Решение задачи о движении жидкости вблизи поверхности вращающегося диска в комплексных переменных Текст научной статьи по специальности «Математика»

Процессы и аппараты химических и других производств. Химия

УДК 532.517.2

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ О ДВИЖЕНИИ ЖИДКОСТИ ВБЛИЗИ ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩАЮЩЕГОСЯ ДИСКА В КОМПЛЕКСНЫХ ПЕРЕМЕННЫХ

А.А. Коптев, А.В. Шершуков, В.В. Козодаев

Кафедра «Техника и технологии машиностроительных производств», ТГТУ

Ключевые слова и фразы: безразмерные переменные; комплексные переменные; уравнения Навье-Стокса.

Аннотация: Рассматривается решение уравнений Навье-Стокса в цилиндрической системе координат о движении жидкости вблизи вращающегося диска. С помощью подстановки системы уравнений Т. Кармана эти уравнения приводятся к безразмерному виду. Решение последних найдено аналитически в области комплексных переменных.

Обозначения

А - постоянная интегрирования; а - постоянная экспоненциального ряда; В - постоянная интегрирования; Ь - постоянная экспоненциального ряда; С - коэффициент давления; С - безразмерная окружная скорость; С, С" - производные безразмерной окружной скорости;

Н - безразмерная осевая скорость; Н - безразмерная радиальная скорость; Н", Н" - производные осевой (радиальной) скорости;

Н(») - безразмерная осевая скорость в бесконечном удалении от поверхности диска; Р - безразмерное давление; Р' - производная безразмерного давления;

р - давление, Н/м2; г - радиальная координата, м; 5 - безразмерная угловая скорость в бесконечном удалении от поверхности диска; и - радиальная скорость, м/с;

V - окружная скорость м/с;

Ш - безразмерная осевая скорость в бесконечном удалении от поверхности вращательного диска; ш - осевая скорость, м/с; г - осевая координата; е - безразмерная осевая координата; ф - тангенциальная координата, Яаё;

V - кинематическая вязкость, м2/с; р - плотность кг/м3;

ю - угловая скорость вращения диска, с-1.

Движению вязкой сплошной среды вблизи диска, равномерно вращающегося с осевой скоростью ш вокруг оси, перпендикулярной к его плоскости при различных граничных условиях, посвящено много исследований. Не ставя задачи критического обзора материалов на рассматриваемую тему, опубликованных в периодической научной печати, в данной статье приводится возможность аналитического решения задачи в отличии от численных методов.

Вследствие осевой симметрии течения уравнения Навье-Стокса и уравнение неразрывности запишем в цилиндрической системе координат г, ф, г. Начало ко-

ординат расположим на оси вращения диска, плоскость г = 0 совместим с его поверхностью.

Обозначим через и = и(г, г), V = о(г, г), ш = ш(г, г) - составляющие скорости течения, соответственно, в радиальном направлении г, в окружном направлении ф и в осевом направлении г, через р = р(г, г) - давление, р и V плотность и вязкость жидкости. Осевая симметрия задачи позволяет упростить уравнения движения сплошной среды, которые принимают вид, так как Э/Эф = 0

Эи v2 + Эи 1 dp + v dr r dz p dr

d2u +_Э_f и+ d2u -2 dr t r) dz2

dr2

dv vvu dv

и--1---+ w— =

dr r dz

d2u + f и^ + d2u dr2 dr t r) dz2

(1)

dw dw

и--+ w— =

dr dz

1 Эр

p dr

+ v

d2 w 1 dw d2 w dr2 r dr dz2

Эи и dw „ — + — + — = 0. Эг г Эг

Граничные условия, с одной стороны, определяются условиями прилипания к вращающейся поверхности

и = 0, V = шг, ш = 0 при г = 0; (2)

с другой стороны, при г, равном некоторой конечной величине гэ (или бесконечности) в зависимости от рассматриваемой задачи могут принимать различные выражения. Для интегрирования системы (1) удобно ее привести к безразмерному виду. Примем вместо г безразмерное расстояние от поверхности диска

е = 2а/ ш/V. (3)

Также примем, что составляющие скорости и давления определяются формулами [1]

и = гшН'(е), V = гшС(е);

ш =-2^/ШVн (е); (4)

р = - СрЩг2 /2 - 2 ршюР (е),

где С - постоянная, подлежащая численному определению в результате интегрирования уравнений (5) при конкретных граничных условиях. В результате подстановки выражений е, и, ш, р по уравнениям (3) и (4) в систему (1) получим три дифференциальных уравнения для определения неизвестных функций Н, С, Р

Н" = С + Н2 - С2 - 2ННС = 2(Н С - НС); Р = Н + 2НН, (5)

где штрихами обозначены соответствующие производные по е.

Уравнение неразрывности системы (1) при этом удовлетворяется тождественно. Граничными условиями для системы уравнений (5), вместо условий (2), будут

И = 0, Н = 0, С = 1, Р = Р(0) при е = 0. (6)

Примем на внешней границе

Н = 0, С = Б, при е = е0. (7)

Найдем аналитическое решение системы дифференциальных уравнений (5)

Я" = C + И'И' - G2 - 2 ИИ"

(8)

С = 2 (Не - НС).

Введем обозначения

С = Б2, Н(¥)= Ш, С(~) = Б . (9)

Тогда безразмерные функции можем записать

И = Ш+Ь (е), С = Б + £ (е), (10)

где Ш Б - постоянные величины.

С учетом (9) и (10) преобразуем уравнения (8)

h" = 52 + h'h' - 52 - 2Sg - g2 - 2 Wh" - 2hh" g = 2 (h S + tig - Wg - hg).

(11)

Решение системы дифференциальных уравнений запишем в виде комплексных функций

h = ae"((W+«)+ß i )e;

. -((W+a)+ß i) e g = aie u ' ' ,

(12)

где

mW

4+4S2 +W2

a = \,

V 2

W

P = j-"4+42S2 -W2 ; (13)

aß = S, a2-p2 = W2.

Из уравнений (12) находим

h = 1 e(-( W+a)+p i) e ,

(-(W +a) + pi) '

/ = 1 (_(Ш + а) + р1) е(_(Ш+а)+р 1)е, Ь' = (_(Ш +а) + Ь1) е(_(Ш+а)+Ь 1)е,

/ = 1 (_(ш +а) + Ь1 )2 е(_(Ш +а)+Ь 1 )е,

Ь' = (_(Ш +а) + Ь1 )2 е(_(Ш+а)+р 1 )е .

Выделим из первого уравнения (11) члены, содержащие экспоненту в первой степени

Ь" = _25^_ . (15)

Подставим в него значения функций по (12), (14) с учетом последних двух равенств (13). Экспоненциальная функция и коэффициент а сократятся, а коэффициенты при этом составят выражение

[_(Ш+а) + р1]2 °_21ар_2Ш[_(Ш + а) + р1] . (16)

Раскроем скобки

(Ш +а)2 _2(Ш+а)р1 _р2 °_21ар + 2Ш2 + 2Ша_2Шр1

или

Ш2 + 2Ша + а2 _ 2Шр1 _ 2ар1 _р2 ° _21ар + 2Ш2 + 2Ша_ 2Шр1,

т.е. равенство соблюдается тождественно.

Таким образом, мы показали, что дифференциальное уравнение (15) удовлетворяется функциями (12).

Подобным образом поступаем со вторым уравнением (11)

/ = 2Л'5_ . (17)

Коэффициенты при экспоненте после подстановки (12), (14) образуют равен-

2

i(-(W + a) + pi)2 ° 2ap-i2W(-(W+ a) + pi). (18)

Умножая на -1 все члены и раскрывая скобки, получим тождество

Ш2 + 2Ша + а2 _ 2Шр1 _ 2ар1 _а2 + Ш2 ° _2ар1 + 2Ш2 + 2Ша_ 2Шр1. Значит и уравнение (17) удовлетворяется функциями (12).

Исследуем слагаемые уравнений (11), которые содержат экспоненциальную

функцию в квадрате, е2 ( (Ш+а)+ь1). Они представляют свою систему дифференциальных уравнений

ЬЬ - я2 - 2Ы{ = 0,

. (19)

Ь Я - V = 0.

Подставляя сюда значения функций по (12), (14) и сокращая на экспоненту и

2 2 коэффициент а , получаем тождества: из первого уравнения (19) 1 -1 - 2 ° 0; из

второго уравнения 1 -1 ° 0 .

В итоге мы показали, что функции (12) представляют собой полное, замкнутое аналитическое решение системы дифференциальных уравнений (11) в комплексных переменных. Полное решение системы (8) принимает вид с учетом (10)

и (12):

Н = Ш+ 7-^-+а) + Ь 1 )е ;

(-(Ш +а) + Ь1)

„/ (-(Ш +а) + В 1 )е Н = ае^ ; .

О = 5 + 1ае(-(Ш +а) + Ь 1 )е . В тригонометрической форме уравнения (20) можно записать

(20)

H = W+—— e— W+a) e 2а

■i\ sinße+—ß— cosße|+\—ß— sinße-cosße 1 H W +а H ! \ W+а н н у

H' = ae_(W+a) e (cos pe + i sin pe), (21)

G = S + ae_(W+a)e (-sin pe + i cos pe). Таким образом найдено аналитическое решение задачи Т. Кармана [1].

Список литературы

1 Karman Th., Über laminare und turbulente Reibung. ZAMM 1, 233-252 (1921).

2 Koptev, A.A. Die Flüssigkeitsströmung in den Zentrifugalfeldern unter der Wirking der sich drehenden Scheiben / A.A. Koptev. - Trans. of the Tambov State Technical University, 1, 1995, 65-74 p.

3 Шлихтинг, Г. Теория пограничного слоя / Г. Шлихтинг. - М.: Наука, 1969.

The Solution to the Problem of Liquid Movement Near the Surface of Rotating Disk in Complex Variables

A.A. Koptev, A.V. Shershukov, V.V. Kozodaev

Department "Technical Equipment and Technology of Machine Engineering Industry", TSTU

Key words and phrases: Navier-Stokes equations; non-dimensional variables; complex variables.

Abstract: The solution of Navier-Stokes equations in cylindrical system of coordinates about the liquid movement near the rotating disk is studied. With the help of T. Karman's substitution these equations are reduced to non-dimensional form. The solution of the latter has been found analytically within complex variables.

Lösung der Aufgabe über Flüssigkeitsbewegung neben der Oberfläche der drehenden Scheibe in den Komplexvariablen

Zusammenfassung: Es wird die Lösung der Navier-Stokes Gleichungen im zylindrischen Koordinatensystem über Flüssigkeitsbewegung neben der drehenden Scheibe betrachtet. Mit Hilfe der Permutation von T. Karman werden diese Gleichungen zur dimensionslosen Form zugeführt. Die Lösung der Letzten ist auf dem Gebiet der Komplexvariablen analytisch gefunden.

Solution du problème sur le mouvement du liquide près de la surface du disque tournant dans les variables complexes

Résumé: Est examinée la solution des équations de Navier-Stokes dans un système cylindrique des coordonnées sur le mouvement du liquide près du disque tournant. A l'aide de la substitution de T. Karman ces équations sont réduites à la vue adimensionnelle. La solution de ces dernières équations est trouvée analytiquement dans le domaine des variables complexes.