CC BY
62
Процессы и аппараты химических и других производств. Химия
УДК 532.51
НЕСТАЦИОНАРНОЕ ТЕЧЕНИЕ ЖИДКОСТИ В ЗАЗОРЕ МЕЖДУ РОТОРОМ И СТАТОРОМ РОТОРНОГО АППАРАТА В.М. Червяков1, В.И. Галаев2, А.А. Коптев3
Кафедры: «Теория механизмов, машин и детали машин» (1), «Теоретическая механика» (2),
«Конструирование машин и аппаратов» (3), ТГТУ
Ключевые слова и фразы: дифференциальное уравнение движения; метод разделения переменных; уравнение Навье-Стокса.
Аннотация: Методом Фурье решено уравнение нестационарного течения жидкости в зазоре между ротором и статором, полученное из уравнения Навье-Стокса.
Обозначения
* *
СЬ Ог, ^ - постоянные интегриро-
вания;
п - количество каналов ротора;
Q - расход жидкости через аппарат, м3/с;
J п (гХ ) - функция Бесселя 1-го рода;
-+1 2
Щ_, Яг - наружный диаметр ротора и внутренний диаметр статора, м; г, г - размерная и безразмерная координаты, цилиндрическая система;
£ - площадь поперечного сечения одного канала ротора, м2;
t, t - размерное и безразмерное время;
Т - масштаб времени, с; и - окружная составляющая скорости, м/с; и - безразмерная составляющая скорости; и - масштаб окружной составляющей скорости, м/с;
Течение между вращающимися и неподвижными проницаемыми цилиндрическими поверхностями часто определяет эффективность работы некоторых циклонов и гидроциклонов [1], фильтрующих центрифуг [2], центробежных гра-нуляторов [3], роторно-пульсационных аппаратов [4].
В научной литературе известно точное решение задачи течения вязкой несжимаемой жидкости между вращающимися непроницаемыми коаксиальными цилиндрами [5]. Имеется ряд работ, посвященных исследованию движения
V - масштаб радиальной составляющей скорости, м/с;
V - радиальная составляющая скорости, м/с;
V - безразмерная радиальная составляющая скорости;
V - радиальная составляющая скорости на
входе в зазор, м/с;
Ув (гХ ) - функция Неймана;
-+1
2
Х - параметр разделения переменных;
V - коэффициент кинематической вязкости, м2/с;
С, ( г, t) - произвольная функция; р - плотность среды, кг/м3; ф - окружная координата, цилиндрическая система;
ю - угловая скорость ротора, с-1.
сплошной среды в зазоре между проницаемыми цилиндрами [4, 6 - 9]. В этих работах величина зазора и угловая скорость цилиндров принимается постоянной, поэтому течение в зазоре рассматривается как установившееся. Однако в работах [10, 11] показано, что в жидкостных центробежных экстракторах, вращающихся с переменной угловой скоростью, производительность сопел возрастает на 50 % по сравнению с производительностью при равномерном вращении. В данной работе сделана попытка смоделировать протекание процесса течения среды в зазоре во время разгона ротора до рабочей угловой скорости вращения. Это позволит определить закономерности периода установления стационарного течения и рассмотреть возможность использования режима «ускорение - торможение» ротора для повышения эффективности работы роторного аппарата. Кроме того, эта задача представляет определенный самостоятельный научный интерес.
Рассмотрим симметричное нестационарное течение вязкой несжимаемой жидкости между проницаемыми коаксиальными цилиндрами - вращающимся (ротором) и неподвижным (статором). Сделаем следующие допущения: течение
жидкости, ввиду малого радиального зазора (8« 10-4 м), полагаем ламинарным; составляющая скорости по оси 7 равна нулю; вдув жидкости в радиальном направлении равномерный; массовыми силами пренебрегаем.
С учетом принятых допущений дифференциальные уравнения Навье-Стокса и неразрывности в цилиндрических координатах принимают вид:
dv dv u
------+ v----------------
dt dr r
1 dP
p dr
-+v
dr
2 r dr
(1)
du du vu
dt dr r
(2)
^+v = o.
dr r
(3)
При решении уравнения (2) используются граничные условия в виде (вращаются оба цилиндра):
и п = и1, и\ п = и2 .
1г=Я^ 19 1г=Я2 2
При постоянном расходе жидкости через роторный аппарат граничное условие для уравнения (1) имеет вид
^ г =Я = = ^ (4)
За начальное условие примем закон распределения окружной составляющей скорости в начальной момент времени и (Я,0).
Подставив (3) в уравнение (1), после несложных преобразований [12] получим
dv
dt
r
\ У
1 f <5)
p dr
Из уравнения неразрывности (3), используя граничное условие (4) получим
v = v —. (6)
r
Подставим (4) в уравнение (2) и получим уравнение движения для окружной составляющей скорости
du d2 u 1 / лды 1
— = v ——(R1 -V)--------(viR1 +v) u . (7)
dt дГ 2 r dr r 2
Для приведения уравнения (7) к безразмерному виду введем следующие подстановки:
r = Rir , u = Uu , t = Tt . (8)
Используем критерии подобия
Яеф= URl = ß (9)
^ V
- критерий Рейнольдса, характеризующий интенсивность движения в окружном направлении;
v Ri
Rer = ^ = ßi (10)
V
- критерий Рейнольдса, характеризующий интенсивность движения в радиальном направлении;
R
S^=-^ = а (11)
ф tu
- критерий Струхаля, характеризующий инерционность жидкости в зазоре в окружном направлении.
После несложных преобразований безразмерное уравнение движения в окружном направлении принимает вид (черточки для удобства отбрасываем)
8Иф ReфddU ~ -1 (Rer -1) du -T(Rer +1) u . (12)
dt dr 2 r dr r 2
Для удобства решения, учитывая (9) - (11), уравнение (12) представим в другой записи
aßdt = % -1 (ß,-1)du - -2( ß1 + *) u . (13)
dt dr 2 r dr r 2
Ищем решение уравнения (13) в виде
u(r, t) =Z(r, t) + u(r), (14)
где u(r) является решением уравнения
-1 (ß1 -1)du“4^ +1)u , (15)
dr r dr r
удовлетворяющему условиям:
u = Ul, u\ = U2.
Ir=r 1 Ir=Г2 z
Это решение имеет вид [5]
u (r) = C11 + C2 rß1 +1:
/ ßl +1 ßl +1 \
(uir2'1 - u2r{1 )r1r2 ^ U2r2 - Uiri
где c1 =-------------------r+z--------ß-+2--------, C2 =
(16)
гр1 +2 _ гр1 +2 гв1 +2 _ гв1 +2
2 Г1 2 Ч
Относительно функции ^(г, t) получается уравнение в частных производных вида (13), с заменой и(г, ^ на <^(г, t)
= ^ --(Р1 _ 1)дГ “ ^(Р1 + 1)С . (17)
дt дг2 г дг г
Для функции ^(г, t) граничные условия:
с| г=п = 0, с| г=г2 = 0.
Решение уравнения (17) ищем методом разделения переменных [13]
с (г, t) = Т (t) Я (г). (18)
Функция Я(г) удовлетворяет граничным условиям:
я|г=п = 0, я|г=г2 = 0. (19)
Подставляя (18) в уравнение (17) получаем
я•-!(р, _ 1)я'_4<Р, +1)я о£Т.=--------г------------г2-------------=-Х2. (20)
Т Я
Для функции Я (г) получается обыкновенное дифференциальное уравнение
Я = 0. (21)
R "--( Р1 -1) R ' + r
X2 --2( Р1 +1)
r
Вместо переменной г введем переменную г* = гХ, тогда уравнение (21) примет вид
г*2Я"_(Р1 _ 1)г* Я' + [г*2 _(Р1 +1)]Я = 0 . (22)
Решение уравнения (22) может быть представлено в форме
И
R ( r ) = ( rX ) 2
C1J pi ( r X ) + C2Ypi ( r X )
Ü+1 ^+1
2 2
(23)
В соответствии с граничными условиями (19), для определения постоянных
* *
С и С2, получаем систему уравнений
C1Jpi (r1X) + C2Ypi (r1X) = 0;
—+1 —+1
2 2
C1J pi ( r2 X ) + C2Ypi ( r2 X ) = 0—+1 —+1
2 2
(24)
Так как С и С2 одновременно не равны нулю, то получаем уравнение
JpL+l (г{Х)Ур1+1 (г2Х) _ JpL+l (г2Х)Ур1+1 (ПХ) = 0 .
2 2 2 2
(25)
Из уравнения (25) определяем собственные значения Х1,Х2 ,Х3 ,... рассматриваемой задачи. Собственные функции имеют вид
Rm (rXm ) = (Xmrf/2
Jp1 (rXm )Ypj (r1Xm ) Jp] (r1Xm )Ypj (rXm )
—+1 —+1 —+1 —+1
.2 2 2 2
(26)
и удовлетворяют следующим условиям:
J r1-Pl Rm (rXm )Rn (rX„ ) dr = 0
(27)
r2
J r1-P1 [Rm (rXm )]2 dr = 1 {r22-p1 [{ (r2 Xm )]2 - r^1 [Rm (r1Xm )]2 } . (28)
Для функции Т (^ из уравнения (20) получаем дифференциальное уравнение
арТ' +Хт2Т = 0. (29)
Решением уравнения (29), соответствующим собственному значению Xm (m = 1,2,3,...), является выражение
виде
Тт = Лте “Р . (30)
В результате общее решение дифференциального уравнения (13) запишется в
і2
1 <» —
и (г, О = Сі- + С2Гв1 +1 +Х Лт е ар Ят (^ ). (31)
г т=і
Постоянная Лт определяется по начальному условию
и|г=о = и(г, 0). (32)
Тогда
Г2
J r1 ві u (r ,0) - Qr ві - C2r2
r2
J r1_Pl [m (Xmr )]2 dr
Rm(^mr)d
Am = r-------------------------------------------------------------------------------------r-. (33)
Начальное распределение скорости в зазоре роторного аппарата можно принять, например, в виде прямой с граничными условиями:
м| = М], м| = 0, (34)
1г=г 1 ’ 1г=Г2
тогда уравнением начального распределения окружной скорости является выражение
м (г, 0) = -^( Г2 - г). (35)
г2 - г1
Граничные условия (34) упрощают выражения (16) и (31).
Результаты вычислений по уравнению (31) показывают, что из-за множителя
ч 2 Лт ,
----1
е ав распределение окружных скоростей достаточно быстро приближается к известному профилю скорости для установившегося течения (16).
Список литературы
1. Баранов Д.А., Кутепов А.М., Лагуткин М.Г. Расчет сепарационных процессов в гидроциклонах // ТОХТ. - 1996. - Т. 30, № 2. - С. 117 - 123.
2. Соколов В.И. Центрифигурирование - М.: Химия, 1976. - 408с.
3. Холин Б.А. Центробежные и вибрационные грануляторы плавов и распылители жидкости. - М.: Машиностроение, 1977. - 182 с.
4. Богданов В.В., Христофоров Е.И., Клоцунг Б.А. Эффективные малообъемные смесители. - Л.: Химия, 1989. - 224 с.
5. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. - М.: Наука, 1978. - 736 с.
6. Плотников В.А., Трошкин О.А. Вихревой поток между пористыми цилиндрами // Химическое и нефтегазовое машиностроение. - 2000. - № 3. -С. 16 - 19.
7. Волк А.М. Трение вязкой жидкости в пространстве между движущимися проницаемыми поверхностями // ИФЖ. - 1993. - Т. 65, № 2. - С. 152 - 158.
8. Di Prima R.C., Stuart J.T. Flow between rotating cylinders // Trans. ASME. -1972 - F94, No. 3. - Pp. 266 - 274.
9. Gupta M., Goyai M. Unsteady flow of viscous incom steady pressible fluid between two porous coaxial rotating cylinders // Jng. Journal Pure Appl. Meth. - 1972. -V. 3, No. 4. - Pp. 547 - 555.
10. Поникаров С.И., Кафаров В.В. Истечение жидкости из сопел во вращающуюся среду другой плотности // ТОХТ. - 1997. - Т. 31, № 5. - С. 453 - 457.
11. Weinman P.D. On the spin-up and spin-down of a rotating fluid // J. Fluid Mech. - 1976. - V.77, No. 5. - Pp. 685 - 694.
12. Червяков В.М, Галаев В.И., Коптев А. А. Нестационарное течение жидкости во вращающихся каналах роторного аппарата // Вестник ТГТУ. - 2000. - Т. 6, № 4. - С. 611 - 616.
13. Годунов С.К. Уравнения математической физики. - М.: Наука, 1971. -416 с.
Non-Stationary Liquid Flow in Clearance between Rotor and Stator of Rotor Apparatus
V.M. Chervyakov1, V.I. Galaev2, A.A. Koptev3
Departments: “Theory of Mechanisms, Machines and Machine Parts” (1), “TheoreticalMechanics” (2),
“Design of Machines and Apparatuses” (3), TSTU
Key words and phrases: differential movement equation; method of variables division; Navier-Stockes equation.
Abstract: Equation of non-stationary liquid flow in clearance between rotor and stator obtained through Navier-Stockes equation is solved by Fourier method.
Unstationäre Flüssigkeitsströmung im Spielraum zwischen dem Rotor und dem Stator vom Rotorapparat
Zusammenfassung: Mit Hilfe der Fourier-Methode ist es die aus der Navier-Stockes-Gleichung erhaltene Gleichung der unstationären Flüssigkeitsströmung im Spielraum zwischen dem Rotor und dem Stator gelöst.
Ecoulement non-stationnaire du liquide dans le jeu entre le rotor et le stator de l’appareil de rotor
Résumé: Par la méthode de Fourier est résolue l’équation de l’écoulement non-stationnaire du liquide dans le jeu entre le rotor et le stator reçue à partir de l’équation de Navier-Stockes.
