Течение жидкости в зазоре между однонаправленно вращающимися перфорированными дисками при отсутствии радиального градиента давления Текст научной статьи по специальности «Математика»

Процессы и аппараты химических и других производств. Химия

УДК 532.517.2

ТЕЧЕНИЕ ЖИДКОСТИ В ЗАЗОРЕ МЕЖДУ ОДНОНАПРАВЛЕННО

ВРАЩАЮЩИМИСЯ ПЕРФОРИРОВАННЫМИ ДИСКАМИ ПРИ ОТСУТСТВИИ РАДИАЛЬНОГО ГРАДИЕНТА ДАВЛЕНИЯ

А.А. Коптев1, В.М. Червяков2

Кафедры: «Техника и технологии машиностроительных производств» (1), «Теория машин, механизмов и детали машин» (2), ГОУ ВПО «ТГТУ»; postmaster@kma.tstu.ru

Представлена членом редколлегии профессором В.И. Коноваловым

Ключевые слова и фразы: безразмерные переменные; обыкновенные нелинейные дифференциальные уравнения; уравнения Навье-Стокса.

Аннотация: Рассмотрено решение уравнений Навье-Стокса в цилиндрической системе координат в случае перфорированных дисков, вращающихся с одинаковыми скоростями в одном направлении. Показана неоднозначность решений при радиальном градиенте давления, равном нулю. При решении использована подстановка замены переменных по уравнениям Т. Кармана.

Обозначения

А, В - постоянные интегрирования; а, Ь - постоянные в конце интервала интегрирования;

С - коэффициент давления; G - безразмерная окружная скорость; G', G"- производные окружной скорости; Н - безразмерная осевая скорость; Н' - безразмерная радиальная скорость; Н", H"' - производные осевой (радиальной) скорости;

P - безразмерное давление; P' - производная безразмерного давления; р - давление, Н/м2; г - радиальная координата, м;

Рассматриваем течение жидкости между двумя перфорированными дисками, вращающимися с равными угловыми скоростями ю (рис. 1). Диски погружены в жидкость. Объем жидкости, подаваемый через один диск, равен объему отсасываемой через другой диск. Считаем, что жидкость вязкая, несжимаемая, ньютоновская, движение в зазоре между дисками ламинарное, так как расстояние между

u - радиальная скорость, м/с; w - осевая скорость, м/с; г - осевая координата; z0 - расстояние между дисками, м;

8 - безразмерная осевая координата;

80 - безразмерное расстояние между дисками;

9 - окружная скорость, м/с;

р - плотность жидкости, кг/м3; V - кинематическая вязкость жидкости,

м2/с;

Ф - окружная координата, рад; ю - угловая скорость диска, с-1.

дисками мало 20 < 4 мм, стационарное. На рис. 1 показано расположение осей системы координат.

При данных условиях можно использовать уравнения Навье-Стокса в цилиндрической системе координат г, ф, 2 . В связи с осесиммитричностью задачи производные по окружной коор-д

динате — = 0 . Тогда уравнения На-

дф

вье-Стокса принимают вид

Я(Е оТ

H(0)

hz

0

R

Zo r

Рис. 1. Схема движения жидкости

du du S2 1 dp

u--+ w---=---— + v

dr dz r p dr

d 2u + 1 du u + dr2 r dr r2 dz2

d 2u

dS uS dS

u--1---+ w— = v

dr r dz

d2S 1 dS S d2w

dr2 r dr r2 dz2

dw dw

u--+ w—

dr dz

1 dp

p dz

+v

d2w 1 dw d2w

dr 2 r dr dz 2

(1)

и уравнение неразрывности

du u dw — ^ —+ — = 0.

dr r dz

(2)

Приведем систему дифференциальных уравнений (1) к безразмерному виду подстановкой, аналогичной подстановке Т. Кармана [1]:

и = ыгН '(е);

S = arü(e);

w = -2л/юу"H (e); 22

P = C ^ - 2p»vP(e),

(3)

где

ю

e = zj —;

eo = zod ~.

Таким образом, мы получаем систему обыкновенных дифференциальных уравнений

Н= С + (Н')2 - О2 - 2НН";

•в" = 2(Н'О - НО'); (4)

Р' = Н" + 2НН',

где штрихами обозначены производные по е. Уравнение неразрывности (2) удовлетворяется тождественно. Третье уравнение системы (4) можно проинтегрировать

Р - Р(0) = Н'+ н2,

где Р(0) - давление на поверхности диска при 8 = 0.

Граничные условия для решения системы уравнений (1):

и = 0, 9 = юг, V = Wo при г = 0; и = 0, 9 = юг, V = wo при г =

(5)

для решения системы уравнений (4):

Н' (0) = 0, G(o) = 1, Н = Н (0) при 8 = 0; Н '(80) = 0, G(80) = 1, Н (80) = Н (0) при 8 = 80.

Совместное численное решение первых двух уравнений системы (4) при гра-

др

диенте давления — = 0, или, что то же С = 0, привело к трем вариантам решения.

Причиной, что решение не единственное, является нелинейность системы дифференциальных уравнений (4).

В графическом изображении начальные параметры решений Н(0) = Н(80), А = Н"(0), В = G'(0), а = Н"(80), Ь = G'(80) имеют С-образную форму в функции от 80, иногда отклоняясь по виду. Для обозначения решений им даны названия:

- симметричное, когда функции безразмерных скоростей радиальной Н' (8) и окружной О(г) симметричны относительно срединной поверхности 80/2 ;

- асимметричные, асимметрия-1 и ассиметрия-2, когда функции безразмерных скоростей и их производные по 8 не имеют симметрии вообще.

Интервалы существования решений зависят от безразмерного расстояния

- симметрия 80 > 11,602487 ;

- асимметрия-1 80 > 8,720027 ;

- асимметрия-2 80 > 19,062782 .

Значения начальных параметров, полученных интегрированием системы дифференциальных уравнений, вследствие громоздкости массива данных опускаем из данной публикации.

Для иллюстрации приведены частные случаи решений. В каждом из трех функций начальных параметров: симметрия, асиметрия-1, асимметрия-2, встреча-

ются такие значения безразмерного расстояния между дисками 80 = 20 , когда

начальные параметры Н(0) = Н(80) становятся равными нулю, Н(0) = Н(80) = 0:

- симметрия 80 = 14,659446 ;

- асимметрия-1 80 = 18,647388 ;

- асимметрия-2 80 = 36,526140 .

Результаты решений представлены в табл. 1-3 и изображены графически на рис. 2-5. Функция безразмерного давления Р рассчитана по третьему уравнению системы (4)

дг

между дисками ео = zo

P - P(0) = H' + H2.

2

Решение при H(0) = Hfo) = 0, H' (0) = 0, G(0) = G(e„) = 1, Я'(ео) = 0, C = 0, £0 = 14,659446 (симметрия)

Е H H' H" G G' P - P0

0,0 0,000000 0,000000 0,503179 1,000000 - 0,601475 0,000000

0,2 0,008808 0,082189 0,326216 0,880888 -0,584521 0,082267

0,4 0,030805 0,133267 0,190952 0,767738 -0,544219 0,134216

0,6 0,060555 0,160895 0,090572 0,663956 -0,492438 0,164562

0,8 0,094023 0,171380 0,018465 0,571005 -0,436927 0,180220

1,0 0,128303 0,169765 -0,031354 0,489109 -0,382494 0,186227

1,2 0,161386 0,159977 -0,064057 0,417749 -0,331886 0,186022

1,4 0,191949 0,144995 -0,083943 0,356008 -0,286452 0,181839

1,6 0,219186 0,127022 -0,094479 0,302792 -0,246639 0,175064

1,8 0,242665 0,107643 -0,098390 0,256984 -0,212333 0,166529

2,0 0,262224 0,087967 -0,097761 0,217520 -0,183114 0,156729

2,2 0,277882 0,068737 -0,094157 0,183437 -0,158409 0,145955

2,4 0,289780 0,050426 -0,088721 0,153896 -0,137607 0,134399

2,6 0,298133 0,033315 -0,082272 0,128175 -0,120109 0,122198

2,8 0,303196 0,017546 -0,075381 0,105668 -0,105373 0,109474

3,0 0,305244 0,003166 -0,068434 0,085873 -0,092919 0,096340

3,2 0,304554 -0,009841 -0,061681 0,068376 -0,082340 0,082913

3,4 0,301396 -0,021530 -0,055276 0,052836 -0,073292 0,069310

3,6 0,296025 -0,031980 -0,049304 0,038976 -0,065493 0,055651

4,0 0,279582 -0,049534 -0,038787 0,015437 -0,052755 0,028632

4,4 0,256908 -0,063259 -0,030131 -0,003591 -0,042751 0,002743

4,8 0,229391 -0,073859 -0,023121 -0,019007 -0,034580 - 0,021238

5,2 0,198157 -0,081937 -0,017474 -0,031420 -0,027656 - 0,042671

5,6 0,164112 -0,087982 -0,012909 -0,041245 -0,021587 - 0,061049

6,0 0,127991 -0,092375 -0,009172 -0,048768 -0,016108 - 0,075930

6,4 0,090394 -0,095400 -0,006037 -0,054184 -0,011026 - 0,090394

6,8 0,051826 -0,097258 -0,003304 -0,057623 -0,006199 - 0,094572

7,2 0,012727 -0,098073 -0,000794 -0,059162 -0,001509 - 0,097911

Eö/2 0,000000 -0,099065 0,000000 -0,059828 0,000000 - 0,099065

7,6 - 0,026501 -0,097901 0,001662 -0,058835 0,003148 - 0,097198

8,0 - 0,065461 -0,096729 0,004230 -0,056634 0,007874 - 0,092444

8,4 - 0,103740 -0,094479 0,007083 -0,052512 0,012776 - 0,083717

8,8 - 0,140880 -0,091000 0,010406 -0,046373 0,017979 - 0,071153

9,2 - 0,176346 -0,086064 0,014407 -0,038068 0,023641 - 0,054966

9,6 - 0,209495 -0,079353 0,019321 -0,027371 0,029975 - 0,035465

10,0 - 0,239536 -0,070450 0,025414 -0,013959 0,037284 - 0,013072

10,4 - 0,265492 -0,058826 0,032972 0,002645 0,046019 0,011660

10,8 - 0,286150 -0,043841 0,042264 0,023135 0,056861 0,038041

11,2 - 0,300019 -0,024761 0,053453 0,048552 0,070855 0,065250

11,4 - 0,303861 -0,013449 0,059736 0,063566 0,079505 0,078882

11,6 - 0,305313 -0,000841 0,066398 0,080449 0,089596 0,092374

11,8 - 0,304107 0,013127 0,073309 0,099522 0,101452 0,105608

12,0 - 0,299969 0,028484 0,080250 0,121174 0,115464 0,118466

12,2 - 0,292622 0,045206 0,086880 0,145881 0,132086 0,130834

12,4 - 0,281803 0,063182 0,092690 0,174217 0,151846 0,142595

12,6 - 0,267281 0,082179 0,096942 0,206868 0,175327 0,153618

12,8 - 0,248890 0,101787 0,098597 0,244637 0,203141 0,163733

13,0 - 0,226569 0,121350 0,096228 0,288453 0,235882 0,172684

13,2 - 0,200418 0,139882 0,087915 0,339351 0,274028 0,180050

13,4 - 0,170778 0,155953 0,071134 0,398441 0,317807 0,185118

13,6 - 0,138332 0,167558 0,042652 0,466834 0,366969 0,186694

13,8 - 0,104233 0,171966 -0,001580 0,545521 0,420479 0,182831

14,0 - 0,070265 0,165551 -0,066471 0,635168 0,476063 0,170488

14,2 - 0,039044 0,143618 -0,157780 0,735816 0,529610 0,145142

14,4 - 0,014244 0,100248 -0,281962 0,846433 0,574351 0,100451

14,6 - 0,000855 0,028187 -0,445832 0,964281 0,599786 0,028188

Е0 0,000000 0,000000 -0,503179 1,000000 0,601475 0,000000

Решение при H(0) = Hfo) = 0, H' (0) = 0, G(0) = G(e„) = 1, Я'(ео) = 0, С = 0, £0 = 18,647388 (асимметрия-l)

Е H H' G H" G' P - P0

0,0 0,000000 0,000000 0,496297 1,000000 -0,688004 0,000000

0,2 0,008682 0,081029 0,322500 0,863558 -0,671387 0,081104

0,4 0,030420 0,132126 0,195572 0,732944 -0,632076 0,133051

0,6 0,060109 0,161816 0,107031 0,611468 -0,581505 0,165429

0,8 0,094179 0,176953 0,048739 0,500615 -0,526748 0,185822

1,0 0,130276 0,182836 0,013352 0,400766 -0,471971 0,199808

1,2 0,166961 0,183397 - 0,005449 0,311671 -0,419484 0,211273

1,4 0,203467 0,181413 - 0,012876 0,232739 0,370480 0,222811

1,6 0,239481 0,178727 - 0,013061 0,163209 -0,325517 0,236079

1,8 0,274987 0,176460 - 0,009145 0,102248 -0,284816 0,252078

2,0 0,310133 0,175189 - 0,003405 0,048996 -0,248422 0,271372

2,2 0,345143 0,175114 0,002603 0,002595 -0,216286 0,294238

2,4 0,380255 0,176182 0,007894 -0,037795 -0,188291 0,320776

2,8 0,451574 0,180852 0,014464 -0,103751 -0,143984 0,384771

3,2 0,525125 0,186958 0,015147 -0,154823 -0,113461 0,462717

3,6 0,601040 0,192332 0,011071 -0,195991 -0,093958 0,553581

4,0 0,678683 0,195404 0,003906 -0,231046 -0,082387 0,656015

4,8 0,834375 0,191354 - 0,014536 -0,292054 -0,071882 0,887536

5,6 0,980715 0,171886 - 0,034083 -0,347071 -0,065508 1,133688

6,4 1,105301 0,137112 - 0,052553 -0,395969 -0,055941 1,358802

7,2 1,196387 0,088475 - 0,068488 -0,435188 -0,041227 1,519817

8,0 1,243861 0,028629 - 0,080311 -0,460607 -0,021567 1,575818

8,8 1,240237 -0,038513 - 0,086487 -0,468658 0,001967 1,499675

9,6 1,181631 -0,107906 - 0,085761 -0,456847 0,027788 1,288346

10,0 1,131681 -0,141632 - 0,082537 -0,443097 0,040957 1,139069

10,8 0,993076 -0,203222 - 0,070104 -0,400000 0,066481 0,782977

11,6 0,810026 -0,251692 - 0,049792 -0,337505 0,089093 0,404450

12,4 0,595496 -0,280958 - 0,022255 -0,258776 0,106754 0,073557

13,2 0,367044 -0,285698 0,011273 -0,168430 0,117957 - 0,150977

14,0 0,146034 -0,261782 0,049062 -0,071870 0,122398 - 0,240456

14,4 0,045773 -0,238205 0,068881 -0,022831 0,122644 - 0,236110

14,8 - 0,043466 -0,206656 0,088855 0,026183 0,122436 - 0,204766

15,2 - 0,118492 -0,167168 0,108469 0,075221 0,123034 - 0,153127

15,6 - 0,176179 -0,120037 0,126888 0,124986 0,126487 - 0,088998

16,0 - 0,213599 -0,066013 0,142593 0,177207 0,135957 - 0,020389

16,2 - 0,223907 -0,036867 0,148607 0,205185 0,144316 0,013268

16,4 - 0,228278 -0,006699 0,152697 0,235156 0,156007 0,045412

16,6 - 0,226549 0,024033 0,154094 0,267863 0,171818 0,075358

16,8 - 0,218669 0,054691 0,151756 0,304213 0,192573 0,102507

17,0 - 0,204735 0,084394 0,144288 0,345275 0,219065 0,126311

17,2 - 0,185054 0,111943 0,129856 0,392265 0,251941 0,146188

17,4 - 0,160209 0,135716 0,106084 0,446500 0,291526 0,161382

17,6 - 0,131162 0,153554 0,069953 0,509308 0,337575 0,170758

17,8 - 0,099370 0,162625 0,017721 0,581887 0,388933 0,172500

18,0 - 0,066938 0,159270 - 0,055133 0,665071 0,443073 0,163750

18,2 - 0,036797 0,138847 - 0,153888 0,759008 0,495507 0,140201

18,4 - 0,012918 0,095596 - 0,284428 0,862687 0,539018 0,095763

18,6 - 0,000543 0,022545 - 0,452910 0,973303 0,562670 0,022546

Е0 0,000000 0,000000 - 0,499043 1,000000 0,563746 0,000000

Решение при Я(0) = Я(ео) = 0, Я' (0) = 0, G(0) = G(e0) = 1, Я'(ео) = 0, C = 0, £0 = 36,526140 (асимметрия-2)

8 H H' H" G G' P - P0

0,0 0,000000 0,000000 0,513257 1,000000 -0,603683 0,000000

0,2 0,009010 0,084210 0,336376 0,880470 -0,586343 0,084292

0,4 0,031615 0,137339 0,201312 0,767053 -0,544958 0,138339

0,6 0,062389 0,167064 0,101182 0,663282 -0,491501 0,170956

0,8 0,097304 0,179694 0,029308 0,570726 -0,433847 0,189162

1,0 0,133465 0,180265 - 0,020358 0,489689 -0,376941 0,198078

1,2 0,168868 0,172682 - 0,053027 0,419704 -0,323677 0,201199

1,4 0,202193 0,159897 - 0,073022 0,359874 -0,275553 0,200779

1,6 0,232627 0,144085 - 0,083817 0,309100 -0,233148 0,198200

1,8 0,259730 0,126802 - 0,088126 0,266232 -0,196466 0,194261

2,0 0,283322 0,109128 - 0,088020 0,230155 -0,165169 0,189399

2,4 0,320089 0,075229 - 0,080297 0,174369 -0,116620 0,177686

2,8 0,344060 0,045420 - 0,068470 0,134880 -0,082931 0,163797

3,2 0,357080 0,020490 - 0,056299 0,106607 -0,059909 0,147996

3,6 0,361074 0,000214 - 0,045343 0,085972 -0,044273 0,130589

4,0 0,357791 -0,016010 - 0,036060 0,070524 -0,033644 0,112005

4,8 0,335077 -0,038934 - 0,022201 0,049130 -0,021335 0,073342

5,6 0,297904 -0,052777 - 0,013023 0,034764 -0,015248 0,035970

6,4 0,252243 -0,060547 - 0,006780 0,024006 -0,011950 0,003080

7,2 0,202149 -0,064093 - 0,002310 0,015309 -0,009933 - 0,023229

8,0 0,150520 -0,064526 0,001088 0,007955 -0,008520 - 0,041870

8,8 0,099554 -0,062524 0,003834 0,001598 -0,007406 - 0,052613

9,6 0,051021 -0,058496 0,006187 -0,003937 -0,006452 - 0,055893

10,4 0,006436 -0,052682 0,008323 -0,008754 -0,005607 - 0,052641

11,2 - 0,032827 -0,045202 0,010373 -0,012936 -0,004866 - 0,044125

12,0 - 0,065451 -0,036079 0,012450 -0,016577 -0,004265 - 0,031795

12,8 - 0,090099 -0,025248 0,014658 -0,019817 -0,003879 - 0,017130

13,6 - 0,105353 -0,012563 0,017100 -0,022874 -0,003835 - 0,001464

14,4 - 0,109647 0,002198 0,019863 -0,026096 -0,004331 0,014221

15,2 - 0,101208 0,019314 0,022989 -0,030021 -0,005647 0,029558

16,0 - 0,078040 0,039063 0,026417 -0,035447 -0,008149 0,045154

16,8 - 0,037961 0,061597 0,029889 -0,043486 -0,012250 0,063038

17,6 0,021220 0,086753 0,032851 -0,055568 -0,018300 0,087203

18,4 0,101351 0,113785 0,034405 -0,073318 -0,026406 0,124058

19,2 0,203366 0,141120 0,033407 -0,098279 -0,036220 0,182478

20,0 0,326565 0,166259 0,028759 -0,131481 -0,046806 0,272904

20,8 0,467939 0,185984 0,019823 -0,172990 -0,056715 0,404950

21,6 0,621774 0,196855 0,006713 -0,221599 -0,064278 0,583459

22,0 0,700849 0,197991 - 0,001160 -0,247827 -0,066686 0,689180

22,4 0,779728 0,195838 - 0,009701 -0,274796 -0,067959 0,803815

22,8 0,857050 0,190167 - 0,018719 -0,302026 -0,067970 0,924701

23,2 0,931372 0,180827 - 0,028005 -0,328991 -0,066624 1,048282

23,6 1,001214 0,167756 - 0,037340 -0,355136 -0,063858 1,170185

H

0,3 0,2 0,1

- 0,1

- 0,2

- 0,3

- 0,4

1,3 1,2

1,0

0,8

0,6

0,4

1,2

0,8

0,4 0,2

К

8

a)

10

12

14 sc 16 s

И

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 s0 19

6)

H

,3

0

4 8 12 16 20 24 28 32 36s0 38

Рис. 2. Зависимость безразмерной осевой скорости Н от безразмерной осевой координаты е при С = 0, Н(0) = Н(ео) = 0, С(0) = С(ео) = 1:

а - £о = 14,659446 (симметрия); б - е0 = 18,647388 (асимметрия-1); в - е0 = 36,526140 (асимметрия-2)

0

0

2

4

6

2

0

s

0

6

0

Б

0,2

0,1

- 0,1

- 0,2

0 2

- 0,3

0 2

0,20 0,16

0,08

0

- 0,08 - 0,16

- 0,24

- 0,52

0

4

6 8

а)

8 10

6)

16 18 s0 19

8

12

24

28

32 36 S0 38

16 20

в)

Рис. 3. Зависимость безразмерной радиальной скорости Н' от безразмерной осевой координаты е при С = 0, Н(0) = Н(ео) = 0, С(0) = С(ео) = 1:

а - е0 = 14,659446 (симметрия); б - е0 = 18,647388 (асимметрия-1); в - е0 = 36,526140 (асимметрия-2)

0

s

G

0,8

0,4

0,2

- 0,4

G

1,0t

0,8 0,6 0,4

- 0,2

1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0

- 0,2

G

0

10

12

14 S015

a)

8 10

б)

12 14 16 18 s0 "19

8

16 20

в)

28 32 36 s0 38

Рис. 4. Зависимость окружной безразмерной скорости С от безразмерной осевой координаты г при С = 0, Н(0) = Н(г0) = 0, С(0) = С(г0) = 1:

а - £о = 14,659446 (симметрия); б - £0 = 18,647388 (асимметрия-1); в - £0 = 36,526140 (асимметрия-2)

6

0

s

2

4

6

8

2

0

s

0

2

4

6

s

Р

0,24 0,16 0,08 0 0,08

0,8 0,4 0

- 0 ,4

0,16 0,12 0,8 0,4 0

- 0 , 4

0 4

10

12 14 S0 16

а)

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 s0 20

6)

Р

8

12 16 20 24 28 32 36 8о 40

в)

Рис. 5. Зависимость безразмерного давления Р от безразмерной осевой координаты е при С = 0, Н(0) = Н(ео) = 0, С(0) = С(ео) = 1:

а - е0 = 14,659446 (симметрия); б - е0 = 18,647388 (асимметрия-1); в - е0 = 36,526140 (асимметрия-2)

s

6

s

s

На рис. 3, а; 4, а; 5, а видны симметричные относительно ординаты е0/2 картины функций безразмерных радиальной и окружной скоростей И' и О, а также безразмерного давления Р. Функции асимметричных решений имеют более сложный характер. Следует отметить, что окружная безразмерная скорость О на отдельных интервалах осевой безразмерной координаты е имеет отрицательное значение. Значит, жидкость в некоторых удалениях от поверхностей вращающихся дисков, в ядре течения, во всех трех случаях решений вращается в противоположном направлении. Априори это предположить было нельзя. Теоретические расчеты показывают, что это факт.

Радиальное течение в зазоре между дисками может быть названо радиальной циркуляцией. Из граничных условий рассматриваемой задачи следует, что объем жидкости, вытекающий в пограничных к поверхностям дисков слоях вследствие сил трения и, как результат, центробежных сил, равен объему подсоса к оси вращения в ядре течения между дисками.

Объем жидкости, вытекающий в радиальном направлении вблизи вращающегося диска радиуса Я,

(6)

* * 2 е I—

Qr = 2пЯ | ыё2 = 2пЯ |Я—И'Л—ае = 2пЯ2л/—VИтах, 0 0 —

* * % I —

где е - координата, е = ^ . —; и = 0; И = 0; И = Итах.

V V

Такое количество жидкости вытекает вблизи другого диска в случае сим-

метричного течения. Тогда суммарная циркуляция Qs, м3/с,

Qs = 4nR 24^V>Hmax. (7)

В случае решения асимметрия-1 величина суммарной циркуляции слагается из двух различных объемов вытекающей жидкости вблизи дисков. Суммарное значение циркуляции при этом

QS1 = 2nR 24^V(Hmax1 + Hmax2 ), (8)

* *

где Hmaxi, Hmax2 - абсолютные величины экстремумов при Si и S2, где функция H имеет нулевые значения.

Решение асимметрия-2 имеет два контура радиальной циркуляции согласно табл. 3 и рис. 3, в.

Значение циркуляции первого контура

Qr1 = 2nR 2 VraV(Hmax1 + H max2 ) (9)

Объемная радиальная циркуляция второго контура

Qr 2 = 2nR 24^(Hmax3 + Hmax4 ). (10)

Суммарная циркуляция в случае решения асимметрия-2

QS 2 = 2nR2 Vffl~V(H maxi + Hmax2 + Hmax3 + Hmax4 ). (11)

Из табл. 1-3 численно имеем: симметрия - Hmax = 0,305; асимметрия-1 -

H max1 = 1,240; Hmax 2 = 0,228; асимметрия-2 - Hmax1 = 0,361; H max 2 = 0,110;

Hmax3 = 1,247; H max 4 = 0,228

Окончательно из выражений (8), (9), (11) суммарные радиальные циркуляции равны:

- симметрия Qs = 3,833R2VraV;

- асимметрия-1 Qsi = 9,224R 2VraV;

- асимметрия-2 Qs 2 = 12,221R 2VraV.

В заключении отметим, что еще раз подтвердилась многозначность решений нелинейных уравнений Навье-Стокса. Найдены варианты течения жидкости в центробежных полях в отсутствии радиального градиента давления, что на первый взгляд нелогично, но такие течения при определенных параметрах существуют.

Список литературы

1. Karman, Th. Über laminare und turbulente Reibung / Th. Karman // ZAMM. -1921. - Vol. 1. - P. 233-252.

2. Cochran, W.G. The flow due to a rotating disk / W.G. Cochran // Proc. Cambr. Phil. Soc. - 1934. - Vol. 30. - P. 365-375.

3. Koptev, A.A. Die Flüssigkeitsströmung in den Zentrifugalfeldern unter der Wirkung der sich drehenden Scheiben. Problem von Th. Karman / A.A. Koptev // Вестн. Тамб. гос. техн. ун-та. - 1995. - Т. 1, № 1-2. - С. 65-74.

4. Koptev, A.A. Die Flüssigkeitsströmung in den Zentrifugalfeldern unter der Wirkung der sich drehenden Scheiben. Blick auf das Karmanproblem aus der Urendlichkeit / A.A. Koptev // Вестн. Тамб. гос. техн. ун-та. - 1996. - Т. 2, № 3. -С. 271-280.

5. Шлихтинг, Г. Теория пограничного слоя / Г. Шлихтинг ; пер. с нем. Г. А. Вольперта под ред. Л.Г. Лойцянского. - М. : Наука, 1969. - 742 c.

6. Коптев, А. А. Движение жидкости в центробежных полях. В 2 ч. Ч. 1. Течение жидкости вблизи вращающегося диска / А. А. Коптев. - М. : Машинострое-ние-1, 2005. - 240 c.

7. Коптев, А.А. Движение жидкости в центробежных полях. В 2 ч. Ч. 2. Течение жидкости в ограниченном пространстве вблизи вращающегося диска /

A.А. Коптев. - М. : Машиностроение-1, 2006. - 300 с.

8. Червяков, В.М. Определение энергозатрат в роторных аппаратах /

B.М. Червяков, А.А. Коптев // Хим. и нефтегазовое машиностроение. - 2005. -№ 4. - C. 10-12.

Fluid Flow through Gap between Unidirectional Rotating Disks under Lack of Radial Pressure Gradient

A.A. Koptev1, V.M. Chervyakov2

Departments: "Engineering Techniques and Technologies" (1), "Theory of Machines, Mechanisms and Machine Elements" (2), TSTU; postmaster@kma.tstu.ru

Key words and phrases: Navier-Stokes equations; numerical variables; ordinary non-linear differential equations.

Abstract: The paper studies the solution to Navier-Stokes equations in cylindrical coordinate system in case of perforated disks rotating at similar velocity in the same direction. Multiplicity of solutions when radial pressure gradient equals zero is shown. The substitution of variables in T. Karman equations is used in the solution.

Strömung der Flüssigkeit in dem Spalt zwischen den einseitig drehbaren Lochscheiben bei der Abwesenheit vom radialen Druckgradient

Zusammenfassung: Es wird die Lösung der Gleichungen von Nawye-Stocks im zylindrischen Koordinatensystem im Falle der mit den gleichen Geschwindigkeiten in einer Richtung drehenden Lochscheiben betrachtet. Es ist die Mehrdeutigkeit der Lösungen bei dem radialen Druckgradient, der Null gleich ist, gezeigt. Bei der Lösung wird die Permutation des Variablenersetzens nach den Gleichungen von T. Karman benutzt.

Ecoulement du liquide dans le jet entre les disques perforées tournant dans une direction lors de l'absence du gradient radial de la pression

Résumé: Est examinée la solution de l'équation de Navier-Stokes dans un système des coordonnées cylindrique dans le cas des disques perforées tournant dans une direction avec les mêmes vitesses. Est montré la non-unicité des solutions avec le gradient radial de la pression égal au zéro. Lors de la solution est utilisée la substitution de la commande biplanétaire du dispositif mêlant pour la solution du changement des variables d'après l'équation de T. Karman.

Авторы: Коптев Андрей Алексеевич - кандидат технических наук, профессор кафедры «Техника и технологии машиностроительных производств»; Червяков Виктор Михайлович - доктор технических наук, профессор кафедры «Теория машин, механизмов и детали машин», ГОУ ВПО «ТГТУ».

Рецензент: Ткачев Алексей Григорьевич - доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой «Техника и технологии машиностроительных производств», ГОУ ВПО «ТГТУ».