CC BY
262. Whenever possible, write about a topic that interests you. Sometimes you have no other choice but to write about something that you are not interested in, but even in a situation like that, you have to convince yourself that there is something interesting about it. If you have to write about something relatively boring such as tractor tires, for instance, discover something about the subject that you can relate to and focus on that.
3. Don't worry about what other people think. Just write. You need to have something written in order to improve it and very few people write something perfectly on the very first try. You wouldn't believe how often I revise my own work. In fact, the version of the page you are reading right now will likely change.
4. Write as much as you can and then stop. Later, when you return to what you have written if might be easier to see the areas where you can improve your writing or fix mistakes.
5. Look at examples of good writing. They're everywhere. We learn how to improve by watching what other people do and then figure out for ourselves how to take our own approach.
6. Practice writing every day. Keep a journal, a diary, or a blog. You teach yourself how to improve your own work by writing regularly.
7. Learn to recognize common mistakes.
References
1. Peter W. Teaching of English as an International Language. Cambridge, 1998. P. 140-143.
2. RaimesA. Techniques in teaching writing, Oxford University Press., 1983. P. 90-91.
ТЕОРИЯ И МЕТОДИКА ОБУЧЕНИЯ ЕСТЕСТВЕННО-МАТЕМАТИЧЕСКИМ ДИСЦИПЛИНАМ Ярашева Ф.К.
Ярашева Фотима Киемовна - преподаватель математики, школа № 56, Гиждуванский район, Бухарская область, Республика Узбекистан
Аннотация: в статье рассмотрены некоторые аспекты истории и методологии математики, различные подходы к математике, такие как логицизм, интуиционизм, формализм и теоретико-множественный подход. Также подробно представлены великие математики, последователи различных подходов, их противостояние, попытки построения математики, выявляемые противоречия. Поскольку в настоящее время математика продолжает развиваться и остается эффективной, авторы приводят значение прикладной математики.
Ключевые слова: математика, теоретико-множественный подход, прикладная математика.
Предметом чистой математики, как говорил Ф. Энгельс, являются количественные отношения и пространственные формы окружающего нас мира, но эти отношения и формы рассматриваются в математике вне их содержания в абстрактной форме. Со времен Ф. Энгельса предмет математики претерпел сильные изменения, поскольку преобразовалась сама математика. В настоящее время математика представляет собой фундаментальную науку, предмет которой определить не просто. Метод дедуктивных рассуждений и интуиция, с помощью которых можно получить новые математические результаты, благодаря силе человеческого разума обеспечили такое бурное развитие математики, что даже невозможно стало говорить о ней как о единой науке. Математика утратила определенность, в ней обнаружились логические противоречия. Многие математики пытались разрешить эти противоречия. Курт
Гедель в 1931 г. доказал, что непротиворечивость любой математической системы, включающей арифметику целых чисел, невозможно установить. Конечно, из этого не следует, что такие системы обязательно противоречивы. Система может быть непротиворечивой, но доказать ее непротиворечивость на основе принципов логики, теории множеств или принципов так называемого формализма невозможно. В связи с этим Герман Вейль сказал: «Бог существует, поскольку, несомненно, математика непротиворечива, но существует и дьявол, поскольку ее непротиворечивость доказать мы не можем» [1].
Тем не менее известные и широко применяемые в математике аксиомы выбора, закон исключенного третьего, аксиома сводимости, некоторые понятия теории множеств (например, понятие множества всех множеств) могут привести к противоречиям. Между тем математика постоянно развивается, математики находят область, в которой можно свободно заниматься математической деятельностью. Такие подходы к математике, как логицизм, интуиционизм, формализм и теоретико-множественный подход, приводят к выводу о том, что имеется «не одна, а несколько математик». Из перечисленных подходов только интуиционизм не является аксиоматическим, но любая система аксиом, как показал Гедель, может привести к неразрешимым утверждениям [3]. Что касается интуиционизма, то даже в том случае, когда математик уверен в истинности своего математического открытия, он должен его доказать, пользуясь дедуктивным методом. П. Ферма, когда сформулировал Великую теорему, был настолько уверен в ее истинности, что даже не оставил никаких попыток ее доказательства.
Несмотря на то, что противостояние логицизма и интуиционизма, формализма и теоретико-множественных оснований математики стало, вообще говоря, достоянием истории, мы не можем упустить из виду тот факт, что противоречия в математике не исчезли, они существуют и будут существовать, мы обязаны говорить о них будущим математикам.
Логицисты утверждали, что математика может быть выведена из логики и тогда, поскольку логика безупречна, в математике не будет противоречий. Логицизм восходит к Лейбницу, логицистами были Р. Дедекинд, Г. Фреге, Б. Рассел, А. Уайтхед, но никто из них не вывел математику из логики. Если бы это было сделано, то это была бы ограниченная математика, в которой не было бы аксиомы бесконечности. В ней пришлось бы осторожно пользоваться аксиомой выбора, законом исключенного третьего, отказаться от аксиомы сводимости. Логицизм подвергся критике со стороны Германа Вейля и Анри Пуанкаре, которые не признавали аксиому сводимости. Весьма характерным для логицизма является высказывание, принадлежащее Б. Расселу: «Математика — такой предмет, с которым мы никогда не знаем ни того, о чем говорим, ни насколько верно то, что мы говорим» [1].
Полной противоположностью логицизма является интуиционизм, где интуиция признавалась основным или даже единственным надежным источником истины. Р. Декарт под интуицией подразумевал «... понятие ясного и внимательного ума, настолько простое и отчетливое, что оно не оставляет никакого сомнения в том, что мы мыслим» [5]. Б. Паскаль доверял интуиции, логику он считал медленным и мучительным методом открывать истину.
Л. Кронекер был непосредственным предшественником интуитивного подхода к математике. Он считал, что числа не нуждаются в объяснении с помощью теории множеств, как это сделали Кантор и Дедекинд, поскольку целые числа созданы Богом и понятны интуитивно. Сторонниками интуиционизма были Борель, Лебег, Пуанкаре. Анри Пуанкаре [8] выделял четыре фазы в решении или открытии нового: фаза собирания материала, накопления знания; фаза созревания решения на уровне подсознания (без участия сознания); фаза озарения (инсайта), когда решение или открытие неожиданно появляется в сознании; фаза контроля или осмысления решения.
Что оставалось делать, если логика, благодаря которой было возведено здание математики, казавшееся воплощением истинности, на самом деле породила противоречия в математике, поскольку сама оказалась противоречивой? Не только аксиома сводимости, но даже аксиома выбора и закон исключенного третьего приводили к антиномиям.
К противоречиям приводит логика, а интуиционизм, хотя и интуиция может обмануть, исключает противоречия, поскольку он основан, во-первых, на опыте; во-вторых, он заканчивается проверкой интуитивного открытия на опыте или с помощью интуитивно верных логических рассуждений, исключающих аксиому сводимости и корректно используемых аксиом выбора и закона исключенного третьего. Часты случаи, когда интуиция выдающего математика, основанная на прогрессивном опыте, приводит к открытию, не нуждающемуся в доказательстве. Примером могут служить закон всемирного тяготения, сформулированный Ньютоном, и теория электромагнетизма, описанная Максвеллом в его уравнениях. Эти два великих открытия были сделаны на основании опыта. Максвелл опирался на опыт М. Фарадея и Д. Генри, открывших явление электромагнитной индукции, привел математические уравнения (уравнения Максвелла), описывающие динамику электромагнитных волн и которые затем были подтверждены на опыте Генрихом Герцем. «Опыт — интуиция — опыт» — таков путь познания истины в интуиционизме.
В наши дни страсти улеглись, но проблема противоречий в математике осталась. Ушли из жизни выдающиеся математики, представлявшие логицизм, интуиционизм, формализм и теоретико-множественную интерпретацию математики. Для новых поколений математиков они представляют собой пример великого служения математике, их выдающиеся труды подняли на новую высоту авторитет математики, показав, что математика, несмотря ни на что, является опорой всей науки, другой математики кроме той, которая существует, нет и быть не могло. Противоречия неизбежны, но их удается избегать, математика развивается и остается эффективной в приложениях.
Человек создал математику, математический мир, который является математической моделью различных аспектов физического мира. Физический мир един и гармоничен, а математический мир не обладает единством, хотя гармоничен в каждой части, из которых он состоит. Обеспечить единство математики невозможно, потому что невозможно создать единую математическую модель физического мира, как невозможно создать второй экземпляр этого мира. Но у человечества нет другого инструмента, кроме математики, с помощью которого можно осваивать физический мир. Математика эффективна и постоянно учитывает наше знание о мире.
Список литературы
1. Арнольд В.И. Что такое математика? // МЦНМО. 2002. 104 с.
2. Бурбаки Н. Очерки по истории математики. М.: ИЛ, 1963. 292 с.
3. КлайнМ. Математика. Утрата определенности. М.: Мир, 1984. 16 с.
4. КолмогоровА.Н. Математика в ее историческом развитии. - М.: Наука, 1991. 223 с.
5. Энгельс Ф. Анти-Дюринг. Переворот в науке, произведенный господином
Евгением Дюрингом. М.: Политиздат, 1983. 482 с.
