CC BY
7Автор приносит благодарность научному руководителю С. В. Шешенину. Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант № 07-01-92111).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Баренблатт Г.И., Ентов В.М., Рыжик В.М. Движение жидкостей и газов в пористых средах. М.: Недра, 1984.
2. Басниев К.С., Кочина И.Н., Максимов В.М. Подземная гидродинамика. М.: Недра, 1993.
3. Biot M.A. Theory of elasticity and consolidation for a porous anisotropic solid // Appl. Phys. 1955. 26, N 2. 182-185.
4. Киселев Ф.Б., Шешенин С.В. Разностная схема для задачи нестационарной фильтрации в слоистых грунтах // Изв. РАН. Механ. твердого тела. 1996. № 3. 129-139.
5. Gambolati G. Numerical models in land subsidence control // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. 1975. N 5. 227-237.
6. Победря Б. Е. Численные методы в теории упругости и пластичности. М.: Изд-во МГУ, 1995.
7. Калиткин Н. Н. Численные методы. М.: Наука, 1978.
Поступила в редакцию 19.06.2009
УДК 519.633+539.374
ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ РАЗГОНА И ОСТАНОВКИ ТЕЧЕНИЯ ВЯЗКОПЛАСТИЧЕСКОЙ СРЕДЫ БИНГАМА-ИЛЬЮШИНА МЕЖДУ СООСНЫМИ ЦИЛИНДРАМИ
Л. В. Муравлева1, Е. А. Муравлева2
Рассматривается задача о течении вязкопластической среды Бингама-Ильюшина в кольцевом зазоре между вращающимися цилиндрами (круговое течение Куэтта). Проведено численное моделирование процессов установления и остановки течения.
Ключевые слова: вязкопластичность, среда Бингама-Ильюшина, нестационарные течения, вариационные неравенства, течение Куэтта.
We consider flow of viscoplastic Bingham-Il'yushin medium in annulus between rotating coaxial cylinders. Start-up and stopping problems have been modelled numerically.
Key words: viscoplasticity, Bingham-Ilyushin medium, unsteady flows, variational inequalities, Couette flow.
Существует широкий круг материалов, для исследования которых необходимо учитывать свойства вязкости и пластичности одновременно. Такие материалы описываются, в частности, моделями вязкопла-стичности [1], вязкоупругопластичности [2], моделями пористых сред в случае протекания вязкопластической жидкости [3]. Решение нестационарных задач для вязкопластической среды представляет большой интерес даже в одномерном случае. Подробный обзор таких работ содержится в [4]. Среди недавних публикаций (после 2005 г.) отметим работы, посвященные задачам об остановке течения Пуазейля (плоского и осесимметричного) [5, 6], плоского течения Куэтта [5, 7], а также течения в каналах различного поперечного сечения [8, 9]. В работах [10, 11] проведено численное моделирование нестационарного течения в ротационном и крутильном вискозиметрах. Таким образом, моделирование одного режима любой из перечисленных одномерных задач является темой отдельной публикации в ведущих отечественных и международных журналах.
Задача Куэтта-Тэйлора, т.е. задача о стационарном течении вязкопластической среды между со-осными цилиндрами, вращающимися с разными угловыми скоростями, имеет аналитическое решение, построенное Рейнером и Ривлиным [4]. Будем считать, что внешний цилиндр (r = b) вращается с постоянной угловой скоростью, а внутренний цилиндр (r = a) удерживается в покое крутящим моментом M.
1 Муравлева Лариса Викторовна, — канд. физ.-мат. наук, доцент каф. механики композитов мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: lvmurav@gmail.com.
2 Муравлева Екатерина Анатольевна — асп. Ин-та вычислительной математики РАН, e-mail: catmurav@gmail.com.
В цилиндрической системе координат поле скорости имеет одну компоненту Уф(т) = v. У тензора скоростей деформаций отлична от нуля только одна компонента v^. Ее удобно выразить через угловую скорость w(r) = v/r: игф = 1/2r(dw/dr). Определяющие соотношения вязкопластической среды Бингама-Ильюшина в этом случае запишутся следующим образом:
dw dw
<7гф = ßT — + Ts—-
dr dr /
\&тф\ ^ Ts,
dw
dr
dw
dr dw
= 0;
(l)
дг
где ц — вязкость, т3 — предел текучести. Уравнения движения приводятся к виду
_ дагф 2агф д^ дг г ду
Рассмотрим сначала стационарный случай, тогда — = 0, следовательно, агф = С/г2. Обозначим через М момент напряжений агф, распределенный по окружности радиуса г:
2п
M = j rarQ dQ = 2nC,
откуда
ММ С = ^ агф = (2)
Момент М не зависит от г, он равен моменту, который следует приложить к внутреннему цилиндру, чтобы цилиндр оставался в покое. Используя (1), (2), а также граничное условие w(a) = 0, получим
4п^\а2 г2) ц а
w(r) = — ( — -з ) "-ln- (3)
В зависимости от величины М возможны два случая.
1. При М ^ 2Ъ2пт3 во всем слое вязкопластической среды а ^ г ^ Ъ имеется течение, скорость задается соотношением (3), а величина М находится из условия у\г_ь = Wb • Ъ, т.е. определяется соотношением
Ь] М ( 1 1 ^ ь Ь 4тт^\а2 Ъ2 ) /л а'
2. При условии М < 2Ъ2пт3 имеются слой го ^ г ^ Ъ, который вращается вместе с внешним цилиндром со скоростью Wb, и слой а ^ г ^ го, в котором осуществляется пластическое течение со скоростью, задаваемой (3), причем величина го определяется соотношением г2 = М/(2пт3), а величина момента М — соотношением
М ( 1 1 \ тв го
и)Ь = -- -о - -2--1п ■ •
4п^\а2 г0/ ц а
Условия осуществления различных режимов течения, выраженные выше через момент М, могут быть сформулированы также в виде условий, наложенных на скорость вращения внешнего цилиндра.
Сложность численного описания нестационарных течений вязкопластической среды состоит в том, что области течения и области жестких зон следует определять на каждом шаге, так как граница, разделяющая их, заранее не известна и изменяется во времени до наступления стационарного режима. К успешным подходам, позволяющим моделировать нестационарные режимы вязкопластической среды, можно отнести методы, основанные на использовании вариационных неравенств. При решении нестационарных задач для дискретизации по времени применялась неявная схема Эйлера, по пространственным координатам — конечно-разностная схема. Пространственные производные аппроксимировались центральными разностями. Для решения нелинейной задачи на каждом шаге по времени использовался алгоритм типа Узавы (в литературе он часто называется ALG2 [12]). Алгоритм и детали его реализации подробно описаны в [13]. Он является одним из вариантов метода расщепления по физическим переменным. Расчеты проводились при временном шаге = 10_5 и шаге по пространственной координате Н = 1/200.
Рассмотрим сначала задачу о разгоне вязкопластической среды. В начальный момент времени среда вместе с цилиндром находится в состоянии покоя, при t = 0 внешний цилиндр толчком приобретает скорость Wb (v(r, 0) = 0, v(a, t) = 0, v(b, t) = Wb • b, t > 0). Рис. 1 иллюстрирует эволюцию профилей скорости течения вдоль радиуса (0,1 ^ r ^ 1), Ts = 0,6, ц = 1, р = 1. В начале движения пластическое течение среды имеет место в области, примыкающей к внешнему цилиндру Г2 ^ r ^ 1, и в тонком слое 0,1 ^ r ^ ri, примыкающем к внутреннему цилиндру. Между ними жесткая зона — ядро течения, которое движется как твердое тело. Скорость в жесткой зоне небольшая (график скорости 1 в жесткой зоне почти сливается с осью абсцисс), затем в области r2 ^ r ^ 1 скорость стремительно увеличивается до величины Wb. Далее происходит рост зоны течения, примыкающей к внутреннему цилиндру, увеличение скорости для всех значений r и уменьшение размеров жесткой зоны — "рассасывание" жесткой зоны. Этому периоду отвечают кривые 1-3 (кривая 1 соответствует t = 0,005; 2 — 0,01; 3 — 0,015). Кривые 4-7 отвечают постепенному росту скорости во всей области, занятой средой, жестких зон нет (кривая 4 соответствует t = 0,025; 5 — 0,05; 6 — 0,075; 7 — 0,1). После этого начинает формироваться новая жесткая зона рядом с внешним цилиндром. Среда "налипает" на внешнюю границу. При t = 0,25 (кривая 8) жесткая зона больше 0,1, при t = 0,3 течение фактически выходит на стационарный режим, профиль скорости (кривая 9) совпадает с профилем стационарного течения. Рис. 1 соответствует установлению стационарного течения при M < 2b2птs, когда присутствуют как жесткая зона, так и область деформируемой среды. Случай M > 2b2nTs проще, режим установления стационарного течения проходит по похожему сценарию: в начале течения есть две деформируемые области рядом с цилиндрами и ядро течения между ними, которое постепенно рассасывается, а новых жестких зон не образуется. Формат краткого сообщения не позволяет привести соответствующий график.
Второй режим течения, наиболее интересный, — это остановка течения Куэтта. При t ^ 0 течение стационарное, соответствующее v\r=a = 0, v\r=b = bwb; при t > 0 внешний цилиндр останавливается (v(a,t) = 0, v(b,t) =0, t > 0). Хорошо известно, что остановка течения вязкопластической среды, в отличие от вязкой жидкости, при снятии внешней нагрузки происходит за конечное время. Это было численно подтверждено в работах [5, 6] для осесимметричного течения Пуазейля, в [5, 7] —для плоского течения Куэтта между пластинами. Нестационарные течения Пуазейля (в том числе и остановка) для каналов с поперечными сечениями различной формы численно моделировались в [8, 9]. В [9] было обнаружено появление застойных зон, охватывающих весь контур границы для круглого, кольцевого (внешняя граница) и квадратного поперечных сечений. Рис. 2 иллюстрирует эволюцию профилей скорости течения вдоль радиуса (0,1 ^ r ^ 1) при затухании течения (параметры среды те же). В стационарном случае (кривая 1 соответствует t = 0) жесткая зона примыкает к внешнему цилиндру. Профили скорости рядом с внутренним цилиндром (кривая 2 соответствует t = 0,001; 3 — 0,01; 4 — 0,02) практически не изменяются, в то время как скорость рядом с внешним цилиндром убывает очень быстро. Размеры ядра уменьшаются, и оно смещается к внутреннему цилиндру. На следующих временных шагах (кривая 5 соответствует t = 0,04; 6 — 0,06; 7 — 0,08) скорость во всем кольцевом зазоре постепенно уменьшается, ядро течения продолжает смещаться влево, профили скорости становятся все более асимметричными. На следующем этапе (кривая 8 соответствует t = 0,1; 9 — 0,15) скорость снижается, размер ядра увеличивается. Кроме того, начиная с момента t = 0,2283 незадолго до остановки tstop = 0,23374 рядом с внешним цилиндром появляется застойная зона, растущая в последующие моменты времени. При t = 0,2283 максимальная скорость (скорость ядра течения) равна 0,02335. Данный профиль не приводится на рисунке, так как в масштабе графика он сливается с осью абсцисс. Непосредственно перед остановкой застойная зона занимает 14 % кольцевого зазора. В случае M > 2b2nTs при стационарном течении вся область занята деформируемой средой. При мгновенной остановке внешнего цилиндра сразу появляется жесткое ядро внутри течения, которое посте-
0,5 Рис.
0,5 Рис. 2
пенно увеличивается в размерах. Дальнейшее затухание течения происходит аналогично рассмотренному случаю. Отметим, что исследуемые течения моделируют, в частности, начало и окончание работы ротационного вискозиметра Воларовича, который используется для измерения коэффициента вязкости ц и предела текучести Ts вязких и вязкопластических сред [4, 10].
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (гранты № 08-01-00353a, 09-01-00565a).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Ильюшин А.А. Деформация вязкопластического тела // Уч. зап. МГУ. Механика. 1940. Вып. 39.
2. Магомедов О.Б., Победря Б.Е. Некоторые задачи вязкоупругопластического течения // Упругость и неупругость. Вып. 4. Изд-во МГУ, 1975. 152-169.
3. Гольдштейн Р.В., Ентов В.М. Качественные методы в механике сплошных сред. М.: Наука, 1989.
4. Гноевой А.В., Климов Д.М., Чесноков В.М. Основы теории течений бингамовских сред. М.: Физматлит, 2004.
5. C'hatzimina M, Georgiou G, Argyropaidas I., Mitsoulis E, Huilgol R.R. Cessation of Couette and Poiseuille flows of a Bingham plastic and finite stopping times //J. Non-Newtonian Fluid Mech. 2005. 129. 117-127.
6. C'hatzimina M, Xenophontos Ch, Georgiou G, Argyropaidas I., Mitsoulis E. Cessation of annular Poiseuille flows of Bingham plastics //J. Non-Newtonian Fluid Mech. 2007. 142. 135-142.
7. Zhu H, De Kee D. A numerical study of Couette flow of non-Newtonian fluids with a yield stress //J. Non-Newtonian Fluid Mech. 2007. 143. 64-70.
8. Муравлева Е.А. Задача об остановке течения вязкопластической среды в канале // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2009. № 1. 68-71.
9. Муравлева Е.А., Муравлева Л.В. Нестационарные течения вязкопластической среды в канале // Изв. РАН. Механ. твердого тела. 2009. № 5. 164-188.
10. Бескачко В.П., Головня О.А., Коренченко А.Е. Численная модель нестационарного течения вязкопластической жидкости в ротационном вискозиметре // Инж.-физ. журн. 2007. № 1. 12-14.
11. Коренченко А.Е., Бескачко В.П., Головня О.А. Возможность идентификации вязкопластических свойств жидкостей в экспериментах с крутильным вискозиметром // Прикл. матем. и техн. физ. 2006. 47, № 6. 59-63.
12. Fortin M, Glowinski R. Augmented Lagrangian Methods: Applications to the Numerical Solution of Boundary-Value Problems. Amsterdam: North-Holland, 1983.
13. Муравлева Е.А. Разностные схемы для расчета течений вязкопластической среды в канале // Матем. моделирование. 2008. 20, № 11. 76-88.
Поступила в редакцию 27.02.2009
УДК 532.5.031
О ВОЗМОЖНОСТИ МОДЕЛИРОВАНИЯ ПОПЕРЕЧНЫХ АВТОКОЛЕБАНИЙ СВОБОДНОГО КРУГОВОГО ЦИЛИНДРА, СИЛЬНО ЗАГРОМОЖДАЮЩЕГО
ПОТОК В ПЛОСКОМ КАНАЛЕ
А. А. Харламов1
В работе сделана попытка моделирования наблюдаемых в экспериментах автоколебаний цилиндра, сильно загромождающего поток в плоском канале. Присоединенные массы цилиндра рассчитываются в рамках идеальной жидкости с помощью обобщенного метода изображений. Для описания автоколебаний в реальной жидкости введены диссипативные факторы и импульсивная сила ударного характера, действующая на цилиндр.
Ключевые слова: цилиндр, канал, присоединенная масса, поток, автоколебания.
The experimentally observed self-oscillations of a cylinder mounted with a narrow gap in a plane channel are simulated. The added masses of the cylinder are calculated in the framework of ideal fluid theory by a generalized image method. In order to describe the self-oscillations in
1 Харламов Александр Андреевич — асп. каф. гидромеханики мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: kharlamov@ih.cas.cz.
