CC BY
38
ПРИКЛАДНАЯ ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА 2015 Прикладная теория графов №2(28)
ПРИКЛАДНАЯ ТЕОРИЯ ГРАФОВ
УДК 519.6
СВОЙСТВА МИНИМАЛЬНЫХ ПРИМИТИВНЫХ ОРГРАФОВ
В. М. Фомичев
Финансовый университет при Правительстве Российской Федерации, ООО «Код безопасности», г. Москва, Россия
При n ^ 4 доказано, что сложность определения всех n-вершинных минимальных примитивных орграфов, являющихся частью заданного примитивного n-вер-шинного орграфа Г, совпадает со сложностью распознавания монотонной булевой функции от s переменных, где s — число дуг (i, j) в Г, таких, что полустепень исхода вершины i и полустепень захода вершины j превышают 1. Установлено, что при n ^ 4 все примитивные n-вершинные орграфы с числом дуг n + 1 являются минимальными и имеются минимальные примитивные n-вершинные орграфы с числом дуг от n + 2 до 2n — 3. Описаны минимальные примитивные n-вершинные орграфы с числом дуг n + 1 и n + 2.
Ключевые слова: примитивная матрица, примитивный орграф, сильносвязный орграф.
DOI 10.17223/20710410/28/9
PROPERTIES OF MINIMAL PRIMITIVE DIGRAPHS
V. M. Fomichev
Financial University under the Government of the Russian Federation, Moscow, Russia
E-mail: [email protected]
It is proved that, for n ^ 4, the complexity of the determination of all n-vertex minimal primitive digraphs, which are parts of a given n-vertex primitive digraph Г, coincides with the complexity of the recognition of a monotone Boolean function in s variables where s is the number of arcs (i, j) in Г such that the vertex i out-degree and the vertex j in-degree exceed 1. It is found that, for n ^ 4, all the primitive n-vertex digraphs with n + 1 arcs are minimal graphs and there are minimal primitive n-vertex digraphs with the number of arcs from n + 2 to 2n — 3. Minimal primitive n-vertex digraphs with n + 1 and n + 2 arcs are described.
Keywords: primitive matrix, primitive digraph, strongly connected digraph.
Введение
Запишем основные обозначения, используемые в работе: N — множество натуральных чисел, n,m Е N;
(ai,... , an) —наибольший общий делитель натуральных чисел а\,... , an; 2s — булеан множества S;
М0(п) —множество всех квадратных 0,1-матриц порядка п;
М0Р (п) —множество всех примитивных матриц из М0(п);
Мр (п,т) —множество всех матриц из Мр(п) с числом единичных элементов т;
Г(п) —множество всех орграфов с п вершинами;
Гр(п) —множество всех примитивных орграфов с п вершинами;
Гр(п,т) —множество всех примитивных орграфов с п вершинами и т дугами;
М — матрица смежности вершин орграфа Г;
[г, ]] —простой путь в орграфе Г из вершины г в вершину ^.
В коммуникативных системах для исследования связей между элементами применяется матрично-графовый подход. Система из п элементов описывается с помощью п-вершинного орграфа Г (или матрицы смежности его вершин М = (т^-)), в котором дуга (г, ]) имеется тогда и только тогда, когда в системе г-й элемент влияет определённым образом на ^'-й элемент. Например, от г-го элемента непосредственно передаются данные ^-му элементу, или г-й элемент является переменной величиной, от которой зависит ]-й элемент, и пр., г,] Е {1,... , п}.
Сложность реализации системы характеризуется, в частности, числом связей (дуг орграфа Г). В [1] введено понятие минимальной примитивной матрицы как матрицы, которая после замены любого положительного элемента нулём не является примитивной. В силу естественной биекции между 0,1-матрицами порядка п и п-вершинными орграфами примитивный орграф Г минимальный, если любая п-вершинная часть графа Г не является примитивным графом. Минимальные примитивные матрицы и орграфы представляют интерес с точки зрения экономной реализации коммуникативной системы.
В работе продолжено начатое в [1] исследование свойств минимальных примитивных матриц и орграфов. Рассматриваются орграфы без петель и параллельных дуг.
1. Сложность определения минимальных примитивных п-вершинных
орграфов, являющихся частями примитивного п-вершинного орграфа Г
Обозначим: М^^п) —множество всех минимальных примитивных матриц порядка п; Грп(п) —множество всех минимальных примитивных п-вершинных орграфов, являющихся частями примитивного п-вершинного орграфа Г.
Оценим по Шеннону (то есть для наилучшего алгоритма при наихудших входных данных) сложность определения Г^^п), где элементарная вычислительная операция есть проверка примитивности любого п-вершинного орграфа или любой 0,1-матрицы порядка п.
Отметим некоторые свойства минимальных примитивных матриц [1].
Утверждение 1. Матрицы А, В € М0(п), сопряжённые в группе подстановочных матриц:
а) одновременно примитивные или непримитивные;
б) в случае примитивности одновременно минимальные или неминимальные.
Утверждение 2. Множество М0(п) образует решётку в смысле отношения частичного порядка где А ^ В ^ а^ ^ Ь^ для любых г,^ € {1,..,п}, А = (а^), В = (Ь^). Множество примитивных матриц Мр (п) есть верхняя подполурешётка решётки М0 (п), а множество М^^п) —антицепь, состоящая из всех минимальных элементов подполурешётки Мр (п).
Далее используем язык теории графов. В п-вершинном орграфе Г обозначим рг и дг соответственно полустепени захода и исхода вершины г Е {1,... , п}.
Утверждение 3. Если (г,]) — дуга орграфа Г, то шт{^,р} ^ 1.
Пусть Е — множество дуг орграфа Г, Ш С Е. Обозначим через Г^ часть орграфа Г, полученную из Г удалением множества дуг Е \ Ш.
Утверждение 4. Если Г и Г^ — примитивные орграфы, то шт{^,р} > 1 для любой дуги (г, ]) € Е \ Ш.
Доказательство. По утверждению 3 шт{^,р} ^ 1. Если шт{^,р} = 1 для некоторой дуги (г, ]) € Е \ Ш, например ^ = 1, то из вершины г исходит единственная дуга (г,^). После её удаления вершина становится концевой. Следовательно, получается не сильносвязный и не примитивный орграф. Случай р- = 1 доказывается аналогично. ■
Утверждение 5. Если Ш С и, то из примитивности орграфа Г^ следует примитивность орграфа Ги и из непримитивности орграфа Ги следует непримитивность орграфа Гш.
Для примитивного орграфа Г подмножество дуг и назовём тупиковым в Е, если орграф Ги примитивный и для любого собственного подмножества Ш множества и орграф Г^ не примитивный. Отсюда следует, что система всех тупиковых в Е подмножеств образует антицепь в решётке 2е и имеется биекция между множеством ^¡„(п) и антицепью тупиковых в Е подмножеств.
В орграфе Г обозначим через Б подмножество всех дуг (г,^) со свойством шт{^,р} > 1. Согласно утверждению 4, множество дуг Е \ Б принадлежит любому орграфу из Г^„(п). Тем самым доказана следующая теорема.
Теорема 1. Всякое тупиковое в Е подмножество содержит Е \ Б, и имеется биекция между множеством ^¡„(п) и антицепью подмножеств Z множества Б, таких, что (Е \ Б) и Z — тупиковое в Е подмножество.
Следствие 1. Пусть |Б| = в, тогда сложность (по Шеннону) определения Г^п(п)
равна ^ /2_|) + /2] + 1размер необходимой памяти — порядка 2я битов.
Доказательство. Согласно утверждению 5, задача определения ^¡„(п) равносильна задаче распознавания монотонной булевой функции f : 23 ^ {0,1}, где f ^) = 1 тогда и только тогда, когда (Е \ Б) и Z — множество дуг примитивного орграфа. Сложность распознавания монотонной булевой функции от в переменных равна указанной величине [2, с. 83]. ■
2. Описание минимальных примитивных орграфов
При изучении минимальных примитивных матриц и графов возникают следующие вопросы.
— При каких т класс Гр (п,т) состоит только из минимальных примитивных графов?
— При каких т класс Гр (п,т) не содержит минимальных примитивных графов?
— Как для данных п и т описать все минимальные примитивные графы из Гр(п, т)?
Решению некоторых из этих вопросов посвящены следующие результаты.
Теорема 2. При п ^ 3:
а) Р(п, п + 1) С Ршт(п);
б) Гр(п,т) содержит неминимальные матрицы, п + 2 ^ т ^ п(п — 1);
в) Гр(п, т) содержит минимальные матрицы при т = п + 1,... , тах{п + 1, 2п — 3}.
Доказательство.
а) Примитивная матрица M порядка n не имеет нулевых строк и столбцов, значит, число единиц в матрице M не меньше n. Кроме того, любая подстановочная матрица не примитивна. Тогда число единиц в матрице M больше n и любая примитивная матрица из P(n, n +1) минимальная. Заметим, что P(n, n +1) = 0 при n ^ 3, пример — матрицы смежности вершин графов Виландта [3, с. 109].
б) Пусть Г — граф Виландта с множеством вершин {0,1,... , n — 1} ис множеством дуг {(n — 2, 0)} U {(i, (i + 1) mod n) : i = 0,1,..., n — 1}, n ^ 3. При любом пополнении множества дуг получаем примитивный неминимальный орграф с числом дуг m, где n + 2 ^ m ^ n(n — 1).
в) Для n = 3 и для графа Виландта с тремя вершинами теорема выполнена.
Пусть n ^ 4. Рассмотрим n-вершинный орграф Г с m дугами, который состоит
из объединения r контуров взаимно простых длин ... , lr, где r, /1,... , lr > 1. Пусть пересечение множеств вершин всех контуров состоит из единственной вершины (обозначим её i), а каждая из остальных вершин орграфа Г принадлежит ровно одному из контуров. Тогда орграф Г сильносвязный и примитивный в соответствии с универсальным критерием [4], так как r > 1 и (l1,... , lr) = 1. При l1,..., lr > 1 удаление любой дуги нарушает сильную связность орграфа Г и, следовательно, примитивность. Значит, орграф Г минимальный.
Определим, при каких n и m существует указанный орграф Г. По условию m = l1 + ... + lr, полустепени захода и исхода всех вершин, кроме i, равны 1, а для вершины i полустепени равны r. По теореме Эйлера m равно полусумме полустепеней захода и исхода всех вершин орграфа Г, то есть m = r + n — 1. В орграфе Г имеется как минимум два контура взаимно простых длин, следовательно, их наименьшие возможные длины равны 2 и 3 соответственно, отсюда n ^ 4 и m ^ 5. При n ^ 4 наибольшее число контуров r с заданными условиями равно n — 2 (один контур длины 3 и n — 3 контуров длины 2). Если r пробегает все значения от 2 до n — 2, то m пробегает все значения от n + 1 до 2n — 3. ■
В орграфе Г конкатенацию путей w = (u,... , i) и w' = (i,...,v), то есть путь (u,... , i,... , v), обозначим w-w'; вершину i отождествим с простым путём (i, i) длины 0.
Теорема 3. При n ^ 3 орграф Г е Гр(n, n + 1) тогда и только тогда, когда Г есть объединение двух простых контуров взаимно простых длин l и Л, общая часть которых есть путь длины q, где / >Л; l + Л — q = n +1; 0 ^ q ^ n — 2; при q = 0 общая часть контуров есть вершина.
Доказательство. Необходимость. Пусть Г е Гр (n, n + 1), тогда Г не имеет висячих вершин. Значит, в Г имеется вершина i c полустепенью захода 2, а остальные вершины имеют полустепени захода 1, и имеется вершина j c полустепенью исхода 2, а остальные вершины имеют полустепени исхода 1, где не исключено i = j. Согласно утверждению 1, включение Г е Гр(n, n + 1) инвариантно относительно перенумерации вершин орграфа Г, поэтому без ограничения общности положим i = n.
Если j = i = n, то (pn, qn) = (2, 2) и (ps, qs) = (1,1) для s = 1,... , n — 1. Следовательно, Г есть объединение двух простых контуров длины l и Л с единственной общей вершиной n. Тогда q = 0, l + Л = n +1 и (1,Л) = 1 в соответствии с универсальным критерием примитивности орграфа.
Пусть j = n, тогда (p„,q„) = (2,1), (p, qj) = (1, 2) и (ps,qs) = (1,1) для s = 1, ... , n — 1, s = j. Следовательно, Г есть объединение простого пути [i, j] длины q > 0 и двух простых путей [j, i]1 и [j, i]2 длин l — q и Л — q соответственно, где множества вер-
шин путей попарно не пересекаются, за исключением начальной и конечной вершин. Отсюда Г есть объединение контуров [г, 7] • [7, г^ и [г, 7] • [7, г]2 длин I и Л, общая часть которых есть путь [г,7]. Тогда (1,Л) = 1 в соответствии с универсальным критерием примитивности орграфа. Число дуг в Г есть сумма длин путей [г, 7], [7,г]1 и [7,г]2, то есть / + Л — д = п + 1, где д ^ п — 2. Необходимость доказана.
Достаточность. Пусть п-вершинный орграф Г есть объединение двух простых контуров взаимно простых длин / и Л, общая часть которых есть простой путь длины д, где / + Л — д = п +1, 0 ^ д ^ п — 2, в случае д = 0 общая часть контуров есть вершина. Тогда в соответствии с универсальным критерием Г примитивный, так как (/, Л) = 1. Число дуг в Г есть число различных дуг, составляющих контуры, то есть т = / + Л — д = п + 1. Число вершин в Г равно п. ■
Для п-вершинного орграфа Г обозначим пг,я число вершин с полустепенью захода г и полустепенью исхода в, 0 ^ г, в,пг,я ^ п. Таблицу положительных чисел {пг,я} при всех допустимых значениях г и в назовём степенной структурой орграфа Г, обозначается ^(Г). Таблицу Д(Г) запишем в виде Д(Г) = {(г, в)Пг'8}, при пг,я = 0 элемент таблицы опускается. Например, степенная структура контура К длины п имеет вид Д(К) = {(1,1)п}; степенная структура орграфов, рассмотренных в теореме 3, имеет вид {(1,1)п-1, (2, 2)1} при 7 = п и {(1,1)п-2, (1, 2)1, (2,1)1} при 7 = п.
Заметим, что если графы изоморфны, то их степенные структуры совпадают.
Пусть (г, 7) —дуга графа Г € Г(п). Назовём 1-расширением графа Г орграф Г(га) из Г(п + 1), полученный добавлением к графу Г вершины п +1 и заменой дуги (г, 7) на две дуги: (г, п + 1) и (п + 1,7). Если Гк есть к-расширение графа Г, то 1-расширение графа Гк назовем (к + 1)-расширением графа Г, к € N.
Пусть Г € Гр (п, т) и К * — система контуров в Г. Система контуров К * называется примитивной (минимальной примитивной), если натянутый на К * подграф является примитивным (минимальным примитивным). Дугу (г, 7) графа Г назовем К ^изолированной, если (г,7) не принадлежит ни одному из контуров системы К*.
Теорема 4. Если Г € Гр (п,т) при некоторых натуральных п и т, К * —примитивная (минимальная примитивная) система контуров в Г ив Г имеется К ^изолированная дуга (г,7), то при любом натуральном к имеется орграф Гк из Гр(п + к, т + к), являющийся к-расширением графа Г и содержащий систему К*. Если при этом орграф Г минимальный, то имеется к-расширение Гд, являющееся минимальным примитивным графом.
Доказательство. Индукция по к. Пусть к =1. Заметим, что система К * содержится не только в Г, но и в 1-расширении графа Г, так как построение Г^ с использованием К *-изолированной дуги (г, 7) не изменяет системы К *. При этом дуги (г, п +1) и (п + 1,7) графа Г^ являются К *-изолированными. Тогда в соответствии с универсальным критерием примитивности орграф является примитивным.
Если орграф Г минимальный, то система контуров К * минимальная примитивная. Удаление из Г дуги (г, 7) нарушает сильную связность; в силу К *-изолированности дуги (г,7) невозможно нарушить примитивность при сохранении сильной связности. В силу минимальности орграфа Г удаление любой из остальных дуг нарушает в Г либо сильную связность, либо примитивность. Аналогично удаление дуги (г, п+1) (или дуги (п + 1,7)) из орграфа нарушает его сильную связность, удаление любой из остальных дуг нарушает в либо сильную связность, либо примитивность. Значит, орграф Г(га) из Гр(п + к, т + к) является минимальным примитивным.
Пусть теорема доказана для к-расширения Гд орграфа Г при натуральных числах 1,... , к. Так как Гд удовлетворяет тем же условиям, что и Г, рассуждения при переходе от Г к Гд+1 можно повторить. ■
Теорема 5. Если минимальный примитивный орграф Г € Гр(п, п + 2), то Д(Г) принадлежит одному из классов, перечисленных в таблице:
№ п ДГ) № п Я(Г)
1 > 5 {(1,1)-\ (3, 3)1} 6 > 6 {(1,1)п-3, (2,1)2, (1, 3)1}
2 > 5 {(1,1)п-2, (2,1)1, (2, 3)1} 7 > 6 {(1,1)п-3, (1, 2)2, (3,1)1}
3 > 5 {(1,1)п-2, (1, 2)1, (3, 2)1} 8 > 6 {(1,1)п-3, (1, 2)1, (2,1)1, (2, 2)1}
4 > 5 {(1,1)п-2, (2, 2)2} 9 > 6 {(1,1)п-4, (1, 2)2, (2,1)2}
5 > 4 {(1,1)п-2, (1, 3)1, (3,1)1}
Доказательство. Если сильносвязный орграф Г € Гр (п, п + 2), то числа пг,3 связаны системой двух диофантовых уравнений, где первое уравнение перечисляет удвоенное число дуг в Г (в соответствии с теоремой Эйлера), а второе — число вершин в Г:
2п1,1 + 3п1,2 + 3п2,1 + 4п1,з + 4п2,2 + 4пз,1 + 5п1,4 + 5п2,3 + 5пз,2 + 5п4,1 + 6п1,5 + ...
+ппга_ 1,1 = 2п + 4,
п1,1 + п1,2 + п2,1 + п1,з + п2,2 + пз,1 + пМ + п2,з + пз,2 + п4,1 + п1,5 + ... + пп_М = п.
Вычитая из первого уравнения удвоенное второе, получаем
п1,2 + п2,1 + 2п1,з + 2п2,2 + 2пз,1 + 3п1,4 + 3п2,з + 3пз,2 + 3п4,1 + 4п1,5+ ... + 4п5,1 + 5п1,б + ... + (п - 2)пга-1,1 = 4.
Определим решения уравнения (1) относительно целых неотрицательных чисел пг,3 и укажем примитивные графы без петель, соответствующие полученным решениям.
Заметим, что пг,3 = 0 при г + в > 6, иначе левая часть уравнения (1) больше правой части, следовательно, уравнение (1) равносильно следующему упрощённому уравнению:
п1,2 + п2,1 + 2п1,з + 2п2,2 + 2пз,1 + 3п1,4 + 3п2,з + 3пз,2 + 3п4,1 +
+ 4п1,5 + 4п2,4 + 4пз,з + 4п4,2 + 4п5,1 = 4. ()
Имеется 9 классов решений уравнения (2).
1-й класс. Если пз,з = 1, то из уравнения (2) имеем
п1,2 = п2,1 = п1,з = п2,2 = пз,1 = п1,4 = п2,з = пз,2 = п4,1 = п1,5 = п2,4 = п4,2 = п5,1 = 0.
В этом случае Г есть объединение трёх контуров, пересечение множеств вершин которых состоит из единственной вершины, а любая другая вершина принадлежит только одному из контуров (рис. 1), то есть Д(Г) = {(1,1)п-1, (3, 3)1}.
Рис. 1. Граф Г, п = 5, ДГ) = {(1,1)4, (3,3)1}
Для орграфа Г, изображённого на рис.1, К * = {(1, 2), (2, 4, 5)}, дуга (2, 3) является К*-изолированной. Тогда по теореме 4 имеется к-расширение Гд орграфа Г, где Д(Гд) = {(1,1)к+4, (3, 3)1}, и из минимальности орграфа Г следует минимальность орграфов Гк, к € N.
Если пз,з = 0 и п2,4 = 1, то из уравнения (2) имеем
п1,2 = п2,1 = п1,з = п2,2 = пз,1 = пМ = п2,з = пз,2 = п4,1 = п1,5 = п4,2 = п5,1 = 0.
В этом случае в Г имеется вершина г, где рг = 2, = 4, то есть имеются дуги (г, а), (г, Ь), (г, с), (г, й), где г, а, Ь, с, й различны. Орграф Г сильносвязный, поэтому в Г имеются простые пути [а, г], [Ь, г], [с, г] и [й, г]. Так как рг = 2, эти пути сходятся в два пути, то есть в Г имеется вершина 7 = г, где р^- ^ 2. Тогда пг,1 ^ 1 при г ^ 2, то есть имеем противоречие.
Аналогичные противоречия получаем в следующих случаях:
а) пз,з = 0 и п1,5 = 1, иначе в Г имеется вершина, в которой сходятся от двух до четырёх путей, откуда следует п2,1 + пз,1 + п4,1 ^ 1;
б) пз,з = 0 и п5,1 = 1, иначе в Г имеется вершина, из которой расходятся от двух до четырёх путей, откуда следует п1,2 + п1,з + п1,4 ^ 1;
в) пз,з = 0 и п4,2 = 1, иначе в Г имеется вершина, из которой расходятся не менее двух путей, то есть п1,г ^ 1 при г ^ 2.
Значит, при пз,з = 0 имеем п1,5 = п2,4 = п4,2 = п5,1 = 0 и уравнение (2) упрощается:
п1,2 + п2,1 + 2п1,з + 2п2,2 + 2пз,1 + 3п1,4 + 3п2,з + 3пз,2 + 3п4,1 = 4. (3)
Из (3) следует, что не более чем одна из величин п1,4, п2,з, пз,2, п4,1 отлична от нуля.
2-й класс. Если п2,з = 1, то из уравнения (3) имеем п1,з = п2,2 = пз,1 = п1,4 = = пз,2 = п4,1 = 0, иначе левая часть уравнения (3) больше правой части. В этом случае в Г имеется вершина г с полустепенью захода 2 и с полустепенью исхода 3, то есть имеются дуги (г, а), (г,Ь), (г, с), где г,а,Ь,с различны. Орграф Г сильносвязный, поэтому в Г имеются простые пути [а, г], [Ь, г] и [с, г]. Так как рг = 2 и пз,1 = 0, то в Г имеется вершина 7 = г, в которой сходятся два пути, то есть п2,1 ^ 1. Из уравнения (3) следует, что п2,1 = 1 и п1,2 = 0. Тогда Г есть объединение трёх контуров, они пересекаются в единственной вершине г, и два контура сходятся в вершине 7 = г, то есть Я(Г) = {(1,1)п-2, (2,1)1, (2, 3)1}.
Для орграфа Г, изображённого на рис. 2, К * = {(1, 5), (1, 3, 4)}, дуга (2, 3) является К*-изолированной. Тогда по теореме 4 имеется минимальное примитивное к-расшире-ние Гк орграфа Г, где Д(Гд) = {(1,1)д+з, (2,1)1, (2, 3)1}, к € N.
Рис. 2. Граф Г, п = 5, £(Г) = {(1, 1^, (2,1)1, (2, 3)1}
3-й к л а с с. Аналогично 2-му классу, при пз,2 = 1 имеем п1,з = п2,2 = пз,1 = = п1,4 = п2,з = п4,1 = 0. Кроме того, п1,2 = 1 (из некоторой вершины расходятся два
пути) и п2 1 = 0. В этом случае Г — объединение трёх контуров, пересечение множеств их вершин состоит из единственной вершины г, и два контура расходятся в вершине 3 = г, то есть £(Г) = {(1,1)га-2, (1, 2)1, (3, 2)1}.
Для орграфа Г, изображённого на рис. 3, К * = {(1, 5), (1, 4, 3)}, дуга (3, 2) является К *-изолированной. Тогда по теореме 4 имеется минимальное примитивное к-расшире-ние Г орграфа Г, где ) = {(1,1)к+з, (1, 2)1, (3, 2)1}, к € N.
Рис. 3. Граф Г, п = 5, £(Г) = {(1,1^, (1, 2)1, (3, 2)1}
Если п1 , 4 = 1, то п2 , з = пз , 2 = п4 , 1 = 0. Тогда в Г имеется вершина г, где рг = 1, qi = 4, то есть имеются дуги (г, а), (г, Ь), (г, с), (г, где г, а, Ь, с, ^ различны. Орграф Г сильносвязный, поэтому в Г имеются простые пути [а, г], [Ь, г], [с, г] и г]. Так как Рг = 1 и п4,1 = 0, в Г имеются либо две вершины, в которых сходятся соответственно два и три пути, либо три вершины, в которых сходятся по два пути. Следовательно, либо пз,1 + п2,1 ^ 2, либо п2,1 ^ 3. В обоих случаях левая часть уравнения (3) больше правой части.
Аналогичное противоречие получается при п4,1 = 0 и п1,4 = п2,з = пз,2 = 0. Таким образом, при п2,з = пз,2 = 0 имеем п1,4 = п4,1 = 0, и уравнение (3) равносильно упрощённому уравнению
п1,2 + п2,1 + 2п1,з + 2п2,2 + 2пз,1 = 4. (4)
Из (4) следует, что из величин п1,з, п2,2, пз,1 не более чем две отличны от нуля и не более чем одна равна 2.
Если п1,з = 2, то п1,2 = п2,1 = п2,2 = пз,1 = 0. Тогда в Г имеется вершина г, где рг = 1, qi = 3, и дуги (г, а), (г, Ь), (г, с), где г, а, Ь, с различны, и простые пути [а, г], [Ь, г] и [с, г]. Так как рг =1 и пз,1 = 0, в Г имеются две вершины, в которых сходятся по два пути. Следовательно, п2,1 = 2 — имеем противоречие. Аналогичные рассуждения отвергают следующие случаи:
— пз,1 = 2, п1,2 = п2,1 = п1,з = п2,2 = 0;
— п2,2 = пз,1 = 1, п1,2 = п2,1 = п1,з = 0;
— п1,з = п2,2 = 1, п1,2 = п2,1 = пз,1 = 0;
— п1,з = 1, п1,2 = 2, п2,1 = п2,2 = пз,1 = 0;
— пз,1 = 1, п2,1 = 2, п1,2 = п1,з = п2,2 = 0;
— п1,2 = 3, п2,1 = 1, п1,з = п2,2 = пз,1 = 0;
— п1,2 = 1, п2,1 = 3, п1,з = п2,2 = пз,1 = 0.
В остальных случаях уравнение (4) имеет ещё шесть классов решений. 4-й класс. Если п22 = 2, то п1 2 = п2 1 = п1 з = пз 1 = 0 и Д(Г) = {(1,1)п-2, (2, 2)2}.
Для орграфа Г, изображённого на рис.4, К * = {(1, 2, 3), (1, 2, 3,4)}, дуга (1, 5) является К*-изолированной. Тогда по теореме 4 имеется минимальное примитивное к-расширение орграфа Г, где ДГ*.) = {(1,1)к+з, (2, 2)2}, к € N.
5-й класс. Если п1,з = пз,1 = 1, то, согласно уравнению (4), п1,2 = п2,1 = п2,2 = 0 и Я(Г) = {(1,1)п-2, (1, 3)1, (3,1)1}.
Для орграфа Г, изображённого на рис. 5, К * = {(1, 3), (1, 2, 3)}, дуга (1, 4) является К*-изолированной. Тогда по теореме 4 имеется минимальное примитивное к-расшире-ние Гк орграфа Г, где Д(Гд) = {(1,1)д+2, (1, 3)1, (3,1)1}, к € N.
Рис. 5. Граф Г, п = 4, £(Г) = {(1,1)2, (1, 3)1, (3,1)1}
6-й класс. Если п1,з = 1, п2,1 = 2, то, согласно уравнению (4), п1,2 = пз,1 = п2,2 = 0 и Я(Г) = {(1,1)га-;з, (2,1)2, (1, 3)1'}.
Для орграфа Г, изображённого на рис.6, К * = {(1, 2, 5), (1, 2, 3,4)}, дуга (2, 6) является К*-изолированной. Тогда по теореме 4 имеется минимальное примитивное к-расширение Гк орграфа Г, где ДГк) = {(1,1)к+з, (2,1)2, (1, 3)1}, к € N.
7-й класс. Если пз,1 = 1, п1,2 = 2, то, согласно уравнению (4), п2,1 = п2,2 = п1,з = 0 и Я(Г) = {(1,1)га-;з, (1, 2)2, (3,1)1'}.
Для орграфа Г, изображённого на рис.7, К * = {(1, 2, 5), (1, 2, 3,4)}, дуга (6,1) является К*-изолированной. Тогда по теореме 4 имеется минимальное примитивное к-расширение Гк орграфа Г, где ДГк) = {(1,1)к+з, (1, 2)2, (3,1)1}, к € N.
Рис. 7. Граф Г, п = 6, £(Г) = {(1,1^, (1, 2)2, (3,1)1}
8-й класс. Если п2,2 = п1,2 = п2,1 = 1, то, согласно уравнению (4), п1,з = пз,1 = 0 и Я(Г) = {(1,1)га-;з, (1, 2)1, (2,1)1, (2, 2)1}.
Для орграфа Г, изображённого на рис. 8, К * = {(1, 2, 3, 4), (1, 5, 2, 3, 4)}, дуга (6, 4) является К*-изолированной. Тогда по теореме 4 имеется минимальное примитивное к-расширение орграфа Г, где ДГ) = {(1,1)к+з, (1, 2)1, (2,1)1, (2, 2)1}, к € N.
Рис. 8. Граф Г, п = 6, £(Г) = {(1,1^, (1, 2)1, (2,1)1, (2, 2)1}
9-й класс. Если п1,2 = п2,1 = 2, то, согласно уравнению (4), п1,з = п2,2 = пз,1 = 0 и Я(Г) = {(1,1)п-4, (1, 2)2, (2,1)2}.
Для орграфа Г, изображённого на рис.9, К * = {(1, 2, 5), (5, 4, 3, 2)}, дуга (3, 6) является К*-изолированной. Тогда по теореме 4 имеется минимальное примитивное к-расширение орграфа Г, где ДГ) = {(1,1)к+2, (1, 2)2, (2,1)2}, к € N.
Рис. 9. Граф Г, п = 6, £(Г) = {(1,1)2, (1, 2)2, (2,1)2}
В силу полноты выполненного перебора вариантов не существует минимальных примитивных графов из Гр(п, п + 2) с другими степенными структурами. ■
ЛИТЕРАТУРА
1. Бар-Гнар Р. И., Фомичев В. М. О минимальных примитивных матрицах // Прикладная дискретная математика. Приложение. 2014. №7. С. 7-9.
2. Варфоломеев А. А., Фомичев В. М. Информационная безопасность. Математические основы криптологии. Ч. I. М.: МИФИ, 1995. 114 с.
3. Фомичев В. М. Оценки экспонентов примитивных графов // Прикладная дискретная математика. 2011. №2(12). С. 101-112.
4. Харари Ф. Теория графов. М.: Едиториал УРСС, 2003. 296 с.
REFERENCES
1. Bar-Gnar R. I., Fomichev V. M. O minimal'nykh primitivnykh matritsakh [About the minimal primitive matrices]. Prikladnaya Diskretnaya Matematika. Prilozhenie, 2014, no. 7, pp. 7-9. (in Russian)
2. Varfolomeev A. A., Fomichev V.M. Informatsionnaya Bezopasnost'. Matematicheskie Osnovy Kriptologii [Information Security. Mathematical Foundations of Cryptology]. Part I. Moscow, MEPhI Publ., 1995. 114p. (in Russian)
3. Fomichev V. M. Otsenki eksponentov primitivnykh grafov [The estimates of exponents for primitive graphs]. Prikladnaya Diskretnaya Matematika, 2011, no. 2(12), pp. 101-112. (in Russian)
4. Harary F. Graph Theory. AW, 1969.
