CC BY
211
ТЕОРИЯ И МЕТОДИКА ОБУЧЕНИЯ ЕСТЕСТВЕННО-МАТЕМАТИЧЕСКИМ ДИСЦИПЛИНАМ
УДК 37.015.3
Математика: предмет, проблемы, приложения © Антонова Лариса Васильевна
кандидат физико-математических наук, профессор кафедры геометрии, директор Института математики и информатики Бурятского государственного университета Россия, 670000, г. Улан-Удэ, ул. Ранжурова, 5 E-mail: antonov vi [email protected]
© Бурзалова Татьяна Васильевна
кандидат физико-математических наук, доцент, заведующая кафедрой прикладной математики Бурятского
государственного университета
Россия, 670000, г. Улан-Удэ, ул. Ранжурова, 5
E-mail: [email protected]
В статье рассмотрены некоторые аспекты истории и методологии математики, различные подходы к математике, такие как логицизм, интуиционизм, формализм и теоретико-множественный подход. Также подробно представлены великие математики, последователи различных подходов, их противостояние, попытки построения математики, выявляемые противоречия. Поскольку в настоящее время математика продолжает развиваться и остается эффективной, авторы приводят значение прикладной математики. В математике много областей, которые сегодня не находят приложений и могут еще долго продолжать свое независимое, абстрактное развитие. Человек создал математику, математический мир, который является математической моделью различных аспектов физического мира.
Ключевые слова: интуиционизм, логицизм, формализм, метаматематика, теоретико-множественный подход, прикладная математика.
Mathematics: subject, problems, applications
Larisa V. Antonova
PhD in Physics and Mathematics, Professor, Department of Geometry, Head of Institute of Mathematics and Computer Science, Buryat State University 5 Ranzhurova St., Ulan-Ude, 670000 Russia
Tatyana V. Burzalova
PhD in Physics and Mathematics, A/Professor, Head of the Department of Applied Mathematics 5 Ranzhurova St., Ulan-Ude, 670000 Russia
In this article some aspects of history and methodology of mathematics are considered. The history of development of mathematics is observed. Various approaches to mathematics, such as a logicism, an intuitionism, a formalism and set-theoretic approach are considered. Great mathematician, followers of various approaches, their opposition, mathematician efforts to create mathematics, and also the revealed contradictions are also in detail presented. Mathematics continues to develop and is effectively applied, so the value of applied mathematics is discussed. The contribution of the worked mathematicians who worked in both pure, and applied mathematics is observed. In mathematics there are a lot of areas which are not applied yet and can continue its independent, abstract development for a long time. Man created mathematics, the world of mathematics which is the mathematical model of various aspects of the physical world.
Keywords: intuitionism, logicism, formalism, metamathematics, set-theoretic approach, applied mathematics.
Предметом чистой математики, как говорил Ф. Энгельс, являются количественные отношения и пространственные формы окружающего нас мира, но эти отношения и формы рассматриваются в математике вне их содержания в абстрактной форме. Со времен Ф. Энгельса предмет математики претерпел сильные изменения, поскольку преобразовалась сама математика. В настоящее время математика представляет собой фундаментальную науку, предмет которой определить не просто. Метод дедуктивных рассуждений и интуиция, с помощью которых можно получить новые математические результаты, благодаря силе человеческого разума обеспечили такое бурное развитие математики, что даже невозможно стало говорить о ней как о единой науке. Математика утратила определенность, в ней обнаружились логические противоречия. Многие математики пытались разрешить эти противоречия. Курт Гедель в 1931 г. доказал, что непротиворечивость любой математической системы,
включающей арифметику целых чисел, невозможно установить. Конечно, из этого не следует, что такие системы обязательно противоречивы. Система может быть непротиворечивой, но доказать ее непротиворечивость на основе принципов логики, теории множеств или принципов так называемого формализма невозможно. В связи с этим Герман Вейль сказал: «Бог существует, поскольку, несомненно, математика непротиворечива, но существует и дьявол, поскольку ее непротиворечивость доказать мы не можем» [1, с. 304].
Тем не менее известные и широко применяемые в математике аксиомы выбора, закон исключенного третьего, аксиома сводимости, некоторые понятия теории множеств (например, понятие множества всех множеств) могут привести к противоречиям. Между тем математика постоянно развивается, математики находят область, в которой можно свободно заниматься математической деятельностью. Такие подходы к математике, как логицизм, интуиционизм, формализм и теоретико-множественный подход, приводят к выводу о том, что имеется «не одна, а несколько математик». Из перечисленных подходов только интуиционизм не является аксиоматическим, но любая система аксиом, как показал Гедель, может привести к неразрешимым утверждениям [3]. Что касается интуиционизма, то даже в том случае, когда математик уверен в истинности своего математического открытия, он должен его доказать, пользуясь дедуктивным методом. П. Ферма, когда сформулировал Великую теорему, был настолько уверен в ее истинности, что даже не оставил никаких попыток ее доказательства.
Несмотря на то, что противостояние логицизма и интуиционизма, формализма и теоретико-множественных оснований математики стало, вообще говоря, достоянием истории, мы не можем упустить из виду тот факт, что противоречия в математике не исчезли, они существуют и будут существовать, мы обязаны говорить о них будущим математикам.
Логицисты утверждали, что математика может быть выведена из логики и тогда, поскольку логика безупречна, в математике не будет противоречий. Логицизм восходит к Лейбницу, логицистами были Р. Дедекинд, Г. Фреге, Б. Рассел, А. Уайтхед, но никто из них не вывел математику из логики. Если бы это было сделано, то это была бы ограниченная математика, в которой не было бы аксиомы бесконечности. В ней пришлось бы осторожно пользоваться аксиомой выбора, законом исключенного третьего, отказаться от аксиомы сводимости. Логицизм подвергся критике со стороны Германа Вейля и Анри Пуанкаре, которые не признавали аксиому сводимости. Весьма характерным для логицизма является высказывание, принадлежащее Б. Расселу: «Математика — такой предмет, с которым мы никогда не знаем ни того, о чем говорим, ни насколько верно то, что мы говорим» [1, с. 264].
Полной противоположностью логицизма является интуиционизм, где интуиция признавалась основным или даже единственным надежным источником истины. Р. Декарт под интуицией подразумевал «... понятие ясного и внимательного ума, настолько простое и отчетливое, что оно не оставляет никакого сомнения в том, что мы мыслим» [5]. Б. Паскаль доверял интуиции, логику он считал медленным и мучительным методом открывать истину.
Л. Кронекер был непосредственным предшественником интуитивного подхода к математике. Он считал, что числа не нуждаются в объяснении с помощью теории множеств, как это сделали Кантор и Дедекинд, поскольку целые числа созданы Богом и понятны интуитивно. Сторонниками интуиционизма были Борель, Лебег, Пуанкаре. Анри Пуанкаре [8] выделял четыре фазы в решении или открытии нового: фаза собирания материала, накопления знания; фаза созревания решения на уровне подсознания (без участия сознания); фаза озарения (инсайта), когда решение или открытие неожиданно появляется в сознании; фаза контроля или осмысления решения.
Интуиционизм, как одна из версий основания математики, разработан Э. Я. Брауэром (1881-1966), он жил и творил в годы, когда математика находилась на стадии перехода на новый, более высокий уровень развития, чтобы соответствовать статусу царицы наук. Появилась в математике и теория множеств, появился и был всеми признан интеграл Лебега. Развернул свою титаническую деятельность по обоснованию математики Давид Гильберт, он и его ученики создали метаматематику, новую математику, которая была способна доказать непротиворечивость любой так называемой финитной формальной системы, возникла новая дисциплина «Теория доказательств» [10-13].
Что оставалось делать, если логика, благодаря которой было возведено здание математики, казавшееся воплощением истинности, на самом деле породила противоречия в математике, поскольку сама оказалась противоречивой? Не только аксиома сводимости, но даже аксиома выбора и закон исключенного третьего приводили к антиномиям.
Интуиция, а не логика, считал Брауэр, определяет истинность идей. Интуиция, основанная на опыте и порождаемая разумом, но не в процессе долгих и мучительных логических рассуждений, которые могут привести и к ложным понятиям, а мгновенно проявляющаяся в сознании в момент им-прессинга, инсайта, как результат глубоких процессов в бессознательном, куда попадает информация, стимул, именно интуиция не обманет математика, долго размышляющего над проблемой.
Подсчитано [14], что 90 % великих открытий сделано интуитивно. Интуитивное открытие совершается не на пустом месте, как результат внимательности, наблюдательности и информированности, которые сопутствуют математику, размышляющему о решении задачи. Между сознанием и бессознательным нет глухой стены, из сознания размышления находят путь в бессознательное. Интуиция состоит в том, что разум и чувства без участия сознания могут найти решение задачи, и в момент самоактуализации это решение открывается математику, причем может открыться не только результат, но и способ решения. Здесь нет чуда. Все дело в том, что самоакутализация свойственна только великим, гениальным, выдающимся личностям (А. Маслоу). Например, после долгих, возможно многочисленных наблюдений, размышлений и восприятия информации о деятельности других математиков над доказательством пятого постулата Евклида Н. И. Лобачевскому открылась идея о том, что такое доказательство невозможно на основе остальных аксиом Евклида. Это сработала интуиция великого математика. Она подсказала идею о том, что можно предположить существование не одной, а нескольких прямых, проходящих через данную точку и параллельных данной прямой. Это была уже новая геометрия, отличная от евклидовой и которая впоследствии получила название геометрии Лобачевского. Близки были к открытию новой геометрии Д. Саккери (1667-1733), С. Клюгель (1739-1812), И. Ламберт (1728-1777).
Одновременно с Н. И. Лобачевским (1792-1856) к выводу о существовании новой геометрии пришел Я. Бойаи (1802-1860), но еще раньше неевклидова геометрия была открыта Гауссом, но он не стал публиковать свое открытие, считая, что его не поймут. Такова интуиция великих математиков: они могут одновременно, находясь в разных государствах, прийти к открытию новой науки. Интуиция их не обманула, и новая геометрия оказалась применимой к физическому пространству.
К противоречиям приводит логика, а интуиционизм, хотя и интуиция может обмануть, исключает противоречия, поскольку он основан, во-первых, на опыте; во-вторых, он заканчивается проверкой интуитивного открытия на опыте или с помощью интуитивно верных логических рассуждений, исключающих аксиому сводимости и корректно используемых аксиом выбора и закона исключенного третьего. Часты случаи, когда интуиция выдающего математика, основанная на прогрессивном опыте, приводит к открытию, не нуждающемуся в доказательстве. Примером могут служить закон всемирного тяготения, сформулированный Ньютоном, и теория электромагнетизма, описанная Максвеллом в его уравнениях. Эти два великих открытия были сделаны на основании опыта. Максвелл опирался на опыт М. Фарадея и Д. Генри, открывших явление электромагнитной индукции, привел математические уравнения (уравнения Максвелла), описывающие динамику электромагнитных волн и которые затем были подтверждены на опыте Генрихом Герцем. «Опыт — интуиция — опыт» — таков путь познания истины в интуиционизме.
Давид Гильберт критиковал интуиционизм из-за того, что он (интуиционизм) отвергал бесконечные множества, теоремы существования, закон исключенного третьего, логицизм он обвинял в том, что, занимаясь построением понятия числа, логисты привлекали целые числа, а это хождение по замкнутому кругу.
Гильберт и его ученики создали метаматематику как метод доказательства непротиворечивости любой формальной системы, а всю математику рассматривали как совокупность формальных систем. Такой подход в математике называют формализмом. Считается, что он противостоит теоретико-множественным основаниям математики Эрнеста Цермело, который впервые осуществил аксиоматизацию теории множеств, чтобы избежать в ней противоречия. Затем система аксиом Цермело была усовершенствована А. Френкелем, а впоследствии Геделем и Бернайсом. В системе аксиом Цермело-Френкеля была аксиома бесконечности, которая, разумеется, не вызывала возражений у Гильберта. Но в данной системе была аксиома выбора, которая вызывала возражения Гильберта. Таким образом, Д. Гильберт критиковал логицизм, интуиционизм и теоретико-множественный подход в основании математики. Автор метаматематики был в сущности прав. Однако логицизм, интуиционизм и теория множеств в виде системы аксиом Цермело-Френкеля до сих пор используются в математике. Так, несколько французских математиков под общим псевдонимом Никола Бурбаки на основе аксиоматики Цермело-Френкеля и некоторых логических правил предприняли попытку построить всю математику, в чем преуспели.
В наши дни страсти улеглись, но проблема противоречий в математике осталась. Ушли из жизни выдающиеся математики, представлявшие логицизм, интуиционизм, формализм и теоретико-множественную интерпретацию математики. Для новых поколений математиков они представляют собой пример великого служения математике, их выдающиеся труды подняли на новую высоту авторитет математики, показав, что математика, несмотря ни на что, является опорой всей науки, другой математики кроме той, которая существует, нет и быть не могло. Противоречия неизбежны, но их удается избегать, математика развивается и остается эффективной в приложениях.
В связи с приложениями математики к исследованию реальностей окружающего мира появилось понятие прикладной математики, хотя математика всегда была прикладной, «чистых» математиков не было. Архимед, Ньютон, Гаусс — эти три первых математика всех времен и народов были одновременно и великими физиками.
Архимед (287-212 до н. э.) был гениальным физиком-механиком. Он открыл первый закон гидростатики, говорящий о том, что тело, погруженное в воду, становится легче ровно на столько, сколько весит вытесненная им вода. Он открыл закон рычага и закон блока. В математике Архимед сделал еще больше, чем в механике, хотя и в механику он внес великий вклад. Архимед умел вычислять площади различных плоских фигур и объемы различных тел, он дал методы вычисления числа п, вычисления квадратных корней. Архимед за 2000 лет до Ньютона и Лейбница реализовал идею интегрального и дифференциального исчисления на примере вычисления площадей плоских фигур и построения касательной к спирали. Известно, какую роль сыграл Архимед при защите его родного города Сиракузы от римских завоевателей, используя катапульты для бомбардировки кораблей тяжелыми камнями, и переворачивал эти корабли с помощью мощных рычагов.
Только через две тысячи лет после Архимеда Ньютон и Лейбниц описали понятия интеграла и производной, пользуясь декартовой системой координат.
Два великих математика, Архимед и Ньютон, были и великими механиками, но Архимед был математиком, а механиком во вторую очередь, а Ньютон, наоборот, был механиком, а математиком, можно сказать, во вторую очередь. Ньютону посчастливилось открыть закон великого тяготения. Этим открытием мы обязаны интуиции гениального физика, сформировавшего законы геомеханики, а затем — небесной механики. Дифференциальное и интегральное исчисления были необходимы для изучения динамических процессов, происходящих на Земле и в космосе, в микро-, макромире. Он начал первым отыскивать камешки и красивые раковины на берегу океана, как он говорил про себя. Он имел в виду океан истины, океан науки. Действительно, современная наука началась с Ньютона, но поворотным пунктом в науке была декартова система координат (Ф. Энгельс), благодаря которой в математику вошло движение, сразу же появились дифференциальное и интегральное исчисления, самое мощное оружие исследования окружающего нас мира, мира движений и развития.
После Ньютона и Лейбница началось бурное развитие математики во Франции, Германии, Англии, Швейцарии, появилось много выдающихся математиков, среди которых следует выделить Л. Эйлера (1707-1783), Ж. Лагранжа (1736-1813), Лапласа (1749-1827), Ж. Фурье (1768-1830). Все названные математики занимались как чистой, так и прикладной математикой. Эйлер, к примеру, первым представил метод вычислений, приводящих к решению задачи трех тел — Луны, Земли и Солнца. Он же первым понял, что необходимо рассматривать сходящиеся ряды, написал трактаты по введению в анализ, дифференцированному и интегральному исчислениям, по вариационному исчислению.
Лагранжа мы можем назвать «чистым» математиком, но он занимался и прикладными задачами, например, решил задачу о либрации Луны, объяснив, почему Луна всегда обращена к Земле одной своей стороной и почему имеются некоторые отклонения (неправильности) в ее движении. Ему принадлежат замечательные теоремы и формулы в дифференциальном и интегральном исчислении.
Во многом не похож на Лагранжа его великий современник Лаплас. Мы не будем здесь касаться человеческих качеств Лапласа, также не похожих на качества Лагранжа. Если Лагранжа можно назвать чистым математиком, то Лаплас — прикладной математик, хотя Лапласу принадлежат и выдающиеся чисто математические результаты и в дифференциальных уравнениях, и в теории вероятностей. Очень трудно провести границу между чистой и прикладной математикой. Такое разделение является условным. Дифференциальные уравнения и теория вероятностей являются прикладными областями математики, но чтобы быть полезными, они сначала должны стать надежным математическим аппаратом исследования прикладных задач. Два великих дела Лапласа — теория потенциала и «Небесная механика», в которой он рассматривал Солнечную систему в целом, изучая ее устойчивость, показал миру силу математики в освоении мира.
Через 50 лет после смерти Ньютона родился король математиков Карл Гаусс (1777-1855), которого включают в тройку самых великих математиков всех времен и народов наряду с Архимедом и Ньютоном. Родившийся в бедной семье, он стал великим, потому что он был гениальным от рождения, и уже в три года он заявил о себе как о незаурядном ребенке, указав отцу об его ошибке при подсчете платежей для рабочих в бригаде каменщиков, одним из которых был и отец Гаусса. В 10 лет Гаусс устно подсчитал на уроке сумму ста последовательных натуральных чисел как сумму арифметической прогрессии, хотя прогрессия не была известна школьникам.
Арифметика была первой любовью будущего короля математики, который потом назвал арифметику царицей математики. В 24 года он издал свой первый шедевр «Арифметические исследования». Теория чисел считается чистой математикой только потому, что в ней идет речь только о числах, как таковых, в ней нет речи о законе всемирного тяготения и закона механики, нет речи о каких-то задачах с прикладным содержанием. Если арифметика — царица математики, то Гаусс — царь математики уже в 24 года. Но жизнь заставила Гаусса обратиться к астрономии, которая тогда отождествлялась с математикой под влиянием работ Ньютона, Лагранжа, Лапласа. Его внимание привлекла задача о малой планете Церера, которая была открыта в первый день 19-го столетия, но ее орбита не была найдена. Гаусс вычислил ее орбиту, и Церера была снова открыта в том месте, которое указал Гаусс. Он занялся задачами астрономии и в 1809 г. опубликовал «Теорию движения небесных тел, вращающихся вокруг Солнца» , которая получила всеобщее признание, включая признание Лапласа, который назвал Гаусса «величайшим математиком мира».
Теория функций комплексной переменной, в частности, теорема, которая вошла в историю как теорема Коши о равенстве нулю криволинейного интеграла от аналитической функции по замкнутому контуру, исследование о сходимости гипергеометрического ряда, приложение математики в геодезии, электромагнетизме, в астрономии и многие другие работы, выполненные Гауссом, делают его величайшим математиком в истории, равным Архимеду и Ньютону. Следует отметить, что Гаусс еще до Лобачевского и Бойяи пришел к выводу о существовании неевклидовой геометрии. В его архиве найдено много неопубликованных результатов, вызывающих большой научный интерес. Это метод наименьших квадратов, закон биквадратичной взаимности, исследования по эллиптическим функциям, по алгебре квартернионов. Трудно найти область математики, в которой нет вклада Гаусса.
После смерти Гаусса в 1855 г. прошло 160 лет. За это время в математике произошли большие изменения. Математика утратила определенность (М. Клайн). Это выражается в противоречиях, которые были выявлены в математике и о которых сказано ранее. Но математика продолжала свое развитие. В начале XX в. появился интеграл Лебега, благодаря которому математический анализ, включая теорию дифференциальных и интегральных уравнений, поднялся на более высокий уровень. Появившаяся в конце XIX в. теория множеств Кантора не признавалась многими математиками, поскольку отрицалось существование актуальной бесконечности. К тому же в самой теории множеств были обнаружены противоречия. Но постепенно теория множеств пробила себе дорогу в математике, ее поддержали Лебег, Рассел, Гильберт и другие математики.
Появились новые математические науки: например, математическая теория связи, теория кодирования, теория игр и т. д. В XX в. развернулась деятельность по основаниям математики, в которой приняли участие все выдающиеся математики, представляющие логицизм и интуиционизм, формализм и теоретико-множественный подход. В связи со сказанным возникает вопрос: «Кого кроме Архимеда, Ньютона и Гаусса можно включить в число пяти лучших математиков мира?».
После Гаусса появилось много выдающихся математиков: А. Пуанкаре, Д. Гильберт, Герман Вейль, Э. Галуа, Г. Х. Абель, А. Лебег, Максвелл, П. Коэн, К. Гедель, С. Л. Соболев, А. Н. Колморо-гов, Н. Винер, П. С. Александров и другие. Среди названых следует, на наш взгляд, выделить Д. Гильберта и А. Н. Колмогорова. Тогда «пятерка» лучших математиков будет следующей: Архимед, Ньютон, Гаусс, Гильберт и Колмогоров.
Гильберта и Колмогорова следует, видимо, отнести к «чистым» математикам, в то время как Архимед, Ньютон и Гаусс занимались и чистой, и прикладной математикой. В ХХ в. некоторые математики перестали изучать проблемы, связанные с решением прикладных задач. Английский математик Г. Харди (1877-1947) не признавал прикладную математику, не считал ее настоящей математикой. Он находил применение своему математическому таланту в таких областях, как теория расходящихся рядов [19].
В математике много областей, которые в настоящее время не находят приложений и могут еще долго продолжать свое независимое, абстрактное развитие. Такими областями, по мнению Л. Шварца являются абстрактная алгебра и алгебраическая топология. Ю. Диксон считал, что «теория чисел не запятнана никакими приложениями» [1, с. 342].
Заметим, какую бы область математики, которую называют прикладной, мы ни взяли, в ней есть разделы чистой математики. Иначе и быть не может. Любая область математики, которая находит приложение, сначала должна существовать как чистая математика, а затем она, получив подпитку из практики, продолжает свое развитие еще более интенсивно. М. Стоун утверждает, что в ХХ в. произошло «открытие полной независимости математики от реального мира», которое он считает самым значительным интеллектуальным достижением в истории математики [20].
По мнению Ж. Дьедонне, математика, даже будучи отрезанной от всех видов нематематической деятельности, будет существовать сотни лет, занимаясь чисто математическими проблемами [21].
Рихард Курант не одобрял разделение математики на «чистую» и «прикладную». Утверждение о том, что математика существует к «вящей славе человеческого разума», он называл кощунственной чушью и говорил, что «математика должна сохраниться и еще более укрепиться как единая живая струя в общем потоке науки [24, с.13-27].
Как относиться к разногласиям в среде математиков о связи математики с реальным миром? Тот факт, что математика является абстрактной наукой, что математическое знание лишено конкретного содержания и продолжает развиваться благодаря человеческому разуму, способному к дедуктивным рассуждениям, обобщению, специализации, аксиоматизации, интуиции, может далеко уйти от жизни, от реального мира, — этот факт действительно может привести к выводу о существовании математического мира, не имеющего «ни одной обязательной связи с физическим миром», как утверждал М. Стоун.
Однако нельзя забывать о том, что математика возникла не на пустом месте. Прав был Ф. Энгельс, когда говорил, что объектом чистой математики являются количественные отношения и пространственные формы окружающего мира, т. е. весьма реальный материал. Числа и пространственные фигуры, как математические модели количественных отношений и пространственных форм, всегда жизненны, всегда всеми используются. Они составляют ствол математического дерева, корни которого пронизывают физический мир и питают дерево соками жизни. Это дерево не может засохнуть, оно вечно, если вечен мир и вечен человек. Оно может только расти и расцветать, хотя эти процессы роста и цветения связаны с противоречиями, поскольку противоречив человек, выращивающий это дерево. Благодаря разуму математиков математическое дерево становится все выше, его крона становится все шире, его ветви все больше удаляются от реального мира, и математику может показаться, что они оторваны от реального мира и существуют самостоятельно, независимо от этого мира. Все дело в том, что математик, забравшийся высоко на ветви, не видит его ствола и не видит корней. Корни видны другим математикам, которые занимаются проблемами укрепления связи математики с физическим миром. Многие выдающиеся математики могут забраться очень высоко, но они спускаются время от времени с дерева, чтобы позаботиться о корнях. Математическое дерево не чахнет, могут зачахнуть лишь отдельные его ветви, если до них по вине математиков не доходят соки «земли».
В связи с противоречиями в математике стало неопределенным понятие математического доказательства. С тех пор как в Древней Греции математика сформировалась как дедуктивная наука и доказательства математических гипотез проводились по законам логики, казавшимся абсолютно истинными, на протяжении двух с лишним тысячелетий все свято верили в безупречность математических результатов, полученных с помощью логических законов. Но уже в XIX в. выявили противоречивость закона исключенного третьего. Кроме того, аксиомы выбора и бесконечности были исключены из списка логических аксиом.
Д. Гильберт считал, что «отнять у математиков закон исключенного третьего — это то же самое, что забрать у астрономов телескоп или запретить боксерам пользоваться кулаками» [12].
Много разногласий у математиков вызвало понятие существования. Например, доказательство одними математиками теоремы о том, что у любого многочлена существует хотя бы один корень, не признавалось другими математиками, поскольку не указан метод вычисления этого корня.
Несостоятельной была признана аксиома выбора, а также аксиома редукции (сводимости). Все это поставило под сомнение понятие о математике как о безупречно истинной, единой науке. Сами математики осознали противоречивость математики и, что еще хуже, осознали невозможность установления непротиворечивости своей науки.
Такой получилась история математики, но это произошло не по вине математиков, это случилось в силу природы математического знания, его абстрактности, в силу закономерностей абстрактного мышления. Думается, что математика обязана была появиться в системе наук об окружающей действительности, ибо ее аспект, состоящий в количественных отношениях и пространственных формах, должен был быть освоен, и наука, имеющая своим предметом этот аспект, должна была появиться и другой она не могла быть, могла только получить другое имя, но она получила прекрасное имя Математика. Человек, наделенный разумом, и окружающий его мир, в котором было возможным появление человека, познающего этот мир, стали источниками математики — царицы наук.
Математика, несмотря на внутренние противоречия, сделала возможным описание окружающего мира — Вселенной, включая космические и земные процессы. Это геометрия Эвклида и геометрия Лобачевского, это механика земная и механика небесная, это закон притяжения двух зарядов и закон всемирного тяготения, это волны на море и радиоволны, это распространение звука и распространение света, это теория относительности и квантовая теория. Все изученные явления физического мира отражены в математических уравнениях. Конечно, физический мир богаче, чем мир математических уравнений, но эти уравнения — это все, что нам известно об окружающем мире. То, что не известно в физическом мире, предстоит описать в математических уравнениях.
Перед математикой открыты перспективы дальнейшего изучения физического мира, предстоят открытия еще более значительные. Математика создана человеком, а человек — часть природы, ее дитя, наделенное разумом. Вот уже 30-40 тысяч лет человек как homo sapiens (человек разумный) взаимодействует с природой, с физическим миром. Он придумал числа. Если бы он не научился считать, складывать и выбирать, он бы не выжил в борьбе за существование. Каждая общность, каждый этнос, каждый народ освоил числа, символизирующие эквивалентные множества. Люди также пришли к понятию геометрических фигур (многоугольников, окружностей, кругов, многогранников, цилиндров, шаров, сфер и др.). Народ создал математику. В народе потом появились математики. Н. Н. Лузин говорил: «Мы должны склониться перед гением человека, который первым понял, что есть число один. Единица — вот с чего началась история математики». Мы знаем, что математика как дедуктивная наука появилась в Древней Греции. Мы знаем имена Зенона, Евдокса, Архимеда, Эвклида, Аполлония, Платона и других. Однако современная математика началась с Декарта, Ньютона и Лейбница, т. е. всего 300-400 лет назад. За этот короткий период математика превратилась в могучую науку. Она одной стороной обращена к физическому миру, другой — к человеку. Но человек неотделим от природы, следовательно, математика неотделима от физического мира.
Человек создал математику, математический мир, который является математической моделью различных аспектов физического мира. Физический мир един и гармоничен, а математический мир не обладает единством, хотя гармоничен в каждой части, из которых он состоит. Обеспечить единство математики невозможно, потому что невозможно создать единую математическую модель физического мира, как невозможно создать второй экземпляр этого мира. Но у человечества нет другого инструмента, кроме математики, с помощью которого можно осваивать физический мир. Математика эффективна и постоянно учитывает наше знание о мире.
Литература
1. Арнольд В. И. Что такое математика? // МЦНМО. — 2002. — 104 с.
2. Бурбаки Н. Очерки по истории математики. — М.: ИЛ, 1963. — 292 с.
3. Клайн М. Математика. Утрата определенности. — М.: Мир, 1984. — 16 с.
4. Колмогоров А. Н. Математика в ее историческом развитии. - М.: Наука, 1991. — 223 с.
5. Энгельс Ф. Анти-Дюринг. Переворот в науке, произведенный господином Евгением Дюрингом. — М.: Политиздат, 1983. — 482 с.
6. Юшкевич А. П., Колмогоров А. Н. О сущности математики и периодизации ее истории. Историко-математические исследования. — 1994. — № 35. — С. 8-16.
References
1. Arnol'd V. I. Chto takoe matematika? [What is mathematics?]. MCCME, 2002. 104 p.
2. Burbaki N. Ocherkipo istorii matematiki [Essays on the History of Mathematics]. Moscow, 1963. 292 p.
3. Klain M. Matematika. Utrata opredelennosti [Mathematics. The Loss of Certainty]. Moscow: Mir, 1984. 16 p.
4. Kolmogorov A. N. Matematika v ee istoricheskom razvitii [Mathematics in its Historical Development]. Moscow: Nauka, 1991. 223 p.
5. Frederick E. Anti-Dühring. Herr Eugen Dühring's Revolution in Science. Progress Publishers, 1947.
6. Yushkevich A. P., Kolmogorov A. N. O sushchnosti matematiki i periodizatsii ee istorii. [On the Nature of Mathematics and its Historical periodization]. Istoriko-matematicheskie issledovaniya - Historical-Mathematical Investigations. No. 35. 1994. Pp. 8-16.
