Свойство конвергенции для разностных систем Текст научной статьи по специальности «Математика»

2004 ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА Сер. 10 Вып. 4

ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА

УДК 517.938 Н. Н. Атаева

СВОЙСТВО КОНВЕРГЕНЦИИ ДЛЯ РАЗНОСТНЫХ СИСТЕМ

В монографии В. И. Зубова [1] рассмотрено свойство конвергенции для дифференциальных уравнений. В настоящей работе представлены теоремы о конвергенции для разностной системы

*п+1 =^(г„,п), (1)

где правая часть задана при гп 6 Е3, п € вещественна, ограничена во всякой огран-ниченной области изменения гп, п = 0,1,..., т.е. для каждого положительного числа Я найдется такое число М > 0, что при п = 0,1,..., ||-гп|| < Я имеет место неравенство < М. Предположим, что п) является почти периодической функцией п равномерно по отношению к гп во всякой конечной области ||гп|| < Я [2]. Будем считать, что при любом фиксированном п функция Е(гп,п)' непрерывна по гп.

Обозначим через г(п, решение системы (1), проходящее через точку го в момент п — По.

Определение 1. Система (1) обладает свойством конвергенции, если она имеет единственное почти периодическое решение гп = ап, при котором для любого е > 0 существует 8 > 0 такое, что при любом по 6 Z

Ыщг°По)-ап\\<е

при п > по для || г° — аПо|| < 6 и, кроме того,

1Ип,^о)-ап|Н0

при п — по +оо равномерно по отношению к по 6 Z и по г° во всякой конечной области ||2°|| < г.

Пусть правые части системы (1) удовлетворяют условию Липшица по гп во всякой ограниченной области изменения гп с константой, не зависящей от п.

Теорема 1. (Необходимое и достаточное условие конвергенции.) Для того чтобы система (1) обладала свойством конвергенции, необходимо и достаточно следующее:

1) любое решение системы (1) должно быть ограничено при п>по\

2) для любого е > 0 и любого г > 0 можно было бы указать 8(г, е) такое, что при Нж° — 2/°11 < 8(г, е) и любого щ € Z будет

\\г(п,х°П0) - г(п,у°П0)\\ < е,

© Н. Н. Атаева, 2004

причем

МпУпо)-г(п,у°По)\\^0 (2)

при п — по 4-00 равномерно по отношению к щ 6 Z и ||ж°|| < г, ||у°|| < г;

3) для любого заданного г°, любого по Е Z и е > 0 можно указать два числа Ь и N такие, что в каждом интервале [с*, а + Ь] существует, по крайней мере, одно к, удовлетворяющее неравенству

Мп + к,г°по)-г(п,г°по)\\<е

при п > и п+к > щ+М, где к есть е'-почти период функции Р(гп, п) в области

П, содержащей решение г(п,г^0) при п > но, б' —> 0 при е 0 и наоборот.

Доказательство. Необходимость. Пусть система (1) обладает свойством конвергенции. Тогда она имеет почти периодическое решение гп = ап. Почти периодическая функция является ограниченной, следовательно, ||ап|| < М < +оо, п £ Ъ. Любое решение можно оценить как

1кп||<||ап|| + 1кп-ап||. (3)

Так как по определению конвергенции \\гп — ап|| 0 при любом по £ йип-По +оо, то существует число N > 0 такое, что \\гп — ап|| < 1 при п > N + по-

Так как \\гп — оп|| при п € [по,по + .¿V] принимает всего N + 1 значений и они ограничены, выберем из них максимальное. Обозначим его М\.

Пусть М = тах[1, М1], тогда из неравенства (3) находим, что ||;гп|| < М + М при и > н0. Первое условие теоремы 1 доказано.

Покажем, что выполняется условие 2. Из определения конвергенции вытекает, что если < г, то ||о„ - z(n,Zn0)\\ 0 при п — щ -)• +оо равномерно по отношению к по € Z. Следовательно, для любого б/2 > 0 найдутся два числа N и ¿1 такие, что при ||г° - аП0|| < ¿1 будет ||г(п,г°0) - а„|| < б/2 для п > и0, п0 е 2, и \\г(п0 + N,Zrl0) -Опо+л/^Н < А это означает, что ||г(п,г„0) — о„|| < е/2 при п > N + по.

Зададим е > 0 и г > 0. Выберем ж0 и у0 так, чтобы ||х°|| < г, ||у°|| < г. Выберем п0 и рассмотрим функцию гп — г(п,х„0) - г(п,Уп0), где п € [п0,п0 + Щ. Тогда 2п удовлетворяет уравнению

2п+1 = ^П + г(п,у°0),п) - Р{г{п,у°По),п),

в котором гп = г° = х° — у0 при п = щ.

Так как функция удовлетворяет условию Липшица по гп, для всех п €

[но,ио + ./V] существует С такое, что

|№п + 2(п,у00),п)-Жп,у«0),п)|| <С||*°||.

Выберем 5 > 0 так, чтобы С||2°|| < е, тогда при Цж0 — у°|| <6, ||ж°|| < г, ||у°|| < г будем иметь \\г{п,х^0) - г(п,у°0)\\ < е для п е [п0,п0 + АГ].

При п > по + А^, ||х°о|| < г, \\Уп0\\ < г справедливы следующие неравенства:

Ып,х10)-г(п,у0П0)\\<\\ап-г(п,х°П0)\\ +

+ \K-z(n,y0no)\\<e. (4)

Таким образом, ||г(и,ж°0) - г(п,у°0)\\ < е при п > п0, п0 £ г, ||х°|| < г, ||у°|| < г.

выборе величин N > 0 и е > 0 можно указать число K(N, е) такое, что при к > N будет выполняться соотношение

\№-ап\\<е

при п 6 [~N,+N].

Действительно, функция уп = z^ — ап удовлетворяет тождеству

уп+1 = Fk(yn + ап,п) - F(an,n),

где п +рк > 0, и начальным условиям yo = Zq^ — clq. Получаем

Уп+1 = Fk(yn + an,ri) - F(an,n) = = F(yn + an, n) - F(an,n) + Fk(yn + an, n) - F(yn + an,n) при n+pk> 0. Отсюда имеем

||yn+i|| <<p(C,S1,S2) + S2,

где ¿i = \ \yo\\, С - константа Липшица, т.е.

\\F(yn + an,n)-F(an,n)\\<C\\yn\\< 0(01^-^+62) <

< С(С(... (С||уо||) + S2) + 62) = (р(С,ói,S2),

S2 = sup \\Fk(yn + an,n) - F(yn + an,n)\\.

n€[-pk,+°o),yn+aneCl

Следовательно, такое число K(N,e) существует, так как числа ¿i и 62 сколь угодно малы при достаточно большом к.

Выберем ё > 0. Тогда по условию 3 найдутся числа L и Ñ такие, что в любом промежутке [а, а + L] можно указать, по крайней мере, одно т, удовлетворяющее неравенству

при п + т > Ñ, п > Ñ. Оценим разность

Рассмотрим третье слагаемое

11*$™ " 4к)\\ = \\Ф + т + рк,г°0) - г{п+рк,2$)\\. Можно выбрать число к так, чтобы было

при п Е [—ЛГ, ТУ], \т\ < М, где М - любое достаточно большое число. Действительно, последнее неравенство имеет место при п + т+ ръ > N и п + р^ > N. Следовательно, к достаточно выбрать таким, чтобы было Мк — N — М > Й, к > к.

\\z{n + m,z%) -z{n,z%)\\ < б ||on+m - an|| < ||4+m - On+mll +

+ Il«n-4fc)ll + ll4+m-4fc)ll- (5)

Если n £ [—N,N] и n + m £ [—N,N]> то можно выбрать k(e,N) такое, что

- ап+т 11 < ё,

\K-zP\\<E

при к > К(ё, N).

Пусть K(e,N) = max(A'(e, N),k). Тогда для k > K(E,N) из (5) получим ||ап+т — а„|| < Зб. Это неравенство выполняется в любом промежутке п £ [—N, iV], п + т £ [—N, ÍV] и не зависит от к, значит, оно выполняется при любых п. Следовательно, решение zn — ап является почти периодическим. Если в условии 2 в качестве одного из решений взять zn = ап, то получим, что оно будет обладать свойством устойчивости, кроме того, свойством асимптотической устойчивости в целом.

Достаточность доказана. Теорема 1 доказана полностью.

Определение 2 [1]. Вещественная функция V(Xn)Yn,Zn,n), заданная при Хп £ Es, Yn £ Es, Zn £ Es, n £ Z, называется положительно-определенной (отрицательно-определенной) в области \\Zn\\ < ó, если для любого г > 0 можно указать функцию Vr(Zn), вещественную, непрерывную и Vr(Zn) > 0 при Zn ф 0, Vr(0) = 0 такую, что V(Xn,Yn, Zn,n) > Vr(Zn) {V{Xn,Yn,Zn,n) < -Vr(Zn)) при \\Zn\\ < 6, \\Xn\\ < r, \\Yn\\ < r, n £ 2J, и V(Xn,Yn,0,n) = 0.

Определение 3 [1]. Вещественная функция V(Xn,Yn,Zn,n), заданная при Хп £ Es, Гп € Es, Zn £ Es, n £ E, называется допускающей бесконечно малый высший предел в области ||Zn|| < S, если по любому г > 0 можно указать вещественную функцию Ur{Zn), заданную при ||Zn|| < 6, Ur(Zn) > 0 для Zn ф 0, такую, что

\У{Хп, Yn, Zn,

\\Xn\\ < г, ||У„|| < r, ||Zn|| <S,n£Z,u Ur{Zn) -> 0 при \\Zn\\ 0.

Теорема 2. Если:

1) существует заданная при всех п £ Z и zn £ Es функция Vi(zn,n), которая на множестве п £ Z, ||zn|| > г, где г - положительная постоянная, удовлетворяет условиям:

а) V2(zn) <V!{zn,n) <V3(zn),

б) Vi(F(zn,ri),ri) - Vi(zn,n) < -Wi(zn), где V3(zn) и Wi(zn) - непрерывные и положительные при \\zn\\ > г функции, и V2(zn) —> -Ьоо при ||zn|| —У оо;

2) существует функция V, удовлетворяющая условиям:

а) функция V(zn,an,bn,n) - условию Липшица по компоненте zn во всякой ограниченной области изменения zn, ап, Ьп и всех п G Z с константой, не зависящей от ап, Ьп и п,

б) функция V(zn,an,bn,n) положительно определена и допускает бесконечно малый высший предел во всякой конечной области ||,гп|| < 6,

в) приращение функции V на решениях системы

z„+1 = F(zn + ап,п) - F(an,n), а>п+1 = F(an,n), bn+i = F(bn,n)

является отрицательно-определенной функцией во всякой конечной области ||<гп|| < 5] тогда уравнение (1) обладает свойством конвергенции.

Доказательство теоремы 2 состоит в проверке условий теоремы 1. Первое условие теоремы 1 справедливо в силу критерия Т. Йошизавы равномерной диссипа-тивности нелинейных систем [3], т.е. для любого г > 0 существует такое число тпг, что ||^п|| < ^г? если ||2По|| < г и п > по при любом по из Z.

Покажем теперь, что выполняется условие 2 теоремы 1. Пусть Х° и У0 - две точки области ||,г|| < г. Построим два решения г(п,и г(п,У£о) уравнения (1) и рассмотрим

*П = 2(п,г°П0) = г(п,Х°П0) - *(п,У°0),

где Z0 = Х° - У0, п0 € Ъ.

Функция 2п удовлетворяет уравнению

*п+1 = + г(и,Уп°0),н) - ^(п,Уп°0),п).

Выберем б > 0, и пусть

Л = ЫУ{гп,Хп,Уп,п)

при б < ||г„|| < 2 тг, ||ХП|| < тг,_||Уп|| < тг, пеЪ.

По числу Л определим число 8 > 0 так, чтобы было V < Л при ||гп|| < 8, ||ХП|| < шг, ||У„|| < тг, п € Z. Это можно сделать в силу того, что У(гп,Хп,Уп,п) допускает бесконечно малый высший предел в области ||гп|| < <5 в силу условия 26 теоремы 2. Покажем, что 2п = 2(п, удовлетворяет условию ||гп|| < е при \\Z0\\ < 8, щ € Z, п > По.

Действительно, в силу условия 2 в при всех п > по имеем

У(гп,Хп,Уп,п) < У(Z0,X0,У0,пo) < Л,

где Хп = г(п,Х%0), Уп = г(п, У°0), гп = 2(и, ¿50). Если бы на каком-то п > п0 оказалось, что ||£|| > б, то было бы V > Л, так как Л = т£ V при е < ||^„|| < 2тг. Это невозможно, в силу того что при всех п > по будет V < Л, следовательно, ||^п|| < б при п > щ, если < 8 < б.

Покажем теперь, что ||2„|| —У О при п — по -> +оо равномерно относительно по £ Z, 11-^° II < г> ||^°Н < г• Действительно, пусть это не так, тогда существует б > 0 такое, что для любого N существуют по? < г> ||^°11 < г, к > N + щ, а, > б. По

б найдем 8 такое, что если < 8, то ||<гп|| < £ для любого п > I, любого по € Z, ||Х°|| < г, ||У°|| < г. Можно указать последовательности X®, Ур°, пор и пр такие, что ||*(п,220р)|| > 8 при п € [п0р,пр] и пр - п0р +оо при р -»• +оо. Здесь = - Ур°. Положим = вирУУ при 8 < ||2П|| < 2тг, ||ХП|| < тг, ||УП|| < гпг, п € Z. Тогда будем иметь

5 -Х"пр, Упр, Пр) < У > *п0р» Упор > п0р) + Кпр - п0р)•

Но так как (пр — пор) +оо и ¡1 < 0, то правая часть неравенства принимает сколь угодно большие отрицательные значения, а левая должна быть неотрицательной. Полученное противоречие показывает, что условие 2 теоремы 1 выполнено.

Покажем выполнение условия 3 теоремы 1. Возьмем точку и построим решение гп = г(г„0,п), гп = при п = щ. Введем следующие обозначения:

Уп = Хп = ф£0,п + к),

где к есть б'-почти период функции Р(гп,п).

Функция Хп удовлетворяет уравнению гп+1 — Р(гп,п + к) и начальным условиям Х0 = г(^0,к) при и - п0.

Положим Zn = Хп — Уп. Тогда при всех п > щ, п + к > щ справедливы тождества

гп+1 = Р(Хп,п + к) - ^(Уп,п) =

ее Г(гп 4- Уп,п 4- к) — ^(У„, п) = = р{гп + уп, п) - р(уп, п) + дп,

здесь Д„ = Г{гп 4- У„,п + к) - + Уп,п). Рассмотрим функцию У^п,Хп,Уп,п). Имеем

у(гп+1,хп+1,уп+1,п +1) - у(гп,хп,уп,п) = IV +

4- {У(Р{гп 4- Уп, п) - Р{Уп, и) 4- Лп, п 4- к), Р(Уп,п),п + 1) -

- У(Р(гп 4- У„, п) - ^(Уп, п), Р(Хп, п + к), п), п + 1)).

Выберем е > 0 и получим число А = тfV(Z,X,Y,n) при п € е < < €

У € О, где П - область, в которой располагается решение Уп при п > по, ¿п - диаметр области с^ = вир Ц-Х" — У|| при X € У 6 О. По числу Л найдем <5 > 0 такое, что V < X при \\Z\l <6, X иУ еП,пеХ,6 <е.

Пусть — ¡¡} = вирРГ при 8 < \\Z\l < ¿а, п 6 Ъ, X е Г1, У € П. Оценим следующую разность:

\\У{Г(гп + Уп,п) - ^(Уп,п) + ДП|^(Х„,п + к),Р(Уп,п),п + 1)-

—У(Р^п 4- Уп,п) — Р(Уп,п),Р(Хп,п + к),Р(Уп,п),п + 1)|| < С||Л„||.

В силу равномерной почти периодичности функции Р(хп,п) по числу ^ можно найти число N такое, что в любом промежутке [а, а4-Щ будет существовать, по крайней мере, одно к такое, при котором Яп будет достаточно мало и будет выполняться неравенство

\ViFiZn + Уп, п) - ^(Уп, н) + Дп, Р{Хп, п + к), ^(Уп, и), п 4- 1) -

- У(Р^п + Уп,п)-Р(Уп,п),Р(Хп,п + к),Р(Уп,н),п + 1)| < ^. В результате получим

У№п+1,Хп+1,Уп+1,п + 1)-У(гп,Хп,Уп,п) <

при 5 < \\ZnW < сХп е П, Уп е п > N + по и п + к > N + по. Покажем, что существует такое N > 0, при котором при n>N + noиn + k>N + no будет ||£п|| < е. Если ||^п|| > <5 во все время движения, то

у(гп+1,хп+1,уп+1,п + 1) < у(гп,хп,уп,п) - ^ <

< У(^п_1,Хп_ьУп_1,п - 1) - < •• • < < У(гпо, ХПо, УП0, По) - (п - По) ^.

Последнее неравенство невозможно при всех п > щ. Следовательно, существует такое N, что ||£лН| < Покажем тогда, что при всех п> N будет ||£п|| < б. Пусть при т > N

\\2т\\<1

и существует I > т такое, что

тогда X/,Уг,/) > Л. В результате получаем следующее противоречие:

л < у(г1,Х1,у1,1) < У(г1.1,х1.1,¥1^и1 -1) -1 < • • • <

< У(гт,Хт, Ут,т) - (I - т)£ < Л - (/ - т)

Следовательно, 11 11 < е при всех п > N. А это означает, что

\\г(20,п + к) - < б

при n>Nv^n + k>N. Таким образом, свойство 3 и теорема 2 доказаны. Пример. Рассмотрим уравнение

х2 + 1

Пусть оно интегрируется численно методом Эйлера. Тогда будем иметь

з

'п +

3

+ h(-T^ + (6)

где h - шаг дискретизации, h > 0 и tn = nh. Предположим, что <ç(tn) - почти периодическая функция. Тогда при достаточно малом h уравнение (6) будет обладать свойством конвергенции. В качестве функций V и V\ можно взять V\ = V = За счет выбора достаточно малого h и ограниченности функции <p(tn) функции V и V\ будут удовлетворять теореме 2.

Summary

Ataeva N. N. The property of convergence for difference systems.

The property of convergence for difference systems is introduced. The necessary and sufficient conditions axe shown for a system to have the convergence property.

Литература

1. Зубов В. И. Колебания в нелинейных и управляемых системах. Д., 1962. 632 с.

2. Халанай А., Векслер Д. Качественная теория импульсных систем/ Пер. с рум. М. И. Бу-катаря, Г. В. Ножака; Под ред. В. П. Рубаника. М., 1971. 312 с.

3. Александров А. Ю., Жабко А. П. Устойчивость разностных систем: Учеб. пособие. СПб., 2003. 112 с.

Статья поступила в редакцию 19 октября 2004 г.