CC BY
6пенно увеличивается в размерах. Дальнейшее затухание течения происходит аналогично рассмотренному случаю. Отметим, что исследуемые течения моделируют, в частности, начало и окончание работы ротационного вискозиметра Воларовича, который используется для измерения коэффициента вязкости ц и предела текучести Ts вязких и вязкопластических сред [4, 10].
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (гранты № 08-01-00353a, 09-01-00565a).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Ильюшин А.А. Деформация вязкопластического тела // Уч. зап. МГУ. Механика. 1940. Вып. 39.
2. Магомедов О.Б., Победря Б.Е. Некоторые задачи вязкоупругопластического течения // Упругость и неупругость. Вып. 4. Изд-во МГУ, 1975. 152-169.
3. Гольдштейн Р.В., Ентов В.М. Качественные методы в механике сплошных сред. М.: Наука, 1989.
4. Гноевой А.В., Климов Д.М., Чесноков В.М. Основы теории течений бингамовских сред. М.: Физматлит, 2004.
5. C'hatzimina M, Georgiou G, Argyropaidas I., Mitsoulis E, Huilgol R.R. Cessation of Couette and Poiseuille flows of a Bingham plastic and finite stopping times //J. Non-Newtonian Fluid Mech. 2005. 129. 117-127.
6. C'hatzimina M, Xenophontos Ch, Georgiou G, Argyropaidas I., Mitsoulis E. Cessation of annular Poiseuille flows of Bingham plastics //J. Non-Newtonian Fluid Mech. 2007. 142. 135-142.
7. Zhu H, De Kee D. A numerical study of Couette flow of non-Newtonian fluids with a yield stress //J. Non-Newtonian Fluid Mech. 2007. 143. 64-70.
8. Муравлева Е.А. Задача об остановке течения вязкопластической среды в канале // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2009. № 1. 68-71.
9. Муравлева Е.А., Муравлева Л.В. Нестационарные течения вязкопластической среды в канале // Изв. РАН. Механ. твердого тела. 2009. № 5. 164-188.
10. Бескачко В.П., Головня О.А., Коренченко А.Е. Численная модель нестационарного течения вязкопластической жидкости в ротационном вискозиметре // Инж.-физ. журн. 2007. № 1. 12-14.
11. Коренченко А.Е., Бескачко В.П., Головня О.А. Возможность идентификации вязкопластических свойств жидкостей в экспериментах с крутильным вискозиметром // Прикл. матем. и техн. физ. 2006. 47, № 6. 59-63.
12. Fortin M, Glowinski R. Augmented Lagrangian Methods: Applications to the Numerical Solution of Boundary-Value Problems. Amsterdam: North-Holland, 1983.
13. Муравлева Е.А. Разностные схемы для расчета течений вязкопластической среды в канале // Матем. моделирование. 2008. 20, № 11. 76-88.
Поступила в редакцию 27.02.2009
УДК 532.5.031
О ВОЗМОЖНОСТИ МОДЕЛИРОВАНИЯ ПОПЕРЕЧНЫХ АВТОКОЛЕБАНИЙ СВОБОДНОГО КРУГОВОГО ЦИЛИНДРА, СИЛЬНО ЗАГРОМОЖДАЮЩЕГО
ПОТОК В ПЛОСКОМ КАНАЛЕ
А. А. Харламов1
В работе сделана попытка моделирования наблюдаемых в экспериментах автоколебаний цилиндра, сильно загромождающего поток в плоском канале. Присоединенные массы цилиндра рассчитываются в рамках идеальной жидкости с помощью обобщенного метода изображений. Для описания автоколебаний в реальной жидкости введены диссипативные факторы и импульсивная сила ударного характера, действующая на цилиндр.
Ключевые слова: цилиндр, канал, присоединенная масса, поток, автоколебания.
The experimentally observed self-oscillations of a cylinder mounted with a narrow gap in a plane channel are simulated. The added masses of the cylinder are calculated in the framework of ideal fluid theory by a generalized image method. In order to describe the self-oscillations in
1 Харламов Александр Андреевич — асп. каф. гидромеханики мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: kharlamov@ih.cas.cz.
a real fluid, some dissipative factors and an impulsive impact force exerted on the cylinder are introduced.
Key words: cylinder, channel, added mass, flow, self-oscillations.
1. В НИИ механики МГУ были проведены эксперименты по изучению поперечных автоколебаний тел, сильно загромождающих поток жидкости в каналах [1]. Исследование поведения и нестационарного обтекания размещенных в трубопроводах тел плохообтекаемой формы, существенно загромождающих поток и обладающих возможностью свободного перемещения только в поперечном к натекающему потоку направлении, является сложной, малоизученной и представляющей значительный научный и практический интерес гидродинамической проблемой.
В [1] описаны результаты экспериментального исследования обтекания в плоском канале прямоугольного поперечного сечения цилиндров, сильно загромождающих поток и обладающих возможностью свободного перемещения в поперечном к потоку направлении. Опыты проводились в диапазонах чисел Рей-нольдса (по диаметру цилиндра D) 1,7 • 104 ^ Re ^ 7,2 • 104 при значениях относительного зазора ö/D между цилиндром и стенкой канала 0,11 ^ ö/D ^ 0,31 и отношениях плотности цилиндров и воды 1,29 ^ p/pf ^ 8,2. В результате многочисленных опытов с обтеканием водой цилиндров различного размера, выполненных из различных материалов, было получено простое приближенное соотношение, связывающее безразмерную частоту автоколебаний (число Струхаля) с относительным зазором, отношением плотностей и числом Рейнольдса:
Sh = (ö/D)-1 (p/pf У0'1 (0,4 + 2100/Re). (1)
В [2] приведены результаты расчетного исследования поперечных автоколебаний кругового цилиндра, имеющего за собой отрывную изобарическую область и обладающего свободой перемещения в направлении, поперечном к потоку идеальной несжимаемой жидкости, при наличии ударного взаимодействия цилиндра с близко расположенными плоскими параллельными стенками канала. Для расчета скоростей и давлений на окружности цилиндра использовался приближенный метод "узких полос" Флюгеля-Лаврентьева, справедливый для течений в узких слабоискривленных каналах. Рассчитанное движение цилиндра может соответствовать как его периодическим свободным колебаниям между стенками, так и автоколебаниям. Механизм возбуждения автоколебаний и расчетная схема, реализующая этот механизм, были построены исходя из предположений о неупругом ударе цилиндра о стенки канала и о запаздывании по времени смещения точек отрыва потока от цилиндра с учетом полуэмпирических зависимостей для восстановления давления на поверхности цилиндра после узкого сечения канала. Указано, что для возбуждения автоколебаний необходимо создать несимметричную относительно начального положения силу, действующую в фазе со скоростью цилиндра. Такая сила может появиться вследствие разности давлений на передней по движению стороне цилиндра и на противоположной ему стороне. Моделирование этой силы было осуществлено при несимметричном расположении точек отрыва, где постоянная времени запаздывания определялась путем сопоставления экспериментальных данных с расчетными.
2. В настоящей работе сделана попытка смоделировать указанные колебания цилиндра в рамках модели безотрывного течения идеальной несжимаемой жидкости. Для расчета присоединенных масс цилиндра, произвольно двигающегося в идеальной жидкости между двумя параллельными стенками, используется обобщение метода изображений [3]. Движение цилиндра в безграничной идеальной жидкости моделируется диполем, расположенным в центре цилиндра и имеющим ось, сонаправленную со скоростью движения цилиндра. Изображением диполя, обнуляющим нормальную составляющую скорости на поверхности цилиндра, не содержащего этот диполь, является диполь, расположенный внутри этого цилиндра и обладающий меньшей мощностью [3].
Движение цилиндра между двумя стенками эквивалентно движению бесконечного набора цилиндров, расположенных вдоль линии, проходящей через центр цилиндра и перпендикулярной к стенкам канала. Бесконечная последовательность цилиндров аппроксимируется конечным набором. Движение конечного набора цилиндров моделируется сходящейся последовательностью групп диполей. Первую группу составляют диполи, соответствующие дви- ^х - х * жению каждого цилиндра в безграничном объеме. Для построения каждой последующей группы в каждом цилиндре размеща- РИС. !. Схематическое построение
ется изображение всех дтая^ находящихся в других цилиндрах групп диполей для трех цилиндров и относящихся к предыдущей группе. Схематическое построение
CD,-CD... XD
групп диполей для движения трех цилиндров показано на рис. 1, в каждом ряду изображены одни и те же цилиндры, но различные группы диполей. При увеличении числа моделирующих цилиндров и числа групп диполей строится двойная последовательность, предел которой оценивается методом Шенк-са [4]. Вычисленные зависимости присоединенной массы цилиндра от безразмерных расстояний до стенок при движении параллельно и перпендикулярно стенкам аппроксимируются соответственно следующими функциями:
Ст1 = 1 + Р
(Ь - йгУ1 + (с - йг)
Р1
+ Р2
(Ь - (12)Р2 + (с - с12)
Р2
+
где
+ р3 (ЪП1с^ - 1) п + Р4 {Ъ - п2у2 (с - п2р ,
Р1 = 0,345, = 0,28, Р1 = -1,86, Рз = 2,2, щ = 130, п = -0,013, Р2 = 0,0094, ^ = 0,9517, р2 = -1,4, Р4 = 0,0107, П2 = 0,912, Г2 = -1,53,
(2) (3)
Ст2 = 1 + Р1
{Ъ-скУ1 + {с-(к)
Р1
+ Р2
(Ъ - (12у2 + {с - (12)
Р2
+
+ Р5
(ъ-81у1 (С-81Г-82
92
где
Р5 = -1,6, 81 = 0,996, д1 = 0,21, ¿2 = -1,23, д2 = -5,16.
(4)
(5)
Здесь Ь = 2Ъ/И и с = 2с/£> — безразмерные расстояния от центра цилиндра до стенок канала. При удалении одной из стенок на бесконечность задача превращается в задачу движения цилиндра возле одной стенки и формулы (2)—(5) аппроксимируют решение, полученное в [5].
3. Найденная выше информация о присоединенных массах позволила приближенно смоделировать процесс автоколебаний цилиндра между двумя стенками при сильном загромождении им потока реальной жидкости. Предполагалось, что в момент присоединения с конечной скоростью цилиндра к стенке на него дополнительно действует мгновенный ударный импульс сил давления, связанный с быстрой остановкой потока жидкости, текущей вдоль стенки (аналогия с гидроударом слабосжимаемой жидкости). Вследствие
этого "удара" цилиндр приобретает дополнительную начальную скорость У\ = —;-——, направлен-
р/р/ + Ст2
ную в сторону, противоположную стенке канала, здесь У0 — скорость набегающего потока. Уравнение движения цилиндра с учетом сил вязкого сопротивления и наличия присоединенных масс имеет вид
1 Л т-2 дСт1 . 2 9Ст2\ 2х2Са X
- + Ст2)х = -[ —- - X р/ ) 2 \ ох
дх ) ттИ |ж|'
Из сопоставления с экспериментальной формулой (1) для частоты автоколебаний цилиндра было найдено представленное на рис. 2 решение, соответствующее определенным значениям коэффициента сопротивления С^, коэффициента восстановления и коэффициента к. Как показывает сравнение результатов, приведенных на рис. 2, а и б, принятая схема определения частоты автоколебаний обеспечивает достаточно хорошее совпадение с экспериментом для более тяжелых тел и в меньшей степени — для более легких.
Рис. 2. Сравнение зависимости (1) (сплошные линии) и результатов расчета (кружочки) при р/р{ = 1,29, Ие = 1,5 • 104 (а) и при р/р{ = 8,2, Ие = 7,2 • 104 (б)
и
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Карликов В.П., Хомяков А.Н., Шоломович Г.И. Экспериментальное исследование поперечных автоколебаний круговых цилиндров, сильно загромождающих поток в плоском канале // Изв. РАН. Механ. жидкости и газа. 2005. № 5. 133-138.
2. Молодых О.В., Степанов Г.Ю. Расчет поперечных квазистационарных автоколебаний кругового цилиндра при отрывном обтекании несжимаемой жидкостью в плоском канале // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2004. № 3. 40-44.
3. Милн-Томсон Л.М. Теоретическая гидродинамика. 4-е изд. М.: Мир, 1964.
4. Shanks D. Nonlinear transformations of divergent and slowly convergent sequences //J. Math. Phys. 1955. 34. 1-42.
5. Мазур В.Ю. Движение кругового цилиндра вблизи вертикальной стенки // Изв. РАН. Механ. жидкости и газа. 1966. № 3. 75-79.
Поступила в редакцию 09.10.2009
