CC BY
23
Процессы и аппараты химических и других производств. Химия
УДК 532.517.2
ТЕЧЕНИЕ ЖИДКОСТИ В ЦЕНТРОБЕЖНЫХ ПОЛЯХ МНОГОКАМЕРНОГО ДИСКОВОГО АППАРАТА А.А. Коптев, В.Б. Коптева
Кафедра «Техника и технологии машиностроительных производств»,
ГОУВПО «ТГТУ»; [email protected]
Представлена членом редколлегии профессором В.И. Коноваловым
Ключевые слова и фразы: безразмерные переменные; многокамерные центробежные аппараты; уравнение Навье-Стокса.
Аннотация: Рассматривается решение уравнений Навье-Стокса движения жидкости в зазорах между дисками, вращающимися с различными угловыми скоростями. С помощью подстановки системы уравнений Т. Кармана уравнение Навье-Стокса приводится к безразмерному виду. Решение последних найдено численным интегрированием.
Обозначения
А, В - постоянные интегрирования; а, Ь - постоянные в конце интервала ин тегрирования;
С - коэффициент давления;
О - безразмерная окружная скорость;
О , О'' - производные окружной скорости; Н - безразмерная осевая скорость;
Н' - безразмерная радиальная скорость;
Н' , Н''' - производные осевой (радиальной) скорости;
Р - безразмерное давление;
Р ' - производная безразмерного давления;
р - давление, Н/м2; r - радиальная координата, м; и - радиальная скорость, м/с;
J - окружная скорость, м/с; w - осевая скорость, м/с; є - безразмерная осевая координата; zQQi - расстояние между дисками, м; єоі - безразмерное расстояние между дисками;
p - плотность жидкости, кг/м3; v - кинематическая вязкость, м2/с;
Ф - окружная координата, rad; ю - угловая скорость диска, с-1.
Рассмотрим течение жидкости в многокамерном аппарате, схематично изображенном на рис. 1. Верхний диск вращается с заданной угловой скоростью ю, нижний диск неподвижен. Скорости вращения средних дисков изменяются за счет сил окружного трения от 0 до ю. Полагаем, что внешний радиус дисков К значительно больше расстояния между ними К >> 20. Течение жидкости считаем установившимся и ламинарным вследствие малости г0.
Диски погружены в жидкость. Для начала полагаем, что расстояния между дисками одинаковые.
Рис. 1. Схема расположения дисков
Если принять значение безразмерной угловой скорости первого диска, расположенного вблизи неподвижного, равным единице, О = 1, то для последующего диска безразмерная угловая скорость О(е0) подлежит численному определению в зависимости от е0. Картина течения жидкости в зоне I нами рассмотрена в работе [6], остается определить закономерности течения жидкости во второй и последующих зонах.
Итак, найдем гидродинамическую обстановку в зоне II. Для установившегося движения ньютоновской несжимаемой жидкости используем уравнения Навье-Стокса в цилиндрической системе координат г, ф, г.
В связи с осесимметричностью задачи производные по окружной координате = 0 . Тогда уравнение Навье-Стокса принимает вид
и Ou + w Ou Or Oz r
1 op
= -—^- + v p or
и J+ J + w 0J = v or r oz
0 2 J +1 <0J —
or
2 r or
or
J + O2 w
2 2 r Oz _
Э 2u Oz 2 J
и + w = —1 ^P+v
or oz p or
or
2 r or
oz2
(1)
и уравнение неразрывности
Эи + и + Ow = о
Or
Oz
(2)
Приведем систему дифференциальных уравнений (1) к безразмерному виду подстановкой, аналогичной подстановке Т. Кармана [1],
r
и
r
и = югН' (е);
$= югО (е);
w = -2УюуН (е); (3)
2 2
р = с рш_г— 2рюуР(е), где е - безразмерная аксиальная координата,
е=^ • (4)
Таким образом, мы получаем систему обыкновенных дифференциальных уравнений:
Н"' = с + Н'2 - О2 - 2НН'';
О'' = 2(НО - НО'); (5)
Р = Н + 2 НН ,
где штрихами обозначены производные по е. Уравнение неразрывности (2) удовлетворяется тождественно.
Отметим, что при этом начало безразмерной осевой координаты е0 расположено на поверхности первого диска, и она направляется в сторону ведущего диска 6 (см. рис. 1). Следует отметить, поскольку первый диск и последующие находятся в состоянии динамического равновесия, это означает, что интегральный момент вязкого трения о него со стороны зоны II уравновешивается таковым со стороны зоны I, или
О = О2. (6)
Численные значения О^ со стороны зоны I мы можем взять в таблицах [6], а значит по (6) имеем О2 .
Для решения системы дифференциальных уравнений (5) в области II граничные условия будут: при г = 0 или е = 0:
w = 0; и = 0; $=0)^, (7)
на основании непроницаемости диска и прилипания жидкости к поверхности диска.
Тогда по уравнениям (3) получим при е = 0:
Н (0) = 0; Н '(0) = 0; О(0) = 1, (8)
О (0) найдем по уравнению (6).
Если обозначим Н''(0) = А , то искомым является коэффициент давления С и для численного определения коэффициентов А и С достаточно граничных условий при е = е0, а именно:
Н (е0) = 0, Н' (е0 ) = 0. (9)
Задача становится замкнутой.
Поскольку система дифференциальных уравнений (5) нелинейна, то возможно не единственное их решение на отдельных интервалах изменения безразмерного расстояния между дисками е0. В табл. 1, 2 представлены зна-
чения начальных параметров как функции безразмерного параметра Е0. До значения Е0 < 14,7264 существует одно решение (первое), при Е0 > 14,7264 нами найдены еще два решения (второе, третье) в добавление к первому, то есть при Е0 > 14,7264 имеем три решения.
Нас интересовало, в первую очередь, значение безразмерных окружных скоростей О(е0), то есть на поверхностях вращающихся дисков. Расчеты показывают, что значения G(Е0) изменяются незначительно.
Т аблица 1
Начальные параметры. Первое решение при Я(0) = 0, Я'(0) = 0, 6(0) = 1, Я(е0) = 0, Я'(е0) = 0
SQ H"(0) = A G'(0) = B C H"(sq) = a G'(sq) = b G(Sq)
1 2 3 4 5 6 7
0,2 -0,046666 5,000034 2,299989 -0,053334 5,000167 2,000000
0,4 -0,093317 2,500274 2,299824 -0,106661 2,501340 2,000000
0,6 -0,139876 1,667592 2,299113 -0,159959 1,671187 2,000000
0,8 -0,186146 1,252193 2,297205 -0,213162 1,260686 1,999996
1,0 -0,231754 1,004278 2,293214 -0,266138 1,020754 1,999977
1,2 -0,307756 0,914779 2,426661 -0,358368 0,949025 2,088487
1,4 -0,348092 0,778596 2,388184 -0,408292 0,830080 2,072842
1,6 -0,384797 0,680993 2,349652 -0,456422 0,753454 2,060087
1,8 -0,416586 0,608963 2,308332 -0,501715 0,705298 2,048537
2,0 -0,442335 0,555005 2,263227 -0,542911 0,676672 2,036985
2,2 -0,461348 0,514480 2,214856 -0,578669 0,661051 2,024566
2,4 -0,473588 0,484335 2,165014 -0,607827 0,653391 2,010806
2,6 -0,479759 0,462441 2,116325 -0,629733 0,649921 1,995724
2,8 -0,481177 0,447244 2,071608 -0,644445 0,648122 1,979839
3,0 -0,479467 0,437454 2,033256 -0,652723 0,646632 1,964030
3,2 -0,474798 0,430852 1,999815 -0,653335 0,642505 1,946516
3,4 -0,473136 0,430618 1,981166 -0,655690 0,643752 1,937162
3,6 -0,471870 0,432902 1,971104 -0,655038 0,644580 1,929717
3,8 -0,471679 0,437107 1,967621 -0,652786 0,645491 1,924740
4,0 -0,472902 0,442723 1,970266 -0,650028 0,646959 1,922528
4,2 -0,475608 0,449320 1,977896 -0,647779 0,649357 1,923143
4,4 -0,479681 0,452542 1,989322 -0,646680 0,652923 1,926454
4,6 -0,484895 0,464104 2,003432 -0,647160 0,657772 1,932198
4,8 -0,490971 0,471779 2,019248 -0,649425 0,663903 1,940017
5,0 -0,516563 0,479397 2,077319 -0,682427 0,701768 1,983917
5,2 -0,504614 0,486829 2,052945 -0,659250 0,679586 1,960260
5,4 -0,510753 0,493095 2,067649 -0,665020 0,687260 1,970152
5,6 -0,518703 0,500804 2,085930 -0,674792 0,698549 1,983932
5,8 -0,525495 0,507245 2,101367 -0,683940 0,708672 1,996136
6,0 -0,531978 0,513290 2,115896 -0,693559 0,718907 2,008192
6,2 -0,538090 0,518929 2,129443 -0,703331 0,729030 2,019862
6,4 -0,543794 0,524164 2,141989 -0,712792 0,738851 2,030966
6,6 -0,549078 0,529005 2,153550 -0,722280 0,748219 2,041381
6,8 -0,553941 0,533462 2,164154 -0,731057 0,757010 2,051018
7,0 -0,558393 0,537552 2,173851 -0,739197 0,765151 2,059840
7,2 -0,562450 0,541290 2,182685 -0,746627 0,772595 2,067836
7,4 -0,566133 0,544694 2,190709 -0,753322 0,779329 2,075024
7,6 -0,569462 0,547780 2,197970 -0,759284 0,785362 2,081437
7,8 -0,572455 0,550563 2,204509 -0,764541 0,790719 2,087120
8,0 -0,575131 0,553057 2,210365 -0,769132 0,795434 2,092120
8,2 -0,577508 0,555276 2,215575 -0,773109 0,799554 2,096491
8,4 -0,579597 0,557229 2,220160 -0,776517 0,803113 2,100275
Продолжение табл. 1
1 2 3 4 5 6 7
8,6 -0,581408 0,558924 2,224140 -0,779400 0,806148 2,103510
8,8 -0,582951 0,560369 2,227535 -0,781801 0,808694 2,106232
9,0 -0,584229 0,561566 2,230348 -0,783746 0,810771 2,108460
9,2 -0,585243 0,562516 2,232581 -0,785256 0,812394 2,110209
9,4 -0,585987 0,563214 2,234223 -0,786335 0,813565 2,111476
9,6 -0,586452 0,563650 2,235249 -0,786976 0,814272 2,112247
9,8 -0,586614 0,563803 2,235608 -0,787148 0,814810 2,112485
10,0 -0,586405 0,563608 2,235148 -0,786743 0,814077 2,112063
10,2 -0,585865 0,563104 2,233959 -0,785828 0,813130 2,111058
10,4 -0,584797 0,562106 2,231607 -0,784085 0,811309 2,109110
10,6 -0,583089 0,560510 2,227847 -0,781338 0,808425 2,106015
10,8 -0,580541 0,558128 2,222237 -0,777265 0,804142 2,101408
11,0 -0,576940 0,554761 2,214312 -0,771531 0,798110 2,094902
11,2 -0,572239 0,550365 2,203974 -0,764067 0,790257 2,086407
11,4 -0,566794 0,545270 2,192005 -0,755442 0,781182 2,076559
11,6 -0,561253 0,540084 2,179836 -0,746687 0,771973 2,066531
Т аблица 2
Начальные параметры. Второе решение при Я (0) = 0, Я'(0) = 0, G(0) = 1, Я(е0) = 0, Я'(£о) = 0
s0 H"(0) = A G'(0) = B C H"(sq) = a G'(sq) = b G(Sq)
16,0 -0,637693 0,611455 2,348535 -0,869380 0,901178 2,204229
15,8 -0,637729 0,611489 2,348616 -0,869440 0,901241 2,204294
15,6 -0,637591 0,611360 2,348309 -0,869214 0,901002 2,204046
15,4 -0,637310 0,611099 2,347687 -0,868757 0,900521 2,203544
15,2 -0,636913 0,610729 2,346806 -0,868111 0,899839 2,202833
15,0 -0,636394 0,610246 2,345656 -0,867267 0,898949 2,201905
14,8 -0,635657 0,609559 2,344020 -0,86 6067 0,897682 2,200584
14,8 -0,634485 0,608467 2,341420 -0,864159 0,895670 2,198484
15,0 -0,634164 0,608168 2,340709 -0,863636 0,895119 2,197909
15,2 -0,634034 0,608047 2,340420 -0,863424 0,894896 2,197676
15,4 -0,633976 0,607993 2,340292 -0,863330 0,894796 2,197572
15,6 -0,633957 0,607976 2,340251 -0,863299 0,894764 2,197539
15,8 -0,633965 0,607983 2,340268 -0,863312 0,894777 2,197552
16,0 -0,633991 0,608007 2,340325 -0,863353 0,894822 2,197599
Графически отдельные функции начальных параметров показаны на рис. 2-6.
Для практических расчетов удобно положить безразмерную окружную скорость ведущего диска G(s0) = 1 = ronst.
Пересчет величин (см. табл. 1, 2) осуществим следующим образом. Обозначим значение S = ^/G(£g) , тогда остальные функции должны быть:
12 s
а)
24 s
б)
Рис. 2. Зависимость безразмерной осевой скорости Н от безразмерной осевой координаты 8 при безразмерных зазорах между дисками г0 = 4 по зонам:
<2-1, II, III; 6 - IV, V, VI
6
а)
10
12 s
24 s
б)
Рис. 3. Зависимость безразмерной радиальной скорости Н' от безразмерной осевой координаты 8 при безразмерных зазорах между дисками 80 = 4 по зонам:
а-I, II, III; б-IV, V, VI
12 в
а)
Н"
0,2
0
-0,2
-0,4_
-0,6
-0,8
-1,0
-1,2
0
2
4
8
24 s
б)
Рис. 4. Зависимость производной Н'' по 8 от безразмерной осевой координаты 8
при безразмерных зазорах между дисками г0= 4 по зонам:
12 8
а)
G
5
4
3
12 14 16 18 20 22 24 е
б)
Рис. 5. Зависимость безразмерной окружной скорости С от безразмерной осевой координаты 8 при безразмерных зазорах между дисками 80 = 4 по зонам:
а - I, II, III; б - IV, V, VI
‘-—; •-I; ‘-£
к.—с,.^,.*
/. —1; |-23; „ - М.;
I 3 I 3
тт///
/г - Н
(10)
где точки означают производные по /, а штрихи - производные по е.
Покажем, как получены производные в (10). Возьмем, например, первое
—
выражение в (10), к - —, продифференцируем его по /
I
дк . / .3— Э— . —
Э/ 1Э/ 1108 12 Э. 12.
12 8
Рис. 6. Зависимость производной окружной скорости О' по в от безразмерной осевой координаты в при безразмерных зазорах между дисками в0 = 4 по зонам:
а - I, II, III; б - IV, V, VI
Остальные равенства (10) получаем аналогичным образом.
Подставив (10) в систему дифференциальных уравнений (5), получим
5 4 к = 5 4 С + 5 2 кБ 2 к - 5 4 g 2 - 2 Ж 3 к;
54£ = 2(б2кБ2g - БкБ3g) .
Разделив все члены уравнений (11) на 54 , окончательно получим:
к = С + к 2 - £ 2 - 2кк, £ = 2(% - к£) .
Уравнения (12) аналогичны уравнениям (5).
(11)
(12)
Для проверки описанного выше алгоритма и изменений параметров по камерам (зонам) мы провели численные расчеты многокамерной конструкции. Было принято, что расстояния между дисками одинаковые и в безразмерном виде е0 = 4, принимаем также для первого диска безразмерную окружную скорость О(е0) = 1.
Результаты интегрирования зоны I даны в работе [6]. Значения для II и III зон представлены в табл. 3, 4. Мы проинтегрировали и дальше для IV, V, VI зон. Табличные значения переменных не представлены из-за громоздкости таблиц, даны только графические зависимости на рис. 2, б - 6, б.
Из графиков на рис. 2 наблюдаем, что, начиная со второго диска, экстремумы безразмерной осевой скорости Н(е) от диска к диску уменьшаются.
Экстремумы безразмерной радиальной скорости Н’ (е), начиная с зоны II, остаются приблизительно одинаковыми (см. рис. 3).
Максимальные значения безразмерной функции Н’’ (е) медленно растут в направлении роста номера зоны (см. рис. 4). Начиная с зоны III, возникают минимумы между двумя максимумами. На границах зон (на поверхностях дисков) происходит скачок значений Н’’(е0). Это не противоречит логике решаемой задачи.
Безразмерная окружная скорость G (е) изменяется подобно синусоиде вдоль некоторой наклонной прямой (см. рис. 5). Функцию G (е) в каждой зоне приближенно можно записать б(е) = ке + Ь + тбшпе, где Ь,к,т,п - некоторые постоянные, различные для каждой зоны.
Т аблица 3
Первое решение при С = 1,970266, £0 = 4 (зона II)
е H H' H" G G'
0,0 0,000000 0,000000 -0,472902 1,000000 0,442723
0,2 -0,008224 -0,076375 -0,296041 1,087384 0,425820
0,4 -0,028446 -0,121186 -0,157161 1,168595 0,382877
0,6 -0,055069 -0,141526 -0,051651 1,239510 0,324490
0,8 -0,083857 -0,143856 0,023752 1,297950 0,259523
1,0 -0,111780 -0,133681 0,074331 1,343290 0,194455
1,2 -0,136792 -0,115398 0,105792 1,376072 0,134525
1,4 -0,157618 -0,092267 0,123697 1,397668 0,083080
1,6 -0,173524 -0,066487 0,133050 1,410029 0,042491
1,8 -0,184123 -0,039340 0,137966 1,415505 0,014492
2,0 -0,189208 -0,011396 0,141402 1,416676 0,000570
2,2 -0,188637 0,017227 0,144884 1,416764 0,002177
2,4 -0,182270 0,046552 0,148221 1,418779 0,020973
2,6 -0,169982 0,076362 0,149175 1,426410 0,058607
2,8 -0,151501 0,105760 0,143105 1,443569 0,116416
3,0 -0,127841 0,132650 0,122621 1,474347 0,194716
3,2 -0,099110 0,153162 0,077335 1,522707 0,291681
3,4 -0,067412 0,161043 -0,006161 1,591905 0,401734
3,6 -0,036141 0,147088 -0,143850 1,683523 0,513330
3,8 4,0 -0,010862 0,000000 0,098732 0,000000 -0,353068 -0,650028 1,796006 1,922528 0,606055 0,646959
Первое решение при С = 5,565008, £0 = 4 (зона III) Т аблица 4
so H H’ H" G G’
0,0 0,000000 0,000000 -0,660917 1,922528 0,646959
0,1 0,003004 -0,057164 -0,486556 1,986826 0,635287
0,2 -0,010894 -0,098148 -0,337263 2,048939 0,604215
0,4 -0,035602 -0,141390 -0,110504 2,160468 0,504905
0,6 -0,065013 -0,147978 0,032002 2,249480 0,383885
0,8 -0,093365 -0,133008 0,108249 2,314159 0,264581
1,0 -0,117544 -0,107827 0,137209 2,356340 0,160452
1,2 -0,136334 -0,080116 0,136198 2,379752 0,077343
1,4 -0,149728 -0,054380 0,119585 2,388735 0,016006
1,6 -0,158353 -0,032578 0,098424 2,387471 -0,025603
1,8 -0,163029 -0,014781 0,080619 2,379611 -0,050439
2,0 -0,164452 0,000240 0,071284 2,368249 -0,060928
2,2 -0,162986 0,014477 0,073024 2,356131 -0,057982
2,4 -0,158561 0,030301 0,085949 2,346025 -0,040443
2,6 -0,150670 0,049426 0,107295 2,341144 -0,000499
2,8 -0,138480 0,073261 0,130603 2,345555 0,053378
3,0 -0,121096 0,101056 0,144537 2,364388 0,140080
3,2 -0,098018 0,129297 0,131554 2,403722 0,258625
3,4 -0,069850 0,150248 0,066879 2,469839 0,406818
3,6 -0,039284 0,150485 -0,081436 2,567565 0,571121
3,8 -0,012378 0,109643 -0,350184 2,697248 0,718860
3,9 -0,003466 0,065421 -0,541100 2,771824 0,768659
4,0 0,000000 0,000000 -0,774659 2,849976 0,788240
Максимальные значения безразмерной функции О'(е) растут от зоны к зоне (см. рис. 6). Минимальные значения на отдельных участках зон Ш-У1 принимают отрицательные значения. Значит, на этих участках функция безразмерной окружной скорости О (е) несколько падает. При переходе из зоны в зону, на их границах, имеем максимумы О' (е). Функция О' (е) в своих максимумах не имеет перегибов или скачков (рис. 7, а).
Одновременно безразмерная функция Н” (е) в этих сечениях имеет скачки (рис. 7, б).
На рис. 2-7 изображены изменения функций по зонам при толщине дисков, равной «нулю». В реальности диски имеют определенную толщину. Если мы эту реальность учтем, то между зонами на изображении будут разрывы. Тогда каждая зона передвинется вместе с функциями параллельно себе. Внутри каждой зоны изменение параметров сохранит значение, решения в каждой зоне действительны.
В табл. 5 представлены безразмерные окружные скорости дисков О, безразмерные параметры В, Ь, А, а на обеих поверхностях дисков и коэффициент давления С в каждой зоне при безразмерном расстоянии между дисками ео = 4.
Пересчет данных табл. 5 при условии, что ведущий диск (в нашем случае шестой) имеет безразмерную окружную скорость О6 = 1, проводим по
формулам (10). При этом £ = = V5,638501 = 2,374553 .
Если было бы пять дисков, то для пяти зон коэффициент £ был бы
£ = = V4,708738 = 2,169963 , и т.д. Результаты расчетов сведены в табл. 6.
а) б)
Рис. 7. Поведение безразмерных функций С" (а), И" (б) от безразмерной осевой координаты г вблизи границы V и VI зон
Таблица 5
Начальные параметры на поверхностях дисков
№ диска 0 1 2 3 4 5 6
G 0,000000 1,000000 1,922528 2,849976 3,779184 4,708738 5,638501
B 0,208611 0,442723 0,646959 0,788240 0,905175 1,009294 -
b - 0,442723 0,646959 0,788240 0,905175 1,009175 1,104212
A -0,177700 -0,472902 -0,660917 -0,798297 -0,914679 -1,018466 -
a - 0,372927 -0,650028 -0,774659 -0,890290 -0,997263 -1,094286
Зона - I II III IV V VI
C - 0,187744 1,970266 5,565008 10,861978 17,883833 26,637045
Таблица 6
Начальные параметры на поверхностях дисков при С6 = 1
№ диска 0 1 2 3 4 5 6
G 0,000000 0,177352 0,340964 0,505449 0,670246 0,835105 1,000000
B 0,014983 0,033066 0,0483205 0,058873 0,067606 0,075374 -
b - 0,033066 0,0483205 0,058873 0,067606 0,075374 0,082472
A -0,013272 -0,00353204 -0,049363 -0,059624 -0,068316 -0,076068 -
a - -0,027853 -0,048550 -0,057858 -0,066495 -0,074484 -0,081731
Зона - I II III IV V VI
C - 0,005905 0,061972 0,175040 0,341650 0,562514 0,837835
Безразмерное расстояние между дисками при этом будет e0 = 4S = 9,498212 .
Положим, например, что число оборотов ведущего диска (шестого) составляет 1500 об/мин. В соответствии с табл. 6 частота вращения дисков: п5 = 1253 об/мин, п4 = 1005 об/мин, п3 = 758 об/мин, п2 = 511 об/мин,
п1 = 266 об/мин.
В заключении отметим, что рассмотренный алгоритм позволяет рассчитать гидродинамику многокамерного аппарата с любым числом дисков, в том числе и с различным расстоянием между ними.
Список литературы
1. Karman, Th. Uber laminare und turbulente Reibung / Th. Karman. -ZAMM 1. - 1921. - Р. 233 - 252.
2. Cochran, W.G. The flow due to a rotating disk / W.G. Cochran // Proc. Cambr. Phil. - 1934, Soc. 30. - P. 365-375.
3. Koptev, A.A. Die Flussigkeitsstromung in den Zentrifugalfeldern unter der Wirkung der sich drehenden Scheiben / A.A. Koptev // Вестн. Тамб. гос. техн. ун-та.
- 1995. - Т. 1, № 1. - С. 65-75
4. Koptev, A.A. Die Flussigkeitsstromung in den Zentrifugalfeldern unter der Wirkung der sich drehenden Scheiben. Blick auf das Karmanproblem aus der Urend-lichkeit / A.A. Koptev // Вестн. Тамб. гос. техн. ун-та. - 1996. - Т. 2, № 3. - С. 6572.
5. Шлихтинг, Г. Теория пограничного слоя / Г. Шлихтинг. - М. : Наука, 1969. - 196 с.
6. Коптев, А.А. Движение жидкости в центробежных полях. Ч. 1 / А.А. Коптев. - М. : Машиностроение. - 2005. - 240 с.
7. Коптев, А.А. Движение жидкости в центробежных полях. Ч. 2 / А.А. Коптев. - М. : Машиностроение. - 2006. - 300 с.
8. Червяков, В.М. Определение энергозатрат в роторных аппаратах / В.М. Червяков, А.А. Коптев // Химнефтегазмаш. - 2005. - № 4. - С. 10-12.
Fluid Flow in Centrifugal Fields of Multi-Chamber Disk-Shaped Device
A.A. Koptev, V.B. Kopteva
Department “Machinery and Technology of Mechanic Engineering ”, TSTU; [email protected]
Key words and phrases: multi-chamber centrifugal devices; Navier-Stokes equation; non-dimensional variables.
Abstract: The paper studies the solution to Navier-Stokes equations in cylindrical coordinate system and the fluid flow in gaps between disks rotating at different angle velocity. With the substitution of T. Carman’s equation system Navier-
Stokes equation is set to non-dimensional type. The solution to the latter is found via numerical integration.
References
1. Karman, Th. About laminar and turbulent friction / Th. Karman. - ZAMM 1, 1921. - P. 233-252.
2. Cochran, W.G. Flow due to a rotating disc / W.G. Cochran // Proc. Cambr. Phil.
- 1934, Soc. 3G. - P. 3б5-375.
3. Koptev, A.A. Fluid flow in centrifugal fields under influence of rotary discs / A.A. Koptev // Transactions TSTU. - 1995. - Т. 1, № 1. - P. б5-75.
4. Koptev, A.A. Fluid flow in centrifugal fields under influence of rotary discs. View in Karman problem out of infinity / A.A. Koptev // Transactions TSTU. - 199б. -Т. 2, № 3. - P. б5-75.
5. Shlichting, G. Theory of boundary layer / G. Shlichting. - M. : Nauka, 19б9. -19б p.
6. Koptev, A.A. Fluid flow in centrifugal fields. Part 1 / A.A. Koptev. - M. : Mashinostroenie. - 2GG5. - 24G p.
7. Koptev, A.A. Fluid flow in centrifugal fields. Part 2 / A.A. Koptev. - M. : Mashinostroenie. - 2GG6. - 3GG p.
8. Tchervyakov, V.N. Power inputs determination in rotor-type apparatus / V.N. Tchervyakov, A.A. Koptev // Khimneftedasmash. - 2GG5. - № 4. - P. 1G-12.
Fltissigkeitsstr6mung in den Zentrifugalfeldern des Mehrkammerscheibenapparates
Zusammenfassung: Es wird die Losung der Gleichungen von Nawje-Stocks der Bewegung der Flussigkeit in den Spalten zwischen den Scheiben, die sich mit verschie-denen Winkelgeschwindigkeiten drehen, betrachtet. Mit Hilfe der Permutation des Glei-chungssystems von T. Karman wird die Gleichung von Nawje-Stocks zur dimensionslo-sen Forme gefuhrt. Die Losund der Letzten ist durch das quantitativen Integrieren ge-funden.
Ecoulement du liquide dans les champs centrifuges de l’appareil multichambre a disque
Resume: Est examinee la resolution des equations de Nawje-Stocks dans un systeme cylindriques de coordonnees du mouvement du liquide dans les jets entre les disques tournant avec des vitesses d’angle differentes. A l’aide des systemes des equations de T. Karman l’equation de Nawje-Stocks aboutit a une vue sans limite. La solution de ces dernieres est trouvee par l’integration numerique.
Авторы: Коптев Андрей Алексеевич - кандидат технических наук, профессор кафедры «Техника и технологии машиностроительных производств»; Коптева Вера Борисовна - старший преподаватель кафедры «Техника и технологии машиностроительных производств», ГОУ ВПО «ТГТУ».
Рецензент Гатапова Наталья Цибиковна - доктор технических наук, профессор, заведующая кафедрой «Химическая инженерия» ГОУ ВПО «ТГТУ».
