CC BY
148
УДК 51
СВОЙСТВА СКАЛЯРНЫХ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ ВЕЛИЧИН
© 2009 В. С. Самойлов
канд. пед. наук, доц. каф. методики начального образования e-mail: samoylov-vs@bk.ru
Курский государственный университет
В статье на основе анализа аксиоматических теорий Евклида, А. Н. Колмогорова,
Н. Я. Виленкина формируются шесть аксиом положительных скалярных величин, на основе которых приводятся доказательства известных свойств этих величин без использования понятия числа. Полученный материал является основой построения спецкурса по математике для студентов - будущих учителей начальных классов.
Ключевые слова: система скалярных положительных величин; определение множества таких величин; следствия из аксиом; свойства основных отношений «меньше», «равно», «плюс» на множестве величин.
В связи с появлением статей дискуссионного характера по поводу определения понятия аддитивной скалярной величины (см.:[Паболкова 2002; 2004]) невольно возникает мысль о том, что это основополагающее для курса математики определение еще недостаточно осмыслено в понятийном плане и не удовлетворяет по крайней мере методистов математики. Так ли это? Для ответа на этот вопрос дадим краткий анализ развития методических воззрений на изучение понятия «величина» в курсе математики.
Понятие величины всегда в той или иной степени рассматривалось в курсе арифметики начиная с момента появления соответствующих учебников (в России таковые появились в начале XVIII в.), а затем с 70-х годов прошлого столетия и в курсе математики начальных классов. Термин «величина» стал широко использоваться в курсе математики в начальной школе в связи с необходимостью общей трактовки этого понятия в различных дисциплинах. В курсе арифметики использовался другой термин
- «именованное число», который и сейчас можно встретить в обучении математике в начальных классах.
В большинстве учебников математики (см., напр., [Математика.1 2003]), по которым обучение начинается с изучения нумерации натуральных чисел первого десятка, сравнение величин и действий с величинами, как правило, сводится к соответствующим операциям над числовыми значениями, то есть опосредованно. И лишь в некоторых случаях сравнение производится непосредственно, например с помощью наложения. Несмотря на то что величины в выше указанных учебниках в основном отождествляются с числовыми значениями, постепенно у учащихся формируется представление о самих величинах: длине площади, массе и т. д. При этом четкого обоснования связи величин и чисел (всякую величину а при выбранной единице измерения е можно представить в виде а = ке), непосредственного и опосредованного способов сравнения величин (если две величины находятся в отношении «больше», то и соответствующие числовые значения находятся в таком же отношении), не приводится. Указанные связи постепенно раскрываются в практических действиях над величинами.
Совершенно другой подход наблюдается в учебниках математики для начальных классов, написанных в соответствии с системой Эльконина - Давыдова (см., например, [Математика. 1 1995]). По этим учебникам курс математики начинают изучать с вели-
чин и их основных свойств. Сложение, вычитание, сравнение геометрических (длина, площадь) и физических величин (масса, время, емкость) проводится с помощью практических действий учащихся: откладывания суммы отрезков, наложения отрезков, сравнения масс с помощью весов, уравнивание масс на весах и др., в ходе которых выявляются и обобщаются основные свойства величин (сравнимость, возможность складывать, переместительное и сочетательное свойство сложения, возможность вычитать из большей величины меньшую, неизменяемость суммы при замене равных величин на равные, монотонность сложения), которые затем используются в качестве средства для изучения чисел, действий над ними и законов этих действий. Трудность, а во многих случаях невозможность непосредственного сравнения величин позволяют мотивировать введение понятия числа, после чего действия над величинами более обоснованно сводятся к действиям над числовыми значениями величин при выбранной единице измерения.
Таким образом, понятие величины как одно из важнейших математических понятий может служить теоретической основой для введения понятия числа и изучения действий над ними.
При сравнении методик формирования понятия числа в традиционных и альтернативных учебниках математики для начальных классов невольно возникает вопрос: что в своей практической деятельности человек начал использовать раньше - числа или величины? Ответ на этот вопрос склоняется в пользу величин, так как без чисел, без измерительных приборов человек уже встречался с необходимостью сравнивать расстояния, длины предметов, например при изготовлении стрел одинаковой длины. Позднее у людей появляется умение считать предметы и вместе с ним именованные числа. Наименование здесь выступало в роли единицы счета или, как мы теперь говорим, единицы измерения величины. Другими словами, именованные числа - это форма представления величин. Числа как таковые еще не выделялись, они использовались только вместе с наименованиями. Чтобы получить числа в «чистом виде», необходимо было «оторвать» их от наименований, рассмотреть операции над ними и их свойства. Эта работа успешно была проделана в период образования научных школ в Древней Греции и в странах Древнего Востока.
Обобщению творчества математиков школ Древней Греции посвящен знаменитый труд Евклида «Начала». Здесь приводится и первое аксиоматическое определение величины. Перечислим аксиомы Евклида, описывающие общие свойства положительных скалярных величин:
- равные одному и тому же равны между собой;
- если к равным прибавить равные, то и целые будут равны;
- если от равных отнимаются равные, то и остатки будут равны;
- если к неравным прибавляются равные, то и целые будут не равны;
- и удвоенные одного и того же равны между собой;
- половины одного и того же равны между собой;
- совмещающиеся друг с другом равны между собой;
- целое больше части;
Представленная система аксиом в целом не удовлетворяет современным требованиям к подобного рода системам, так как она является зависимой и не является полной (например, четвертая аксиома является следствием второй). Однако математическая теория Евклида до сих пор привлекает внимание историков, методистов, а также самих математиков, так как обладает значительными дидактическими достоинствами: геометрический язык позволяет в тесной связи рассматривать арифметические, геометрические и алгебраические факты; достаточно простой язык позволяет использовать его в школьных курсах математики. Видимо, поэтому геометрический язык все больше
места занимает в школьных учебниках математики начальных классов, все чаще можно услышать рассуждение учащихся с логическим клише «если к равным прибавить равные, то и получатся равные»
После Евклида многие известные математики (Архимед, Герон, Л. Эйлер и др.) пытались определить понятие величины, выделяя те или иные видовые отличия величины. Например, Герон Александрийский (I в.) утверждал, что величина есть все, что может быть увеличено или разделено безгранично; Л. Эйлер (XVIII в.) называл величиной все, что может увеличиваться или уменьшаться. До сих пор существуют попытки определить понятие величины, положив в основу только одно свойство, например свойство сравнимости. В частности, в свое время о таких величинах писал академик А.Н. Крылов, соотнося их с такими свойствами, как красота, безобразие, храбрость, трусость и т. д.
Обобщением различных попыток определить понятие величины является система аксиом замечательного российского ученого, академика А.Н. Колмогорова (19031987), которую он опубликовал в БСЭ в 1951 году, затем статья была перепечатана в Математической энциклопедии в 1977 году. В этой аксиоматике первоначальное понятие величина является обобщением понятий длины, площади, массы и т. п. Каждый конкретный род величины связан с определенным способом сравнения физических тел или других объектов. В пределах каждой из рассматриваемых систем однородных величин отношение а < Ь и операция а +Ь =с обладают следующими свойствами:
1) каковы бы ни были а и Ь , имеет место одно и только одно из 3-х соотношений: а = Ь, или а < Ь, или Ь < а;
2) если а < Ь и Ь < с ,то а < с (транзитивность отношения меньше);
3) для любых величин а и Ь существует однозначно - определенная величина с =
а + Ь;
4) а +Ь = Ь + а (коммутативность сложения);
5) (а + Ь) + с = а + (Ь + с) (ассоциативность сложения);
6) а +Ь > а (монотонность сложения );
7) если а > Ь , то существует одна и только одна величина с, для которой Ь + с
= а;
8) каковы бы ни были величина а и натуральное число п, существует величина Ь, что пЬ = а (возможность деления);
9) каковы бы ни были величины а и Ь, существует натуральное число п, такое, что а < пЬ. Это свойство называют аксиомой Евдокса, или аксиомой Архимеда;
10) если последовательность величин а! < а2 <... < Ь2 < Ь 1 обладает тем
свойством, что Ь п - а п < с для любой величины с при достаточно большом номере п, то существует единственная величина х , которая больше всех а и меньше всех Ь. Это свойство называют аксиомой Г. Кантора.
В энциклопедии не приведено анализа этой системы аксиом с точки зрения их независимости, непротиворечивости и полноты. В математической литературе есть лишь доказательство независимости аксиомы Архимеда от других аксиом. Например, в энциклопедии указано, что значение аксиомы Архимеда выяснилось с полной отчетливостью после того, как в XIX в. математики Веронезе, Леви-Чивита и Гильберт обнаружили существование неархимедовых величин, то есть таких, у которых все аксиомы, кроме аксиомы Архимеда, выполняются (см. БСЭ, 2-е изд., т.2, с.186). В наиболее доступном исследовании Д.Гильберта «Основания геометрии» речь идет о независимости аксиомы Архимеда от геометрических аксиом. Построенная модель неархимедовой
геометрии показывает существование неархимедовых величин. Специальные исследования о независимости системы аксиом от величин нам неизвестны.
Высокий уровень абстракции приведенных выше аксиом, использование современного математического языка, значительное число аксиом в колмогоровской системе привели к потере дидактических достоинств изложения о величинах, которые были у Евклида и сделали подход, в котором величины являютя основой арифметики неприемлемым не только для школьного преподавания, но и для студентов нематематических специальностей.
Учитывая сказанное, мы попытались провести анализ системы аксиом и сделали вывод о том, что рассматриваемая аксиоматика не удовлетворяет современным требованиям, предъявляемым к подобного рода системам, так как является зависимой. Например, единственность разности (аксиома 7), единственность существующего отношения (аксиома 1) могут быть доказаны с помощью других аксиом.
Есть и другие подходы к определению понятия аддитивной скалярной величины. Они, как правило, связаны с рассмотрением множества объектов с заданными на нём каких либо из отношений: эквивалентности, порядка, тернарного отношения а = в + с. К таковым относится и упоминаемое Н. Я. Виленкиным определение, опирающееся на понятие области определения величины О (предполагается, что на указанной области определены отношение эквивалентности «равновеликость» и тернарное отношение «+»). Приведем это определение: «Величиной, заданной отношениями а~Ь и а = в+с в множестве О, называется разбиение этого множества на классы эквивалентности по отношению “а равновелико в”» ( см. [Виленкин 1973: 5]).
Отметим, что этот и другие аналогичные подходы также являются аксиоматическими, так как предполагают выполнимость рефлексивности, симметричности, транзитивности и других свойств заданных отношений, поэтому при детальном изложении требуют рассмотрения примерно такого же количества аксиом, что и в приведенной выше аксиоматике. Кроме того, необходимо констатировать, что определение Н.Я. Виленкина не может служить теоретической основой для построения курса математики по системе В.В. Давыдова, так как предполагает построенной систему действительных чисел.
Таким образом, существующие подходы к определению понятия величины - аксиоматические. Это означает, что не существует какого либо свойства, которое могло бы служить единственным видовым отличием для величины. Одной из причин этого явления следует считать приложимость понятия величины к слишком широкому кругу свойств. Можно доказать эквивалентность указанных подходов к определению понятия величины. Все сказанное говорит об имеющихся возможностях построения достаточно интересной теории скалярной величины для студентов университета.
Таким образом, понятие скалярной аддитивной величины - это неопределяемое понятие, которое находит свое наиболее полное описание с помощью одной из систем аксиом. Мы полагаем, что будущих учителей начальных классов необходимо знакомить с различными подходами к определению понятия величины, показать эквивалентность этих подходов. В частности, необходимо показать, что изучаемые в школе величины выступают как свойства объектов и при выполнении определенных аксиом они становятся аддитивными скалярными величинами.
Далее читателю предлагается математическое содержание первой главы спецкурса, главной задачей которой является рассмотрение свойств скалярных положительных величин без использования числа.
1.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ МНОЖЕСТВА ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ СКАЛЯРНЫХ ВЕЛИЧИН
Как мы уже отмечали, одним из основополагающих свойств величин является сравнимость, то есть для них должны быть рассмотрены отношения «быть меньше» и «быть равными». В практике иногда вместо термина «равны» используется термин «одинаковы». Читателю, видимо, известно, что под равенством множеств понимается их полное совпадение. Однако использовать термин «равны» для величин именно в таком смысле было бы не совсем верным, так как само понятие «величина» является основным, а значит неопределяемым. Поэтому наш выбор был бы на стороне использования термина «одинаковы», если бы не очень давние традиции использования в этих ситуациях термина «равны» и соответствующего обозначения «=». Таким образом, мы не будем различать понятия «равны» и «одинаковы», объявляем их, наряду с понятием «меньше», основными неопределяемыми отношениями, смысл которых будет раскрыт в ходе анализа системы аксиом.
В связи с тем что понятие величины является обобщением более конкретных понятий (длины, площади, объема, массы и т.д.) и каждый род величины связан с определенным способом сравнения и сложения, понятие величины объявляется основным неопределяемым понятием, отношения «меньше» и «равно» - неопределяемым отношениями, а сложение - неопределяемой бинарной алгебраической операцией.
Итак, пусть имеется непустое множество н, состоящее из элементов любой природы. Предположим, что на этом множестве заданы отношения «меньше» и «равно», обозначаемые соответственно «<» и «=», и бинарная операция «+», называемая сложением.
Множество н, рассматриваемое вместе с определенными на нем отношениями «<», «=» и операцией «+», называется системой однородных положительных скалярных величин: (V = ( н, + , <, = ), а его элементы - однородными положительными скалярными величинами, если категорично выполняются следующие свойства:
I. Для любых а и Ь из множества н верно хотя бы одно из отношений: (а < Ь, а = Ь, Ь < а ).
II. Если к равным величинам прибавить равные, то получатся равные величины (V a, а, Ь, Ь е н) ( a = а, Ь = Ь ^ a + Ь = а + Ь ).
III. Каковы бы ни были величины а, Ь и с, существует величина 8, которая равна сумме этих величин и не зависит от порядка их сложения:
( Va, Ь, с е V) (л + Ь) + с = я ^ а + (Ь + с) = я.
IV. Если Ь < а, то существует величина с, которая в сумме с Ь, дает величину а. (Уа, Ь, е н ) ( Ь < а ) ^ (3 с е н) ( а = Ь + с)
V. Если прибавить, то получится больше чем было.
(Уа, Ь, е н) (а < а + Ь)
VI. От перемены мест слагаемых сумма не меняется.
(Уа, Ь е V)(а + Ь = я ^ Ь + а = я).
Перечисленные шесть аксиом полностью определяют понятие аддитивной, положительной, скалярной величины.
1.2. ПЕРВЫЕ СЛЕДСТВИЯ ИЗ СИСТЕМЫ АКСИОМ СКАЛЯРНЫХ
ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ ВЕЛИЧИН
Напомним читателю, что после объявления неопределяемых понятий остальные должны получить четкие определения, даже если читатель встречался с ними еще в начальной школе. Поэтому в данном разделе для более полного описания множества ве-
личин мы определим наиболее простые понятия, связанные с теорией величин. Кроме того, учитывая высокий уровень абстракции при аксиматическом изложении теории, мы попытаемся рассмотреть следствия из аксиом, позволяющие читателю более глубоко понять смысл каждой из аксиом, осознать возможные способы действий с ними при доказательстве теорем, определить ближайшие задачи для дальнейшего построения теории.
Первое, на что мы обращаем внимание читателя, - это бинарная алгебраическая операция «+», которая означает, что каждым двум величинам а и Ь ставится в соответствие величина а + Ь, которую мы обозначаем через с и записываем с = а + Ь. Что означает, в этой записи знак «=»? Видимо, что а + Ь и с -одна и та же величина. Правомерно ли такое обозначение? Ведь отношение «равно» - это неопределяемое отношение рассматриваемой теории. Мы полагаем, что ответ на поставленный вопрос читатель получит чуть позднее. А пока рассмотрим первые определения.
Определение 1. Если а + Ь = с, то величины а и Ь называются слагаемыми или частями, а величина с называется суммой или целой величиной.
Другими словами, сумма частей есть целая величина, то есть а + Ь и с - это обозначение одной величины в записи с = а + Ь.
Примечание. Учитывая определение 1, вторую аксиому можно сформулировать так, как её формулировал Евклид: если к равным прибавить равные, то и целые будут равны.
Рассмотрим важные следствия из аксиомы II.
Следствие 1. Если сложить левые и правые части верных равенств, то получится верное равенство.
Действительно, если а = а, Ь = Ь, то а + Ь = а + Ь . Таким образом, следствие 1 представляет собой другую формулировку второй аксиомы.
Следствие 2. Если в сумме заменить слагаемые равными им слагаемыми, то получится сумма, равная данной.
Это еще одна формулировка аксиомы Евклида. Следствие 2 говорит также о том, что сумма величин единственна с точностью до равенства.
Теорема 1. Отношение равенства на множестве величин рефлексивно. То
есть (Уа е н) (а = а).
Доказательство. Докажем эту теорему методом от противного. Допустим, что для какой-нибудь величины а ^ а. Тогда по аксиоме I имеем: а < а, откуда получаем а + d = а, что противоречит монотонности сложения.
Таким образом, совпадение величин - это частный случай равенства, значит если величины представляют одну и ту же величину, то они равны. Это и есть ответ на поставленный ранее вопрос.
Рассмотрим более подробно аксиому III. В ней говорится о существовании величины Б = а + Ь + с, которая не зависит от порядка сложения величин. Отсюда вытекают важные следствия.
Следствие 3. Операция сложения на множестве н - ассоциативна, то есть (Уа, Ь, c е н) [ (а + Ь) + с = а + (Ь + с)].
Действительно, по аксиоме III (а + Ь) + с и а +(Ь + с) - это одна и та же величина 8, а по теореме 1 заключаем, что (а + Ь) + с = а + (в + с).
Следствие 4. Выражения а +Ь + ^ (а + Ь) + ^ а + (Ь + ^ взаимозаменяемы, то есть могут быть использованы при проведении тождественных преобразований.
Это вытекает из того, что указанные выражения представляют одну и ту же величину.
Определение 2. Множество, на котором задана ассоциативная алгебраическая операция, называется полугруппной относительно этой операции.
Учитывая данное определение, следствие 3 можно сформулировать следующим образом: V = (н, + , <, =) есть полугруппа относительно операции сложения.
Рассмотрим подробнее аксиомы IV и V. В них рассматриваются отношения «меньше» и «больше». Отношение «меньше» обозначаемое «<» является основным неопределяемым понятием , а вот отношение «больше» необходимо определить.
Определение 3. Если а < Ь, то говорят, что Ь больше а и пишут Ь > а.
Таким образом, отношение «больше» определено через отношение «меньше».
Аксиома IV в символической записи выглядит так:
(Ь < а) ^ (3 с е н) ( Ь + с = а).
Обычно эту аксиому называют аксиомой существования разности, так как её формулировка, как правило, сопровождается следующим определением.
Определение 4. Если Ь + с = а, то величину с называют разностью величин а и Ь, которую обозначают с = а — Ь.
Таким образом, с = а - Ь о Ь + с = а, при этом величины а и Ь + с, с и а - Ь, представляют собой одинаковые пары взаимозаменяемых величин.
Предпоследняя аксиома носит название аксиомы монотонности сложения: (Уаен) ( а + Ь > а ). Смысл её такой, что если к первому слагаемому прибавить какую-либо величину, то эта величина может только увеличиться. Отметим, что речь идет только о первом слагаемом. Будет ли эта сумма больше второго слагаемого? Это еще нужно доказать. Достаточно точно эта аксиома звучала в аксиоматике Евклида: целое больше части.
Отметим, что аксиомы IV и V - это два взаимно обратных предложения, которые можно объединить в теорему.
Теорема 2. Каковы бы ни были а и Ь из множества н, Ь < а тогда и только тогда, когда существует величина с, такая, что Ь + с = а.
Доказательство достаточности. Если такая величина с существует, то Ь + с = а. По аксиоме V Ь + с > Ь, значит, а > Ь или Ь < а, что и требовалось доказать.
Доказательство необходимости. Если Ь < а, то по аксиоме IV существует такая величина с, что Ь + с = а, что и требовалось доказать.
Теорема 3. Отношение равенства величин симметрично, то есть (Уа, Ьен) (а = Ь ^ Ь = а).
Доказательство Допустим, что а = Ь, а Ь &а, например, Ь < а, тогда по аксиоме ГУ имеем (3 ёе н) (Ь + ё = а). Используя следствие 2 и аксиому III, получаем (а + Ь) + ё = Ь + а, откуда, по теореме 2, а + Ь < Ь + а, что противоречит аксиоме VI. Следовательно, предположение неверно. Аналогично показывается, что не может быть а < Ь. В силу аксиомы I остается, что Ь = а.
Теорема 4. Для любых величин а и Ь каждое из соотношений а < Ь, а = Ь, Ь < а исключает остальные и одно из них обязательно выполняется.
В самом деле на основе аксиомы I заключаем, что хотя бы одно из этих соотношений выполняется. Покажем, что выполнимость любой пары указанных отношений приводит к противоречию. Допустим, а < Ь и а = Ь, тогда, при некотором й, а + й = Ь и а = Ь откуда получаем: (Ь + а) + й = а + Ь =>Ь + а < а + Ь, что противоречит аксиоме
VI. Следовательно, предположение неверно.
Аналогично доказывается несовместимость любой пары перечисленных отношений.
Теорема 5. Отношение равенства на множестве величин транзитивно. (Уа, Ь, с е V) (а = Ь л Ь = с ^ а = с).
Доказательство. Допустим, что а = Ь, Ь = с, но а Ф с, например а < с. Тогда а = Ь, Ь = с и, при некотором й, а + й = с, где с и а + й - одна и та же величина, значит Ь = а + й => Ь < а, что противоречит условию теоремы. Аналогично можно показать, что не может быть а > с. Таким образом, транзитивность отношения равенства выполняется.
Подведем некоторый итог проведенного исследования.
Во-первых, для любых элементов а и Ь выполняется только одно из соотношений а < Ь, а = Ь , Ь < а, это свойство носит название трихотомии.
Во-вторых, отношение равенства на множестве величин рефлексивно, симметрично и транзитивно, то есть мы доказали более общую теорему:
Теорема 6. Отношение равенства на множестве величин является отношением эквивалентности.
Как известно, в этом случае множество величин разбивается на попарно-непересекающиеся классы. В каждый класс войдут равные между собой величины, и под величиной мы можем понимать класс равных между собой величин.
Определение 5. Класс равных элементов множества н, которому принадлежит элемент а, будем обозначать К(а) и называть величиной а. При этом любой элемент, принадлежащий К(а), будем называть представителем этой величины.
Теорема 7. Сумма величин а и Ь не зависит от выбора представителей классов этих величин.
Действительно, а + Ь = к(а) + к(Ь) . Выберем величины а е к (а) и Ь е к (Ь), тогда по определению ... величин а = а и Ь = Ь . По второй аксиоме а +Ь =а + Ь , что и требовалось доказать.
Итак, главным итогом этого параграфа является эквивалентность отношения равенства. После доказательства этой теоремы становится очевидным взаимозаменяемость всех равных величин, поэтому доказанные следствия являются не просто верными равенствами, но и простейшими тождествами, которые можно использовать при проведении тождественных преобразований, заменяя выражения тождественно равными выражениями.
1.3. СВОЙСТВА СИСТЕМЫ СКАЛЯРНЫХ ВЕЛИЧИН, СВЯЗАННЫЕ С СООТНОШЕНИЯМИ «МЕНЬШЕ» И «БОЛЬШЕ»
В данном разделе мы продолжим рассмотрение свойств сложения и вычитания величин, которые в той или иной степени связаны с указанными отношениями, в частности дадим обоснование использования термина «положительные величины».
Определение 1. Полугруппа, в которой для любых ее элементов выполняется соотношение а + Ь Ф а, называется полугруппой без нуля.
Учитывая, что в системе V свойство, зафиксированное в определении 1, выполняется (в силу монотонности сложения), можно сформулировать следующее следствие.
Следствие 1. Система V является полугруппой без нуля.
Определение 2. Элементы полугруппы, в которой выполняется монотонность сложения, называются положительными.
Следствие 2. Множество н системы V является множеством положительных элементов.
Рассмотрим более подробно свойства отношения «меньше».
Теорема 1. Отношение «меньше» на множестве н транзитивно (V а, Ь, с е н ) (а < Ь л Ь < с ^ а < с ).
Доказательство. Так как по условию а < Ь и Ь < с, то существуют ё и I такие, что а + ё = Ь и Ь + I = с. Подставим во второе равенство выражение, равное Ь из первого равенства, получим (а + ё) + I = с а + (ё +Ь) = с =^а < с (теор. п 13)
Таким образом, после доказательства этого свойства выражения можно заменять на равные им выражения и в неравенствах.
Теорема 2. Отношение «меньше» на множестве величин антисимметрично (V а, Ь е н ) (а < Ь ^ Ь < а).
Действительно, если а < Ь, то на основе теоремы (п.1.3, теор. 6) имеем, что Ь < а и Ь = а неверны, что и требовалось доказать.
Теорема 3. Отношение «меньше» является отношением строгого порядка.
Доказательство вытекает непосредственно из теорем 1 и 2 и определения отношения строгого порядка.
Определение 3. Полугруппа, в которой все элементы связаны отношением линейного порядка, называется линейно-упорядоченной полугруппой.
На основе теоремы (6 и 1.3) отношение меньше является связным отношением, и, следовательно, V является линейно-упорядоченной полугруппой. Таким образом, используя современный математический язык, можно дать следующее определение множества скалярных положительных величин.
Определение 4. Линейно-упорядоченная полугруппа без О называется множеством скалярных положительных величин.
Теорема 4. Если из суммы вычесть первое слагаемое, то получим второе слагаемое (V а, Ь £ н) ((а + Ь) - а = Ь).
Доказательство. а + Ь = а + Ь (рефлексивность равенства)
Тогда по определению разности Ь = (а + Ь) - а, что и требовалось доказать.
Следствие 3. Если из суммы вычесть второе слагаемое, то получится первое.
При доказательстве используем аксиому VI и теорему 4 настоящего параграфа.
Теорема 5. Операция сложения сократима слева на множества величин.
(Уа, х, у е V) (а + х = а + у => х = у)
Доказательство. По условию а + х = а +у х = (а + у) - а = у (по теореме (
4), что и требовалось доказать.
Теорема 6. Если разность двух величин существует, то она единственна.
Доказательство. Допустим, что разность не единственна, то есть а - Ь = ё] и а — Ь =ё2, тогда по определению разности а = Ь + ё] и а = Ь + ё2, откуда Ь + ё] = Ь + ё2 ё] = ё2 по теореме 5 (п.1.3) Мы рассмотрели основные свойства величин, показали, каким образом они вытекают из представленной аксиоматики. Мы полагаем, что читатель может доказать еще ряд известных свойств, которые мы приводим в качестве упражнений.
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ I
В заданиях (1-10) докажите, что для любых однородных положительных величин верны следующие утверждения:
1. а = в ^ а + с = Ь + с
2. а > Ь ^ а + с > Ь + с
3. а = Ь и с < а ^ а - с = Ь - с
4. а + Ь > Ь
5. а > Ь и с > ё ^ а + с > Ь + ё
6. а + Ь = с + ё и а = с ^ Ь = ё
7. Ь + (а - Ь) = а
8. а = Ь и с = ё ^ а - с = Ь - ё
9. а > Ь, с = ё, Ь > с ^ с - а < ё - Ь
10. а > Ь и с < ё ^ а - с > Ь - ё
11. Разработайте и проделайте практическую работу по проверке систем аксиом для таких величин, как масса тела, длина отрезка, объем тела, площадь плоской фигуры.
12. Является ли множество длин отрезков множеством величин, если под длиной отрезка понимается множество равных отрезков, сравнение отрезков проводится обычным наложением, а под суммой понимается гипотенуза треугольника, построенного на данных отрезках как на катетах.
13. Какие из аксиом Евклида можно доказать с помощью предлагаемой системы аксиом?
14. Запишите аксиомы Евклида в символической форме. Какие из них сохранили статус аксиом в современной аксиоматике?
15. Проанализируйте учебники математики в системе В.В. Давыдова и ответьте на следующие вопросы:
а) какие величины рассматриваются в 1-м классе в «дочисловой период» изучения математики?
б) какие основные свойства обобщаются при изучении этих величин?
Библиографический список
Виленкин Н. Я. О понятии величины // Математика в школе. 1973. №4.
Математика.1 : учеб. / М. И. Моро, С. И. Волкова, С. В. Степанова. М.: Просвещение, 2003.
Математика.1 : учеб. / В. В. Давыдов, О. В. Савельева, Г. Г. Микулина, С. Ф. Горбов. М., 1995.
Паболкова Н.Н. Логическое обоснование понятия аддитивно-скалярной величины // Начальная школа. 2002. № 8. С. 80-86.
Паболкова Н.Н. О понятии величины и признаках ее проявления // Начальная школа. 2004. № 3. С. 96-100.
