Семантическая модель и оптимизация при построении и распространении математического знания Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 51:371; 510.662; 681.3

В.Е. Фирстов

СЕМАНТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ И ОПТИМИЗАЦИЯ ПРИ ПОСТРОЕНИИ И РАСПРОСТРАНЕНИИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ЗНАНИЯ

Предлагается математическая модель построения математического знания как дедуктивной теории. В рамках этой модели построение дедуктивной теории представляется как освоение определенного информационного пространства, элементы которого структурированы в виде ориентированной семантической сети. Данная сеть разбивается на области доминирования и определенным образом метризуется, после чего на этой сети ставятся задачи оптимизации, например, в виде минимизации доказательств рассматриваемой дедуктивной теории.

V.E. Firstov

THE SEMANTIC MODEL AND OPTIMIZATION THROUGH MATHEMATICAL KNOWLEDGE FORMATION AND PROPAGATION

The mathematical model formation of a mathematical knowledge as a deductive theory is offered here. Within this model of formation of the deductive theory mastering define information space is presented here. The elements of space are structured into oriented semantic net. This net divides on the dominated regions and metric measure. Optimization problems are researched in this net.

1. Дискретная модель семантической сети для неформальной аксиоматической

теории

Пусть S=(M; Z) - некоторая математическая структура, основные отношения которой выражены аксиомами Е={аь...; as} в рамках системы базисных множеств M=(M1;_;Mk}, представляющих основные объекты данной структуры. Пусть дедуктивная теория Th(S) этой математической структуры строится как неформальная (содержательная) аксиоматическая теория, которая является некоторым счетным множеством, элементы (аксиомы и теоремы) которого упорядочены отношением «интуитивного» логического следования. Отметим, что неформальные аксиоматические теории - это обычная практика построения математического знания, восходящая к «Началам» Евклида [1], если, конечно, речь не идет о системах с искусственным интеллектом [2].

В представленной неформальной модели система аксиом Z, интерпретируемая системой основных множеств М, может рассматриваться как некий генетический базис структуры S, который на интуитивно-логическом уровне порождает упорядоченное множество Th(S), несущее информацию о строении структуры S. Поэтому о дедуктивной теории Th(S) можно говорить как о некотором информационном пространстве, построение которого мыслится, вообще говоря, в виде некоторой потенциально бесконечной

процедуры и, в связи с этим, для ТИ(Б) более точным представляется название «виртуальное информационное пространство».

Информационное пространство дедуктивной теории ТИ(Б) интерпретируется в виде

некоторого орграфа Г (Б), представляющего модель структуры Б, реализующей прохождение определенной математической информации, т.е. речь идет о семантической модели. В этом случае множество ТИ(Б) задает элементы предметной области, являющиеся вершинами орграфа, а его дуги определяются набором функций/т вида:

/ : т;...;ТИ ат , (1)

где т;1\; ...; Т ;...;Т ;Т е.Тк(Б), а символ а подразумевает неформальное

11 1„

логическое следствие утверждения Т из посылок Т ;...;Т . Фрагмент орграфа Г (Б),

г1 г„

связанный с функцией (1), представлен на рис. 1, а, а в таблице (рис. 1, б) приведена матрица смежности этого фрагмента.

Т Т Т /т

Т1, 0 0 0 1

Т„ 0 0 0 1

Т 0 0 0 0

/т 0 0 1 0

Рис. 1

б

а

Как видим, орграф Г (Б), наряду с вершинами предметной области ТИ(Б),

характеризуется еще одним типом вершин, которые задаются множеством Е={/т\те^}, содержащим функции вида (1). В определенном смысле элементы множества Е - это аналоги дизъюнктов, которые используются при построении формализованных моделей семантических сетей [3]. В итоге, орграф Г (Б) представляется парой (V; Е), где множество вершин V и множество дуг Е определяются выражениями:

V = Тк(Б) и Е ; Е с (Тй(Б)хЕ) и (ЕхЁ ) ; (2)

Е - дополнение системы аксиом Е до Тк(Б), т.к., без ограничения общности, систему аксиом Е Е можно считать независимой. Поскольку аксиомы теории Тк(Б) не являются логическими следствиями, то для заданного орграфа Г(Б) система вершин ЕсТИ(Б) выполняет роль источников и, следовательно, Г(Б) выступает в виде некоторой семантической сети, определяющей строение информационного пространства дедуктивной теории ТИ(Б).

Предлагаемая сетевая модель вида (1)-(2) характерна тем, что из любой Е-вершины

орграфа Г (Б) всегда исходит только одна дуга. Это несколько упрощает математический аппарат и позволяет не обращаться к общим сетевым моделям в виде гиперграфов [4]. Другая возможная альтернатива исходит из логико-лингвистической модели семантических сетей, которые актуальны при ситуационном управлении сложными

системами [3]; [5] и выражаются на языке лингвистической переменной [6] с помощью нечетких множеств [7].

2. Маршруты, расстояния и связность между вершинами семантической сети неформальной аксиоматической теории

Пусть на орграфе Г(Б) вида (2) выделены различные вершины Уо;У1;...;Уп еУ , такие, что образуется последовательность дуг

1 Оо;...;у):(Уо;У№1;УХ-.;^;У) е е . (3)

Тогда говорят об ориентированном маршруте, соединяющем вершину у0 с вершиной уп. В этом случае также говорят, что вершина Уп достижима из вершины у0. При

у0=уп, п>1 маршрут I((Уо;...;Уп) является циклическим. Вершины V, \= 1; П-1 будем называть промежуточными (или транзитными) вершинами маршрута (3), выражая этот факт следующим образом: У0 Р У1 Р Уп. Длина маршрута (3) определяется соотношением:

1 (уо;...; уп)

= п

(4)

Пусть I((Уо; Уп) - множество всех ориентированных маршрутов, соединяющих

вершину уо с Уп, а

I (Уо; Уп)

- множество длин этих маршрутов. Расстояние

г (Уо; Уп)

от

вершины у0 до вершины Уп определяется выражением

г (Уо; Уп) = inf 1 (Уо; Уп)

(5)

Расстояние (5), вообще говоря, не является метрикой на орграфе Г (Б), т.к.,

например, не выполняется условие симметричности

г(Уо; Уп) * г(Уп; Уо)

При рассмотрении дедуктивной теории ТИ(Б) вопросы связности Г (Б) представляются достаточно важными. Для орграфов обычно вводят две связности -слабую и сильную [8] и, в этой связи, далее установим некоторые структурные свойства

орграфа Г (Б).

Предложение 1. Орграф Г (Б) является двудольным.

Предложение 2. Предикатные вершины ТИ(Б) связаны между собой дугами только через дизъюнкты Г.

Предложение 3. Орграф Г (Б) не является связным в сильном смысле.

Предложения 1; 2 следуют из определения Г(Б) в виде (1), (2). Предложение 3 очевидно, т.к., в противном случае, получается логическая эквивалентность между любой парой утверждений теории ТИ(Б), что представляется абсурдным.

Предложение 4. Орграф Г (Б) является связным в слабом смысле.

Действительно, допустим противное. Тогда, имея в виду связность по вершинам ТИ(Б), на основании Г(Б) орграфа Г (Б) найдутся, по крайней мере, две вершины Т;Т'еТИ(Б), обладающие следующим свойством: из системы аксиом £^ТИ(Б) к Т' и Т" ведут два непересекающихся маршрута. Это означает, что в системе £ выделяются две непересекающиеся подсистемы аксиом £' ;£", соответственно, приводящие к утверждениям Т' ;Т". Но тогда получается ТИ'(Б)^ТИ"(Б)(^ТИ(Б), ТИ'(Б)^ТИ"(Б)=0, где

Тк'(Б); Тк"(Б) - соответственно, теории, исходящие из аксиом Е';Е", что исключается, поскольку Тк(Б) представляется как единая, целостная теория в аксиоматике Е.

Следствие 1. Расстояние (5) в слабом смысле

\т(у0;У„) = М \1 (У0; V ) (6)

является метрикой на орграфе Г (Б).

3. Области доминирования предикатных вершин семантической сети

и их характерные размеры

Пусть произвольно выбрана предикатная вершина ТеТк(Б), посредством которой формируется множество

и(Т) = {Т|Т Р Т V Т = Т, Т; Т е Тк(Б), ¡еЩ с Тк(Б) , (7)

где порядок Р определен выше. Элементы множества и(Т) - это вершины, для которых вершина Т является достижимой на орграфе Г (Б). Поэтому множество и(Т) будем называть областью доминирования вершины Т в пространстве Тк(Б).

Укажем некоторые свойства области доминирования и(Т), исходя из определения

(7):

и(Т) п Е * 0 , (8)

Т';Т"еЕ , Т' и(Т')пи(Т") = 0 . (9)

Из соотношений (8); (9), очевидным образом, следует

Предложение 5. Если Т^Е, то область и(Т) - есть сеть, у которой элементы соответствующего подмножества Е ' сЕ являются источниками, а вершина Т - стоком.

Предложение 6. Т' е и(Т) о и(Т') с ЩТ) , (10)

причем, если равенство и(Т')=и(Т) выполняется при Т*Т ' , то вершины Т;Т ' связаны циклом.

Доказательство. Соотношение (10) следует из определения (7). Что касается второй части утверждения, то, в этой связи, рассмотрим логическую цепочку вида

Еа... а Т а... аТ а... аТ , (11)

±_I

где вершины Т;Т ' связаны циклом. Из (11) следует:

и(Т') = {Тг|ТгрТ VTг=T' vT'рТрТ} . (12)

Сравнивая (7); (12), имея в виду (11), устанавливаем равенство и(Т')=и(Т) для всех вершин Т , охваченных циклом. Что и требовалось доказать.

Предложение 7. Если и(Т')пЩ(Т")*0 и области и(Т'),и(Т") не связаны отношением включения, то среди вершин Теи(Т' )пЩ(Т ") хотя бы одна является точкой ветвления в ориентированной сети Г (Б).

Доказательство. Если области и(Т'),и(Т ") не связаны включением, то между вершинами Т' ;Т"еТк(Б) не существует маршрута. Пусть I(Т;Т') ; I (Т;Т") -соответственно, маршруты из Т в Т 'и Т ". Тогда I (Т ;Т') п I (Т ;Т') = I (Т;Тк ) - общий

участок маршрутов по вершинам пересечения и(Т')пи(Т") с началом в вершине Т и концом в Тк (случай Т=Тк не исключается). Т.к. концы дуг, начинающихся в вершине Тк , с одной стороны, располагаются в области и(Т' )\и(Т "), а с другой - в области и(Т ")\и(Т') и эти области не пересекаются, то Тк - точка ветвления маршрутов I (Т; Т') ; I (Т; Т"), расположенная в заданной области и(Т ')пЩ(Т "). Что и требовалось доказать.

Следствие 2. Если и(Т ')пЩ(Т ")сЕ и Т ';Т "^Е, то каждая аксиома аеи(Т ')пЩ(Т ") является точкой ветвления в сети Г (Б).

Пусть и(Т) - область доминирования вершины ТеТИ(Б), а I (£;Т) - множество маршрутов, ведущих от аксиом £ к вершине Т. Длина каждого такого маршрута

- множество длин маршрутов множества

определяется соотношением (4) и пусть |/ (£;Т)

l (£; T). Согласно (5), введем расстояние от £ до T:

r(£;Т)| = inf |/ (£;T)| , (13)

и, кроме того, определим диаметр области U(T):

d(U(T)) = sup \l (£; T)| . (14)

Введенные размеры (13), (14) и емкость \U(T)| связаны очевидным неравенством \r (£;T)| < d(U(T)) < U(T)| -1 и представляют интерес в целях методической оптимизации теории Th(S).

4. Емкости предикатных вершин семантической сети

Метрика (6), по существу, задает геометрическое расстояние между вершинами на орграфе Г(S), определяя это расстояние количеством ребер, которые укладываются на минимальном маршруте, соединяющем эти вершины в основании Г(S) орграфа Г(S). При этом полностью игнорируется ориентация дуг Г(S), так что при описании дедуктивной теории Th(S) такая метрика вряд ли целесообразна.

В данном случае более приемлемой представляется концепция емкостей Г. Шоке [9], которая вводится аксиоматически в абстрактном хаусдорфовом пространстве X как некоторая числовая функция C(K), определенная на компактах K пространства X, которая, в первую очередь, должна монотонно возрастать:

K1 с K2 ^ C(K1) < C(K) . (15)

Распространить в полной мере концепцию емкостей Шоке в информационное пространство Th(S) не удается, однако некий аналог емкости в Th(S) ввести все-таки можно. Для этого рассмотрим множество Fh(S)={U(T)|TeTh(S)}, которое определяет счетное покрытие пространства Th(S) элементами конечной мощности 1<| U(T)\ <го. На множестве Fh(S) определим числовую функцию I: Fh(S) ^ N по правилу:

VU (T): I (U (T)) = \U (T )|. (16)

Из соотношений (7), (10) видно, что функция I вида (16) удовлетворяет условию

(15), т.к. U(T') с U(T) ^ |U(T')| < |U(T)|. Поэтому функцию I назовем емкостью

области доминирования U(T) или T-емкостью. Функция I емкостью в смысле Шоке не является, т.к. множество Fh(S), очевидно, не замкнуто по операциям ^ и п.

В рамках концепции емкости (16), на орграфе Г (S) определим функцию:

VT;T' е Th(S): p(T;T') = |\U(T) - \U(T'^ . (17)

Функция р(Т;Т ' ) удовлетворяет аксиомам симметричности и треугольника, но не удовлетворяет аксиоме тождества, поскольку р(Т;Т ' )=0 не влечет Т=Т ' (предложение 6). Поэтому функция р(Т;Т ' ) задает псевдометрику (или отклонение) в пространстве Th(S). Метрика получается при факторизации Th(S) с помощью эквивалентности:

ТПТ' о |U(T)| = |U(T) . (18)

Тогда для любого класса [T]eTh(S)/~ фиксируется емкость |[Т ] = U (Т), после чего, определив функцию (17) на классах, задается метрика фактор-пространства Th(S)/~.

5. Сетевая оптимизация в информационном пространстве дедуктивной теории: минимизация длины и емкости доказательства

Процедура доказательства некоторого утверждения TeTh(S) в сети Г (S) представляется следующим образом. Среди предикатных вершин Th(S) имеется конечное множество посылок Ti ;...;Ti , для которого в семантической сети Г(S) существует

единственная F-вершина в виде функцииfmeF с областью определения Dom fm={ T; ';...';Ti }, реализующая неформальный логический вывод

fm : Th ;...;Tt aT . (19)

В связи с выводом (19) возникают два случая. Если Dom fm<dL, то мы имеем неформальный вывод T из аксиом системы Z и, следовательно, в (19) в данном случае следует считать m=1, 0<k<s, где s=|z|. Тогда доказательство утверждения Tпредставляет собой множество B(T)={ Ti ;...;Ti ;T }, упорядоченное логическим следованием (19), и это

доказательство осуществляется за один шаг по схеме, показанной на рис. 1.

Если Domfm&L, то 0<|Dom fm \ = n < k; m > 1 и каждая из вершин Ti ;...;T

e Dom fm \ Z, в свою очередь, оказывается следствием, однозначно вытекающим из соответствующих посылок предикатной области Th(S), так что имеется единственный набор функцийfm-1;1;_; fm-1neF, реализующих доказательства:

fm-1;1 : Ti1';...;T// aTu fm-1;n : T! ;...;Tj a Ti .

(20)

К посылкам в доказательствах (20) вновь применяются рассуждения, аналогичные (19), и т.д., пока не приходим к доказательствам вида:

/п : Е а Т;/12: Е2 а Т2;...;/1г: Ег аТг, (21)

где Е1;...;ЕГ сЕ. Таким образом, процедура доказательства утверждения Т&ТИ(£>) в

общем случае представляется частично упорядоченным множеством В(Т), которое составлено из предикатных вершин, структурированных посредством функций (19)-(21). Отметим некоторые очевидные свойства процедуры доказательства В(Т):

1. Аксиомы системы Е ' сЕ;Е 'с В(Т) образуют систему минимальных элементов частично упорядоченного множества В(Т), а вершина Т есть наибольший элемент данного множества.

2. Пусть и(Т) - область доминирования вершины Т. Тогда В(Т)си(Т).

3. Область и(Т) представляется в виде объединения всевозможных доказательств утверждения Т.

Имея в виду неформальный логический вывод (19), длину Ь (Т) В(Т) определим следующим образом:

доказательства

\ь(T)| = max (b\b(Tk )|)

i +1 .

b T )

= 0 что дает

b (T)

(22) =1, т. е.

Тогда, в случае Dom fm(zZ, имеем b (Tt )

вывод T из аксиом осуществляется за один шаг. В случае Dom fm&Z определение (22), в соответствии с (19)-(21), предполагает рекурсию:

г

b(Th)

= max(

b(Tl);...; b(Tj)

<

b(T)

= max(

b(Tl);...; b(Tjn)

) + 1

) + 1

(23)

ад) = ад)

ад)

=i .

Из определения длины Ь (Т) в виде (22), (23) легко получается

Предложение 8. Длина доказательства |Ь(Т)| совпадает с диаметром ё(Б(Т))

доказательства B(T):

\Ъ (Т )| = d(B(T))

(24)

где d(B(T)) определяется аналогично (14).

Помимо длины Ъ (Т) , доказательство B(T) характеризуется величиной емкости

доказательства |B(T)|, под которой понимается мощность множества B(T).

Рассматривая длину Ъ (Т) и емкость |B(T)|, как параметры регулирования в сети

Г(S), формируются задачи оптимизации при построении математического знания в рамках теории Th(S).

Пусть B1(T);.;Bi(T) - всевозможные доказательства интересующего утверждения Те Th(S), обладающие длинами

•; Ъ (Т) и емкостями B(T)|;...; \Bl (Т )|,

соответственно. В силу свойства 3, U(T)=B1(T^^.^B/(T) и, в этой связи, формулируются следующие задачи оптимизации:

Bo(T)= opt (B1(T);...;B/(T)) о |Ъо(Т) = min( ^(Т));...; \Ъг (Т)|), (25)

Bo(T)= opt(B1(T);.;B/(T)) о Bo(T)| = min(|B^T);...;%(T)|) .

(26)

Каждая из задач (25), (26) представляет оптимизацию доказательства утверждения ТеТИ(Б), соответственно, путем минимизации его длины или емкости, хотя, в принципе, эти задачи могут рассматриваться и совместно. Такая постановка оптимальных задач предполагает упрощение доказательства при сокращении объема анализируемой доказательной базы, что, вообще говоря, согласуется с представлениями теории информации [10].

6. Пример оптимизации: доказательства теоремы Пифагора

Касаясь оптимизации, связанной с доказательством теоремы Пифагора, следует отметить, что на сегодняшний день, по данным [11], имеется около 500 всевозможных (геометрических, алгебраических, механических и др.) доказательств теоремы Пифагора, среди которых более 150 геометрических доказательств, и по этому показателю теорема Пифагора попала в Книгу рекордов Гиннесса. Но главное, столь высокими показателями может объясняться широкая востребованность теоремы Пифагора на всем протяжении математического развития и, следует заметить, что потенциал идей, исходящих из этого замечательного утверждения, судя по всему, далеко не исчерпан [12], [13].

В современной учебно-методической литературе по геометрии в основном можно встретить следующие варианты доказательств теоремы Пифагора:

1. Классическое доказательство Евклида [1], при котором на сторонах прямоугольного треугольника строятся квадраты и в результате получается известная конфигурация в виде «пифагоровых штанов».

2. Доказательства индийского математика Бхаскара (1150 г.) [11]; [14], которые известны в следующих двух вариантах. По первому варианту доказательство Бхаскара-1 реализуется с помощью построений, представленных на рис. 2. Легко видеть, что сумма площадей квадратов х2+у2 на рис. 2, а равна площади Т квадрата на рис. 2, б. По второму варианту доказательство Бхаскара-11 используется подобие треугольников (рис. 2, в):

AACD~AABC, ABCD~AABC, откуда следуют пропорции

AB AC AB BC

AC AD BC BD

и далее

AC2=ABAD; BC2=ABBD^AC2+BC2=ABAD+ABBD=AB(AD+BD)=AB2, т.е. получается утверждение теоремы Пифагора.

x 2 У 3

У

x

у2

1 x 2

4

У

x

С

y

y

x б

Рис. 2

B

3. Векторный вариант доказательства с помощью скалярного произведения в аксиоматике Вейля [15].

Для удобства анализа метрические характеристики Ь (Т) ; \Б1 (Т)| доказательств

теоремы Пифагора Т представлены в табл. 1 в обозначениях п. 5 в аксиоматиках Евклида [1], Гильберта [16] и Вейля [15].

Таблица 1

Метрические характеристики основных вариантов доказательств теоремы Пифагора

в различных системах аксиом

Доказательство Аксиоматика i b (T) \B, (T )|

Евклид Евклид (IV в. до н.э.) 0 10 36

Бхаскар-I 1 9 23

Бхаскар-II Д. Гильберт (1899) 2 12 35

Векторно-точечное Г. Вейль (1918) 3 2 12

Характеристики доказательств |b(T)|; \Bt(Г) в табл. 1 упорядочим по возрастанию:

¿3(Г)| < |bi(r)| < |Ь0(Г)| < \b2(T)\ ; (27)

|b,(t )| < bi(t) < b2(t)| < |bo(t )|

(28)

после чего проводим процедуру оптимизации в соответствии с (25); (26), откуда следует:

¿,(7)| = opt(bo(T)|;|b1(T)|;^(T);(T) , (29)

B3(T) = opt(Bo(T)|;|Bi(T)|;|^(T);|^(T)|) . (30)

Результаты оптимизации (29); (30), отдающей предпочтение векторно-точечному варианту построения евклидовой геометрии в духе Вейля [15], вообще говоря, особого удивления не вызывают, т. к. данный подход, среди рассмотренных, обладает минимальной аксиоматической базой. В то же время, следует напомнить относительно осторожности, с которой векторный аппарат должен внедряться в школьную геометрию.

а

в

Данное обстоятельство, определенно, нашло отражение в отечественной учебно-методической литературе по элементарной геометрии, анализ которой проводится в табл. 2, где, для примера, рассмотрены основные варианты доказательств теоремы Пифагора и их использование в российском математическом образовании за период 1768-2000 гг.: 1 -доказательство Евклида; 2 - доказательство Бхаскара-1 (рис. 2, а, б); 3 - доказательство Бхаскара-11 (рис. 2, в); 4 - векторно-точечное доказательство по Вейлю.

Таблица 2

Основные варианты доказательств теоремы Пифагора в российском математическом образовании

Учебник Авторы Год издания Доказательства

1 2 3 4

Элементы геометрии Курганов Н.Г. 1768 + - - -

Основания геометрии Гурьев С.Е. 1811 + - - -

Элементарная геометрия Давидов А.Ю. 1864 - - + -

Элементарная геометрия Киселев А. П. 1893 + + + -

Рабочая книга по математике Берг М.Ф. и др. 1930 - + - -

Геометрия Никитин Н.Н. 1961 - + - -

Преобразование. Векторы Болтянский В. Г., Яглом И.М. 1964 - - - +

Геометрия Колмогоров А.Н. и др. 1980 - - + -

Геометрия Александров А.Д. и др. 1991 - + - -

Геометрия Атанасян Л.С. и др. 1992 - + - +

Геометрия Погорелов А. В. 1993 - - + +

Геометрия Шарыгин И.Ф. 2000 - - + +

Характеризуя в целом данные табл. 2, можно сделать вывод, что пока в школьной геометрии, в основном, выдерживается евклидова методическая линия, образы которой достаточно наглядны: среди доказательств теоремы Пифагора наибольшее распространение имеют доказательства Бхаскара-1, II (рис. 2). Более абстрактные векторно-точечные представления в духе Вейля в школьной программе выражены в меньшей степени и появились сравнительно недавно в контексте известной образовательной концепции А.Н. Колмогорова (1967). Впрочем, учитывая нарастающую информатизацию человеческой деятельности, в недалеком будущем более востребованным может оказаться именно это абстрактное направление. Этот факт отражает оптимизация (29); (30), отдавая предпочтение векторно-точечному варианту доказательства теоремы Пифагора, при котором длина и емкость доказательства минимальны. Действительно, в рамках концепции информационного пространства, это означает транспортировку соответствующей актуальной информации в более компактном виде кратчайшим путем (т.е. за меньшее время). Последнее вполне отвечает требованиям современного образования, правда, при этом также должны быть оптимизированы вопросы презентативности данной информации.

Результаты работы позволяют составлять взвешенные и согласованные программы по математике, допускающие эффективное тематическое планирование предметного материала на базе предложенных принципов оптимизации дедуктивной теории. Эти же принципы эффективно реализуются при подготовке соответствующей учебно-методической литературы, а также в случае выработки соответствующих экспертных рекомендаций.

ЛИТЕРАТУРА

1. Начала Евклида. С комментариями Д. Д. Мордухай-Болтовского. М.-Л.: ГИТТЛ, 1948-1950. 340 с.

2. Искусственный интеллект. Справочник. Книга 2: Модели и методы / под ред. проф. Д.А. Поспелова. М.: Радио и связь, 1990. 304 с.

3. Поспелов Д.А. Логико-лингвистические модели в системах управления / Д.А. Поспелов. М.: Энергоиздат, 1981. 231 с.

4. Яблонский С.В. Введение в дискретную математику / С.В. Яблонский. М.: Наука 1986. 384 с.

5. Вагин В. Н. Дедуктивный вывод на семантических сетях в системах принятия решения / В.Н. Вагин, В.Г. Кикнадзе // Известия АН СССР. Техническая кибернетика. 1984. № 5. С. 104-120.

6. Заде Л. Понятие лингвистической переменной и его применение к принятию приближенных решений / Л. Заде. М.: Мир, 1976. 165 с.

7. Кофман А. Введение в теорию нечетких множеств / А. Кофман. М.: Радио и связь, 1982. 432 с.

8. Уилсон Р. Введение в теорию графов / Р. Уилсон. М.: Мир, 1977. 207 с.

9. Деллашери К. Емкости и случайные процессы / К. Деллашери. М.: Мир, 1975.

192 с.

10. Яглом А.М. Вероятность и информация / А.М. Яглом, И.М. Яглом. М.: Наука, 1973. 511 с.

11. Волошинов А.В. Пифагор / А.В. Волошинов. М.: Просвещение, 1993. 224 с.

12. Фирстов В.Е. Нетрадиционные геометрические интерпретации, полугрупповая теория и генеалогия пифагоровых троек / В.Е. Фирстов. Саратов: Научная книга, 2004. 92 с.

13. Фирстов В.Е. Рекуррентные последовательности, фрактальные иерархические структуры и конические сечения при конструктивных обобщениях теоремы Пифагора / В.Е. Фирстов. Саратов: Научная книга, 2005. 136 с.

14. Глейзер Г.И. История математики в школе. УП-УШ классы / Г.И. Глейзер. М.: Просвещение, 1982. 240 с.

15. Егоров И.П. Геометрия / И.П. Егоров. М.: Просвещение, 1979. 256 с.

16. Гильберт Д. Основания геометрии / Д. Гильберт. М.-Л.: ГИТТЛ, 1948. 491 с.

Фирстов Виктор Егорович -

кандидат физико-математических наук,

доцент кафедры «Компьютерная алгебра и теория чисел»

Саратовского государственного университета им. Н.Г. Чернышевского