CC BY
24УДК 519.633+539.374
ТЕЧЕНИЯ ВЯЗКОПЛАСТИЧЕСКОЙ СРЕДЫ БИНГАМА-ИЛЬЮШИНА В СИММЕТРИЧНОМ КАНАЛЕ ПЕРЕМЕННОЙ ШИРИНЫ
Л. В. Муравлева1
Проведено численное моделирование течений вязкопластической несжимаемой среды в канале с периодически меняющимися стенками. Исследовано влияние предела текучести и амплитуды возмущения границы на расположение жестких зон.
Ключевые слова: вязкопластичность, среда Бингама-Ильюшина, вариационные неравенства, жесткие зоны.
Numerical simulation of viscoplastic incompressible medium flow in a channel with varying width was held. Influence of yield stress and amplitude perturbation of the uniform channel on distribution of rigid zones was investigated.
Key words: viscoplasticity, Bingham-Ilyushin medium, variational inequalities, rigid zones.
Вязкопластические [1] и вязкоупругопластические [2] среды обладают свойствами вязкости и пластичности одновременно. В случае, когда интенсивность напряжений ниже некоторого порогового значения, вязкопластическая среда Бингама-Ильюшина ведет себя как жесткое тело, в противном случае — как несжимаемая вязкая жидкость. Характерной особенностью данного класса задач является необходимость строить решения в областях с неизвестной границей. Наименее изучены течения вязкопластической среды в областях сложной геометрии [3], особенно с точки зрения топологии жестких зон. Большой интерес представляют течения в узких каналах переменной ширины, причем не только с теоретической, но и с практической точки зрения, поскольку они являются хорошим приближением к перистальтическому движению в каналах с деформируемыми стенками [4, 5].
Рассмотрим стационарное течение под действием перепада давления в плоском длинном канале, симметричном относительно оси Х2 = 0, с синусоидальными границами \x2\ = d + hcos(2nxi/l), где d — половина ширины канала; h — амплитуда; l — длина волны, определяющей границу. Запишем уравнения движения и определяющие соотношения:
(г = 2/iD(v)+<7el^r> |D(v)|/0; а = -pI + т, < \D(v)\ (1)
(\т\ < D(v) = 0,
div • т = Vp, V- v = 0, (2)
где v = (vi,v2) — скорость, p — давление, D(v) — тензор скоростей деформаций, т — девиатор тензора напряжений, ц — коэффициент вязкости, as — предел текучести, \D\ = 2 ■= Dj Dj1/2, I — единичный тензор. Система уравнений (1), (2) решается при условии прилипания среды к стенкам канала. Предполагая периодичность по xi, будем решать задачу на ячейке периодичности Q (0 ^ xi ^ l, \x2\ = d + hcos(2nxi/l)). Запишем граничные условия:
v(0,x2 )= v(l,x2 ); v = 0 при \x2\ = d + h cos(2nxi/l).
Воспользуемся эквивалентной вариационной постановкой [6]:
v = min J(u), J(u) = 2^y D(u) : D(u) dQ + osj\D(u)\dQ — AP J ui dQ, (3)
П П П
где Ub — подпространство (Hi(Q))2, состоящее из периодических по xi функций, удовлетворяющих условию несжимаемости и главным граничным условиям; p = po — xiAP + p)(xi, x2), po = const, AP — заданный постоянный перепад давления, p — периодическая по xi функция, D : D = ^^ j= DjDj.
1 Муравлева Лариса Викторовна — канд. физ.-мат. наук, доцент каф. механики композитов мех.-мат. ф-та МГУ. e-mail:
lvmurav@gmail.com.
Для решения нелинейной задачи (3) использовался алгоритм типа Узавы [7]. Подробное описание алгоритма, а также особенностей численной реализации содержится в [8]. Дискретизация по времени осуществляется по неявной схеме Эйлера, по пространственным координатам — по конечно-разностной схеме.
Наибольший интерес в задачах вязкопластичности (и наибольшую сложность при численном моделировании) представляет исследование формы, размеров и взаимного расположения жестких зон, в данной задаче — поведение области ядра течения в зависимости от формы изменения канала и внутренних параметров (как правило, рассматриваются два вида жестких зон: застойные зоны, в которых среда покоится, и ядра течения, в которых среда движется как твердое тело). Это связано с возможностью разрушения области ядра, т.е. с нарушением его сплошности.
В работах [9, 10] при условии й/1 ^ 1, Н/й ^ 1 проведен асимптотический анализ и показано, что возможны возникновение непрерывного ядра течения для значения Н меньше некоторого критического Нсгц и разрывность ядра для Н > Нсгц. Эти выводы были проверены численно для й/1 = 0,05, Н/й = 0,015 и й/1 = 0,1, Н/й = 0,02 [9]. Явление нарушения сплошности ядра течения было отмечено ранее [4, 5] в рамках теории тонкого слоя. Цель настоящей работы — численное исследование случая й/1 ~ 1 и больших значений Н/й. Моделирование данного течения (при фиксированных геометрических размерах) выявило три варианта возможного расположения жестких зон:
a) "прерывистое" ядро течения, "островки" которого расположены периодически в наиболее узких частях канала (здесь ядра шире) и наиболее широких (ядра уже);
b) расположенное вдоль оси канала ядро с волнообразной границей, разделяющей ядро и зону течения, при этом самым узким участкам канала соответствует самое широкое ядро: граница ядра находится в "противофазе" с границей канала;
с) расположенное вдоль оси канала ядро, форма которого аналогична второму случаю, и застойные зоны, примыкающие к стенкам канала в самой широкой части.
На рисунке представлены описанные выше три случая расположения жестких зон: а — ая = 0,1; Ь — 0,3; с — 0,4 (й/1 = 0,5, Н/й = 0,1 для всех значений а8). Ввиду симметричности указана только верхняя половина ячейки периодичности. Серый цвет соответствует жестким зонам, белый — области деформируемого течения. При малых а3 скорость ядра течения слегка меньше соответствующей скорости ядра в канале постоянной ширины, при больших а3 скорость ядра течения несколько больше, однако эти изменения незначительны. Отмеченные закономерности наблюдались и для больших значений амплитуды (Н/й = 0,15; 0,2). При малых амплитудах случай с не реализуется: застойные зоны отсутствуют.
Ранее данная задача решалась в приближении тонкого слоя [4, 10], при этом в середине канала существовало квазиядро, очертания границ которого повторяло контуры границ области: наиболее широкая часть ядра соответствовала максимальной ширине канала. С физической точки зрения квазиядро и ядро течения различаются: в квазиядре компонента В\2 тензора скоростей деформаций равна нулю, а Вц и ^22 отличны от нуля и являются малыми порядка 5. Поэтому квазиядро жесткой зоной не является, и определить границы физического ядра в приближении тонкого слоя нельзя. В точной постановке скорость частиц ядра не зависит от координат и является максимальной. В каждом из поперечных сечений канала профиль скорости среды "близок" к профилю скорости в канале постоянной ширины 2й: почти параболический в области течения (меняющийся от нуля на границе канала до ьтах на границе с ядром) и постоянный, равный ьтах в ядре. Для того чтобы расход был постоянным (в силу несжимаемости вязко-пластической среды), в самой узкой части канала должна быть максимальная ширина ядра (рисунок, Ь, с). Форма квазиядра противоречит этой закономерности. Данная задача демонстрирует, что применение теории тонкого слоя в случае криволинейной границы области может дать качественно неправильную форму жестких зон, в то время как численное решение задачи в точной постановке позволяет получить достоверную картину.
Работа частично поддержана грантом РФФИ № 11-01-00181.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Ильюшин А.А. Деформация вязкопластического тела // Уч. зап. МГУ. Механика. 1940. 39. 3-81.
2. Магомедов О.Б., Победря Б.Е. Некоторые задачи вязкоупругопластического течения // Упругость и неупругость. Вып. 4. М.: Изд-во МГУ, 1975. 152-169.
3. Муравлева Е.А., Муравлева Л.В. Нестационарные течения вязкопластической среды в каналах // Изв. РАН. Механ. твердого тела. 2009. № 5. 164-188.
4. Гноевой А.В., Климов Д.М, Чесноков В.М. Основы теории течений бингамовских сред. М.: Физматлит, 2004.
5. Вишняков В.И., Павлов К.Б., Романов А.С. Перистальтическое течение неньютоновской вязкопластичной жидкости в щелевом канале // Инж.-физ. журн. 1976. 31, № 3. 499-505.
6. Дюво Г., Лионс Ж.-Л. Неравенства в механике и физике. М.: Наука, 1980.
7. Гловински Р., Лионс Ж.-Л., Тремольер Р. Численное исследование вариационных неравенств. М.: Мир, 1979.
8. Muravleva L.V., Muravleva E.A. Uzawa-like algorithm on semi-staggered grids for unsteady Bingham medium flows // Rus. J. Numer. Anal. and Math. Modelling. 2009. 24, N 6. 543-563.
9. Frigaard I.A., Ryan D. Flow of a visco-plastic fluid in a channel of slowly varying width //J. Non-Newtonian Fluid Mech. 2004. 123. 67-83.
10. Putz A., Frigaard I.A., Martinez D.M. On the lubrication paradox and the use of regularisation methods for lubrication flows //J. Non-Newtonian Fluid Mech. 2009. 163. 62-77.
Поступила в редакцию 08.10.2010
УДК 539.3
АВТОМОДЕЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ О ГИДРАВЛИЧЕСКОМ РАЗРЫВЕ
ДВУХ СОМКНУТЫХ БАЛОК
А. В. Звягин1, А. Г. Геворкян2
В статье рассматривается задача разрыва несжимаемой вязкой жидкостью двух сомкнутых упругих балок. Изгибы балок описываются в рамках модели Кирхгофа-Лява. С помощью групповых методов ищутся автомодельные решения. Для разных краевых условий результаты численного решения системы дифференциальных уравнений, описывающих задачу, приводятся в виде графиков распределений давления в жидкости, скорости жидкости и расстояния между балками в области разрыва.
Ключевые слова: гидравлический разрыв, изгиб балки, модель Кирхгофа-Лява, автомодельное решение.
The fracture problem for two linked elastic beams by an incompressible viscous fluid is considered. The beam bending is described in the framework of the Kirchhoff-Love model. The self-similar solutions are sought by the batch methods. The numerical results obtained when solving the corresponding system of differential equations with various boundary conditions are graphically illustrated in the form of pressure and velocity distributions within the fluid and in the form of the distance between the beams in the fracture zone.
Key words: hydraulic fracture, beam bending, Kirchhoff-Love model, self-similar solution.
Введение. Рассматривается автомодельная задача гидравлического разрыва двух сомкнутых упругих балок (рис. 1). Балки могут свободно изгибаться и рассматриваются в рамках модели Кирхгофа-Лява [1], т.е. имеют место следующие допущения:
поперечные нормальные сечения, плоские до деформаций, остаются плоскими и нормальными после деформаций;
осевая линия балки считается нерастяжимой;
1 Звягин Александр Васильевич — доктор физ.-мат. наук, проф. каф. газовой и волновой динамики мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: zvsasha@rambler.ru.
1 Геворкян Артак Гагикович — асп. каф. газовой и волновой динамики мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: artakius@yandex.ru.
