания запишем в виде
К(Л) = К(г)ил=(1-ф)Ктах, (12)
где ф - коэффициент прилипания, 0 < ф < 1.
С учетом соотношения (12) уравнение (10) примет вид
0=
2/
ц пАрп + 1
с = (\-<р)уя„-21
Ар
21
+ С;
п + 1{
(13)
(14)
ц1 ” Лр // + 11, 21
Подставляя найденное значение С в (10), получим:
„ „ 21 п ( Ар V
н,')=7>;гйГ гГт-1 21
\1 Ар « + 11, 21
У(К) = Кг,
:(1 -9)Уп„
(15)
Ар
21 °) 2/ после преобразований получим:
п/г.
2л* 1 Г 2и-<ри + 1~]|
1 21 °. [_ ЧК 2и + 1) Н
бс„р« = 2*] 1/сг'ГмгЛг =
= -2я}
1 21
или:
к (р пАр п + 1 П Ар)
21 1
<2^*=<-[-—Iх
х4__=_(я4р_т<
ц'^и + я 21 ‘
(20)
(21)
(22)
(23)
С учетом Д, = (2//Д/))т() окончательное значение полного суммарного расхода приобретает следующий вид, позволяющий осуществлять гидродинамические расчеты существенно нелинейных вязкопластических материалов, а также конструктивные расчеты аппаратов:
21
-х
[Ар] <рц "(и + 1)
Зл+1 .
Зп - 2(рп + 1
-К-
<р(Зя + 1)
21
ц1 "Ар п +1
тогда
к----------т0
21 0
стержня’
21
<р ц 1 " Д р п + 1
л *£-- тЛ 21 ”
2/
1 (г)= 17^
М "Ар п + 1
Ар г— - т. 21 0
т(
2/ с
2/ /7
•с» = 2/г1 ^(''М' =2я~—-----------------— х
Ц Др /7 +1
(16)
(17)
Полный суммарный расход составит величину:
О = (Лив + Сстерж-
* 2/_
^'"Ар
(18)
(19)
+2т„| й^-т«
2 л — (рп + I
<р(2п +1)
.Ар.
21
(24)
Список литературы
1. Л./1. Имитационная и инвариантная реометрия в процессах переработки пищевых масс: Дис... д-ра техн. наук. Кемерово: КемТИПП, 1981.
2. Артюшков Л.С. Динамика неньютоновских жидкостей. Л.: ЛКИ, 1979.
3. Гноевои А.В., Климов Д.М., Чесноков В.М. Основы теории бин-гамовских сред. М.: Физматлит, 2004.
4. Масолов П.П., Мясников В.П. Вариационные методы теории течения жестковязкопластичных суспензий. - М.: МГУ, 1991.
5. Ро.чанков П.Г., Курочкина М.Н. Гидромеханические процессы химической технологии. Л.: Химия, 1982.
